振動力學(xué)5多自由度系統(tǒng)振動之二自由振動

1、多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動主講：周利東太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院2011-11-11多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動 多自由度系統(tǒng)的固有頻率作用力方程：作用力方程：)(tPKXXM nRXnnRKM、nRt )(P固有振動方程：固有振動方程：（自由振動方程）（自由振動方程）0KXXM 在考慮系統(tǒng)的固有振動時，最感興趣的是系統(tǒng)的在考慮系統(tǒng)的固有振動時，最感興趣的是系統(tǒng)的同步振動同步振動，即系統(tǒng)在各個坐標(biāo)上除了運(yùn)動幅值不相同外，隨時間變化的即系統(tǒng)在各個坐標(biāo)上除了運(yùn)動幅值不相同外，隨時間變化的規(guī)律都相同的運(yùn)動。規(guī)律

2、都相同的運(yùn)動。 假設(shè)系統(tǒng)的運(yùn)動為：假設(shè)系統(tǒng)的運(yùn)動為： )(tfXnRX1)(Rtf 運(yùn)動規(guī)律的時間函數(shù)運(yùn)動規(guī)律的時間函數(shù) 常數(shù)列向量常數(shù)列向量 nR多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動Tn21 Tnxxx21 X0KXXM )(tf X代入，并左乘代入，并左乘 ：T0KM )()(tftfTT MKTTtftf)()( ：常數(shù)：常數(shù)M 正定，正定，K 正定或半正定正定或半正定 對于非零列向量對于非零列向量 ： 0MT0KT20令：令：對于半正定系統(tǒng)，有對于半正定系統(tǒng)，有 0對于正定系統(tǒng)必有對于正定系統(tǒng)必有 02多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 /

3、多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動nRXnR2)()( MKTTtftf 0)()(2tftf 0 ,)(0),sin()(battftatfa、b、 為常數(shù)為常數(shù)0KXXM )(tf X正定系統(tǒng)正定系統(tǒng) 0（1）正定系統(tǒng)）正定系統(tǒng) 只可能出現(xiàn)形如只可能出現(xiàn)形如 的同步運(yùn)動的同步運(yùn)動)sin( taX系統(tǒng)在各個坐標(biāo)上都是按相同頻率及初相位作簡諧振動系統(tǒng)在各個坐標(biāo)上都是按相同頻率及初相位作簡諧振動 多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動（2）半正定系統(tǒng)）半正定系統(tǒng) 半正定系統(tǒng)半正定系統(tǒng)0可能出現(xiàn)形如可能出現(xiàn)形如 的同步運(yùn)動的同步運(yùn)動)sin(

4、 taX也可能出現(xiàn)形如也可能出現(xiàn)形如 的同步運(yùn)動的同步運(yùn)動)(bat X（不生彈性變形（不生彈性變形 ）主振動主振動首先討論正定系統(tǒng)的主振動首先討論正定系統(tǒng)的主振動 M 正定，正定，K 正定正定0主振動：主振動：)sin(taX正定系統(tǒng)：正定系統(tǒng)：0KXXM nRX將常數(shù)將常數(shù)a并入并入 中中)sin(tXTn21 代入振動方程：代入振動方程： 0)(2MK多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動有非零解的充分必要條件為系數(shù)行列式等于零有非零解的充分必要條件為系數(shù)行列式等于零 0MK2特征方程特征方程 0222212122222222212211211

5、221211211nnnnnnnnnnnnmkmkmkmkmkmkmkmkmk0222212122222222212211211221211211nnnnnnnnnnnnmkmkmkmkmkmkmkmkmk021)1(212nnnnaaa解出解出 n 個值，按升序排列為：個值，按升序排列為： 222210ni：第第 i 階固有頻率階固有頻率頻率方程頻率方程或特征多項(xiàng)式或特征多項(xiàng)式僅取決于系統(tǒng)本身的剛度、質(zhì)量等物理參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的剛度、質(zhì)量等物理參數(shù) 1：基頻：基頻多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動采用位移方程求解固有頻率采用位移方程求解固有

