計劃生育對我國人口數(shù)量的影響數(shù)學建模論文

1、方案生育對我國人口數(shù)量的影響摘要本文對中國的人口增長趨勢問題做了研究，在方案生育政策影響下，根據(jù)中國生育的特點，建立了相關的預測模型。對于人口的中短期預測，本文建立離散中國人口開展的Leslie模型和連續(xù)中國人口開展回歸模型。在方案生育的政策下，綜合考慮有人不結婚、有人不生育、有人不想生第二胎等因素下，結合出生率和死亡率來估計中國未來近十年的人口變化情況和人口極限。據(jù)問題一的題意，本文提出兩種模型來求解：回歸模型和 Leslie 預測模型。模型一：線性回歸模型通過excel模型畫出線性圖，但是得到圖并不是很精確，后又在用eviews來做圖，然后得到關于出生率和死亡率的預測函數(shù)，從而得到未來十年

2、的人口數(shù)，最終求得人口極限為140774萬人。模型二：那么單從女性方面考慮，劃分年齡段，得到生育率變化函數(shù)，再結合Leslie 預測模型求的人口極限為143084萬人。 問題二中方案生育的政策已經(jīng)改變，因此本文要將夫妻雙方是否為獨生子女看成性狀來分析，表示為非獨生，表示為獨生，這樣進行隨機性的組合，利用孟德爾第一定律，從而建立中國人口開展的生物遺傳學預測模型。綜上分析，進而對2021至2022年人口數(shù)量的進行預測，得到結果是人口極限為149039.6萬人。 問題三是根據(jù)問題一和問題二的求解來對方案生育政策進行合理的分析。在問題一二中可以看出，預測到2022年中國的出生率大于死亡率，但是兩者之間

3、的差距越來越小，以此推斷以2050年為一個分界，在2050年之前，中國仍然實行方案生育政策，在2050年左右出生率與死亡率持平，人口數(shù)不再增加；在2050年之后，有三種情況：一是雙獨或者從事特殊工作或者有特殊情況的可以生兩胎，不是雙獨按原來的方案生育政策；二是每戶家庭最多可以生兩胎；三是放棄方案生育政策，讓其自然開展。關鍵字 線性回歸 Leslie 預測模型 人口極限 生物遺傳學預測模型問題重述方案生育政策在我國已經(jīng)實行近30年，在這三十年中對于控制我國人口的增長功不可沒。然而隨著經(jīng)濟的開展，人們的生育愿望開始降低，這個規(guī)律在歐美、日本、韓國、新加坡都是如此，在中國也不會例外。所以，即使放棄方

4、案生育，人口也不會無限增長，而是有一個極限。所以現(xiàn)在有專家提出來，應該放開方案生育這個政策，不然會造成人口老齡化越來越嚴重?，F(xiàn)在我國的方案生育政策是，在城市都只能生一胎，而在農(nóng)村如果第一胎是女孩，可以生第二胎不考慮其他有可能存在的不同政策。請綜合考慮有人不結婚、有人不生育、有人不想生第二胎，特別是富裕地區(qū)的人不愿生第二胎等因素，答復以下問題：如果保持我國現(xiàn)在的方案生育政策不變，綜合考慮出生率和死亡率，那么我國人口未來十年將如何變化，人口增長的極限是多少？有人提出，方案生育政策可以逐步放開，對于雙獨夫妻雙方都是獨生子女的可以允許生兩胎允許生不代表一定會生，對于夫妻雙方不是雙獨的，還是按照原來的政

5、策，那么，我國人口的極限會是多少？你覺得合理的生育政策應該如何？問題分析從上述題中，可以明確題意是在不同情況下，通過預測來求得未來十年中國人口的變化以及的人口極限。此題并未給出相關的數(shù)據(jù)，所以需要從網(wǎng)上尋找數(shù)據(jù)所有相關數(shù)據(jù)來自國家統(tǒng)計年鑒。問題一：本文根據(jù)出生率和死亡率，綜合考慮有人不結婚、有人不生育、有人不想生第二胎等因素來預測中國未來十年的人口變化和人口增長極限。模型一：首先在網(wǎng)上找到了中國1980-2021年的出生率和死亡率數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)運用excel做出有關出生率和死亡率在這三十年的變化，再根據(jù)曲線變化，擬合得出函數(shù)，從而建立一個中國人口變化的回歸模型，最后求得未來近十年人口變化，并且

