復(fù)變(1共形映射的概念2分式線性映射)

1、第九講共形映射共形映射分式線性映射分式線性映射& 1. 曲線的切線曲線的切線& 2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義& 3. 共形映射的概念共形映射的概念1 共形映射的概念共形映射的概念,)(: ttzzC.移移動(dòng)動(dòng)的的方方向向增增大大時(shí)時(shí)點(diǎn)點(diǎn)它它的的正正向向取取zt1. 曲線的切線曲線的切線.)()(000方方向向相相同同與與向向量量則則割割線線的的方方向向向向量量ttzttzpp ，的的參參數(shù)數(shù)分分別別為為對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)取取若若ttPPCPPttz,),(, 0)( 00000 設(shè)連續(xù)曲線設(shè)連續(xù)曲線)(tzz :C oxy(z)0PP方方向向。增增大大的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于參參數(shù)

2、數(shù)割割線線tpp0 T)(tzz :C oxy(z)0PP的的極極限限位位置置：割割線線方方向向pp0ttzttztzt )()(lim)( 0000.0正正向向一一致致處處的的切切向向量量且且方方向向與與在在曲曲線線CpC).( arg,)( ,),(, 0)( 00000tztzzCttz 它它的的傾傾角角就就是是切切向向量量有有切切線線在在則則曲曲線線若若A .)( )1(00方方向向之之間間的的夾夾角角軸軸正正向向與與處處切切線線的的點(diǎn)點(diǎn)曲曲線線正正在在xzCtArgz 定義定義切線隨切點(diǎn)的移動(dòng)而連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的有向曲線切線隨切點(diǎn)的移動(dòng)而連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的有向曲線稱為有向光滑曲線稱為有向光滑曲線.之

3、之間間的的夾夾角角. .就就是是它它們們的的兩兩條條切切線線兩兩曲曲線線正正向向之之間間的的夾夾角角交交點(diǎn)點(diǎn)處處若若曲曲線線向向正正在在,)2(021zCC相相交交于于點(diǎn)點(diǎn)與與曲曲線線:2C)(2tzz )(1tzz :1Coxy(z)0z 2. 解析函數(shù)解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義(輻角和模輻角和模), 0)( ,)(00 zfDzDzfw且且內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè),)(:0 ttzzCzD引引一一條條有有向向光光滑滑曲曲線線內(nèi)內(nèi)過(guò)過(guò)在在.)(00增增大大方方向向的的曲曲線線，正正向向取取過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)tzfw )(),(000tzzt 取取0)( 0 tz則則)(:)(:)(tzf

4、wwtzzCzzfw 平平面面上上平平面面上上0)( )( )( 000 tzzftw)( )( )( 000tArgzzArgftArgw 記記 )( )( )( 000tArgztArgwzArgf 即即 (1)即即)(tzz :Co(z)xyov(w)u)(tzfw : )(zfw T T0z0w.,)(,0 記記作作的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)角角在在點(diǎn)點(diǎn)經(jīng)經(jīng)映映射射原原曲曲線線間間的的夾夾角角為為正正向向之之線線的的切切線線正正向向與與映映射射后后曲曲稱稱曲曲線線軸軸的的正正向向相相同同軸軸與與軸軸和和軸軸與與若若視視zzfwCCvyux )( )( )( 000tArgztArgwzArgf 即即

5、 Tu xT 0z0w 則則有有關(guān)關(guān)及及點(diǎn)點(diǎn)僅僅與與映映射射式式由由,)()1(0zzfw 的的幾幾何何意意義義( (1 1) )導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)幅幅角角Argf(z).)()0)( )( 000的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)角角映映射射后后在在點(diǎn)點(diǎn)經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)是是曲曲線線zzfwCzfzArgf .,動(dòng)動(dòng)角角的的不不變變性性轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)這這種種性性質(zhì)質(zhì)稱稱為為映映射射具具有有與與方方向向無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的形形狀狀的的大大小小及及方方向向與與曲曲線線轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)角角C 2 .,),2 , 1()()()2 , 1(,)2 , 1(21000 的的夾夾角角為為的的曲曲線線下下映映射射為為相相交交于于點(diǎn)點(diǎn)在在變變換換的的夾夾角角為為在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)

6、izfwzfwiCziCiii oxy(z)1C2C1 0z)(zfw 12 2 1 1 2 ovu(w)0w1212)2 , 1()1( iii有有，由由式式 保角性保角性12 由上述討論我們有由上述討論我們有 不不變變的的性性質(zhì)質(zhì)線線間間夾夾角角的的大大小小與與方方向向這這種種映映射射具具有有保保持持兩兩曲曲保保角角性性),(),(,2121210)(210 CCwCCzzfw的的過(guò)過(guò)的的過(guò)過(guò)的的幾幾何何意意義義( (2 2) )模模f(z).;,0000之之間間的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)與與上上的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)表表示示之之間間的的一一段段弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)與與上上的的點(diǎn)點(diǎn)表表示示用用且且設(shè)設(shè)wwzzCsewww