6、頻率 )(tFPXXFM 位移方程：位移方程：nR X1 KF柔度矩陣柔度矩陣0XXFM 自由振動的位移方程：自由振動的位移方程：主振動：主振動： )sin(tXTn21 代入，得：代入，得： 0IFM)(特征值特征值2/1？解釋：解釋：0)(2MKMK2MKI1210)1(2IFM2/1多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動采用位移方程求解固有頻率采用位移方程求解固有頻率 )(tFPXXFM 位移方程：位移方程：nR X1 KF柔度矩陣柔度矩陣0XXFM 自由振動的位移方程：自由振動的位移方程：主振動：主振動： )sin(tXTn21 代入，得：代

7、入，得： 0IFM)(特征值特征值2/1特征方程：特征方程： 0IFM特征根按降序排列：特征根按降序排列： 021n2/1ii多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動例：三自由度系統(tǒng)例：三自由度系統(tǒng)kkkkkkk30203Kmmm000000M030203321222mkkkmkkkmk0)(2MK2km03101210133210MK2113243mk/1 mk/32. 12mk/23m2kmmk2kkx1x2x3多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動 多自由度系統(tǒng)的模態(tài)（主振型）正定系統(tǒng)：正定系統(tǒng)：0主振

8、動：主振動：)sin( taX0KXXM nRXnnRKM、nR0MK)(2特征值問題：特征值問題：特征值特征值特征向量特征向量 n 自由度系統(tǒng)：自由度系統(tǒng)：（固有頻率）（固有頻率）（模態(tài)）（模態(tài)）i)(i一一對應(yīng)一一對應(yīng)ni11)()(1)(niniiR0MK)(2)(ii)(ii、代入，有：代入，有：多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動0MK)(2)(iiTinii)()(1)( 當(dāng)當(dāng) 不是特征多項(xiàng)式的重根時，上式的不是特征多項(xiàng)式的重根時，上式的n個方程中有且只有個方程中有且只有一個是不獨(dú)立的一個是不獨(dú)立的 i設(shè)最后一個方程不獨(dú)立設(shè)最后一個方程

9、不獨(dú)立,把它劃去把它劃去,并且把含有并且把含有 的某個元的某個元素（例如素（例如 ）的項(xiàng)全部移到等號右端）的項(xiàng)全部移到等號右端 )(i)(in)(, 12, 1)(11, 121, 1)(11 , 121 , 1)(121)(11, 121, 1)(111211)()()( )()()(innninninnninninininnininniniimkmkmkmkmkmk若這個方程組左端的系數(shù)行列式不為零，則可解出用若這個方程組左端的系數(shù)行列式不為零，則可解出用 表示表示的的 )(in)(1)(2)(1inii，)(i否則應(yīng)把含否則應(yīng)把含 的另一個元素的項(xiàng)移到等號右端，再解方程組的另一個元素的項(xiàng)

10、移到等號右端，再解方程組 多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動為使計(jì)算簡單，令：為使計(jì)算簡單，令：1)(inTiniii1)(1)(2)(1)(則有：則有：多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動0MK)(2)(iiTinii)()(1)( 當(dāng)當(dāng) 不是特征多項(xiàng)式的重根時，上式的不是特征多項(xiàng)式的重根時，上式的n個方程中有且只有一個方程中有且只有一個不獨(dú)立個不獨(dú)立 i設(shè)最后一個方程不獨(dú)立，把它劃去設(shè)最后一個方程不獨(dú)立，把它劃去,并且把含有并且把含有 的某個元素的某個元素（例如（例如 ）的項(xiàng)全部移到等號右端）的項(xiàng)

