第4章(彎曲內(nèi)力)

1、一、一、 彎曲的工程實(shí)例彎曲的工程實(shí)例樓房的橫梁的彎曲變形樓房的橫梁的彎曲變形FFFF火車輪軸的彎曲變形火車輪軸的彎曲變形二、彎曲的概念二、彎曲的概念1 1 梁的概念梁的概念qPMARBN 在橫向力作用下，主要產(chǎn)生彎曲變形的桿件在橫向力作用下，主要產(chǎn)生彎曲變形的桿件- 梁梁2） 變形特點(diǎn)變形特點(diǎn)1） 受力特點(diǎn)受力特點(diǎn)桿件受垂直于軸線的橫向外力或軸線平面內(nèi)外力偶作用。桿件受垂直于軸線的橫向外力或軸線平面內(nèi)外力偶作用。 桿件橫截面繞中性軸作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，軸線由直線變?yōu)榍€。桿件橫截面繞中性軸作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，軸線由直線變?yōu)榍€。 2 2 彎曲的概念彎曲的概念qPMARBN3 3 平面彎曲的概念平面彎曲的概念

2、受力特點(diǎn)受力特點(diǎn)作用于桿件上的外力都垂直于桿的軸線，且都在作用于桿件上的外力都垂直于桿的軸線，且都在 梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)變形特點(diǎn)變形特點(diǎn)桿的軸線在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)由直線變?yōu)橐粭l平桿的軸線在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)由直線變?yōu)橐粭l平 面曲線。面曲線。縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面MF1F2q三、支座和靜定梁的分類三、支座和靜定梁的分類1 1 支座的類型支座的類型1 1）簡(jiǎn)支梁）簡(jiǎn)支梁 2 2）外伸梁）外伸梁 3 3）懸臂梁）懸臂梁 2 2 靜定梁的分類靜定梁的分類q(x)LMLqLPFAyFAxRBABaFPlAB一、截面法求梁的內(nèi)力一、截面法求梁的內(nèi)力1 1 求支座反力求支座反力lalPFFlP

3、aRMFFAyyBAAxx)( , 0 , 00 , 02 2 切面法求切面法求mm截面上的內(nèi)力截面上的內(nèi)力ABPFAyFAxRBmmxFQAFAyMRBFPMFQCClalFFFFPAyQy)( 01) 彎矩：彎矩：MxFMmAyC 02) 剪力剪力：FQFQ(+)Fs(+)FQ()Fs()M(+)M(+)M()M()3 3 剪力、彎矩的正負(fù)規(guī)定剪力、彎矩的正負(fù)規(guī)定 剪力使研究對(duì)象有順時(shí)針轉(zhuǎn)的趨勢(shì)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)的趨勢(shì)為負(fù)剪力使研究對(duì)象有順時(shí)針轉(zhuǎn)的趨勢(shì)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)的趨勢(shì)為負(fù) 彎矩使研究對(duì)象上凹下凸（凹面向上）為正，彎矩使研究對(duì)象上彎矩使研究對(duì)象上凹下凸（凹面向上）為正，彎矩使研究對(duì)象上凸下凹

4、（凹面向下）為負(fù)。凸下凹（凹面向下）為負(fù)。 求圖示外伸梁求圖示外伸梁 1 11 and 1 and 2 22 2上的剪力和彎矩上的剪力和彎矩. .qLFqLFQQy11F 01111 0qLxMMqLxmAExample（a）qqLab1122qLFQ1AM1（b）x1解解: :1 截取1-1截面的左部分作為研究對(duì)象L)axq FQ22( axqMqLxmB0)(21 02222 axqFqLFQy022)(2222)(21qLxaxqMxy（a）qqLab1122qLFQ2BM2x2（c）2 截取2-2截面的左部分作為研究對(duì)象Example 外伸梁在分布載荷作用下外伸梁在分布載荷作用下 ,

5、, 固定端處的最大載荷密度為固定端處的最大載荷密度為 q qo o= =2020 kNkN/m, /m, l l=2m =2m a a=1m =1m 求求 C C 和固定端和固定端B B 截面處的內(nèi)力。截面處的內(nèi)力。 1計(jì)算計(jì)算C C截面的截面的FQC , MC 0yF0220QlaqFC5KNN105m22m1N/m10202322320laqFQC0CM03220alaqMCm1.667kNmN106671m26m1N/m10206333330.laqMC2 求求 B B 截面的截面的FQB 和和MB 0yF020QlqFB20kNN10202m2N/m10202330lqFQB0BM03