6、求得人口極限。模型二：由于回歸模型的一些局限性，所以建立人口預測的Logistic 模型, 先將女性年齡結構等間隔劃分成m 個年齡段，每隔S /m年一次，不考慮同一時間間隔內女性人口數(shù)量的變化趨勢，結合不愿結婚和不愿生子等因素，再利用Leslie 預測模型，從女性人口出生率和死亡率的變化出發(fā)，最后利用軟件matlab編程實現(xiàn)可以得知未來十年的總人口數(shù)。問題二：由于現(xiàn)在我國的方案生育政策是，在農(nóng)村如果第一胎是女孩，可以生第二胎由先前假設，那么5年后生育第二胎；然而在城市，那么對于雙獨夫妻雙方都是獨生子女的可以允許生兩胎由先前假設，那么20%的城市夫婦不生育第二胎，因此本文要將夫妻雙方是否為獨生子

7、女看成性狀來分析，表示為非獨生，表示為獨生，這樣進行隨機性的組合，從而建立中國人口開展的生物遺傳學預測模型。其中死亡率的未來幾年數(shù)據(jù)由問題一的預測可得。所以進而對2021至2022年人口數(shù)量的進行預測。問題三中根據(jù)一二兩題所求得結果，對政策進行分析，從而得到比擬完整、比擬好的生育政策。根本假設問題一：1、將時間離散化，鑒于男女人口通常有一個確定的比例，假設男女性比重為1:1，模型主要考慮女性人口，由女性人口可以得知總人口數(shù)；2、假設女性最大年齡為S 歲，將其等間隔劃分成m 個年齡段，不妨假設S 為m的整數(shù)倍，每隔S /m年觀察一次，不考慮同一時間間隔內人口數(shù)量的變化;3、不考慮生存空間等自然資

8、源的制約,不考慮意外災難等因素對人口變化的影響;4、生育率僅與年齡段有關，存活率也僅與年齡段有關； 問題二：由在城市都只能生一胎得，假設在2021年前城市夫妻雙方都是獨生子女只能生一胎，從2021年開始政策開放，之后允許生兩胎。由題目知，特別是富裕地區(qū)的人不愿生第二胎，據(jù)國家統(tǒng)計局的城市收入等級表數(shù)據(jù)可得，20%以上屬于高收入人群，故假設20%的城市夫婦不生育第二胎。在農(nóng)村中，由于不同地區(qū)的政策不同，故假設如果農(nóng)村夫婦第一胎為女孩，那么5年后生育第二胎。假設用多胞胎的數(shù)量來抵消那些不結婚的成年男女。據(jù)農(nóng)村城市人口比重的數(shù)據(jù)可得，故假設人口遷移根本已經(jīng)趨于穩(wěn)定1:1。據(jù)人口性別比重的數(shù)據(jù)可得，故

9、假設男女根本已經(jīng)趨于穩(wěn)定1:1。符號說明問題一：模型一： 出生率的千分比 死亡率的千分比 x=1時，時間為1990年，以此類推 k=1時，時間為2003年，以此類推 某年的總人口數(shù)模型二 存活的女性人數(shù) 年份數(shù)2021年時，=1 第個年齡組次觀察的女性總人數(shù) 年份數(shù)時女性人口的出生率 年份數(shù)時的人口數(shù)量 年份數(shù)時女性人口的死亡率問題二： 年份數(shù)2021年時，=1 某人不是獨生子女的性狀 某人為獨生子女的性狀 某夫妻兩者都為獨生子女的一種組合 某夫妻其中一個為獨生子女的一種組合 某夫妻兩者都不是獨生子女的一種組合 子代的組合情況 年份數(shù)時人口的出生率 年份數(shù)時的人口數(shù)量 年份數(shù)時人口的死亡率還有

