高三數學解三角形應用舉例

1、第8課時 解三角形應用舉例基礎知識梳理基礎知識梳理1有關概念有關概念(1)仰角與俯角：與目標視線在同仰角與俯角：與目標視線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角目標視線在水平視線上方時的夾角目標視線在水平視線上方時叫叫 ，目標視線在水平視線下方，目標視線在水平視線下方時叫時叫 仰角仰角俯角俯角如圖所示如圖所示基礎知識梳理基礎知識梳理(2)方位角：從正方位角：從正 方向沿順時方向沿順時針到目標方向線的水平角叫方位角針到目標方向線的水平角叫方位角(3)坡角：坡面與坡角：坡面與 面的夾角面的夾角叫坡角叫坡角(4)坡比：坡面的鉛直高度與水平坡比：坡面的鉛直高度與水平

2、長度之長度之 叫做坡比叫做坡比基礎知識梳理基礎知識梳理比比水平水平北北2解斜三角形在實際中的應用解斜三角形在實際中的應用解斜三角形在實際中的應用非常解斜三角形在實際中的應用非常廣泛，如測量、航海、幾何、物理等廣泛，如測量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識解題方面都要用到解三角形的知識解題的一般步驟是：的一般步驟是：(1)分析題意，準確理解題意分分析題意，準確理解題意分清已知與所求，尤其要理解應用題中清已知與所求，尤其要理解應用題中的有關名詞、術語，如坡度、仰角、的有關名詞、術語，如坡度、仰角、俯角、方位角等俯角、方位角等(2)根據題意畫出示意圖根據題意畫出示意圖基礎知識梳理基礎知識

3、梳理(3)將需求解的問題歸結到一個或將需求解的問題歸結到一個或幾個三角形中，通過合理運用正弦定幾個三角形中，通過合理運用正弦定理、余弦定理等有關知識正確求理、余弦定理等有關知識正確求解演算過程中，要算法簡練，計算解演算過程中，要算法簡練，計算正確，并作答正確，并作答(4)檢驗解出的答案是否具有實際檢驗解出的答案是否具有實際意義，對解進行取舍意義，對解進行取舍基礎知識梳理基礎知識梳理1兩座燈塔兩座燈塔A和和B與海岸觀察站與海岸觀察站C的距離相等，燈塔的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東在觀察站北偏東40，燈塔，燈塔B在觀察站南偏東在觀察站南偏東60，則燈塔則燈塔A在燈塔在燈塔B的的()A北偏東北偏東

4、10B北偏西北偏西10C南偏東南偏東10 D南偏西南偏西10答案：答案：B三基能力強化三基能力強化2在某次測量中，在在某次測量中，在A處測得處測得同一半平面方向的同一半平面方向的B點的仰角是點的仰角是60，C點的俯角為點的俯角為70，則，則BAC等于等于()A10 B50C120 D130答案：答案：D三基能力強化三基能力強化3如圖所示，為了測量如圖所示，為了測量某障礙物兩側某障礙物兩側A、B間的距離，間的距離，給定下列四組數據，不能確定給定下列四組數據，不能確定A、B間距離的是間距離的是()A，a，b B，aCa，b， D，b答案：答案：A三基能力強化三基能力強化4我艦在敵島我艦在敵島A南偏

5、西南偏西50相距相距12海里的海里的B處，發(fā)現處，發(fā)現敵艦正由島敵艦正由島A沿北偏西沿北偏西10的的方向以方向以10海里海里/小時的速度航行，小時的速度航行，我艦要用我艦要用2小時追上敵艦，則小時追上敵艦，則需要的最小速度為需要的最小速度為_答案：答案：14海里海里/小時小時三基能力強化三基能力強化5如圖，為了測量如圖，為了測量河的寬度，在一岸邊選定河的寬度，在一岸邊選定兩點兩點A，B望對岸的標記望對岸的標記物物C，測得，測得CAB30，CBA75，AB120 m，這條河的寬度為，這條河的寬度為_答案：答案：60 m三基能力強化三基能力強化有關距離測量問題，主要是測量從有關距離測量問題，主要是

