平面分析-整體剛度矩陣

1、2022-7-4平面問題有限元分析-總剛15 平面問題有限元分析平面問題有限元分析整體剛度矩陣整體剛度矩陣曹國華曹國華5.1 整體剛度矩陣整體剛度矩陣5.2 整體剛度矩陣的特點整體剛度矩陣的特點5.3 邊界條件邊界條件5.4 計算結(jié)果整理計算結(jié)果整理5.5 收斂準則收斂準則 前文對單元體進行了分折，得到了單元剛度方程 ，但要解決問題，還必須進一步建立整個計算模型的整體剛度方程。完成這一步的關鍵，在于怎樣將單元的剛度矩陣和節(jié)點荷載列陣，分別“組裝”成整體剛度矩陣和整體節(jié)點荷載列陣。 這里通過研究任意節(jié)點的平衡來建立整體剛度矩陣，該方法不但比較直觀、易懂，而且對怎樣編寫計算機程序是很有幫助的。ee

2、eFK 2022-7-42平面問題有限元分析-總剛5.1 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 整體節(jié)點載荷列陣：由各節(jié)點所受等效節(jié)點力按節(jié)點號碼以從小到大的順序排列組成的列陣。等效節(jié)點力是由集中力、表面力和體積力共同移置構(gòu)成的，其中集中力包括直接作用在彈性體上的外力和邊界約束力，如支座反力。為了研究整體剛度矩陣的組裝過程，先引入兩個概念。 整體節(jié)點位移列陣：由各節(jié)點位移按節(jié)點號碼以從小到大的順序排列組成的列陣。2022-7-43平面問題有限元分析-總剛5.1 整體剛度矩陣整體剛度矩陣式中： ，TTTTTT12345 Tiiiuv (1,2,5)i 不失一般性，僅考慮計算模型中有4個單元，如圖所示。四個單

3、元的整體節(jié)點位移列陣為2022-7-44平面問題有限元分析-總剛5.1 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 對每個單元都可以寫出相應的單元剛度方程 ，即單元節(jié)點平衡方程。例如，對號單元，有 eeeFK (1)(1)(1)(1)11112131(1)(1)(1)(1)22122232(1)(1)(1)(1)33132333FKKKFKKKFKKK 式中：(1)iF號單元中第i（i=1,2,3）節(jié)點所受力。為了便于組裝整體剛度矩陣，將上式以整體節(jié)點位移 表示，即 (1)(1)(1)(1)11111213(1)(1)(1)(1)22212223(1)(1)(1)(1)(1)333132334500000000

4、0000000000FKKKFKKKKFKKK (1)K號單元的擴大剛度矩陣或稱為單元貢獻矩陣。2022-7-45平面問題有限元分析-總剛5.1 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 同理，對于單元，有(2)(2)(2)(2)111113142(2)(2)(2)(2)(2)33313334(2)(2)(2)(2)444143445000000000000000000FKKKKFKKKFKKK (2)iF(2)K式中：號單元中第i（i=1,3,4）節(jié)點所受力； 號單元的擴大剛度矩陣。2022-7-46平面問題有限元分析-總剛5.1 整體剛度矩陣整體剛度矩陣對于3單元，有1(3)(3)(3)(3)222232

5、52(3)(3)(3)(3)(3)332333534(3)(3)(3)(3)55253555000000000000000000 FKKKFKKKKFKKK(3)iF(3)K式中：3號單元中第i（i=3,4,5）節(jié)點所受力； 3號單元的擴大剛度矩陣。2022-7-47平面問題有限元分析-總剛5.1 整體剛度矩陣整體剛度矩陣對于單元，有12(4)(4)(4)(4)(4)33334353(4)(4)(4)(4)44344454(4)(4)(4)(4)55354555000000000000000000FKKKKFKKKFKKK (4)iF(4)K式中：號單元中第i（i=3,4,5）節(jié)點所受力； 號

