大變形問(wèn)題的有限元

1、2022-7-51第三章第三章 大變形問(wèn)題的有限元分析大變形問(wèn)題的有限元分析目的：目的：以大變形問(wèn)題為例，介紹幾何非線性問(wèn)題的有限元以大變形問(wèn)題為例，介紹幾何非線性問(wèn)題的有限元方法。方法。特點(diǎn)：特點(diǎn)：與線性有限元方法比較，幾何關(guān)系不再是線性的。與線性有限元方法比較，幾何關(guān)系不再是線性的。內(nèi)容：內(nèi)容：l 引言引言l 大變形問(wèn)題的應(yīng)變描述大變形問(wèn)題的應(yīng)變描述l 大變形分析中的應(yīng)力描述及本構(gòu)關(guān)系大變形分析中的應(yīng)力描述及本構(gòu)關(guān)系l 大變形問(wèn)題有限元方程的建立大變形問(wèn)題有限元方程的建立l 大變形分析中的載荷處理大變形分析中的載荷處理l 小結(jié)小結(jié)2022-7-52引言引言幾何非線性問(wèn)題：幾何非線性問(wèn)題：位

2、移與應(yīng)變成非線性（微分意義上）關(guān)系。位移與應(yīng)變成非線性（微分意義上）關(guān)系。物理現(xiàn)象：物理現(xiàn)象：將位移（轉(zhuǎn)動(dòng)）和將位移（轉(zhuǎn)動(dòng)）和/或應(yīng)變較大的問(wèn)題統(tǒng)稱為或應(yīng)變較大的問(wèn)題統(tǒng)稱為大變形大變形問(wèn)題問(wèn)題，有時(shí)稱為，有時(shí)稱為有限變形問(wèn)題有限變形問(wèn)題。這類問(wèn)題又分為。這類問(wèn)題又分為大位移大位移（轉(zhuǎn)動(dòng)）小應(yīng)變（轉(zhuǎn)動(dòng)）小應(yīng)變問(wèn)題及問(wèn)題及大位移大應(yīng)變大位移大應(yīng)變問(wèn)題兩大類。問(wèn)題兩大類。 研究意義：研究意義：和材料非線性問(wèn)題一樣重要。例如，和材料非線性問(wèn)題一樣重要。例如，平板的彎曲問(wèn)題平板的彎曲問(wèn)題，大撓度理論分析結(jié)果更符合實(shí)際情況；大撓度理論分析結(jié)果更符合實(shí)際情況；薄殼的屈曲薄殼的屈曲，非線性理，非線性理論的預(yù)測(cè)

3、值更好。又例如，對(duì)于論的預(yù)測(cè)值更好。又例如，對(duì)于橡皮型材料橡皮型材料，大變形還必須考，大變形還必須考慮慮本構(gòu)關(guān)系的變化本構(gòu)關(guān)系的變化，這與純粹的材料非線性又有區(qū)別。，這與純粹的材料非線性又有區(qū)別。幾何線性問(wèn)題：幾何線性問(wèn)題：位移與應(yīng)變成線性位移與應(yīng)變成線性（微分）關(guān)系；（微分）關(guān)系；研究現(xiàn)狀：研究現(xiàn)狀：大變形問(wèn)題有限元分析的理論和方法存在不同學(xué)派間的大變形問(wèn)題有限元分析的理論和方法存在不同學(xué)派間的爭(zhēng)鳴，尚未得到一個(gè)權(quán)威性的結(jié)論。隨之并發(fā)的其它問(wèn)題，如爭(zhēng)鳴，尚未得到一個(gè)權(quán)威性的結(jié)論。隨之并發(fā)的其它問(wèn)題，如解的穩(wěn)定性、收斂性及收斂率等，都有待進(jìn)一步深入研究。解的穩(wěn)定性、收斂性及收斂率等，都有待進(jìn)一