7、rezzzii 1lim1lim00 wszz)3(limlim)( 000szsswzfzz 的的在在稱稱之之為為曲曲線線00)( zCzf .伸伸縮縮率率Co(z)xyov(w)u )(zfw 0z0wzz ww s 均均不不變變處處點(diǎn)點(diǎn)在在同同一一時(shí)時(shí)沿沿任任何何曲曲線線作作映映射射的的形形狀狀方方向向無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)而而與與曲曲線線有有關(guān)關(guān)及及與與映映射射易易見見)( ,)()( ,0000zfAzfzzfwzf.伸伸縮縮率率不不變變性性3. 共形映射的概念共形映射的概念.)()(,)(0000是是共共形形映映射射在在為為共共形形的的，或或稱稱在在則則稱稱映映射射變變性性具具有有保保角角性性和

8、和伸伸縮縮率率不不的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，且且在在在在設(shè)設(shè)zzfwzzfwzzzfw 定義定義.)()(內(nèi)內(nèi)是是共共形形映映射射在在區(qū)區(qū)域域則則稱稱內(nèi)內(nèi)每每一一點(diǎn)點(diǎn)都都是是共共形形的的，在在若若DzfwDzfw :由由定定義義及及以以上上分分析析有有為為伸伸縮縮率率。為為轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)角角且且映映射射，保保角角是是共共形形點(diǎn)點(diǎn)解解析析且且在在若若)( ,)( )()(, 0)( )(0000zfzArgfzfwzfzzfw 定理定理A若上述共形映射定義中，僅保持角度絕對(duì)若上述共形映射定義中，僅保持角度絕對(duì)值不變，而旋轉(zhuǎn)方向相反，此時(shí)稱第二類共形映值不變，而旋轉(zhuǎn)方向相反，此時(shí)稱第二類共形映射。從

9、而，定義中的共形映射稱為第一類共形映射。從而，定義中的共形映射稱為第一類共形映射。射。0)( )()(0000 zfzfwDzDzzfw設(shè)設(shè)（忽忽略略高高階階無(wú)無(wú)窮窮小小）（忽忽略略高高階階無(wú)無(wú)窮窮小?。?)( :)( )( )()(00)(000000zfwwzzzzfwzfzzzfzfzwzfwzz 那那么么圓圓又又A 射射的的原原因因. .這這就就是是為為什什么么稱稱共共形形映映& 1. 分式線性映射的定義分式線性映射的定義& 2. 分式線性映射的性質(zhì)分式線性映射的性質(zhì)2 分式線性映射分式線性映射1. 分式線性映射的定義分式線性映射的定義定義定義.,是是復(fù)復(fù)常常數(shù)數(shù)其其中

10、中稱稱為為分分式式線線性性映映射射dcba)1()0( bcaddczbazw映射映射A 。是必要的是必要的0 bcad).(0常數(shù)常數(shù)復(fù)復(fù)否則否則cww 2)()1(dczbcadw :)2(上上有有定定義義數(shù)數(shù)在在整整個(gè)個(gè)擴(kuò)擴(kuò)充充平平面面補(bǔ)補(bǔ)充充定定義義使使分分式式線線性性函函.0/0 wzczcacdzwc時(shí)時(shí)，定定義義，在在，時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)為為雙雙線線性性映映射射. .故故又又稱稱, ,逆逆映映射射仍仍為為分分式式線線性性的的則則, ,dczbazwbcadacwbdwzdczbazw 0)()3(分式線性映射分式線性映射(1)總可以分解成下述三種特殊總可以分解成下述三種特殊映射的復(fù)

11、合：映射的復(fù)合：zwiiiaazwiibzwi1)()0()()( 稱為：稱為：平移整線性反演平移整線性反演)(11)()(caBcadbcABdczAdczcadbccacdzccadbcdzaw BAzdbzdawdczbazwc ，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 c事實(shí)上事實(shí)上，),(復(fù)復(fù)常常數(shù)數(shù)BA.1,2121復(fù)復(fù)合合而而成成和和由由BAwdczdczbazw bzwi )(.21是是一一個(gè)個(gè)平平移移映映射射故故bzwbyvbxu azwii )(.,)(射射是是旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)和和伸伸縮縮合合成成的的映映倍倍后后就就得得或或縮縮短短伸伸長(zhǎng)長(zhǎng)再再將將先先轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一個(gè)個(gè)角角度度把把a(bǔ)zwwazz 21i