10、一些具體的參數(shù)變量在各模型中進行具體說明模型建立在網(wǎng)上搜得一批有關中國歷年的出生率，死亡率的數(shù)據(jù)和其他信息見附錄。：回歸模型 1980-2021年的出生率、死亡率和自然增長率，其中需要注意的是數(shù)據(jù)是千分比。表格中的數(shù)據(jù)看似很相近，所以就需要作圖來分析這些數(shù)據(jù)之間的關系。 圖一圖一中表示出了出生率、死亡率和自然增長率在近三十年的變化趨勢。從圖中可以看出，對于出生率和自然增長率在1980年到1990年這十年內是不穩(wěn)定的，有較為明顯的起伏，而在1990年到2021年呈逐年下降趨勢，且下降得較平穩(wěn)；對于死亡率，其在近三十年內一直處于平穩(wěn)緩慢增長趨勢，且變化在這張圖上并不是很明顯。圖二圖三 運用exce

11、l線性回歸模型來求解問題，可以從中看出未來十年出生率和死亡率的大致趨勢，以此來預測未來人口數(shù)，但是用這個方法求出的函數(shù)誤差較大，不能精細地預測未來十年的人口數(shù)。出生率：下面是運用軟件eviews來制圖：圖四 出生率上圖是通過eviews得到的關于出生率的線性圖。由此圖可以看到，在1980年到1989年，出生率并不穩(wěn)定，起伏較大；而1990年到2021年出生率較前十年平穩(wěn)，呈穩(wěn)定下降趨勢如圖三。 由于出生率在1990年后趨于平穩(wěn)，為保證數(shù)據(jù)的有效性，選取與現(xiàn)在相近且較穩(wěn)定的數(shù)據(jù)，所以選取1990-2021年的數(shù)據(jù)。在這個數(shù)據(jù)上擬合得到一個函數(shù)： (1) 通過函數(shù)1，可以預測2得到011年到202

12、2的出生率：年份x=1時，時間為1990年，以此類推出生率千分比2021x=232021x=242021x=252021x=262021x=272021x=282021x=292021x=302021(x=31)2021(x=32)2022(x=33)表一由上可知，出生率在逐年下降，而且下降的趨勢不是很快，相鄰的兩個年份之間出生率并沒有很大的差異。死亡率：下面是運用軟件eviews來制圖圖五 死亡率上圖表示的是關于死亡率的線性圖。從上圖可以看出，1980年到1990年死亡率呈現(xiàn)復雜波動的曲線；而2003年到2021年，死亡率的起伏較小，同樣呈現(xiàn)對數(shù)的關系。 圖六由圖二可以看出死亡率的變化一直不

13、平穩(wěn)，起伏較大，為了使結果更有效，選取2003年到2021年的死亡率，如圖五。在這個數(shù)據(jù)上擬合得到以下函數(shù)： 2通過函數(shù)2可以預測2021年到2021年的死亡率：年份k=1時，時間為2003年，以此類推死亡率千分比2021k=102021k=112021k=122021k=132021k=142021k=157.352021k=162021k=172021k=182021k=192022k=20)表二由上可知，死亡率在逐年下降。但是，下降的速度不是很快，它是在緩慢下降，且兩個年份之間的死亡率相差不是很大。根據(jù)出生率和死亡率可以得到自然增長率：年份自然增長率千分比2021202120212021

14、2021202120213.852021202120212022表三從預測的出生率和死亡率可以看出雖然出生率一直在下降，死亡率一直在上升，但是出生率始終大于死亡率，那么自然增長率那么是在逐年下降的，所以人口那么會一直在增加。在自然增長率的情況下，就可以通過查找資料得到近三十年來的總人口變化數(shù)，然后通過計算得到未來十年的人口數(shù)。年份總人口數(shù)萬人20211353572021135965202113655520211371302021137691202113823820211387702021139289202113979620211402912022140774 表四 所以當?shù)?022年時，全國總