6、20llqMB13.33kN.MmN1033316m2N/m10206422320.lqMB一、剪力方程和彎矩方程一、剪力方程和彎矩方程 以橫坐標(biāo)以橫坐標(biāo)x表示橫截面在梁軸線的位置，各橫截面上表示橫截面在梁軸線的位置，各橫截面上的剪力和彎矩表示為的剪力和彎矩表示為x的函數(shù)。的函數(shù)。 剪力方程剪力方程 彎矩方程彎矩方程 )(xFFQQ)(xMM 二、剪力圖與彎矩圖二、剪力圖與彎矩圖 以平行于梁軸線的橫坐標(biāo)表示橫截面位置，以縱坐以平行于梁軸線的橫坐標(biāo)表示橫截面位置，以縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面的剪力、彎矩。標(biāo)表示相應(yīng)截面的剪力、彎矩。 建立坐標(biāo)建立坐標(biāo) FQ-x 和和 M-x 確定各分段點(diǎn)處截面上的剪力確

7、定各分段點(diǎn)處截面上的剪力、彎矩，標(biāo)在相應(yīng)的位置、彎矩，標(biāo)在相應(yīng)的位置在分段點(diǎn)之間按剪力方程、彎在分段點(diǎn)之間按剪力方程、彎矩方程大致繪出圖形矩方程大致繪出圖形標(biāo)出標(biāo)出FSmax和和Mmax數(shù)值及位置數(shù)值及位置 圖所示簡(jiǎn)支梁在整個(gè)梁上作用有集度為圖所示簡(jiǎn)支梁在整個(gè)梁上作用有集度為q 的均布載荷。列出此梁的均布載荷。列出此梁的剪力方程和彎矩方程，并作出剪力圖和彎矩圖。的剪力方程和彎矩方程，并作出剪力圖和彎矩圖。 解：解： 求支座約束力求支座約束力 AB2yyqlFF 剪力方程和彎矩方程（以剪力方程和彎矩方程（以A端為坐標(biāo)原點(diǎn)）端為坐標(biāo)原點(diǎn)） SA( )2yqlFxFqxqx (0)xl2A( )22

8、2yxqlxqxM xF xqx (0)xlExampleS( )2qlFxqx (0)xl2( )22qlxqxM x (0)xl 繪制剪力圖和彎矩圖繪制剪力圖和彎矩圖 圖所示簡(jiǎn)支梁在圖所示簡(jiǎn)支梁在C點(diǎn)受集中力點(diǎn)受集中力F作用。列出此梁的剪力方程和作用。列出此梁的剪力方程和彎矩方程，并作出剪力圖和彎矩圖。彎矩方程，并作出剪力圖和彎矩圖。 解：解： 求支座約束力求支座約束力 剪力方程和彎矩方程（以剪力方程和彎矩方程（以A端為坐標(biāo)原點(diǎn)）端為坐標(biāo)原點(diǎn)） AyFbFl ByFaFl SA( )yFbFxFl(0)xaA( )yFbM xF xxlSA( )yFaFxFFl ()axlA( )()()

9、yFaM xF xF xalxl(0)xa()axlExample 繪制剪力圖和彎矩圖繪制剪力圖和彎矩圖 S( )FbFxl (0)xa( )FbM xxl FaFxlS( ) ()axl( )()FaM xlxl(0)xa()axl 在集中力在集中力F作用處剪力圖發(fā)生突變，突變值等于集中力作用處剪力圖發(fā)生突變，突變值等于集中力的大小（對(duì)于集中力作用處截面剪力必須指明截面的左右）。的大?。▽?duì)于集中力作用處截面剪力必須指明截面的左右）。 在集中力在集中力F作用處彎矩圖變成尖角，同時(shí)有極大值或極作用處彎矩圖變成尖角，同時(shí)有極大值或極小值。小值。 圖所示簡(jiǎn)支梁在圖所示簡(jiǎn)支梁在C點(diǎn)受集中力偶點(diǎn)受集中力

10、偶M作用。列出此梁的剪力方程和彎作用。列出此梁的剪力方程和彎矩方程，并作出剪力圖和彎矩圖。矩方程，并作出剪力圖和彎矩圖。 解：解： 求支座約束力求支座約束力 剪力方程和彎矩方程（以剪力方程和彎矩方程（以A端為坐標(biāo)原點(diǎn)）端為坐標(biāo)原點(diǎn)） (0)xa()axl(0)xa()axlAyMFl ByMFl SA( )yMFxFl SA( )yMFxFl A( )yMM xF xxl A( )()yMM xF xMlxl Example(0)xa()axl(0)xa()axlS( )MFxl S( )MFxl ( )MM xxl ( )()MM xlxl 繪制剪力圖和彎矩圖繪制剪力圖和彎矩圖 集中力偶對(duì)剪