4、步深入研究。2022-7-53大變形問(wèn)題的應(yīng)變描述大變形問(wèn)題的應(yīng)變描述(1/4)(1/4)問(wèn)題的特點(diǎn)：?jiǎn)栴}的特點(diǎn)：由于變形較大，使得不同時(shí)刻物體具有差別不能由于變形較大，使得不同時(shí)刻物體具有差別不能忽略的不同構(gòu)型，這是大變形問(wèn)題分析的基本出發(fā)點(diǎn)。忽略的不同構(gòu)型，這是大變形問(wèn)題分析的基本出發(fā)點(diǎn)。初始構(gòu)型（初始構(gòu)型（0時(shí)刻時(shí)刻）(a)(b)(c)IXixiy現(xiàn)時(shí)構(gòu)型（現(xiàn)時(shí)構(gòu)型（t 時(shí)刻時(shí)刻）當(dāng)前構(gòu)型（當(dāng)前構(gòu)型（ 時(shí)刻時(shí)刻）tt 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論對(duì)物體經(jīng)歷大變形后的變形有嚴(yán)格的定義對(duì)物體經(jīng)歷大變形后的變形有嚴(yán)格的定義和推導(dǎo)。這里不準(zhǔn)備過(guò)多引入復(fù)雜的概念和符號(hào)，而是與小變形和推導(dǎo)。這里

5、不準(zhǔn)備過(guò)多引入復(fù)雜的概念和符號(hào)，而是與小變形理論對(duì)照，介紹進(jìn)行大變形分析時(shí)必需的幾個(gè)概念和術(shù)語(yǔ)。理論對(duì)照，介紹進(jìn)行大變形分析時(shí)必需的幾個(gè)概念和術(shù)語(yǔ)。大變形問(wèn)題的分析方法：增量法。2022-7-54大變形問(wèn)題的應(yīng)變描述大變形問(wèn)題的應(yīng)變描述(2/4)(2/4)描述的出發(fā)點(diǎn)：描述的出發(fā)點(diǎn)：物體的變形描述建立在確定的參考構(gòu)型上。物體的變形描述建立在確定的參考構(gòu)型上。大變形分析由于采用增量方法，需經(jīng)常用到它們的增量形式大變形分析由于采用增量方法，需經(jīng)常用到它們的增量形式。Green應(yīng)變張量：應(yīng)變張量：以初始構(gòu)型為參考構(gòu)型所定義的應(yīng)變，數(shù)學(xué)以初始構(gòu)型為參考構(gòu)型所定義的應(yīng)變，數(shù)學(xué)表示為表示為,12KLK L

6、L KM KM Luuuu現(xiàn)時(shí)（現(xiàn)時(shí)（Updated）Green應(yīng)變張量：應(yīng)變張量：以現(xiàn)時(shí)構(gòu)型為參考構(gòu)以現(xiàn)時(shí)構(gòu)型為參考構(gòu)型所定義的應(yīng)變，數(shù)學(xué)表示為型所定義的應(yīng)變，數(shù)學(xué)表示為,12klk ll km km luuuu注意：我們用下標(biāo)的大小寫表示坐標(biāo)的大小寫，對(duì)應(yīng)于不同的構(gòu)型。注意：我們用下標(biāo)的大小寫表示坐標(biāo)的大小寫，對(duì)應(yīng)于不同的構(gòu)型。2022-7-55大變形問(wèn)題的應(yīng)變描述大變形問(wèn)題的應(yīng)變描述(3/4)(3/4)應(yīng)變?cè)隽浚簯?yīng)變?cè)隽浚篏reen應(yīng)變?cè)隽浚簯?yīng)變?cè)隽浚含F(xiàn)時(shí)（現(xiàn)時(shí)（Updated）Green應(yīng)變?cè)隽浚簯?yīng)變?cè)隽浚?1122IJKJK JK IKIK IK JK IK JIJIJuuuuuue

7、 線性部分線性部分非線性部分非線性部分*1122jikkijjiijijijuuuuxxxxe 線性部分線性部分非線性部分非線性部分*mnIJmnIJxxXX二者之間滿足張二者之間滿足張量變換關(guān)系！量變換關(guān)系！2022-7-56大變形問(wèn)題的應(yīng)變描述大變形問(wèn)題的應(yīng)變描述(4/4)(4/4)應(yīng)變?cè)隽浚海ɡm(xù)）應(yīng)變?cè)隽浚海ɡm(xù)）對(duì)于大變形小應(yīng)變情形對(duì)于大變形小應(yīng)變情形 Green應(yīng)變?cè)隽客嘶桑簯?yīng)變?cè)隽客嘶桑含F(xiàn)時(shí)（現(xiàn)時(shí)（Updated）Green應(yīng)變?cè)隽客嘶桑簯?yīng)變?cè)隽客嘶桑?1212IJKJK JK IKIK IKKKJIJuuuuuuIJIJe 線性部分線性部分非線性部分是高階小量非線性部分是高

