數(shù)分微積分學(xué)基本定理定積分計(jì)算

1、9.5 9.5 微積分學(xué)基本定理微積分學(xué)基本定理 定積分計(jì)算定積分計(jì)算( (續(xù)續(xù)) )一 變限的定積分與原函數(shù)的存在性.)()(babadttfdxxf且且存存在在則則有有定定積積分分上上可可積積在在若若badxxfbaf)(,因因而而有有上上可可積積在在,xaf存存在在,bax xadttf)( 定義定義 ,)()(,)(baxdttfx，baxfxa則則上上可可積積在在設(shè)設(shè)稱稱為為變變上上為為自自變變量量的的函函數(shù)數(shù)定定義義了了一一個個以以積積分分上上限限，x.或或積積分分上上限限函函數(shù)數(shù)限限的的定定積積分分，.,)()(稱稱為為變變下下限限的的定定積積分分類類似似地地baxdttfx，b

2、x .與統(tǒng)稱為變限積分 定理定理9.99.9 上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)是是與與則則上可積上可積在在若若,ba，baf 證明證明: : , , ,a bxxxa b 對上任一確定的點(diǎn) 只要按變上限積分的定義有.)()()( xaxxxxxadttfdttfdttf .,)(,batMtfbaf 可可設(shè)設(shè)上上有有界界在在因因時(shí)時(shí)有有當(dāng)當(dāng)于于是是0, x;)()(xMdttfdttfxxxxxx , 0lim.00 xxMx由由此此得得到到時(shí)時(shí)則則有有當(dāng)當(dāng).,.上上處處處處連連續(xù)續(xù)在在的的任任意意性性由由連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)即即證證得得bafxx 定理定理9.109.10 上上在在則則可可變變上上限限積

3、積分分上上連連續(xù)續(xù)在在若若,ba，baf且且處處可導(dǎo)處處可導(dǎo)，.,),()()(baxxfdttfdxdxxa 證明證明: : , 0 , a bxxxxa b 對上任一確定的 當(dāng)且時(shí) , , , .xa bfa b由 在上的任意性 故 是 在上的一個原函數(shù)()( )( )( )xxxaaxxxf t dtf t dt ( ).xxxf t dt由變上限積分的定義1( )(), 01.xxxf t dtf xxxx 由積分第一中值定理00limlim()( ).xxf xxf xx ,fx由于 在點(diǎn) 連續(xù) 故有( )( )( ).xxxf x所以在 可導(dǎo)且 如如果果)(tf連連續(xù)續(xù)，)(xa、

4、)(xb可可導(dǎo)導(dǎo)，則則dttfxFxbxa )()()()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xF 為為 )()()()(xaxafxbxbf 證證 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF(1) 該定理解決了原函數(shù)的存在性問題該定理解決了原函數(shù)的存在性問題(2) 該定理為尋找定積分的計(jì)算方法提供了理論依據(jù)該定理為尋找定積分的計(jì)算方法提供了理論依據(jù)精僻地得出精僻地得出: 上的連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù),且且, ba 是是 的一個原函數(shù)這一基本結(jié)論的一個

5、原函數(shù)這一基本結(jié)論.)(x )(xf幾點(diǎn)說明：幾點(diǎn)說明：)(xf)(xf)(xFcdttfxFxa)()(因?yàn)榈娜我鈨蓚€原函數(shù)只能相差一個為連續(xù)函數(shù)時(shí),它的任一原必滿足 常數(shù),所以當(dāng)函數(shù)(3) 該定理溝通了導(dǎo)數(shù)與定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系該定理溝通了導(dǎo)數(shù)與定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系為微分學(xué)和積分學(xué)架起了橋梁為微分學(xué)和積分學(xué)架起了橋梁,因此被稱為微積分學(xué)因此被稱為微積分學(xué)基本定理基本定理.ax )(aFc 若在此式中令 ,得到,從而有)()()(aFxFdttfxabx )()()(aFbFdttfba 再令 ,即得 2210limxxtxe dt2221020lnlim lnlimxtxxtxxe dte