6、單元的擴大剛度矩陣。2022-7-48平面問題有限元分析-總剛5.1 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 對于任意一個節(jié)點，可能承受兩種力的作用，一種是其它單元給予該節(jié)點的反作用力；另一種是作用在節(jié)點上的等效節(jié)點力。對整體而言，前者屬于內(nèi)力，后者屬于外力，每個節(jié)點在兩種力的作用下處于平衡。 將各單元剛度方程左邊相加，即將各節(jié)點所受力相加，由于對于整體而言，單元給予節(jié)點的反作用力屬于內(nèi)力，在相加過程中相互抵消，所以各節(jié)點所受力相加的結(jié)果只有外力，即等效節(jié)點力，從而得到整體節(jié)點荷載列陣，如下(1)(2)111(3)(1)222(3)(4)(1)(2)33333(4)(2)444(3)(4)555000000

7、00FFFFFFF =FFFFFFFFFFF2022-7-49平面問題有限元分析-總剛5.1 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 將各單元剛度方程右邊相加，從而得到整體剛度矩陣，如下(1)(2)(3)(4)11121314152122232425313233343541424344455152535455(1)(2)(1)(1)(2)(2)111112131314(1)(1)(3)(1)(3)(3)212222232325(1)3100KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK(2)(1)(3)(1)(2)(3)(4)(2)(4)(3)(4)31323233

8、33333334343535(2)(2)(4)(2)(4)(4)414343444445(3)(3)(4)(4)(3)(4)52535354555500KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK2022-7-410平面問題有限元分析-總剛5.1 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 通過以上分析得，整體節(jié)點載荷與整體節(jié)點位移之間的關系式，即結(jié)構(gòu)整體有限元方程，如下FK 式中：K整體剛度矩陣。4( )1iiKK2022-7-411平面問題有限元分析-總剛5.1 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 整體剛度矩陣組裝的基本步驟：1）將單元剛度矩陣中的每個子塊放到在整體剛度矩陣中的對應位置上，得到單元的擴大剛度矩陣。注意

9、對于單元剛度矩陣是按照局部編碼排列的，即對應單元剛度矩陣中的i、j、m；對于整體剛度矩陣是按照整體編碼排列的，即按節(jié)點號碼以從小到大的順序排列。在組裝過程中，必須知道單元節(jié)點的局部編碼與該節(jié)點在整體結(jié)構(gòu)中的整體編碼之間的關系，才能得到單元剛度矩陣中的每個子塊在整體剛度矩陣中的位置。將單元剛度矩陣中的每個子塊按總體編碼順序重新排列后，可以得到單元的擴大矩陣。例如在圖中，單元的局部編碼為i、j、m，對應整體編碼為1、3、4，然后將單元剛度矩陣中的每個子塊按總體編碼順序重新排列后，可以得到單元的擴大矩陣。注意有些書籍中將局部編碼表示為1、2、3或1，2，3等；2）將全部單元的擴大矩陣相加得到整體剛度

10、矩陣。2022-7-412平面問題有限元分析-總剛5.1 整體剛度矩陣整體剛度矩陣通過以上組裝過程可以得到組裝整體剛度矩陣的一般規(guī)則： 1）結(jié)構(gòu)中的等效節(jié)點力是相關單元結(jié)點力的疊加，整體剛度矩陣的子矩陣是相關單元的單元剛度矩陣子矩陣的集成； 2）當整體剛度矩陣中的子矩陣 中r=s時，該節(jié)點（節(jié)點r或s）被哪幾個單元所共有，則 就是這幾個單元的剛度矩陣中的子矩陣 的相加。如 應該是單元中對應子矩陣的集成，即 rsKrsKersK33K(1)(2)(3)(4)3333333333KKKKK2022-7-413平面問題有限元分析-總剛5.1 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 3）當 中 時，若rs邊是組合體