8、階小量*1212kkijjiijjiuuuxxuxx*ijije 線性部分線性部分非線性部分是高階小量非線性部分是高階小量*12jiIJijijjiuuXX 對(duì)于小變形情形對(duì)于小變形情形2022-7-57大變形問(wèn)題的應(yīng)力描述大變形問(wèn)題的應(yīng)力描述(1/2)(1/2) 應(yīng)力是借助于微元體來(lái)定義的應(yīng)力是借助于微元體來(lái)定義的，但在大變形分析中，必須注，但在大變形分析中，必須注意意微元體所在的構(gòu)型微元體所在的構(gòu)型。Euler應(yīng)力：應(yīng)力： 與應(yīng)變類似，連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論具有嚴(yán)格的應(yīng)力定義和多與應(yīng)變類似，連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論具有嚴(yán)格的應(yīng)力定義和多種不同的應(yīng)力概念。這里也只介紹后面將要用到的幾種。種不同的應(yīng)力概念。

9、這里也只介紹后面將要用到的幾種。 從當(dāng)前構(gòu)型中取出微元體，在其上定義的應(yīng)力稱為從當(dāng)前構(gòu)型中取出微元體，在其上定義的應(yīng)力稱為Euler應(yīng)力應(yīng)力，用，用 表示。表示。Euler應(yīng)力代表物體的應(yīng)力代表物體的真實(shí)應(yīng)力真實(shí)應(yīng)力。然而，當(dāng)前構(gòu)型是待求的。然而，當(dāng)前構(gòu)型是待求的未知構(gòu)型未知構(gòu)型，因而，有必要通過(guò)已知構(gòu)型上的微元體再對(duì)應(yīng)力進(jìn)行描述。因而，有必要通過(guò)已知構(gòu)型上的微元體再對(duì)應(yīng)力進(jìn)行描述。 Kirchhoff應(yīng)力：應(yīng)力： 通過(guò)初時(shí)構(gòu)型上的微元體定義的應(yīng)力稱為通過(guò)初時(shí)構(gòu)型上的微元體定義的應(yīng)力稱為Kirchhoff應(yīng)力應(yīng)力，用，用 表示；表示；通過(guò)現(xiàn)時(shí)構(gòu)型的微元體定義的應(yīng)力稱為通過(guò)現(xiàn)時(shí)構(gòu)型的微元體定義的

10、應(yīng)力稱為現(xiàn)時(shí)（現(xiàn)時(shí)（Updated）Kirchhoff 應(yīng)力應(yīng)力，用用 表示。表示。 S*S2022-7-58大變形問(wèn)題的應(yīng)力描述大變形問(wèn)題的應(yīng)力描述(2/2)(2/2)Kirchhoff、現(xiàn)時(shí)、現(xiàn)時(shí)Kirchhoff及及Euler應(yīng)力（增量）間的關(guān)系：應(yīng)力（增量）間的關(guān)系：根據(jù)張量的坐標(biāo)變換規(guī)則，它們之間還有以下關(guān)系根據(jù)張量的坐標(biāo)變換規(guī)則，它們之間還有以下關(guān)系*ijijijSS現(xiàn)時(shí)現(xiàn)時(shí)Kirchhoff應(yīng)力應(yīng)力Euler應(yīng)力應(yīng)力現(xiàn)時(shí)現(xiàn)時(shí)Kirchhoff應(yīng)力增量應(yīng)力增量時(shí)刻時(shí)刻t 時(shí)刻時(shí)刻tt*1jiijklNKLxxSSXXD*11jiijijklklNklyySxxD123123,NiJ