6、 dtx例1 求極限解 應(yīng)用洛必達(dá)法則及定理9.10得到22222002limlim222xxxxxxttxexexe dte dtxe2222222221 2limlim12222xxxxxxex exxex e1222201ln10limlimxtxe dtxxtxxe dteee所以 例例 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：這是這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則型不定式，應(yīng)用

7、洛必達(dá)法則.證證 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 0020( )( )( )( )( )( )xxxxfxf t dtfxtf t dtFxf t dt020()()( )(),( )xxfxxtft d tFxft d t)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 內(nèi)內(nèi)為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù).證證, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在1 , 0上上為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù)., 01)

8、0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 所以所以0)( xF即原方程在即原方程在1 , 0上只有一個解上只有一個解.令令例例 求求 .,max222 dxxx解解由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 )(xf,ba)(xg,ba0)(xg,baabadxxfagdxxgxf)()()()()(xg,ba0)(xg,babbadxxfbgdxxgxf)()()()(定理9.11（積分第二中值定理） 設(shè)函數(shù)在上可積. 在上減，且則存在,使得 在上增，且則存

9、在，使得 （1）若函數(shù)（2）若函數(shù))(xf,ba)(xg,ba,bababadxxfbgdxxfagdxxgxf)()()()()()(推論 設(shè)函數(shù)在上可積,在上單調(diào)，則存在，使得 一、一、換元公式換元公式四、小結(jié)四、小結(jié)二二 換元積分法與分部積分法換元積分法與分部積分法定理定理9.12（2 2）函函數(shù)數(shù))(tx 在在, 上上是是單單值值的的且且有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)；（3 3）當(dāng)）當(dāng)t在區(qū)間在區(qū)間, 上變化時(shí)，上變化時(shí)，)(tx 的值的值在在,ba上變化，且上變化，且a )( 、b )( ， 則則 有有dtttfdxxfba )()()(. .1、換元積分法證證設(shè)設(shè))(xF是是)(xf的的一一

10、個個原原函函數(shù)數(shù)，),()()(aFbFdxxfba ( ) ( ),tFt令dtdxdxdFt )()()(txf ),()(ttf ),()()()( dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一個個原原函函數(shù)數(shù).a )( 、b )( ,)()( )()( FF ),()(aFbF )()()(aFbFdxxfba )()( .)()(dtttf 注注意意 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)，換換元元公公式式仍仍成成立立.例2 計(jì)算 dxx1021例3 計(jì)算 202cossintdtt例4 計(jì)算dxxxJ1021)1ln( 應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意（一）應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意（一）:（1）（2）（3）用用第第一一類類

11、換換元元法法即即湊湊微微分分法法解解定定積積分分時(shí)時(shí)可可以以不不換換元元，當(dāng)當(dāng)然然也也就就不不存存在在換換上上下下限限的的問問題題了了. 應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意（二）應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意（二）:（1）對分段函數(shù)和含絕對值值號的積分，計(jì)算時(shí)對分段函數(shù)和含絕對值值號的積分，計(jì)算時(shí)必須分區(qū)間進(jìn)行；必須分區(qū)間進(jìn)行；. . （2）用用換換元元法法解解題題時(shí)時(shí)，要要注注意意看看換換元元積積分分公公式式的的內(nèi)內(nèi)容容； （3）對對被被積積函函數(shù)數(shù)進(jìn)進(jìn)行行適適當(dāng)當(dāng)變變形形時(shí)時(shí)，要要注注意意符符號號問問題題。 .111112txdxx ，設(shè)，設(shè)考察考察不可以！例例 計(jì)算計(jì)算.sincos205 xdxx解解令令,c

12、osxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sin xdxdt 又解例又解例 計(jì)算計(jì)算.sincos205 xdxx 205sincos xdxx解解 205coscos xxd.61 .sincos205 xdxxxtcos 015dtt1066t .61 2601cos6x例例 計(jì)算計(jì)算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsin

13、xdx 2025sin52 x 225sin52x.54 例例 計(jì)算計(jì)算解解.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 例例 計(jì)算計(jì)算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 證證,)()()(