6、測量從一個可到達的點到一個不能到達的點之一個可到達的點到一個不能到達的點之間的距離問題，如海上、空中兩點測量，間的距離問題，如海上、空中兩點測量，隔著某一障礙物兩點測量等由于該問隔著某一障礙物兩點測量等由于該問題不能采取實地測量，解決它的方法是題不能采取實地測量，解決它的方法是建立數學模型，即構造三角形，轉化為建立數學模型，即構造三角形，轉化為解三角形問題通常是根據題意，解三角形問題通常是根據題意，課堂互動講練課堂互動講練考點一考點一測量距離測量距離從實際問題中抽象出一個或幾個三角從實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形，得到所形，然后通過解這些三角形，得到所求的量，從而得到實

7、際問題的解解求的量，從而得到實際問題的解解題時應認真審題，結合圖形去選擇定題時應認真審題，結合圖形去選擇定理，使解題過程簡捷理，使解題過程簡捷課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練(2009年高考遼年高考遼寧卷寧卷)如圖，如圖，A、B、C、D都在同一個與都在同一個與水平面垂直的平面水平面垂直的平面內，內，B、D為兩島上為兩島上的兩座燈塔的塔的兩座燈塔的塔頂測量船于水頂測量船于水課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練【規(guī)律小結【規(guī)律小結】求距離問題一般求距離問題一般要注意：要注意：(1)基線的選取要準確恰當基線的選取要準確恰當(在測在測量上，我們根據測

8、量需要適當確定的量上，我們根據測量需要適當確定的線段叫做基線，如例線段叫做基線，如例1中的中的CD)(2)選定或創(chuàng)建的三角形要確定選定或創(chuàng)建的三角形要確定(3)利用正弦定理還是余弦定理要利用正弦定理還是余弦定理要確定確定課堂互動講練課堂互動講練測量高度問題一般是利用地面上測量高度問題一般是利用地面上的觀測點，通過測量仰角、俯角等數的觀測點，通過測量仰角、俯角等數據計算物體的高度；這類問題一般用據計算物體的高度；這類問題一般用到立體幾何知識，先把立體幾何問題到立體幾何知識，先把立體幾何問題轉化為平面幾何問題，再通過解三角轉化為平面幾何問題，再通過解三角形加以解決形加以解決課堂互動講練課堂互動講練

9、考點二考點二測量高度測量高度課堂互動講練課堂互動講練某人在山頂某人在山頂P處觀察地面上相處觀察地面上相距距2500 m的兩個目標的兩個目標A、B，測得目，測得目標標A在南偏西在南偏西57，俯角為，俯角為30，同時測得目標同時測得目標B在南偏東在南偏東78，俯，俯角是角是45，求山高，求山高(設設A、B與山底與山底在同一平面上，計算結果精確到在同一平面上，計算結果精確到0.1 m)課堂互動講練課堂互動講練【思路點撥【思路點撥】結合題意結合題意畫出圖形畫出圖形用山高用山高h表示表示底面三角形未底面三角形未知邊長度知邊長度在底面三角形在底面三角形中借助余弦定中借助余弦定理列方程理列方程解方程解方程求

10、出高求出高h【解【解】畫出示意圖畫出示意圖課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練【規(guī)律小結【規(guī)律小結】(1)依據題意畫圖依據題意畫圖是解決三角形應用題的關鍵本例中，是解決三角形應用題的關鍵本例中，既有方位角既有方位角(它是在水平面上所成的它是在水平面上所成的角角)，又有俯角，又有俯角(它是鉛垂面上所成的它是鉛垂面上所成的角角)，因而本例的圖形是一個立體圖形，因而本例的圖形是一個立體圖形，因此在畫圖時，可畫立體圖形和平面因此在畫圖時，可畫立體圖形和平面圖形兩個圖，以對比分析求解；圖形兩個圖，以對比分析求解；課堂互動講練課堂互動講練(2)由本例可知，方位角是相對于