11、x xxxDXXXX*1123123,Nijy yyyDx xxx特點(diǎn)：以現(xiàn)時(shí)構(gòu)型為參考。特點(diǎn)：以現(xiàn)時(shí)構(gòu)型為參考。2022-7-59大變形分析中的本構(gòu)關(guān)系大變形分析中的本構(gòu)關(guān)系(1/5)(1/5)本構(gòu)關(guān)系的客觀性要求：本構(gòu)關(guān)系的客觀性要求：需要選取合適的應(yīng)力應(yīng)變共軛對(duì)需要選取合適的應(yīng)力應(yīng)變共軛對(duì)描述材料的本構(gòu)關(guān)系。描述材料的本構(gòu)關(guān)系。彈性材料：彈性材料：加載曲線與卸載曲線相同的材料。加載曲線與卸載曲線相同的材料。本構(gòu)關(guān)系有三種形式本構(gòu)關(guān)系有三種形式ijijklklAijklAijijW12ijijklklWA， 為常數(shù)為常數(shù)線彈性材料線彈性材料 (elasticity)超彈性材料超彈性材料 (

12、hyperelasticity)ijklijklAtt次彈性材料次彈性材料 (hypoelasticity)212ijkliljmijlmAG （大變形分析中）（大變形分析中）2022-7-510大變形分析中的本構(gòu)關(guān)系大變形分析中的本構(gòu)關(guān)系(2/5)(2/5)彈性材料彈性材料 若若Kirchhoff應(yīng)力與應(yīng)力與Green應(yīng)變之間存在應(yīng)變之間存在一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，則稱這關(guān)系，則稱這類材料為類材料為彈性材料彈性材料 IJKLSFIJIJKLKLSA不依賴于構(gòu)型變化不依賴于構(gòu)型變化彈性本構(gòu)關(guān)系多用于彈性本構(gòu)關(guān)系多用于大位移（轉(zhuǎn)動(dòng)）小應(yīng)變大位移（轉(zhuǎn)動(dòng)）小應(yīng)變的情形。的情形。 特殊情形特殊情形202

13、2-7-511大變形分析中的本構(gòu)關(guān)系大變形分析中的本構(gòu)關(guān)系(3/5)(3/5) 超彈性材料超彈性材料 假定材料具有假定材料具有單位質(zhì)量的應(yīng)變能函數(shù)單位質(zhì)量的應(yīng)變能函數(shù)，再根據(jù)能量原理來(lái)定義本構(gòu)，再根據(jù)能量原理來(lái)定義本構(gòu)關(guān)系，這類材料稱為超彈性材料。關(guān)系，這類材料稱為超彈性材料。KLWW(不限于這種形式）不限于這種形式）總之，對(duì)于一般的大變形總之，對(duì)于一般的大變形問(wèn)題，在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中問(wèn)題，在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中常用超彈性來(lái)表征材料的常用超彈性來(lái)表征材料的本構(gòu)關(guān)系。本構(gòu)關(guān)系。 012IJIJKLKLWA例如例如0KLIJIJWS20MNIJKLIJKLIJKLKLWSA一階近似一階近似初始構(gòu)型時(shí)材料初

14、始構(gòu)型時(shí)材料的密度的密度常數(shù)常數(shù)增量形式增量形式 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換現(xiàn)時(shí)現(xiàn)時(shí)Kirchhoff應(yīng)力應(yīng)力或增量形式或增量形式 Case-1Case-2*ijWW不能簡(jiǎn)化！不能簡(jiǎn)化！一階近似一階近似*klijijWS現(xiàn)時(shí)構(gòu)型時(shí)材料的密現(xiàn)時(shí)構(gòu)型時(shí)材料的密度度隨變形變化隨變形變化。相相比比較較2022-7-512大變形分析中的本構(gòu)關(guān)系大變形分析中的本構(gòu)關(guān)系(4/5)(4/5) 次彈性材料次彈性材料若若應(yīng)力率應(yīng)力率與與變形率變形率之間成線性變化規(guī)律，這類材料稱為次彈性材料。但之間成線性變化規(guī)律，這類材料稱為次彈性材料。但本構(gòu)關(guān)系描述時(shí)要求本構(gòu)關(guān)系描述時(shí)要求“率率”為與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)關(guān)的客觀時(shí)間導(dǎo)數(shù)為與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)