11、全部移到等號右端 )(i)(in)(, 12, 1)(11, 121, 1)(11 , 121 , 1)(121)(11, 121, 1)(111211)()()( )()()(innninninnninninininnininniniimkmkmkmkmkmk例：三自由度系統(tǒng)例：三自由度系統(tǒng)kkkkkkk30203Kmmm000000M030203321222mkkkmkkkmk0)(2MK2km03101210133210MK2113243mk/1mk/32. 12mk/232kmmmk2kkx1x2x3多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動03

12、10121013321113243以以 為例進(jìn)行說明為例進(jìn)行說明11將將 代入，有：代入，有：110210111012321020023232121由第三個方程，得：由第三個方程，得：235 . 005 . 0221代入第二個方程：代入第二個方程：0221與第一個方程相同與第一個方程相同方程組中有一式不獨(dú)立方程組中有一式不獨(dú)立例如，將第三個方程去掉例如，將第三個方程去掉321210203121112因此若令因此若令 131122可解出可解出多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動整理整理0MK)(2)(iiTinii)()(1)( )(, 12, 1)

13、(11, 121, 1)(11 , 121 , 1)(121)(11, 121, 1)(111211)()()( )()()(innninninnninninininnininniniimkmkmkmkmkmk令：令：1)(inTiniii 1)(1)(2)(1)( 解得：解得：)(in的值也可以取任意非零常數(shù)的值也可以取任意非零常數(shù)ia)(iia將解得將解得 特征向量特征向量在特征向量中規(guī)定某個元素的值以確定其他各元素的值的在特征向量中規(guī)定某個元素的值以確定其他各元素的值的過程稱為過程稱為歸一化歸一化 多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動正定系統(tǒng)

14、：正定系統(tǒng)：0主振動：主振動：)sin(taX0KXXM nRXnnRKM、nR)(iia將將 ， 代入主振動方程代入主振動方程ii并將并將改為改為第第 i 階主振動階主振動 ：)sin()()(iiiiitaXTiniixx)()(1)(XTinii)()(1)( 系統(tǒng)在各個坐標(biāo)上都將以第系統(tǒng)在各個坐標(biāo)上都將以第i階固有頻率階固有頻率 做做簡諧振動，簡諧振動，并且同時通過靜平衡位置并且同時通過靜平衡位置 i多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動第第 i 階主振動階主振動 ：)sin()()(iiiiitaXTiniixx)()(1)(XTinii)

15、()(1)( )()()(2)(2)(1)(1ininiiiixxx 比值：比值：第第i階特征向量階特征向量 中的一列元素，就是系統(tǒng)做第中的一列元素，就是系統(tǒng)做第i階主振動時各階主振動時各個坐標(biāo)上位移（或振幅）的相對比值個坐標(biāo)上位移（或振幅）的相對比值 )(i雖然各坐標(biāo)上振幅的精確值并沒有確定，但是所表現(xiàn)的系統(tǒng)振雖然各坐標(biāo)上振幅的精確值并沒有確定，但是所表現(xiàn)的系統(tǒng)振動形態(tài)已確定動形態(tài)已確定 描述了系統(tǒng)做第描述了系統(tǒng)做第i階主振動時具有的振動形態(tài)，稱為階主振動時具有的振動形態(tài)，稱為第第i階主階主振型振型，或，或第第i階模態(tài)階模態(tài))(i主振動僅取決于系統(tǒng)的主振動僅取決于系統(tǒng)的M陣，陣，K陣等物理參

16、數(shù)。這一重要概陣等物理參數(shù)。這一重要概念是單自由度系統(tǒng)所沒有的念是單自由度系統(tǒng)所沒有的 多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動正定系統(tǒng)：正定系統(tǒng)：0KXXM nRXnnRKM、第第 i 階主振動階主振動 ：)sin()()(iiiiitaXni1系統(tǒng)的固有振動：系統(tǒng)的固有振動：niiiiinnnntatataat1)()(222)2(111)1()sin( )sin()sin()sin()(XTiniixx)()(1)(XTinii)()(1)( n個主振動的疊加個主振動的疊加 模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法由于各個主振動的固有頻率不相同，多自由度系統(tǒng)的固有振