11、的內(nèi)邊，則 就是共用該邊的兩相鄰單元剛度矩陣中的子矩陣 的相加。如13邊為單元和的共用邊，則 r srsKrsKersK(1)(2)131313K= KK 4）當 中r和s不同屬于任何單元時，則 =0。如節(jié)點r1和 s5不同屬于任何單元，此時 =0。rsKrsK15K2022-7-414平面問題有限元分析-總剛5.1 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 上述組裝基本步驟和規(guī)則具有普遍意義 對于不同類型、不同形式的單元，只是相應節(jié)點的子矩陣的階數(shù)（節(jié)點自由度節(jié)點自由度）可能不同，至于組裝整體剛度矩陣的規(guī)律仍是相同的。正是因為有了這種組裝規(guī)律，使得有限元法能夠很方便地應用電子計算機進行計算。2022-7-4

12、15平面問題有限元分析-總剛5.1 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 例：例： 如圖所示有限元模型，彈性模量為 ，厚度為 ，為簡化計算取 ，求整體剛度矩陣。t0E2022-7-416平面問題有限元分析-總剛5.1 整體剛度矩陣整體剛度矩陣單元編號單元編號整體編碼整體編碼1、2、32、4、55、3、23、5、6局部編碼局部編碼i、j、mi、j、mi、j、mi、j、m以整體編碼表以整體編碼表示的單元剛度示的單元剛度矩陣子塊矩陣子塊解：解：該模型中共有6個節(jié)點，4個單元，各單元的信息如表所示。 各單元信息(1)(1)(1)111213(1)(1)(1)212223(1)(1)(1)313233KKKKKKK

13、KK(2)(2)(2)222425(2)(2)(2)424445(2)(2)(2)525455KKKKKKKKK(3)(3)(3)555352(3)(3)(3)353332(3)(3)(3)252322KKKKKKKKK(4)(4)(4)333536(4)(4)(4)535556(4)(4)(4)636566KKKKKKKKK2022-7-417平面問題有限元分析-總剛5.1 整體剛度矩陣整體剛度矩陣同上例類似的分析，得(2)(2)(2)222425(2)(2)(2)(2)424445(2)(2)(2)5254551011010202001031211213014002020101101EtK

14、KKKKKKKKK 根據(jù)單元剛度矩陣的性質(zhì)，可知 ，若3單元5,3,2，則 整體剛度矩陣中的各子塊是對所有單元相應的子塊求和得到的（實際只是對相關單元求和），其中各子塊矩陣均為2行2列，整體剛度矩陣用子塊矩陣可以表示為(2)(1)(4)KK= K(2)(3)KK2022-7-418平面問題有限元分析-總剛5.1 整體剛度矩陣整體剛度矩陣111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566KKKKKKKKKKKKKKKKKKK =KKKKKKKKKKKKKKKKKK上式中任意一子塊矩陣均為2行2列，在計算

15、過程中，無需將每個單元剛度矩陣進行擴大，只需判斷整體剛度矩陣子塊的下標，然后利用組裝整體剛度矩陣的一般規(guī)則進行計算，如 ，由圖形可知，節(jié)點2由單元、和所共有，則 22K(1)(2)(3)22222222KKK+ K2022-7-419平面問題有限元分析-總剛5.1 整體剛度矩陣整體剛度矩陣25K(2)(3)252525KKK，由圖形可知，25邊為單元和的共用邊，則15K150K，由圖形可知，節(jié)點1、5不同屬于任何單元，則采用同樣的方法進行計算，得到整體剛度矩陣為2022-7-420平面問題有限元分析-總剛5.1 整體剛度矩陣整體剛度矩陣10110100000002020000000010614

16、11101001216120210000041610021011012160014000010003121004001200130100000121206121001014111601000000002020000010001101EtK2022-7-421平面問題有限元分析-總剛5.1 整體剛度矩陣整體剛度矩陣MATHCAD例子例子(1)(2)(1)(1)(2)(2)111112131314(1)(1)(3)(1)(3)(3)212222232325(1)(2)(1)(3)(1)(2)(3)(4)(2)(4)(3)(4)313132323333333334343535(2)(2)(4)(2)