15、無(wú)關(guān)的客觀時(shí)間導(dǎo)數(shù)。 同乘以時(shí)間增量同乘以時(shí)間增量增量形式增量形式 Case-2IJIJKLKLSAtCase-1*JijijklklSA D可以證明，這兩個(gè)率都與轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)關(guān)可以證明，這兩個(gè)率都與轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)關(guān) *JijijikkjjkkiSSSSJaumann應(yīng)力率應(yīng)力率 *12jiijijjivvDexx現(xiàn)時(shí)現(xiàn)時(shí)Green應(yīng)變的線性部分應(yīng)變的線性部分 可以證明，這兩個(gè)率都與轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)關(guān)可以證明，這兩個(gè)率都與轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)關(guān) *12jiijjivvxx旋轉(zhuǎn)率旋轉(zhuǎn)率2022-7-513大變形分析中的本構(gòu)關(guān)系大變形分析中的本構(gòu)關(guān)系(5/5)(5/5) 三種本構(gòu)關(guān)系間的關(guān)系三種本構(gòu)關(guān)系間的關(guān)系對(duì)于實(shí)際的大變形問(wèn)題，上

16、述對(duì)于實(shí)際的大變形問(wèn)題，上述三種本構(gòu)關(guān)系并不等價(jià)三種本構(gòu)關(guān)系并不等價(jià)。可以證明，。可以證明，彈性彈性材料是一種特殊的次彈性材料，超彈性材料是一種特殊的彈性材料材料是一種特殊的次彈性材料，超彈性材料是一種特殊的彈性材料。實(shí)際材料所遵守的本構(gòu)關(guān)系，實(shí)際材料所遵守的本構(gòu)關(guān)系，只有通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試只有通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試才能得以確定。才能得以確定。次次彈彈性性材材料料彈性彈性材料材料超彈性超彈性材料材料2022-7-514大變形問(wèn)題有限元方程的建立大變形問(wèn)題有限元方程的建立 (1/6)(1/6) 與塑性力學(xué)有限元方法的異同與塑性力學(xué)有限元方法的異同區(qū)別：區(qū)別：塑性力學(xué)的塑性力學(xué)的本構(gòu)關(guān)系隨加載變化本構(gòu)關(guān)系隨加載變

17、化，而大變形問(wèn)題的，而大變形問(wèn)題的構(gòu)型隨加載變化構(gòu)型隨加載變化。TL？UL?本節(jié)討論本節(jié)討論 相似：相似：都采用增量方法，都不顯含時(shí)間。都采用增量方法，都不顯含時(shí)間。導(dǎo)致導(dǎo)致分析方法分析方法、應(yīng)力應(yīng)變描述應(yīng)力應(yīng)變描述、本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系、控制方程控制方程的變化。的變化。 構(gòu)型對(duì)應(yīng)構(gòu)型對(duì)應(yīng) 構(gòu)型相關(guān)，本節(jié)討論構(gòu)型相關(guān)，本節(jié)討論 ?？陀^性描述客觀性描述 2022-7-515大變形問(wèn)題有限元方程的建立大變形問(wèn)題有限元方程的建立 (2/6)(2/6) TL法有限元方程的建立法有限元方程的建立特點(diǎn)：特點(diǎn)：始終以初始（始終以初始（0時(shí)刻）構(gòu)型做為應(yīng)力與應(yīng)變描述的參考構(gòu)型，因而，采用時(shí)刻）構(gòu)型做為應(yīng)力與應(yīng)變描

18、述的參考構(gòu)型，因而，采用Kirchhoff應(yīng)力（增量）和應(yīng)力（增量）和Green應(yīng)變（增量）。應(yīng)變（增量）。 t 時(shí)刻時(shí)刻:TL法：法：Total Lagrangian Description （TLD）虛功方程：虛功方程：優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：參考構(gòu)型不發(fā)生變化，本構(gòu)關(guān)系與虛功方程描述形式簡(jiǎn)單。參考構(gòu)型不發(fā)生變化，本構(gòu)關(guān)系與虛功方程描述形式簡(jiǎn)單。 000eTTTTttttttttVSSubdVutdSuP 時(shí)刻時(shí)刻:tt 000tttttttttttttteTTTTttVSSubdVutdSuP 兩式相減，兩式相減，得增量型虛得增量型虛功方程：功方程： 000TTTVTTTeeSTeSSubeSubd