17、由于各個主振動的固有頻率不相同，多自由度系統(tǒng)的固有振動一般不是簡諧振動，甚至不是周期振動動一般不是簡諧振動，甚至不是周期振動 ：)1(,niaii初始條件決定初始條件決定多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動正定系統(tǒng)：正定系統(tǒng)：0KXXM nRXnnRKM、0MK)(2特征值問題：特征值問題：特征矩陣特征矩陣記為記為 B或或)(B2iadjB)(i當(dāng)當(dāng) 不是重特征根時，可以通過不是重特征根時，可以通過B的伴隨矩陣的伴隨矩陣 求得求得相應(yīng)的主振型相應(yīng)的主振型根據(jù)逆矩陣定義根據(jù)逆矩陣定義 ：BBBadj11兩邊左乘兩邊左乘 ：BBBBIBadj0)()(

18、iiadjBBi當(dāng)當(dāng) 時時 ：0)()(2iiadjBMK或或0MK)(2)(iiTinii)()(1)()(iadjB的任一非零列都是第的任一非零列都是第i階主振型階主振型)(i多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動例：求固有頻率和主振型例：求固有頻率和主振型解：解：00322002121xxkkkkxxmm 動力學(xué)方程：動力學(xué)方程：令主振動：令主振動： )sin(2121txx或直接用或直接用 0MK)(2002322122mkkkmk得：得： m2m2kkkx1x2多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振

19、動00322002121xxkkkkxxmm 002322122mkkkmk00231122105722311220021212km令令 特征方程：特征方程： 5 . 2, 121mkmk581. 1,2111為求主振型，先將為求主振型，先將 代入代入 ：一個獨(dú)立一個獨(dú)立 12令令11則則111）（第一階主振型：第一階主振型：12令令21則則57. 22將將 代入代入122）（第二階主振型：第二階主振型：多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動111）（第一階主振型：第一階主振型：122）（第二階主振型：第二階主振型：畫圖：以橫坐標(biāo)表示靜平衡位畫圖：以

20、橫坐標(biāo)表示靜平衡位置，縱坐標(biāo)表示主振型中各元置，縱坐標(biāo)表示主振型中各元素的值素的值 第一階主振動，兩個質(zhì)量在靜平第一階主振動，兩個質(zhì)量在靜平衡位置的同側(cè)，做著同向運(yùn)動。衡位置的同側(cè)，做著同向運(yùn)動。而做第二階主振動時，兩質(zhì)量在而做第二階主振動時，兩質(zhì)量在平衡位置的異側(cè)，做著異向運(yùn)動平衡位置的異側(cè)，做著異向運(yùn)動 有一點(diǎn)始終不振動，稱為有一點(diǎn)始終不振動，稱為節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) 1121多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動無節(jié)點(diǎn)無節(jié)點(diǎn) 一個節(jié)點(diǎn)一個節(jié)點(diǎn) m2m2kkkx1x2例：求固有頻率和主振型例：求固有頻率和主振型解：解：動力學(xué)方程：動力學(xué)方程：令主振動：令主振

21、動： 或直接用或直接用 0MK)(2得：得： 00030203000000321321xxxkkkkkkkxxxmmm )sin(321321txxx000310203321222mkkmkkkmk2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動000310203321222mkkmkkkmk2km令令 00031012103321令特征矩陣的行列式令特征矩陣的行列式00)45)(3(2特征方程：特征方程：4, 3, 1321mkmkmk/2,/732. 1,/321本題中本題中 都是單根都是單根 321、可用特征矩陣的伴隨矩陣求