15、人口數(shù)是140774萬人。：Leslie 預測模型對中國人口開展的Leslie 預測模型分析由于中國男女性比重接近于1:1，先將女性年齡結構等間隔劃分成m 個年齡段，每隔S /m年一次，不考慮同一時間間隔內女性人口數(shù)量的變化趨勢，其中據(jù)調查的數(shù)據(jù)可得，不愿結婚和不愿生子的人數(shù)占10%，再利用Leslie 預測模型，從女性人口出生率和死亡率的變化，后利用軟件matlab編程實現(xiàn)可以得知未來十年的總人口數(shù)。Leslie矩陣預測模型的建立：為了預測和控制人口的開展狀況，本模型主要關注和可以用作控制手段的就是嬰兒出生率。下面對做進一步分解：設女性性別函數(shù)為k(r,t)即時刻t年齡在r,r+dr的女性人

16、數(shù)為k(r,t)p(r,t)dr,將這些女性在單位時間內平均每人的生育數(shù)記作b(r,t)設育齡區(qū)間為，那么 i再將br,t定義為 ii其中hr,t滿足 iii于是得到 iiii由上式可看出，t的直接含義是時刻t單位時間內平均每個育齡女性的聲譽數(shù)，假使所有女性在她育齡期所及的時刻均保持這個生育數(shù)，那么t也表示平均每個女性一生的總和生育數(shù)，所以t稱為總和生育率或生育胎次。由iiiii兩式及b(r,t)的含義可看出h(r,t)是年齡為r的生育加權因子，稱生育模式，在穩(wěn)定環(huán)境下可以近似認為它與t無關，即h(r,t)=h(r)。h(r)反映了不同年齡生育率的上下不同。由人口統(tǒng)計資料可以知道當前實際h(r

17、,t)。作為理論分析時，運用概率論的方法，將hr借助卡方分布: (i總)根據(jù)以上分析，可得到方程： 3 4寫成矩陣形式為 5其中， 有， 6假設n0和矩陣L 已經(jīng)由統(tǒng)計資料給出，那么 7先討論女性人口年齡結構的長遠變化趨勢，從而給出如下條件：12。易見，對于人口模型，這兩個條件是很容易滿足的。在條件 1、2下，下面的結果是成立的：定理1L 矩陣有唯一的單重的正的特征根 = 0，且對應的一個特征向量為定理2假設是矩陣L的任意一個特征根，那么必有。定理3假設L第一行中至少有兩個順次的，那么1假設1是矩陣L 的任意一個特征根，那么必有。2其中c 是與n0有關的常數(shù)。定理1 至定理3 的證明這里省去。

18、由定理3 的結論知道，當t 充分大時，有： 8定理4 記那么是L的非零特征根的充要條件為： 9所以當時間充分大時，女性人口的年齡結構向量趨于穩(wěn)定狀態(tài)，即年齡結構趨于穩(wěn)定形態(tài)，而各個年齡組的人口數(shù)近似地按 1 的比例增長。由5式可得到如下結論：1 當 1 時，人口數(shù)最終是遞增的；2) 當 1 時，人口遞增；當R1 時，人口遞減。模型求解： 本文用15年對女性人口進行分組。S=90，那么i=0，15，30，90，編號為1-8的年齡類所對應的年齡區(qū)分別0，10， 15，30， 75，90。2和3組有生育能力。 5其中：通過matlab編程實現(xiàn)求解得到人口的預測單位：萬人年份總人口數(shù)N萬人)年份總人口

19、數(shù)N萬人)2021202120212021202120212021202120212021所以當?shù)?021年時，全國總人口數(shù)是143084萬人。5.2問題二：政策改動后的預測模型人口的預測就是根據(jù)一個國家、一個地區(qū)人口的現(xiàn)狀，考慮到社會政治經(jīng)濟條件對人口再生產(chǎn)和轉化的影響，分析其開展規(guī)律，運用科學的方法預測未來某個時期人口的開展狀況。人口預測首先是針對人口數(shù)目，其次還可預測人口的出生率、死亡率、增長率以及人口性別和年齡構成。由于我國人口出現(xiàn)的新特點，人口老齡化越來越嚴重，有人提出，方案生育政策可以逐步放開，對于雙獨夫妻雙方都是獨生子女的可以允許生兩胎允許生不代表一定會生，對于夫妻雙方不是雙獨的