19、VuttdSuPP 2022-7-516大變形問(wèn)題有限元方程的建立大變形問(wèn)題有限元方程的建立 (3/6)(3/6) TL法有限元方程的建立（續(xù)）法有限元方程的建立（續(xù)）將有限元位移插值、初始構(gòu)型下的幾何關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系引入后，得到將有限元位移插值、初始構(gòu)型下的幾何關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系引入后，得到剛度矩陣剛度矩陣形式較復(fù)雜，因問(wèn)題的類型而不同。形式較復(fù)雜，因問(wèn)題的類型而不同。ttIJIJK SUF S 載荷向量載荷向量TL法的求解步驟法的求解步驟:Step 1：利用有限元方程求出：利用有限元方程求出 間隔內(nèi)的位移增量間隔內(nèi)的位移增量 ；tttIUStep 2：利用幾何關(guān)系，計(jì)算：利用幾何關(guān)系，計(jì)算Gre

20、en應(yīng)變?cè)隽繎?yīng)變?cè)隽?；IJStep 3：利用本構(gòu)關(guān)系，計(jì)算：利用本構(gòu)關(guān)系，計(jì)算Kirchhoff應(yīng)力增量應(yīng)力增量 ；IJSStep 4：更新當(dāng)前時(shí)刻：更新當(dāng)前時(shí)刻 ；更新當(dāng)前應(yīng)力；更新當(dāng)前應(yīng)力 ；計(jì)算當(dāng)前剛度矩陣和載荷向量。計(jì)算當(dāng)前剛度矩陣和載荷向量。 ttt IJIJIJSSS Step 5：轉(zhuǎn)到：轉(zhuǎn)到Step 1，進(jìn)入下一個(gè)時(shí)間間隔計(jì)算。，進(jìn)入下一個(gè)時(shí)間間隔計(jì)算。 2022-7-517大變形問(wèn)題有限元方程的建立大變形問(wèn)題有限元方程的建立 (4/6)(4/6) UL法有限元方程的建立法有限元方程的建立特點(diǎn)：特點(diǎn)：總以總以t 時(shí)刻（即現(xiàn)時(shí)構(gòu)型）為參考構(gòu)型，也就是說(shuō)參考構(gòu)型是變化的，因時(shí)刻（即

21、現(xiàn)時(shí)構(gòu)型）為參考構(gòu)型，也就是說(shuō)參考構(gòu)型是變化的，因而，采用現(xiàn)時(shí)而，采用現(xiàn)時(shí)Kirchhoff應(yīng)力（增量）和現(xiàn)時(shí)應(yīng)力（增量）和現(xiàn)時(shí)Green應(yīng)變（增量）。應(yīng)變（增量）。 UL法：法：Updated Lagrangian Description （ULD）仿照仿照TL法的推導(dǎo)，可得虛功方程：法的推導(dǎo)，可得虛功方程：優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：可以處理加載方式更為復(fù)雜的問(wèn)題，亦可處理邊界非線性問(wèn)題等?？梢蕴幚砑虞d方式更為復(fù)雜的問(wèn)題，亦可處理邊界非線性問(wèn)題等。 TL法的增量型虛功方程：法的增量型虛功方程： 000TTTVTTTeeSTeSSubeSubdVuttdSuPP *0TTTVTTTNNeeSTeSubeub

22、dVuttdSuPP2022-7-518大變形問(wèn)題有限元方程的建立大變形問(wèn)題有限元方程的建立 (5/6)(5/6)UL法有限元方程的建立（續(xù)）法有限元方程的建立（續(xù)）將有限元位移插值、初始構(gòu)型下的幾何關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系引入后，得到將有限元位移插值、初始構(gòu)型下的幾何關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系引入后，得到;ttttKUF ttIJIJK SUF S UL法的求解步驟及與法的求解步驟及與TL法法的比較的比較:Step 1：利用有限元方程求出：利用有限元方程求出 間隔內(nèi)的位移增量間隔內(nèi)的位移增量 ；tttIUStep 2：利用幾何關(guān)系，計(jì)算：利用幾何關(guān)系，計(jì)算現(xiàn)時(shí)現(xiàn)時(shí)Green應(yīng)變?cè)隽繎?yīng)變?cè)隽?；Step 3：利用本

