第一節(jié)數(shù)學(xué)期望 概率論課件

1、 第四章第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望 前面討論了隨機(jī)變量及其分布. 如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了. 在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布是較難確定的. 且有時(shí)在實(shí)際應(yīng)用中，我們并不需要知道隨機(jī)變量的所有性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了. 更重要的是一些分布可以由它的某些數(shù)字特征完全刻畫(huà). 因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征是非常重要的.期望和方差最常用的數(shù)字特征是：一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 概念的引入： 某車(chē)間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察. 車(chē)工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量. 如何定義X的平均值呢？假設(shè)統(tǒng)計(jì)了100天小張生產(chǎn)產(chǎn)品的情況，發(fā)現(xiàn) 可以得到這1

2、00天中每天的平均廢品數(shù)為32天沒(méi)有出廢品; 30天每天出一件廢品;17天每天出兩件廢品; 21天每天出三件廢品;可以想象：假設(shè)另外統(tǒng)計(jì)100天，車(chē)工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般不會(huì)完全相同，即另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定就是。n0天沒(méi)有出廢品;n1天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品.可以得到這n天中，每天的平均廢品數(shù)為(假定每天至多出三件廢品) 一般來(lái)說(shuō), 假設(shè)統(tǒng)計(jì)了n天,這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均由頻率與概率的關(guān)系， 不難想到：求廢品數(shù)X的平均值時(shí)，用概率替代頻率，得平均值為：這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均這樣，就得到一個(gè)確定的數(shù)

3、 隨機(jī)變量X的期望(均值) .定義1 設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其概率分布是: PX=Xk=pk , k=1,2, 也就是說(shuō)：離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)和.如果 有限, 定義X的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的概率分布與其取值的先后次序無(wú)關(guān)例1甲, 乙兩人進(jìn)行打靶,所得分?jǐn)?shù)分別記為它們的分布律分別為試評(píng)定他們的成績(jī)的好壞.解我們來(lái)計(jì)算的數(shù)學(xué)期望,得(分).這意味著,如果甲進(jìn)行很屢次的射擊,那么,所得分?jǐn)?shù)的算術(shù)平均就接近 ,而乙所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為例1甲, 乙兩人進(jìn)行打靶,所得分?jǐn)?shù)分別記為它們的分布律分別為試評(píng)定他們的成績(jī)的好壞.解這意味著,如果甲進(jìn)行很屢次的射擊,那么,所得分?jǐn)?shù)的算術(shù)平均就接近

4、 ,而乙所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為很明顯,乙的成績(jī)遠(yuǎn)不如甲的成績(jī).例2某種產(chǎn)品每件表面上的疵點(diǎn)數(shù)服從參數(shù)的泊松分布,假設(shè)規(guī)定疵點(diǎn)數(shù)不超過(guò) 1 個(gè)為一等品,值 10 元;疵點(diǎn)數(shù)大于 1 個(gè)不多于 4 個(gè)為二等品,價(jià)值 8 元;疵點(diǎn)數(shù)超過(guò) 4 個(gè)為廢品,求:(1) 產(chǎn)品的廢品率;(2) 產(chǎn)品價(jià)值的平均值.解設(shè)代表每件產(chǎn)品上的疵點(diǎn)數(shù),由題意知價(jià)價(jià)因?yàn)樗援a(chǎn)品的廢品率為設(shè)代表產(chǎn)品的價(jià)值,那么的概率分布為:所以產(chǎn)品價(jià)值的平均值為 兩點(diǎn)分布：X B(1,p), 0 p 1. E(X)= 1p+0(1-p) = p. 常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 二項(xiàng)分布：X B(n,p)，其中 0 p 0 . E(X)= .二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x), 在數(shù)軸上取很密的點(diǎn)x0 x1x2q,p+q=1.為了補(bǔ)償乙的不利地位，另行規(guī)定兩人下的賭注不相等，甲為 a, 乙為b, ab. 現(xiàn)在的問(wèn)題是：a究竟應(yīng)比b大多少，才能做到公正？解：設(shè)甲贏的錢(qián)數(shù)為X，乙贏的錢(qián)數(shù)為Y，依題意解：設(shè)甲贏的錢(qián)數(shù)為X，乙贏的錢(qián)數(shù)為Y，為對(duì)雙方公正,應(yīng)有依題意E(X)=bp+(-a)q, E(Y)=aq+(-b)pbp-aq=aq-bp=0, 故小結(jié)： 這一講，我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征. 接下來(lái)的一講中，我們將向大