數(shù)學(xué)歸納法(池紅旗)

1、數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例是人民教育數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例是人民教育出版社全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書數(shù)出版社全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書數(shù)學(xué)第三冊(cè)學(xué)第三冊(cè)( (選修選修II)II)第二章第一節(jié)的內(nèi)第二章第一節(jié)的內(nèi)容，根據(jù)教學(xué)大綱，本節(jié)共容，根據(jù)教學(xué)大綱，本節(jié)共3 3課時(shí)，這課時(shí)，這是第是第1 1課時(shí)課時(shí), , 主要內(nèi)容是數(shù)學(xué)歸納法理主要內(nèi)容是數(shù)學(xué)歸納法理解與簡(jiǎn)單應(yīng)用解與簡(jiǎn)單應(yīng)用 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)是數(shù)列知識(shí)的深入與數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)是數(shù)列知識(shí)的深入與擴(kuò)展擴(kuò)展, ,也是一種重要的數(shù)學(xué)方法也是一種重要的數(shù)學(xué)方法, ,可以可以使學(xué)生學(xué)會(huì)一種研究數(shù)學(xué)的科學(xué)方使學(xué)生學(xué)會(huì)一種研究數(shù)學(xué)的科學(xué)方法法 重點(diǎn)：歸納法意義的認(rèn)識(shí)和數(shù)

2、學(xué)歸納法重點(diǎn)：歸納法意義的認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析產(chǎn)生過程的分析 難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解 學(xué)生對(duì)等差（比）數(shù)列、數(shù)列求和、學(xué)生對(duì)等差（比）數(shù)列、數(shù)列求和、二項(xiàng)式定理等知識(shí)有較全面的把握和二項(xiàng)式定理等知識(shí)有較全面的把握和較深入的理解，同時(shí)也具備一定的從較深入的理解，同時(shí)也具備一定的從特殊到一般的歸納能力，但對(duì)歸納的特殊到一般的歸納能力，但對(duì)歸納的概念是模糊的概念是模糊的 學(xué)生經(jīng)過中學(xué)五年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，已具學(xué)生經(jīng)過中學(xué)五年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，已具有一定的推理能力，數(shù)學(xué)思維也逐步有一定的推理能力，數(shù)學(xué)思維也逐步向理性層次躍進(jìn)，并逐步形成了辨證向理性層次躍進(jìn)，并逐

3、步形成了辨證思維體系但學(xué)生自主探究問題的能思維體系但學(xué)生自主探究問題的能力普遍還不夠理想力普遍還不夠理想我所在的學(xué)校是省屬重點(diǎn)中學(xué)，所教我所在的學(xué)校是省屬重點(diǎn)中學(xué)，所教的班級(jí)是平行班，學(xué)生基礎(chǔ)還不錯(cuò)的班級(jí)是平行班，學(xué)生基礎(chǔ)還不錯(cuò). . 了解歸納法了解歸納法, , 理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實(shí)理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實(shí)質(zhì)掌握兩個(gè)步驟；會(huì)證明簡(jiǎn)單的與自然質(zhì)掌握兩個(gè)步驟；會(huì)證明簡(jiǎn)單的與自然數(shù)有關(guān)的命題培養(yǎng)學(xué)生觀察數(shù)有關(guān)的命題培養(yǎng)學(xué)生觀察, , 分析分析, , 論論證的能力證的能力, , 發(fā)展抽象思維能力和創(chuàng)新能發(fā)展抽象思維能力和創(chuàng)新能力培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，小心求證的辨證力培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，小心求證的辨證思維素質(zhì)

4、以及發(fā)現(xiàn)問題，提出問題的意識(shí)思維素質(zhì)以及發(fā)現(xiàn)問題，提出問題的意識(shí)和數(shù)學(xué)交流的能力和數(shù)學(xué)交流的能力 努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境，使學(xué)生處于積極努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境，使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興思考、大膽質(zhì)疑氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和課堂效率讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的構(gòu)建過趣和課堂效率讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的構(gòu)建過程程, , 體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想 讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和辯證唯物讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和辯證唯物主義觀點(diǎn)；體會(huì)研究數(shù)學(xué)問題的主義觀點(diǎn)；體會(huì)研究數(shù)學(xué)問題的一種方法一種方法, , 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué)的意識(shí)和使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué)的意識(shí)和科學(xué)精神