11、力圖無(wú)影響。集中力偶對(duì)剪力圖無(wú)影響。 集中力偶集中力偶M作用處彎矩圖發(fā)生突變，突變值等于集中作用處彎矩圖發(fā)生突變，突變值等于集中力偶的大小。力偶的大小。 例：圖所示外伸梁上均布載荷為例：圖所示外伸梁上均布載荷為q = 3kN/m，集中力偶矩，集中力偶矩M = 3kNm。列出此梁的剪力方程和彎矩方程，并作出剪力圖。列出此梁的剪力方程和彎矩方程，并作出剪力圖和彎矩圖。和彎矩圖。 解：解： 求支座約束力，取梁為研究對(duì)象，建立靜力平衡求支座約束力，取梁為研究對(duì)象，建立靜力平衡方程方程 A()0:MF B6160yqMF 0:yF AB60yyFFq 解得：解得： A14.5kNyF .B3 5kNyF

12、 剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 CA段：段： ()02xS( )3Fxqxx 221( )1.52M xqxx ()26xAD段：段： SA( )14.53yFxqxFx 22A1( )(2)1.514.5292yM xqxFxxx ()68xDB段：段： SB( )3.5yFxF B( )(8)3.528yM xFxx A14.5kNyF .B3 5kNyF 一、剪力、彎矩與載荷集度間的微分關(guān)系一、剪力、彎矩與載荷集度間的微分關(guān)系 dxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)FQ(x)+d FQ(x)FQ(x)M(x)dxAy0yF)x(Qx)x( qdd xqxxFQdd0)(d)

13、(d)()(xFxFxxqxFQQQ1:q(x)M(x)+d M(x)Q(x)+d Q(x)Q(x)M(x)dxAy2: 0Am)(d)(dxFxxMQ0)(d)()()(d(21)d(2xMxMxMxxqxxFQ剪力、彎矩與載荷集度間的微分關(guān)系剪力、彎矩與載荷集度間的微分關(guān)系 xqxxFQdd)(d)(dxFxxMQ)(d)(d22xqxxM外力外力無(wú)外載荷作用無(wú)外載荷作用均布載荷作用均布載荷作用集中力集中力集中力偶集中力偶q=0q0q0QQ0 x斜斜直直線線Increasing functionxQxQDecreasing functionxQCQ1Q2Q1Q2=P突突變變xQC無(wú)無(wú)變變化

14、化斜斜直直線線xMIncreasing functionxMDecreasing function二二次次拋拋物物線線xMxM尖尖角角 突突變變Opposite tomxMFlex opposite to PMxM1M2mMM21剪力、彎矩與外載荷間的關(guān)系剪力、彎矩與外載荷間的關(guān)系 外伸梁及其所受載荷如圖，試作梁的剪力圖和彎矩圖。外伸梁及其所受載荷如圖，試作梁的剪力圖和彎矩圖。 解：解： 求支座約束力求支座約束力 解得：解得： A()0:MF P1BP284412150yqFMFF 0:yF ABP1P280yyFFqFF A7kNyF B5kNyF ExampleA7kNyF B5kNyF

15、剪力圖剪力圖 AC段：段： 斜直線斜直線 斜直線斜直線 CD段：段： 水平直線水平直線 DB段：段： 水平直線水平直線 BE段：段： SA7kNF SC71 43kNF 左左SC71 421kNF 右右SD71 823kNF SD71 823kNF SB71 823kNF 左左SB2kNF 右右SE2kNF A7kNyF B5kNyF 彎矩圖彎矩圖 AC段：段： CD段：段： 二次拋物線（有極值）二次拋物線（有極值） 求彎矩極值位置求彎矩極值位置 二次拋物線（無(wú)極值）二次拋物線（無(wú)極值） A0M C7 41 4 220kN mM C7 41 4 220kN mM D7 81 8 42 416kN mM 左左143xx 1xm max7 51 5 2.52 120.5kN mM BE段：段： 斜直線斜直線 DB段：段： 斜直線斜直線 A7kNyF B5kNyF D2 75 46kN mM 右右B2 36kN mM B2 36kN mM E0M Example試作組合梁的剪力圖和彎矩圖。試作組合梁的剪力圖和彎矩圖。 分析：中間鉸處剪力和彎矩的特征？分析：中間鉸處剪力和彎矩的特征？Example試作組合梁的剪力圖和彎矩圖。試作組合梁的剪力圖和彎矩圖。 解：解： 1 1 支座反力：支座反力：kNFAy81