22、陣型可用特征矩陣的伴隨矩陣求陣型 1)2)(3(313)3(3131)2)(3(3101210132adjMKB2特征矩陣特征矩陣0)()(2iiadjBMK多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動1)2)(3(313)3(3131)2)(3(3101210132adj選上式右端矩陣的第一列，分別代入選上式右端矩陣的第一列，分別代入 的值的值321、4, 3, 1321111,101,121)3()2()1(得：得：第二階模態(tài)有第二階模態(tài)有1個節(jié)點(diǎn)，第三階模態(tài)有個節(jié)點(diǎn)，第三階模態(tài)有2個節(jié)點(diǎn)，這由主振型內(nèi)個節(jié)點(diǎn)，這由主振型內(nèi)元素符號變號的次數(shù)可以判斷出元

23、素符號變號的次數(shù)可以判斷出多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動111,101,121)3()2()1(模態(tài)圖形：模態(tài)圖形：1121-11-11第一階模態(tài)：第一階模態(tài)：第二階模態(tài)：第二階模態(tài)：第三階模態(tài)：第三階模態(tài)：2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動無節(jié)點(diǎn)無節(jié)點(diǎn)一個節(jié)點(diǎn)一個節(jié)點(diǎn)兩個節(jié)點(diǎn)兩個節(jié)點(diǎn)單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動兩自由度系統(tǒng)兩自由度系統(tǒng)第一階模態(tài)第一階模態(tài)第二階模態(tài)第二階模態(tài)一個節(jié)點(diǎn)一個節(jié)

24、點(diǎn)無節(jié)點(diǎn)無節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)位置節(jié)點(diǎn)位置多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動第一階模態(tài)第一階模態(tài)第二階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)第三階模態(tài)三自由度系統(tǒng)三自由度系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)位置節(jié)點(diǎn)位置無節(jié)點(diǎn)無節(jié)點(diǎn)一個節(jié)點(diǎn)一個節(jié)點(diǎn)兩個節(jié)點(diǎn)兩個節(jié)點(diǎn)多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動第一階模態(tài)第一階模態(tài)第二階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)第四階模態(tài)四自由度系統(tǒng)四自由度系統(tǒng)一個節(jié)點(diǎn)一個節(jié)點(diǎn)兩個節(jié)點(diǎn)兩個節(jié)點(diǎn)三個節(jié)點(diǎn)三個節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)位置節(jié)點(diǎn)位置無節(jié)點(diǎn)無節(jié)點(diǎn)多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動

25、 模態(tài)的正交性，主質(zhì)量和主剛度ij)(i)( j設(shè)設(shè) 、 對應(yīng)的模態(tài)分別為對應(yīng)的模態(tài)分別為 、 兩式相減：兩式相減：)(2)()(2)(jjjiiiMKMK)()(2)()(jTiijTiMK)( j轉(zhuǎn)置右乘轉(zhuǎn)置右乘Ti)(左乘左乘)()(2)()(jTijjTiMK0)()()(22 jTijiMji ji若若 時，時， 0)()( jTiM0)()( jTiK模態(tài)關(guān)于質(zhì)量的正交性模態(tài)關(guān)于質(zhì)量的正交性模態(tài)關(guān)于剛度的正交性模態(tài)關(guān)于剛度的正交性均滿足：均滿足：多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動當(dāng)當(dāng) ij 時，表達(dá)式恒成立時，表達(dá)式恒成立( )( )

26、i TipimMpiiTik )()(K令：令：第第 i 階模態(tài)主質(zhì)量階模態(tài)主質(zhì)量第第 i 階模態(tài)主剛度階模態(tài)主剛度)(i第第 i 階主模態(tài)階主模態(tài) 00)()()()(jTijTiKM模態(tài)關(guān)于質(zhì)量的正交性模態(tài)關(guān)于質(zhì)量的正交性模態(tài)關(guān)于剛度的正交性模態(tài)關(guān)于剛度的正交性當(dāng)當(dāng) ij 時時piiTim )()(M主質(zhì)量主質(zhì)量piiTik )()(K主剛度主剛度ji 當(dāng)當(dāng) 時時利用利用 Kronecker 符號，可綜合寫為：符號，可綜合寫為： piijjTipiijjTikm)()()()(KMjijiij01多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動第第 i 階