12、bbbiyxzivuw 設(shè)設(shè))(, iiierwearez則則設(shè)設(shè)見見圖圖）關(guān)關(guān)于于圓圓的的對(duì)對(duì)稱稱點(diǎn)點(diǎn)名名詞詞介介紹紹(:.,2對(duì)對(duì)稱稱于于圓圓周周關(guān)關(guān)與與則則稱稱滿滿足足若若在在半半直直線線上上有有兩兩點(diǎn)點(diǎn)rzppropoppp 定義定義roxyPPA 規(guī)定無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為圓心規(guī)定無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為圓心o?呢呢的的對(duì)對(duì)稱稱點(diǎn)點(diǎn)找找到到關(guān)關(guān)于于圓圓周周如如何何由由przp ., , ,即即互互為為對(duì)對(duì)稱稱點(diǎn)點(diǎn)與與那那么么交交于于與與的的垂垂線線作作由由連連接接切切線線作作圓圓周周的的從從在在圓圓外外設(shè)設(shè)pppopTpopToppTppoPTPzwiii1)( 11,1wwzw 令令 iie

13、rwwerzw 11111)sin(cos)sin(cos irrezirrezii 設(shè)設(shè);, 1111在在同同一一射射線線上上與與wzrrwz ).()2.1)111見見圖圖關(guān)關(guān)于于實(shí)實(shí)軸軸對(duì)對(duì)稱稱的的點(diǎn)點(diǎn)即即得得作作出出點(diǎn)點(diǎn)的的對(duì)對(duì)稱稱點(diǎn)點(diǎn)關(guān)關(guān)于于圓圓周周作作出出點(diǎn)點(diǎn)wwwzz 1ox,uy,v1wzw的幾何作圖的幾何作圖zw1 .1,1對(duì)稱對(duì)稱關(guān)于關(guān)于 zwz2. 分式線性映射的性質(zhì)分式線性映射的性質(zhì).,性性質(zhì)質(zhì)出出一一般般分分式式線線性性映映射射的的從從而而得得射射的的性性質(zhì)質(zhì)先先討討論論以以上上三三種種特特殊殊映映保角性保角性)1(的情況的情況對(duì)于對(duì)于zwiii1)( wzwzwzw

14、zarg,arg; 111111若若通通常常稱稱為為反反演演變變換換因因此此映映射射zw1 )2(0;0)()(見第一章見第一章 wzwzzfwzfw)0(12 zzw又又.,1,即即為為一一共共形形映映射射形形的的在在擴(kuò)擴(kuò)充充復(fù)復(fù)平平面面上上處處處處共共映映射射處處夾夾角角的的定定義義后后適適當(dāng)當(dāng)規(guī)規(guī)定定zw )0()(),( abazwiii的的復(fù)復(fù)合合映映射射對(duì)對(duì).0)(是共形映射是共形映射 abazw:,有有以以下下結(jié)結(jié)論論而而成成的的三三種種特特殊殊映映射射復(fù)復(fù)合合由由于于分分式式線線性性映映射射是是由由（詳見（詳見P195）定理定理1.,且且具具有有保保角角性性對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的平平面面

15、上上是是一一一一分分式式線線性性映映射射在在擴(kuò)擴(kuò)充充復(fù)復(fù)保保圓圓性性)2(LwlzwCzbazwbazwbazw平平面面上上的的直直線線平平面面上上的的直直線線平平面面上上的的圓圓周周平平面面上上的的圓圓周周伸伸縮縮的的合合成成映映射射旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)是是平平移移 .,.,即即具具有有保保圓圓性性圓圓周周映映射射成成在在擴(kuò)擴(kuò)充充復(fù)復(fù)平平面面上上把把圓圓周周那那么么窮窮大大的的圓圓周周若若把把直直線線看看作作是是半半徑徑無(wú)無(wú)bazw 0,0,1)(/1/1 zwzwzzzwiii對(duì)對(duì)于于,1ivuzwiyxz 令令2222yxyvyxxu 2222vuvyvuux 或或得得代代入入將將zwiyxz1 0)(:0)(:22221 acvbuvuddcybxyxaCzw 直直線線直直線線圓圓周周直直線線直直線線圓圓周周圓圓周周圓圓周周 CdaCdaCdaCda0, 00, 00, 00,.,具具有有保保圓圓性性那那么么反反演演變變換換就就的的圓圓把把直直線線看看成成是是半半徑徑為為 .,即即具具有有保保圓圓性性平平面面上上的的圓圓周周成成擴(kuò)擴(kuò)充充平平面面上上圓圓周周映映射射分分式式線線性性映映射射將將擴(kuò)擴(kuò)充充wz定理定理