23、構(gòu)關(guān)系，計(jì)算：利用本構(gòu)關(guān)系，計(jì)算現(xiàn)時(shí)現(xiàn)時(shí)Kirchhoff應(yīng)力增量應(yīng)力增量 ；Step 4：更新當(dāng)前時(shí)刻：更新當(dāng)前時(shí)刻 ；更新當(dāng)前應(yīng)力更新當(dāng)前應(yīng)力, 根據(jù)根據(jù) 計(jì)算計(jì)算 ，并，并且使得且使得 ；更新當(dāng)前構(gòu)型更新當(dāng)前構(gòu)型 ；計(jì)算當(dāng)前剛度矩陣與；計(jì)算當(dāng)前剛度矩陣與載荷向量。載荷向量。 ttt Step 5：轉(zhuǎn)到：轉(zhuǎn)到Step 1，進(jìn)入下一個(gè)時(shí)間間隔計(jì)算。，進(jìn)入下一個(gè)時(shí)間間隔計(jì)算。 *ij*ijS*tijklSttijijtttijijij iiixUx2022-7-519大變形問(wèn)題有限元方程的建立大變形問(wèn)題有限元方程的建立 (6/6)(6/6)小結(jié)小結(jié) 大變形問(wèn)題有限元方法與彈塑性問(wèn)題有限元方法都

24、是大變形問(wèn)題有限元方法與彈塑性問(wèn)題有限元方法都是在在增量意義上增量意義上通過(guò)擬線性化，進(jìn)而加以求解。通過(guò)擬線性化，進(jìn)而加以求解。 但彈塑性問(wèn)題有限元方法在確定彈塑性狀態(tài)時(shí)還應(yīng)當(dāng)?shù)珡椝苄詥?wèn)題有限元方法在確定彈塑性狀態(tài)時(shí)還應(yīng)當(dāng)進(jìn)行迭代或按優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行迭代或按優(yōu)化問(wèn)題處理，這點(diǎn)與接觸問(wèn)題類似。處理，這點(diǎn)與接觸問(wèn)題類似。 所以，從方法上說(shuō)，所以，從方法上說(shuō)，彈塑性問(wèn)題有限元方法包含了大彈塑性問(wèn)題有限元方法包含了大變形問(wèn)題有限元和接觸問(wèn)題有限元兩類問(wèn)題的所有特點(diǎn)。變形問(wèn)題有限元和接觸問(wèn)題有限元兩類問(wèn)題的所有特點(diǎn)。2022-7-520大變形分析中的載荷處理大變形分析中的載荷處理 (1/4)(1/4) 00

25、TTTTeeVSubub dVutt dSuPP 載荷目前還沒(méi)有考慮載荷目前還沒(méi)有考慮重要區(qū)別重要區(qū)別TL法的載荷項(xiàng)：法的載荷項(xiàng)：UL法的載荷項(xiàng)：法的載荷項(xiàng)： TTTTNNeeVSubub dVutt dSuPP 體積力體積力表面力表面力2022-7-521大變形分析中的載荷處理大變形分析中的載荷處理 (2/4)(2/4) 體積力的處理體積力的處理原則：原則：物體的重力在變形過(guò)程中保持不變。物體的重力在變形過(guò)程中保持不變。 (0)()(0)()NNbdVbdV (0)(0)()()(0)(1)NNNbbdVbbdV ()(0)()1NNbbD ()(0)(0)()()*(1)1NNNNbbbb

26、DD 全量全量增量增量*(1)1ND()(0)()1NNbbD在在TL法中，原來(lái)的計(jì)算法中，原來(lái)的計(jì)算方法是正確的；在方法是正確的；在UL法法中，需要按本節(jié)的方法計(jì)中，需要按本節(jié)的方法計(jì)算，可以看出，其差別不算，可以看出，其差別不能被忽略。能被忽略。區(qū)別之處區(qū)別之處2022-7-522大變形分析中的載荷處理大變形分析中的載荷處理 (3/4)(3/4) 表面力的處理表面力的處理 表面力的處理較為復(fù)雜，不但與構(gòu)型變化有關(guān)，還與表面表面力的處理較為復(fù)雜，不但與構(gòu)型變化有關(guān)，還與表面力的施加方式有關(guān)。以常見(jiàn)的集中力和均布力為例。力的施加方式有關(guān)。以常見(jiàn)的集中力和均布力為例。1 1）集中力）集中力 第一