17、(4)(4)414343444445520000KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK(3)(3)(4)(4)(3)(4)5353545555KKKKK公共郵箱：公共郵箱：密碼：密碼： cncumtcncumt 作業(yè)：作業(yè)： 采用采用MATHCAD求解求解如圖所示有限元模型，彈性模量為 ，厚度為 ，為簡化計算取 ，E=1，t=1 ，求整體剛度矩陣。t0E2022-7-424平面問題有限元分析-總剛5.1 整體剛度矩陣整體剛度矩陣每個班由負責人壓縮成一每個班由負責人壓縮成一個壓縮包后發(fā)到個壓縮包后發(fā)到每個人提交的文件名為：每個人提交的文件名為：班級班級-姓名姓名-序號（序

18、號（1）比如：比如：機自機自10（1）班）班-某某某某-12（1）4. 4. 是奇異矩陣，在排除剛體位移后，它是正定陣是奇異矩陣，在排除剛體位移后，它是正定陣 K3. 3. 是稀疏矩陣，非零元素呈帶狀分布是稀疏矩陣，非零元素呈帶狀分布K 用有限元方法分析復雜工程問題時，節(jié)點的數(shù)目比較多，整體剛度矩陣的階數(shù)通常也是很高的。那么在進行計算時，如果存儲整體剛度矩陣的全部元素，將會浪費較大的資源、降低計算效率。如果根據(jù)整體剛度矩陣的特點進行編寫程序，可以大大節(jié)省資源、并提高計算效率。因此有必要了解和掌握整體剛度矩陣的特點，整體剛度矩陣具有以下幾個顯著的特點：1. 1. 是對稱矩陣是對稱矩陣K2. 2.

19、 中主對角元素總是正的中主對角元素總是正的K2022-7-425平面問題有限元分析-總剛5.2 整體剛度矩陣的特點整體剛度矩陣的特點1. 是對稱矩陣K 由單元剛度矩陣的對稱性和整體剛度矩陣的組裝過程，可知整體剛度矩陣必為對稱矩陣。利用對稱性，在計算機編寫程序時，只存儲整體剛度矩陣上三角或下三角部分即可。2. 中主對角元素總是正的K 例如，剛度矩陣 中的元素 表示節(jié)點2在x方向產(chǎn)生單位位移，而其它位移均為零時，在節(jié)點2的x方向上必須施加的力； 表示節(jié)點2在y方向產(chǎn)生單位位移，而其它位移均為零時，在節(jié)點2的y方向上必須施加的力。很顯然在此情況下力的方向應該與位移方向一致，故應為正號。K33K44K

20、2022-7-426平面問題有限元分析-總剛5.2 整體剛度矩陣的特點整體剛度矩陣的特點3. 是稀疏矩陣，非零元素呈帶狀分布K 如果遵守一定的節(jié)點編號規(guī)則，就可使矩陣的非零元素都集中在主對角線附近呈帶狀。整體剛度矩陣中的子矩陣 只有當下標s等于r或者s與r同屬于一個單元時才不為零，這就說明，在第r雙行中非零子矩陣的塊數(shù)，應該等于節(jié)點r周圍直接相鄰的節(jié)點數(shù)目加1。可見， 中元素一般都不是填滿的，是稀疏矩陣，且非零元素呈帶狀分布。rsKK 以下圖所示的單元網(wǎng)格為例，其整體剛度矩陣中的非零子塊（每個子塊為2行2列）的分布情況如下圖所示，圖中陰影部分表示該子塊不為零，其它子塊部位均為零。2022-7-

21、427平面問題有限元分析-總剛5.2 整體剛度矩陣的特點整體剛度矩陣的特點2022-7-428平面問題有限元分析-總剛5.2 整體剛度矩陣的特點整體剛度矩陣的特點1011010000000202000000001061411101001216120210000041610021011012160014000010003121004001200130100000121206121001014111601000000002020000010001101EtK2022-7-429平面問題有限元分析-總剛5.1 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 顯然，帶狀剛度矩陣的帶寬取決于單元網(wǎng)格中相鄰節(jié)點號碼的最大差值D