14、00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx , 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù)，則則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 奇函數(shù)奇函數(shù)例例 計(jì)算計(jì)算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144d

15、xx.4 單位圓的面積單位圓的面積證證（1）設(shè)）設(shè)tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2）設(shè)）設(shè)tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x

16、.42 )44(2 0)(sindxxxf 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xu、)(xv在在區(qū)區(qū)間間 ba,上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則有有 bababavduuvudv. .定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式推導(dǎo)推導(dǎo) ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv2、分部積分法、分部積分法nxdxlxe12 dxxxxxnxdxxdxxeeee121331212ln31ln31ln129131313133exee例5 計(jì)算 解 例例6 6 證明定積分公式證明定積分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnn

17、nn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù)證證 設(shè)設(shè),sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cos xv dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1( nnInIn)1()1(2 21 nnInnI積分積分 關(guān)于下標(biāo)的遞推公式關(guān)于下標(biāo)的遞推公式nI4223 nnInnI,直到下標(biāo)減到直到下標(biāo)減到0或或1為止為止,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ),

18、 2 , 1( m,2200 dxI, 1sin201 xdxI,221436522322122 mmmmIm.325476122212212 mmmmIm于是于是例例 計(jì)算計(jì)算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 則則例例 計(jì)算計(jì)算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2

19、140 40secln218 x.42ln8 例例 計(jì)算計(jì)算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 例例 設(shè)設(shè) 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因?yàn)橐驗(yàn)閠tsin沒有初等形式的原函數(shù)，沒有初等形式的原函數(shù)，無法直接求出無法直接求出)(xf，所以采用分部積分法，所以采用分部積分法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)

20、(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf例例 206.sin xdx解解 206.2246135sin xdx例例 計(jì)算計(jì)算解解 .110,NnmdxxxInmnm ， 11110, mxdxImnnm dxxxmnmxxnmmn11101011111 1, 1,1 nmnmImnI 0,21121nmInmmmnn dx

21、xnmmnnm 10! .!1! nmmn例例 證明證明證明證明.cos21cossin2020 xdxxdxxnnnn dxxxdxxnnnn 20202sin21cossin duunn 01sin21xu2 duunn 201sin221 .cos21cos212020dxxduunnnn 三 泰勒公式的積分型余項(xiàng) , a b( ), ( )u x v x1n1 推廣的分部積分公式上，有階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則有若在(1)( )( )( )( )( )bbnnaau x vx dxu x dvx( )(1)( ) ( )( )( )( )( 1)( ) ( )bnnnnau x vxu x vx

22、ux v x 1(1)( 1)( ) ( )bnnaux v x dx 1,2,n )(xf0 x)(0 xU1n)(0 xUx設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，令，則 0(1)()( )xnnxxtft dt0( )1(1)()( )()( )! ( )nnnnxxxtftn xtftn f txxdttf0)(02 泰勒公式的積分型余項(xiàng))()( !)(!000 xxxfxfnxfn( )0()() !nnfxxxn !( )nn R x)(xRn)(xfn其中即為的泰勒公式的階余項(xiàng) )(xRnxxnndttxtfn0)(!1)1(由此可得即為泰勒公式的積分型余項(xiàng) )()1(tfnntx)(

23、 ,0 xx,0 xx)(00 xxx10由于連續(xù)，在（或）上保持同號，故若應(yīng)用推廣的，使得第一積分中值定理于積分型余項(xiàng)，可知，)(xRn10)1()1()()!1(1)()(!10nnxxnnxxfndttxfn 即為拉格朗日型余項(xiàng) )(xRn)()(!10)1(xxxfnnn)(00 xxx10若直接應(yīng)用積分第一中值定理于積分型余項(xiàng)， 其中 可得而0000() ()() ()nnxxxxxxxxx 1(1) ()nnxx故 )(xRn1000)1()()1)(!1nnnxxxxxfn10， 稱為泰勒公式的柯西型余項(xiàng).3.微積分基本公式微積分基本公式1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) xadttfx)()(2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù))()(xfx )()()(aFbFdxxfba 四、小結(jié)四、小結(jié)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)