5、科學(xué)精神類比啟發(fā)探究式教學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)類比啟發(fā)探究式教學(xué)方法進(jìn)行教學(xué) 在教學(xué)過程中，我不僅要傳授學(xué)生課在教學(xué)過程中，我不僅要傳授學(xué)生課本知識(shí)，還要培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)觀察、主本知識(shí)，還要培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)觀察、主動(dòng)思考、親自動(dòng)手、自我發(fā)現(xiàn)等學(xué)習(xí)動(dòng)思考、親自動(dòng)手、自我發(fā)現(xiàn)等學(xué)習(xí)能力，增強(qiáng)學(xué)生的綜合素質(zhì)，從而達(dá)能力，增強(qiáng)學(xué)生的綜合素質(zhì)，從而達(dá)到較為理想的教學(xué)終極目標(biāo)到較為理想的教學(xué)終極目標(biāo)借助多媒體呈現(xiàn)多米諾骨牌等生活素借助多媒體呈現(xiàn)多米諾骨牌等生活素材材, ,真正輔助課堂教學(xué)真正輔助課堂教學(xué). .創(chuàng)設(shè)問題情境，啟動(dòng)學(xué)生思維創(chuàng)設(shè)問題情境，啟動(dòng)學(xué)生思維; ;回顧數(shù)學(xué)舊知，追溯歸納意識(shí)回顧數(shù)學(xué)舊知，追溯歸納意識(shí);

6、;借助數(shù)學(xué)史料借助數(shù)學(xué)史料, , 促使學(xué)生思辨促使學(xué)生思辨. .搜索生活實(shí)例，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣搜索生活實(shí)例，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣; ;類比數(shù)學(xué)問題類比數(shù)學(xué)問題, , 激起思維浪花激起思維浪花; ;引導(dǎo)學(xué)生概括引導(dǎo)學(xué)生概括, , 形成科學(xué)方法形成科學(xué)方法. .蘊(yùn)含猜想證明蘊(yùn)含猜想證明, , 培養(yǎng)研究意識(shí)培養(yǎng)研究意識(shí); ;基礎(chǔ)反饋練習(xí)基礎(chǔ)反饋練習(xí), , 鞏固方法應(yīng)用鞏固方法應(yīng)用; ;師生共同小結(jié)師生共同小結(jié), , 完成概括提升完成概括提升; ;布置課后作業(yè)布置課后作業(yè), , 鞏固延伸鋪墊鞏固延伸鋪墊. .(1) 不完全歸納法引例 明朝劉元卿編的明朝劉元卿編的應(yīng)諧錄應(yīng)諧錄中有一個(gè)笑話：財(cái)主的兒子學(xué)寫中有一個(gè)笑話

7、：財(cái)主的兒子學(xué)寫字這則笑話中財(cái)主的兒子得出字這則笑話中財(cái)主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫四就是四橫、五就是五橫”的結(jié)論，用的就是的結(jié)論，用的就是“歸納法歸納法”，不過，這個(gè)歸納推出的結(jié)論顯然，不過，這個(gè)歸納推出的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的是錯(cuò)誤的(2) 完全歸納法對(duì)比引例 有一位師傅想考考他的兩個(gè)徒弟，看誰(shuí)更聰明一些他給每有一位師傅想考考他的兩個(gè)徒弟，看誰(shuí)更聰明一些他給每人筐花生去剝皮，看看每一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳?，看誰(shuí)人筐花生去剝皮，看看每一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳?，看誰(shuí)先給出答案大徒弟費(fèi)了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀先給出答案大徒弟費(fèi)了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀了幾個(gè)飽滿的

8、，幾個(gè)干癟的，幾個(gè)熟好的，幾個(gè)沒熟的，幾個(gè)三了幾個(gè)飽滿的，幾個(gè)干癟的，幾個(gè)熟好的，幾個(gè)沒熟的，幾個(gè)三仁的，幾個(gè)一仁、兩仁的，總共不過一把花生顯然，二徒弟比仁的，幾個(gè)一仁、兩仁的，總共不過一把花生顯然，二徒弟比大徒弟聰明大徒弟聰明(1) 不完全歸納法實(shí)例給出等差數(shù)列前四項(xiàng)給出等差數(shù)列前四項(xiàng), , 寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式(2) 完全歸納法實(shí)例證明圓周角定理分圓心在圓周角內(nèi)證明圓周角定理分圓心在圓周角內(nèi)部、外部及一邊上三種情況部、外部及一邊上三種情況問題問題1 1 已知已知 = (nN= (nN* *), ),(1)(1)分別求分別求 , , , ., , , .(2)(2)由此你