27、固有頻率：階固有頻率：)1(nimkpipii 主模態(tài)主模態(tài)：)()(iTipimM )()(iTipikK 第第 i 階模態(tài)主質(zhì)量階模態(tài)主質(zhì)量第第 i 階模態(tài)主剛度階模態(tài)主剛度)(i第第 i 階主模態(tài)階主模態(tài)多自由度系統(tǒng)：多自由度系統(tǒng)：0KXXM nR XnnRKM、ni1另一種模態(tài)：另一種模態(tài)：正則模態(tài)正則模態(tài)定義：使全部主質(zhì)量皆為定義：使全部主質(zhì)量皆為1的主模態(tài)的主模態(tài) )(iN1)()( iNTiNpimMni1)()(iiiNc令：令：12)()(2)()( piiiTiiiNTiNmccMM)()(1ipiiNm 正則模態(tài)和主模態(tài)之間的關(guān)系：正則模態(tài)和主模態(tài)之間的關(guān)系：多自由度系統(tǒng)

28、振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動)(iN相對于相對于 的主剛度：的主剛度：2)()()()(1ipipiiTipiiNTiNmkm KKpiimc1 正則模態(tài)的正交性條件：正則模態(tài)的正交性條件：2)()()()(iijjNTiNijjNTiNKMjijiij01 piijjTipiijjTikm)()()()(KM主模態(tài)的正交性條件：主模態(tài)的正交性條件：)()(iTipimM )()(iTipikK 第第 i 階模態(tài)主質(zhì)量階模態(tài)主質(zhì)量第第 i 階模態(tài)主剛度階模態(tài)主剛度)(i第第 i 階主模態(tài)階主模態(tài)主模態(tài)：主模態(tài)：ni11)()(iNTiNM2)()(ii

29、NTiNK主質(zhì)量為主質(zhì)量為1主剛度為固有頻主剛度為固有頻率的平方率的平方)(iN第第 i 階正則模態(tài)階正則模態(tài)正則模態(tài)：正則模態(tài)：ni1多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)：多自由度系統(tǒng)：0KXXM nR XnnRKM、主模態(tài)主模態(tài))1()(nii將將 組成矩陣組成矩陣模態(tài)矩陣模態(tài)矩陣)()1(n nnR ppnpTppnpTkkdiagmmdiagKKMM),(),(11主質(zhì)量矩陣主質(zhì)量矩陣主剛度矩陣主剛度矩陣 piijjTipiijjTikm)()()()(KMni1正交性條件：正交性條件：多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自

30、由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動)()1()()1(nTnTMM ppnpTmmdiagMM ),(1推導(dǎo)：推導(dǎo)：多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動)()1()()1(nTnTM )()1()()1(nTnT MM )()()1()()()1()1()1(nTnTnnTTMMMM pnpmm001多自由度系統(tǒng)：多自由度系統(tǒng)：0KXXM nR XnnRKM、正則模態(tài)正則模態(tài))1()(niiN將將 組成矩陣組成矩陣正則模態(tài)矩陣正則模態(tài)矩陣)()1(nNNN nnRKIMNTNNTN單位矩陣單位矩陣譜矩陣譜矩陣ni1正交性條件：正交性條件：2)

31、()()()(iijjNTiNijjNTiNKM221n多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)：多自由度系統(tǒng)：0KXXM nRXnnRKM、)(2)(iiiMK特征值問題：特征值問題：依次取依次取 ，得到的，得到的 n 個方程，可合寫為：個方程，可合寫為：ni1 piijjTipiijjTikm)()()()(KMni1主模態(tài)正交性條件：主模態(tài)正交性條件：MK 左乘左乘 ：TppMK ppKM1多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動例：三自由度系統(tǒng)例：三自由度系統(tǒng)111,101,121)3()2