22、。把半個斜帶形區(qū)域中各行所具有的非零元素的最大個數(shù)叫做剛度矩陣的半帶寬（包括主對角元），用B表示，如下 B=2(D+1) 通常的有限元程序，一般都利用剛度矩陣的對稱和稀疏帶狀的特點，在計算求解中，只存儲上半帶的元素，即所謂的半帶存儲。因此，在劃分完有限元網(wǎng)格進行節(jié)點編號時，要采用合理的編碼方式，使同一單元中相鄰兩節(jié)點的號碼差盡可能小，以便節(jié)省存儲空間、提高計算效率。2022-7-430平面問題有限元分析-總剛5.2 整體剛度矩陣的特點整體剛度矩陣的特點 對于同樣的有限元單元網(wǎng)格，按照圖（a）的結(jié)點編碼，最大的半帶寬為 按照圖（b）的結(jié)點編碼，最大的半帶寬為B 按照圖（c）的結(jié)點編碼，最大的半帶

23、寬為B (a) (b) (c)2022-7-431平面問題有限元分析-總剛2(106)105.2 整體剛度矩陣的特點整體剛度矩陣的特點B = 2(104)=142(102)184. 是奇異矩陣，在排除剛體位移后，它是正定陣 K 無約束的彈性體（或結(jié)構(gòu)物）的整體剛度矩陣是奇異的，不存在逆矩陣，即關于位移的解不唯一。這是因為彈性體在外力的作用下處于平衡，外力的分量應該滿足三個靜力平衡方程。這反映在整體剛度矩陣中就意味著存在三個線性相關的行或列，所以是個奇異陣，不存在逆矩陣。例如：設彈性體在外力的作用下處于平衡，這時相應的解為 ，然后在給予彈性體以剛體位移而相應的節(jié)點位移 ，這時， 仍是問題的解，因

24、為剛體位移不會破壞平衡。1 2 12 注：當排除剛體位移后，整體剛度矩陣是正定矩陣。2022-7-432平面問題有限元分析-總剛5.2 整體剛度矩陣的特點整體剛度矩陣的特點 前文已經(jīng)提到在排除剛體位移后，整體剛度矩陣是正定的，方程才可求得唯一解。排除剛體位移可以通過引入邊界約束條件來實現(xiàn)，這里介紹兩種比較簡單的引入已知位移的方法。1代入法2乘大數(shù)法2022-7-433平面問題有限元分析-總剛5.3 邊界條件邊界條件1代入法 該方法保持方程組仍為2n2n系統(tǒng)，僅對整體剛度矩陣 和整體載荷列陣進行修正。下面以一個只有四個方程的簡單例子加以說明，方程如下11121314112122232412313

25、23334234142434424KKKKuFKKKKvFKKKKuFKKKKvF 假定系統(tǒng)中節(jié)點位移 、 ，則當引入這些節(jié)點的已知位移之后，方程就變成11uc22uc2022-7-434平面問題有限元分析-總剛5.3 邊界條件邊界條件1112131411212223241231323334234142434424KKKKuFKKKKvFKKKKuFKKKKvF 11221 123 22224122441 143 242442100000001000cuFK cK cKKvcuFK cK cKKv若 ，則120cc1222412242442410000000010000uKKvFuKKvF 然

26、后，用這組維數(shù)不變的方程來求解所有的節(jié)點位移。顯然，其解答仍為原方程的解答。 在手算時，可直接將零位移約束所對應的整體剛度矩陣中的行和列直接劃去，使得整體剛陣的維數(shù)變小，更便于手算。2022-7-435平面問題有限元分析-總剛5.3 邊界條件邊界條件2乘大數(shù)法 將 中與指定的節(jié)點位移相對應的主對角元素乘上一個大數(shù)，同時將 中的對應元素換成指定的節(jié)點位移值、該大數(shù)與節(jié)點位移相對應的主對角元素三者的乘積。若把此方法用于上面的例子，則方程就變成KF151511112131411112122232421515231323334233241424344410101010uKKKKc KvKKKKFuKK