9、能得到一個(gè)什么結(jié)論由此你能得到一個(gè)什么結(jié)論? ? 這個(gè)結(jié)論正確嗎這個(gè)結(jié)論正確嗎? ?na2255)( nn1a2a3a4a 問題問題2 2 費(fèi)馬（費(fèi)馬（Fermat）是）是1717世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他曾認(rèn)為，世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他曾認(rèn)為，當(dāng)當(dāng)n nN N時(shí)，時(shí)， 一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對(duì)一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對(duì)n n0 0，1 1，2 2，3 3，4 4作作了驗(yàn)證后得到的后來，了驗(yàn)證后得到的后來，1818世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了卻證明了 4 294 967 2974 294 967 2976 700 4176 700 417641641，從而否

10、定了費(fèi)，從而否定了費(fèi)馬的推測(cè)沒想到當(dāng)馬的推測(cè)沒想到當(dāng)n n5 5這一結(jié)論便不成立這一結(jié)論便不成立 122n1252 問題問題3 ,3 ,當(dāng)當(dāng)nN時(shí)，是否都為質(zhì)數(shù)？時(shí)，是否都為質(zhì)數(shù)？ 驗(yàn)證：驗(yàn)證： f（0）41，f（1）43，f（2）47，f（3）53，f（4）61，f（5）71，f（6）83，f（7）97，f（8）113，f（9）131，f（10）151， ， f（39）1 601 但是但是 f（40）1 681 ，是合數(shù)是合數(shù) 41)(2nnnf241多米諾成功的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：多米諾成功的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：(1) (1) 第一張牌被推倒；第一張牌被推倒； (2) (2) 假如某一張牌倒下假如某一張牌

11、倒下, , 則它的后一張牌必定倒下則它的后一張牌必定倒下 于是于是, , 我們可以下結(jié)論：我們可以下結(jié)論： 多米諾骨牌會(huì)全部倒下多米諾骨牌會(huì)全部倒下搜索：搜索：再舉幾則生活事例：推倒自行車再舉幾則生活事例：推倒自行車, , 早操排隊(duì)對(duì)齊等早操排隊(duì)對(duì)齊等(1)當(dāng)當(dāng)n1時(shí)等式成立；時(shí)等式成立； (2) 假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立時(shí)等式成立, 即即ak=a1+(k1)d , 則則 ak+1=ak+d=a1+(k+1)-1d, 即即 nk1時(shí)等式也時(shí)等式也 成立成立 于是于是, 我們可以下結(jié)論：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式我們可以下結(jié)論：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an=a1+(n1)d 對(duì)任何對(duì)任何nN*都成立都成立

12、類比多米諾骨牌過程類比多米諾骨牌過程, , 證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式. .證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下：證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下：(2) 假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)nk (kN*, kn0 ) 時(shí)結(jié)論正確時(shí)結(jié)論正確, 證明當(dāng)證明當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論也正確時(shí)結(jié)論也正確完成這兩個(gè)步驟后完成這兩個(gè)步驟后, 就可以斷定命題對(duì)從開就可以斷定命題對(duì)從開始的所有正整數(shù)始的所有正整數(shù)n都正確都正確這種證明方法叫做這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法(1) 證明當(dāng)證明當(dāng)n取第一個(gè)值取第一個(gè)值n = n0 時(shí)結(jié)論正確時(shí)結(jié)論正確;例題例題 在數(shù)列在數(shù)列na中, 1a1, nnnaaa11(n )

13、,*N先計(jì)算先計(jì)算2a，3a，4a的值，再推測(cè)通項(xiàng)的值，再推測(cè)通項(xiàng) 的公式的公式, ,na最后證明你的結(jié)論最后證明你的結(jié)論 （1）（第）（第63頁(yè)例頁(yè)例1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：）用數(shù)學(xué)歸納法證明： 135（2n1）n2 .（2）（第）（第64頁(yè)練習(xí)頁(yè)練習(xí)3）首項(xiàng)是）首項(xiàng)是a1 , 公比是公比是 q 的的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是 an=a1qn1.(1) 本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；(2) 歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有

14、限個(gè)元素，歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個(gè)元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于完全歸納法；完全歸納法；(3) 數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推(遞歸遞歸)思想，它的使用要點(diǎn)可概括為：兩個(gè)步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可思想，它的使用要點(diǎn)可概括為：兩個(gè)步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉；少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉；(4) 本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類比思想、本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想(1) (1) 課本第課本第6464頁(yè)練習(xí)第頁(yè)練習(xí)第1, 21, 2題；第題；第6767頁(yè)習(xí)題頁(yè)習(xí)題2.12.1第第2 2題題(2) (2) (辨析與思考辨析與思考) ) 用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明 1+2+22+23+2n = 2n1(n N*)時(shí)時(shí),