32、()1( 111102111,)3()2()1(模態(tài)矩陣：模態(tài)矩陣：kkkTp1200060006KK mmmTp300020006MM主質(zhì)量矩陣：主質(zhì)量矩陣：主剛度矩陣：主剛度矩陣：非對角線頂?shù)扔诹阏f明主振型是關(guān)于剛度陣及質(zhì)量陣相互正交的非對角線頂?shù)扔诹阏f明主振型是關(guān)于剛度陣及質(zhì)量陣相互正交的 PpMK 、mkmkmkpp400030001KMmkmkmk43232221譜矩陣：譜矩陣：2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動111102111,)3()2()1(模態(tài)矩陣：模態(tài)矩陣：kkkTp1200060006KK m

33、mmTp300020006MM主質(zhì)量矩陣：主質(zhì)量矩陣：主剛度矩陣：主剛度矩陣：mkmkmkpp400030001KM譜矩陣：譜矩陣：)()(1ipiiNm 正則模態(tài)和主模態(tài)之間的關(guān)系：正則模態(tài)和主模態(tài)之間的關(guān)系： 23120223161,3)3(2)2(1)1(mmmmpppN正則模態(tài)矩陣：正則模態(tài)矩陣：KNTNIMNTN不難驗(yàn)證，有：不難驗(yàn)證，有： 2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動 模態(tài)疊加法)(i)1(ni 模態(tài)模態(tài)相互正交相互正交 表明它們是線性獨(dú)立的，可用于構(gòu)成表明它們是線性獨(dú)立的，可用于構(gòu)成 n 維空間的

34、基維空間的基 系統(tǒng)的任意系統(tǒng)的任意n維自由振動可唯一地表示為各階模態(tài)的線性組合維自由振動可唯一地表示為各階模態(tài)的線性組合 nipiix1)(X即系統(tǒng)的振動為即系統(tǒng)的振動為n階主振動的疊加階主振動的疊加模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法 Tnxx1X物理坐標(biāo)物理坐標(biāo)Tpnppxx1X主模態(tài)坐標(biāo)主模態(tài)坐標(biāo)pXX nnnR )()1(模態(tài)矩陣模態(tài)矩陣nRX1)( niR坐標(biāo)關(guān)系：坐標(biāo)關(guān)系：pTMM pTKK 多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動另一種模態(tài)坐標(biāo)：正則模態(tài)坐標(biāo)另一種模態(tài)坐標(biāo)：正則模態(tài)坐標(biāo)Tnxx1X物理坐標(biāo)物理坐標(biāo)TNnNNxx1X正則模態(tài)坐標(biāo)正則模態(tài)坐標(biāo)

35、NXniNiiNNNx1)(XXTNnNNxx1X系統(tǒng)響應(yīng)：系統(tǒng)響應(yīng)：nnnNNNR )(1)正則模態(tài)矩陣正則模態(tài)矩陣IM NTNK NTN多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動小結(jié)：小結(jié)：多自由度系統(tǒng)：多自由度系統(tǒng)：0KXXM nRXnnRKM、可采用兩類模態(tài)坐標(biāo)進(jìn)行描述可采用兩類模態(tài)坐標(biāo)進(jìn)行描述主模態(tài)坐標(biāo)主模態(tài)坐標(biāo)正則模態(tài)坐標(biāo)正則模態(tài)坐標(biāo)nipiipx1)(XXTpnppxx1XpTMM pTKK )()1(n )(1)nNNN TNnNNxx1XniNiiNNNx1)(XXIM NTNK NTN多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)

36、的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動求解無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)求解無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)可分別采用兩類模態(tài)坐標(biāo)進(jìn)行求解可分別采用兩類模態(tài)坐標(biāo)進(jìn)行求解首先采用主模態(tài)坐標(biāo)首先采用主模態(tài)坐標(biāo)自由振動方程：自由振動方程： 00)0()0(XXXX0KXXM ，nRXnnRKM、Tnxxx)0(,),0(),0(210 XTnxxx)0(,),0(),0(210 XpTMM pTKK pXX 坐標(biāo)變換：坐標(biāo)變換：pX：主模態(tài)坐標(biāo)：主模態(tài)坐標(biāo)：主模態(tài)矩陣：主模態(tài)矩陣0KXM pTpTX 代入，并左乘代入，并左乘 ：T0XKXM pppp 模態(tài)坐標(biāo)初始條件：模態(tài)坐標(biāo)初始條件：01)0(XXp01)0(X