27、KKc KvKKKKF該方程組的第一個方程為151511112 11321421111010KuK vK uK vc K解得 ，這種方法就是使 中相應行的修正項遠大于非修正項。11uc2022-7-436平面問題有限元分析-總剛5.3 邊界條件邊界條件1代入法代入法2乘大數(shù)法乘大數(shù)法 在以上的兩種方法中，代入法接近人工解法，雖然該方法比較直觀，但該方法對剛度矩陣改變較多，程序效率不高。乘大數(shù)法對剛度矩陣改變較少，工作量較小，但相乘的“大數(shù)大數(shù)”若取得過大，求解時會發(fā)生“溢出溢出”、若取得太小則會引起較大的誤差誤差。2022-7-437平面問題有限元分析-總剛5.3 邊界條件邊界條件 對于三節(jié)點

28、三角形單元，單元內(nèi)各點的應力值相等，算出的應力一般作為單元形心處的應力。由于單元應力為常數(shù)，整個結(jié)構(gòu)的應力場呈階梯狀，在單元之間不連續(xù)。而工程上往往更加關心邊界和節(jié)點上的受力情況，因此，必須對所得到的應力再次進行處理，得到更加合理的應力場，并得到所需點上的應力值。 這里介紹兩種簡單的方法，一種方法稱為節(jié)點平均法，即把環(huán)繞某一節(jié)點的各單元的應力加以平均作為該節(jié)點的應力值。例如圖中節(jié)點3的應力為(1)(2)(3)(4)(5)(6)316 2022-7-438平面問題有限元分析-總剛5.4 計算結(jié)果整理計算結(jié)果整理 為了使通過這樣平均得來的應力比較接近實際情況，要求環(huán)繞節(jié)點的各單元尺寸不應相差太大。

29、這種做法，對內(nèi)節(jié)點比較好，對邊界點則可能很差。 因此，邊界節(jié)點處的應力不宜直接由單元應力平均來獲得，而要根據(jù)內(nèi)節(jié)點的應力構(gòu)造插值函數(shù)推算出來。例如圖中邊界點1的應力，可以先用節(jié)點平均法求得節(jié)點2、3、4處的應力，在構(gòu)造相應的插值函數(shù)推算邊界點1的應力，如常用的拋物線插值公式如下3424231234232432344243xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5.4 計算結(jié)果整理計算結(jié)果整理2022-7-439平面問題有限元分析-總剛 另一種方法稱為單元平均法，即把兩相鄰單元的應力加以平均，用以表示公共邊界中點的應力。為了由這樣平均所得到的應力具有較好的精度，兩相鄰單元的面積不應相差

30、太大。如圖中單元和邊界的中點處的應力為(2,3)(1)(2)12 在不同的有限元軟件中均具有各自的后處理方法，但無論后期怎樣處理，應力場來源于應力的計算，應力的精度主要依賴于單元的尺寸、單元的類型（位移模式）。2022-7-440平面問題有限元分析-總剛5.4 計算結(jié)果整理計算結(jié)果整理 對于有限元這種數(shù)值計算方法，一般總是希望隨著網(wǎng)格的逐步細分所得到的解能夠收斂于問題的精確解。根據(jù)前面的分析，可知在有限元分析中，一旦確定了單元的形狀之后，位移模式的選擇將是非常關鍵的。由于載荷的移置、應力矩陣和剛度矩陣的建立等等，都依賴于單元的位移模式，所以，如果所選擇的位移模式與真實的位移分布有很大的差別，那

31、么就很難獲得良好的數(shù)值解。為了保證解答的收斂性，要求位移模式必須滿足以下三個條件，即 1）位移模式必須包含單元的剛體位移。 2）位移模式必須包含單元的常應變。 3）位移模式在單元內(nèi)要連續(xù)、且在相鄰單元之間的位移必須協(xié)調(diào)。 5.5 收斂準則收斂準則2022-7-441平面問題有限元分析-總剛 1）位移模式必須包含單元的剛體位移。也就是說，當節(jié)點位移是由某個剛體位移所引起時，彈性體內(nèi)將不會產(chǎn)生應變。所以，位移模式不但要具有描述單元本身形變的能力，而且還要具有描述由于其它單元形變而通過節(jié)點位移引起單元剛體位移的能力。 2）位移模式必須包含單元的常應變。每個單元的應變一般都是包含著兩個部分：一部分是與該單元中各點的坐