20、，還是按照原來的政策。由此進行下面的分析和模型的求解。 由于現(xiàn)在我國的方案生育政策是，在農(nóng)村如果第一胎是女孩，可以生第二胎由先前假設，那么5年后生育第二胎；然而在城市，那么對于雙獨夫妻雙方都是獨生子女的可以允許生兩胎由先前假設，那么20%的城市夫婦不生育第二胎，因此本文要將夫妻雙方是否為獨生子女看成性狀來分析，表示為非獨生，表示為獨生，這樣進行隨機性的組合，得到2021年的子一代：，由此該問題遵循孟德爾第一定律，從而建立中國人口開展的生物遺傳學預測模型。又因，最近幾年的城市人口和農(nóng)村人口的比重趨于1:1的形式，所以在未進行政策改動前，兩地的人口出生率近似為1:1。其中死亡率的未來幾年數(shù)據(jù)由問題

21、一的預測可得。綜上分析，進而對2021至2022年人口數(shù)量的進行預測。對于農(nóng)村： 11對于城市： 首先 通過比例可知 各占總數(shù)的比例為: 1. 雜交的概率為 ，子代只有一種可能是 ，所以為1/162. 雜交的概率為 ，子代只有一種可能是 ， 所以為1/163). 雜交的概率為 ，子代只有一種可能是 ，所以為1/164. 雜交的概率為 ，子代基因型為比例為1：2：1 而此比例是建立在雜交概率1/4的根底上 所以 占子代總量的比 例為1/16:1/8:1/165. 雜交的概率為 ，子代基因型為 比例為1：1 而此比例是建立在雜交概率1/8的根底上 所以 占子代總量的比例為1/16:1/166. 雜

22、交的概率為 ，子代基因型為 比例為1：1 而比例是建立在雜交概率1/8的根底上 所以占子代總量的比例為1/16:1/167. 雜交的概率為 ，子代基因型為 比例為1：1 而此比例是建立在雜交概率1/8的根底上 所以占子代總量的比例為1/16:1/168. 雜交的概率為 ，子代基因型為比例為1：1 而此比例是建立在雜交概率1/8的根底上 所以 占子代總量的比例為1/16:1/169. 雜交的概率為 ，子代只有一種可能是 ，所以為1/16綜上分析：2021年的子二代也為： 。由上歸納可得:子t代的組合比重也為：。故： 12由11、12可得： 13 即： 14所以最終得到人口數(shù)量的預測函數(shù)： 15結

23、合公式1415，再代入問題一中死亡率的數(shù)據(jù)得到：年份b千分比d千分比自然增長率20212021202120212021202120212021202120212022表五所以在方案生育政策改動的條件下，我國未來十年的人口數(shù)量為：年份自然增長率人口數(shù)量萬人20212021202120212021202120212021202120212022表六所以當?shù)?022年時，全國總人口數(shù)是萬人。5.3問題三： 方案生育主要內容及目的是：提倡晚婚、晚育，少生、優(yōu)生，從而有方案地控制人口。方案生育這一根本國策自制訂以來，對中國的人口問題和開展問題的積極作用不可無視，但方案生育一味的只控制人口數(shù)量，忽略世代更

24、替，造成國家嚴重的老齡化，未富先老的格局。通過問題一和問題二的求解與分析，可以明顯地看出，雖然中國的總人口數(shù)在不斷增加，但是出生率在下降，死亡率在上升，從而自然增長率在下降見附錄三，當?shù)竭_某一時間時，出生率與死亡率持平，那么自然增長率為零，繼而變成負數(shù)，到時候中國的總人數(shù)將會呈現(xiàn)負增長。從目前的人口年齡比例來看，中國的老齡化問題日益嚴重，所以一味控制人口是不可行了。通過問題一的求解，大致可以預測到2050年后，中國的出生率和死亡率將會呈現(xiàn)持平狀態(tài)，那么人口數(shù)將會穩(wěn)定繼而開始下降，在人口未發(fā)生的變化下，中國的老齡化日趨嚴重，所以據(jù)此有以下建議：在2050年之前，中國仍然實行方案生育政策，在城市都