37、XpTpnpppxxx)0(,),0(),0(210 XTpnpppxxx)0(,),0(),0(210 X多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動自由振動方程：自由振動方程： 00)0()0(XXXX0KXXM ，nR XnnRKM、pXX 坐標(biāo)變換：坐標(biāo)變換： 0101)0()0(XXXX0XKXM pppppp，展開模態(tài)坐標(biāo)動力學(xué)方程：展開模態(tài)坐標(biāo)動力學(xué)方程：)1(, 0nixkxmpipipipi Tpnpppxxx)0()0(),0(210XTpnpppxxx)0()0(),0(210X求得：求得：)1(,sin)0(cos)0(nitxtx

38、xiipiipipi 在求得在求得 后，可利用后，可利用 式求得原系統(tǒng)的解式求得原系統(tǒng)的解 )1(nixpipXX 多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動求解無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)求解無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)采用正則模態(tài)坐標(biāo)采用正則模態(tài)坐標(biāo)自由振動方程：自由振動方程： 00)0()0(XXXX0KXXM ，nR XnnRKM、Tnxxx)0(,),0(),0(210 XTnxxx)0(,),0(),0(210 XIM NTNK NTNNNXX 坐標(biāo)變換：坐標(biāo)變換：NX：正則模態(tài)坐標(biāo)：正則模態(tài)坐標(biāo)N ：正則模態(tài)矩陣：正則模態(tài)矩陣0XKXMNTNN

39、TN 代入，并左乘代入，并左乘 ：TN0XXINN 模態(tài)坐標(biāo)初始條件：模態(tài)坐標(biāo)初始條件：01)0(XXNN01)0(XXNNTNnNNNxxx)0(,),0(),0(210 XTNnNNNxxx)0(,),0(),0(210 X多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動自由振動方程：自由振動方程： 00)0()0(XXXX0KXXM ，nRXnnRKM、NNXX 坐標(biāo)變換：坐標(biāo)變換：0101)0()0(XXXX0XXI NNNNNN，展開模態(tài)坐標(biāo)動力學(xué)方程：展開模態(tài)坐標(biāo)動力學(xué)方程：)1(, 02nixxNiiNi 求得：求得：)1(,sin)0(cos)

40、0(nitxtxxiiNiiNiNi 在求得在求得 后，可利用后，可利用 式求得原系統(tǒng)的解式求得原系統(tǒng)的解 )1(nixNi NNXX TNnNNNxxx)0(,),0(),0(210 XTNnNNNxxx)0(,),0(),0(210 X多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動例：三自由度系統(tǒng)例：三自由度系統(tǒng)T0220 XT0000 X求：系統(tǒng)在初始條件下的響應(yīng)求：系統(tǒng)在初始條件下的響應(yīng)2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動解：解：動力學(xué)方程：動力學(xué)方程： 0003020300

41、0000321321xxxkkkkkkkxxxmmm mkmkmk/2,/3,/321 23120223161mNTNNm 0326 6/) 0 (01 XXTNN 000 ) 0 (01 XX 0cos32cos6621321ttmxxxNNNNX模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)：模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)：模態(tài)初始條件：模態(tài)初始條件：正則模態(tài)矩陣：正則模態(tài)矩陣：原系統(tǒng)響應(yīng)：原系統(tǒng)響應(yīng)： ttttttxtxtxtNN21121321coscoscos2coscos)()()()(XX分析：分析： tttttxxxtxtxtxtNNNNNNNN21121321)3()2()1(321coscoscos2coscos)()()()(XX 23120223161mN0622261)cos32(630361co