27、種情形：第一種情形：集中力的方向在整個(gè)變形過(guò)程中保持不變；集中力的方向在整個(gè)變形過(guò)程中保持不變；第二種情形：第二種情形：集中力的方向與所作用表面的夾角不變。集中力的方向與所作用表面的夾角不變。 ()(0)NPP()(0)NPP 全量全量增量增量可按表面分布力的特殊情形加以處理，詳見(jiàn)下面的分析。可按表面分布力的特殊情形加以處理，詳見(jiàn)下面的分析。 2022-7-523大變形分析中的載荷處理大變形分析中的載荷處理 (4/4)(4/4) 表面力的處理（續(xù)）表面力的處理（續(xù)） 大變形分析中大變形分析中一般分布載荷一般分布載荷隨變形的變化，是一個(gè)復(fù)雜的隨變形的變化，是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，問(wèn)題，很難進(jìn)行定量研究

28、很難進(jìn)行定量研究。這里對(duì)。這里對(duì)均勻表面分布力均勻表面分布力隨大變形的隨大變形的變化進(jìn)行分析。變化進(jìn)行分析。 2）表面分布力）表面分布力 全量全量增量增量原則：原則：不同時(shí)刻，這類載荷的合力一般保持不變。不同時(shí)刻，這類載荷的合力一般保持不變。（其它情形仿此進(jìn)行）（其它情形仿此進(jìn)行） 在在 t 時(shí)刻：時(shí)刻： ()(0)()(0)NNeiieJJtndStn dS在在 時(shí)刻：時(shí)刻：tt ()()(0)(0)()(0)NNNeieiieJeJJttndSttn dS (0)()()NiJJiNxXn dSndSD ()(0)()NiJeieJNxXttD()(0)()NiJeieJNxXttD近似處

29、理后近似處理后2022-7-524本章總結(jié)本章總結(jié) (1/2)(1/2) 由于發(fā)生了不可忽略的較大變形，大變形問(wèn)題的分析更加困難，所涉及由于發(fā)生了不可忽略的較大變形，大變形問(wèn)題的分析更加困難，所涉及內(nèi)容更加豐富。一般來(lái)說(shuō)，相對(duì)于小變形問(wèn)題，大變形分析具有以下內(nèi)容更加豐富。一般來(lái)說(shuō)，相對(duì)于小變形問(wèn)題，大變形分析具有以下特點(diǎn)特點(diǎn)：1）應(yīng)變定義發(fā)生了變化。）應(yīng)變定義發(fā)生了變化。大變形問(wèn)題的最鮮明特征就是描述應(yīng)變位大變形問(wèn)題的最鮮明特征就是描述應(yīng)變位移的幾何關(guān)系發(fā)生了變化。在一些特殊問(wèn)題中，大變形并沒(méi)有產(chǎn)生移的幾何關(guān)系發(fā)生了變化。在一些特殊問(wèn)題中，大變形并沒(méi)有產(chǎn)生較大的應(yīng)變，這類問(wèn)題可略去幾何關(guān)系中的

30、高階部分，但必須采用較大的應(yīng)變，這類問(wèn)題可略去幾何關(guān)系中的高階部分，但必須采用大變形分析方法。實(shí)際上，這種對(duì)幾何關(guān)系簡(jiǎn)化處理，是經(jīng)過(guò)對(duì)更大變形分析方法。實(shí)際上，這種對(duì)幾何關(guān)系簡(jiǎn)化處理，是經(jīng)過(guò)對(duì)更一般的幾何非線性關(guān)系檢驗(yàn)后而確立的。一般的幾何非線性關(guān)系檢驗(yàn)后而確立的。 2）構(gòu)型發(fā)生了變化。）構(gòu)型發(fā)生了變化。由于具有較大的變形（位移和由于具有較大的變形（位移和/或應(yīng)變），大變形或應(yīng)變），大變形問(wèn)題在不同時(shí)刻其構(gòu)型差異較大，必須區(qū)別對(duì)待問(wèn)題在不同時(shí)刻其構(gòu)型差異較大，必須區(qū)別對(duì)待 。 3）應(yīng)力、應(yīng)變描述發(fā)生了變化。）應(yīng)力、應(yīng)變描述發(fā)生了變化。由于不同時(shí)刻具有不同的構(gòu)型，并且由于不同時(shí)刻具有不同的構(gòu)型，并且可以選取不同的參考構(gòu)型，大變形問(wèn)題中的應(yīng)力描述、應(yīng)變描述