25、只能生一胎，而在農(nóng)村如果第一胎是女孩，可以生第二胎。因為隨著時代的更替和進步，人們的觀念開始改變，不再像六七十年代一樣，一家會有兩三個甚至是三四個小孩，現(xiàn)在也有人不結婚、不生育或者不想生第二臺。所以在原方案生育政策的政策下很可能會在2050年之前就已經(jīng)到達出生率與死亡率持平的狀態(tài)。那么在此之后可以放寬或者放棄實行方案生育政策。在問題二中方案生育的政策已將改變，對于雙獨的夫妻可以生兩胎，不管在農(nóng)村還是在城市。那么，按照這種情況來看，出生率會比原來的方案剩余政策大，那么出生率與死亡率持平的時間將會延后。但是，時代的不同，人們的觀念也較以前大不同，那么還是有可能在2050年左右自然增長率到達零。所以

26、根據(jù)上述n內容有以下對策： 在2050年之前，中國仍然實行原來的方案生育政策，在城市都只能生一胎，而在農(nóng)村如果第一胎是女孩，可以生第二胎。在2050年之后，有三種情況：一是雙獨或者從事特殊工作或者有特殊情況的可以生兩胎，不是雙獨按原來的方案生育政策；二是每戶家庭最多可以生兩胎；三是放棄方案生育政策，讓其自然開展。模型評價與改良6.1 回歸模型的評價：優(yōu)點：1. 此方程建立在控制論根底上，對實際情況有較為周全的考慮，而且對于人口的實際控制有著很強的理論指導價值。2. 精度較高，誤差根本都在5以內，適合短期預測。缺點：回歸方法擬合參數(shù)不能找出數(shù)據(jù)本質上的關聯(lián)，且此方法過于依賴數(shù)據(jù)，不能進行長期預測

27、。6.2 Leslie 預測模型的評價與改良：Leslie 模型有較高的精度，對中長期預測較好, 能很好的處理人口轉折時期的變化，適合中長期預測。改良的Leslie 模型能在leslie的根底上，進一步提高預測精度。但對于長期預測，所有模型都很難克服數(shù)據(jù)的缺失帶來的誤差，以及長期的開展還與諸多非自然因素有關，這樣就很難其的預測準確度。于是我們提出與線性回歸結合的Leslie 模型。首先運用Leslie 模型的到人口的開展趨勢，由此按曲線的變化將其分段，然后再用線性回歸擬合得到更精確的估算。參考文獻2021年8月9號3 姜啟源謝金星葉俊，數(shù)學模型，北京：高等教育出版社，2003。4曾大洪，考慮年

28、齡結構的女性模型，韶關大學學報，第19 卷第3 期：72-79，1998。5Lislie 人口模型， HYPERLINK :/ /jpkc/declare/2006smsy/ ，2007-96 張金漫 段勝安 馮玉峰 ?中國人口增長預測模型?論文 2007年9月7 王彥 馬伯強，?20世紀80年代以來我國人口開展的數(shù)學模型和展望?，北京大學學報(自然科學版) ,第39 卷 增刊；2930頁，2003。8 中華人民共和國國家統(tǒng)計局，?中國統(tǒng)計年鑒2021?，北京：中國統(tǒng)計出版社，2021。八、附錄8.1中國歷年人口出生率、死亡率數(shù)據(jù)：年 份出生率死亡率自然增長率198019

29、8119821983198419851986198719881989199019911992199319941995199619971998199920002001200220032004200520062007202120212021 年份總人口(年末)按年齡組分(萬人)0-14歲15-64歲65歲及以上人口數(shù)比重(%)人口數(shù)比重(%)人口數(shù)比重(%)19821016543414662517499119871093003134771985596819901143333165976306636819951211213221881393751019961223893231182245783319971236263209383448808519981247613206484