11、由本例可知，方位角是相對于在某地而言的，因此在確定方位角時，在某地而言的，因此在確定方位角時，必須先弄清是哪一點的方位角從這必須先弄清是哪一點的方位角從這個意義上來說，方位角是一個動態(tài)角，個意義上來說，方位角是一個動態(tài)角，在理解題意時，應把它看活，否則在在理解題意時，應把它看活，否則在理解題意時將可能產生偏差理解題意時將可能產生偏差課堂互動講練課堂互動講練測量角度問題也就是通過解三角測量角度問題也就是通過解三角形求角問題，求角問題可以轉化為求形求角問題，求角問題可以轉化為求該角的函數值；如果是用余弦定理求該角的函數值；如果是用余弦定理求得該角的余弦，該角容易確定，如果得該角的余弦，該角容易確定

12、，如果用正弦定理求得該角的正弦，就需要用正弦定理求得該角的正弦，就需要討論解的情況了討論解的情況了課堂互動講練課堂互動講練考點三考點三測量角度測量角度課堂互動講練課堂互動講練速度追截走私船此時，走私船正以速度追截走私船此時，走私船正以10 n mile/h的速度從的速度從B處向北偏東處向北偏東30方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？快追上走私船？課堂互動講練課堂互動講練【思路點撥【思路點撥】本例考查正弦、本例考查正弦、余弦定理的建模應用如圖所示，注余弦定理的建模應用如圖所示，注意到最快追上走私船且兩船所用時間意到最快追上走私船且兩船所用時間相等，若在相

13、等，若在D處相遇，則可先在處相遇，則可先在ABC中求出中求出BC，再在，再在BCD中求中求BCD.課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練【名師點評【名師點評】首先應明確方位首先應明確方位角的含義，在解應用題時，分析題意，角的含義，在解應用題時，分析題意，分清已知與所求，再根據題意正確畫分清已知與所求，再根據題意正確畫出示意圖，這是最關鍵、最重要的一出示意圖，這是最關鍵、最重要的一步，通過這一步可將實際問題轉化成步，通過這一步可將實際問題轉化成可用數學方法解決的問題，解題時也可用數學方法解決的問題，解題時也要注意體會正、余弦定理要注意體會正、余弦定理“聯(lián)袂聯(lián)袂”

14、使使用的優(yōu)點用的優(yōu)點課堂互動講練課堂互動講練1利用正、余弦定理可以實現利用正、余弦定理可以實現三角形中的邊角關系的轉化，即三角形中的邊角關系的轉化，即a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.2要熟記三角形的面積公式要熟記三角形的面積公式課堂互動講練課堂互動講練考點四考點四解三角形的綜合問題解三角形的綜合問題課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練【誤區(qū)警示【誤區(qū)警示】(1)不能正確表示不能正確表示b，c.(2)忽略了忽略了x的取值范圍的取值范圍(3)不能不能利用三角函數的單調性利用三角函數的單調性課堂互動講練課堂互動講練(本題滿分

15、本題滿分12分分)已知向量已知向量a(sin，cos)，b(6sincos，7sin2cos)，設函數，設函數f()ab.(1)求函數求函數f()的最大值；的最大值；課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練1解三角形的一般步驟解三角形的一般步驟(1)分析題意，準確理解題意分析題意，準確理解題意分清已知與所求，尤其要理解應分清已知與所求，尤其要理解應用題中的有關名詞、術語，如坡度、用題中的有關名詞、術語，如坡度、仰角、俯角、方位角等仰角、俯角、方位角等(2)根據題意畫出示意圖根據題意畫出示意圖規(guī)律方法總結規(guī)律方法總結(3)將需求解的問題歸結到一個或將需求解的問題歸結到一個或幾個三角形中，通過合理運用正弦定幾個三角形中，通過合理運用正弦定理、余弦定理等有關知識正確求理、余弦定理等有關知識正確求解演算過程中，要算法簡練，計算解演算過程中，要算法簡練，計算正確，并作答正確，并作答(4)檢驗解出的答案是否具有實際檢驗解出的答案是否具有實際意義，對解進行取舍意義，對解進行取舍規(guī)律方法總結規(guī)律方法總結2解斜三角形實際應用舉例解斜三角形實際應用舉例(1)常見的幾種題型常見的幾種題型測量距離問題、測量高度問題、測量距離問題、測量高度問題、測量