數(shù)學(xué)建模期末復(fù)習(xí)綜合練習(xí)參考解答

1、數(shù)學(xué)建模期末復(fù)習(xí)綜合練習(xí)參考解答填空題參考答案1. 分析 根據(jù)歐拉一筆畫判定原理即知一個(gè)連通圖能夠一筆畫出的充分必要條件是圖中奇數(shù)頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是0或2.應(yīng)該填寫：圖中奇數(shù)頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是0或22. 分析 現(xiàn)在手中的元錢存銀行期就可以變成這里的稱為貨幣的現(xiàn)值，亦即期末的元相當(dāng)于現(xiàn)在的元.于是將給定的數(shù)據(jù)代入上式得現(xiàn)值約萬元.應(yīng)該填寫：約3. 分析 冰淇淋銷量:與參加展覽會(huì)的人數(shù)成正比；與氣溫超過的度數(shù)成正比；與冰淇淋的售價(jià)成反比.由此建立的冰淇淋銷量的比例模型應(yīng)為 是比例常數(shù). 應(yīng)該填寫： 是比例常數(shù)4. 分析 本例要求從返回到，但奇點(diǎn)個(gè)數(shù)有8個(gè)，郵遞員肯定是要重復(fù)走某些街路的。容易判斷選擇在相鄰奇點(diǎn)處加

2、邊使所有點(diǎn)均為偶點(diǎn)，則所有邊的權(quán)和最小。橫向（含加邊）的權(quán)和為134+12=14 (km)；縱向（含加邊）的權(quán)和為234+22=28 (km)則他至少要走42km應(yīng)該填寫：425 分析 增長(zhǎng)率為的線性的減函數(shù)，因?yàn)闀r(shí)增長(zhǎng)率應(yīng)為零，由此確定，那么人口增長(zhǎng)模型修改為人口增長(zhǎng)問題的羅捷斯蒂克模型為，其解為應(yīng)該填寫：6 分析 選擇總需時(shí)少的隊(duì)是快隊(duì)。隊(duì)1總需時(shí)，隊(duì)2總需時(shí)隊(duì)1快的條件是.應(yīng)該填寫：7分析 這里的100元應(yīng)理解為食品和飲料費(fèi)用的上限：；食品至少要花掉40%：；飲料起碼要花30元：用和列出花在食品和飲料上的費(fèi)用的數(shù)學(xué)模型是應(yīng)該填寫：8分析 由平衡原理，有，可導(dǎo)出且初始條件為，其解為應(yīng)該填寫

3、：9分析 若本金為，利率為，期數(shù)為，則到期末，本利和為其中的即為貨幣的終值.亦即元到期末就變成了元了.于是將給定的數(shù)據(jù)代入上式得終值約=32.5779(萬元).應(yīng)該填寫：萬元10 分析 注意到確定性且不允許缺貨的存儲(chǔ)問題有定論：若最佳進(jìn)貨周期和最佳進(jìn)貨量分別用表示，則有存儲(chǔ)論中著名的經(jīng)濟(jì)訂購批量公式 其中， R為每天的商品平均銷售量，為進(jìn)貨一次的手續(xù)費(fèi)，為單位商品的存儲(chǔ)費(fèi)/天。于是將給定的數(shù)據(jù)代入上式即可獲得答案為20（天）和2000（件）。應(yīng)該填寫：20（天） 2000（件）11 分析 由最小樹的概念知：一個(gè)連通圖的最小樹是經(jīng)過該圖所有頂點(diǎn)且總賦權(quán)數(shù)最小的一個(gè)樹形圖.應(yīng)該填寫：頂點(diǎn)且總賦權(quán)數(shù)

4、最小12 分析因?yàn)橘|(zhì)量為的物體自由下落過程中除受重力作用之外，還受到與下落速度成正比空氣阻力的作用，則由牛頓第二定律得,即物體下落過程的數(shù)學(xué)模型是應(yīng)該填寫：13 分析由距離速度時(shí)間得在一秒時(shí)間間隔內(nèi)魚所移動(dòng)的距離為1 (距離單位)；而由題設(shè)得在一秒時(shí)間間隔內(nèi)魚所移動(dòng)的距離為(距離單位),這里（次/秒）、魚身的長(zhǎng)度和它的速度的關(guān)系式為 .應(yīng)該填寫：（k是常數(shù)）14分析所謂數(shù)學(xué)建模的五步建模法是指按一般順序建模的五個(gè)基本步驟: 問題分析，模型假設(shè)，模型建立，模型求解，模型分析應(yīng)該填寫：?jiǎn)栴}分析，模型假設(shè)，模型建立，模型求解，模型分析15 分析 注意到均衡價(jià)格公式而代入計(jì)算便得到50. 應(yīng)該填寫：5

5、016 分析 利用運(yùn)輸問題的解法簡(jiǎn)單運(yùn)算即知：最優(yōu)運(yùn)輸方案不唯一；總運(yùn)費(fèi)均相等應(yīng)該填寫：最優(yōu)運(yùn)輸方案不唯一；總運(yùn)費(fèi)均相等17 分析 本題屬于貨幣的時(shí)間價(jià)值內(nèi)容中的年金的現(xiàn)值問題（分期付款問題），立刻得到計(jì)算公式為（每月月底還款） 其中A為每月的還款金額，月息R=0.5625%，還款期數(shù)=60，由此便可推得A = 元。應(yīng)該填寫：元 18分析 精粗一看，似乎會(huì)感到條件不夠無法回答，但你只要換一種想法，問題就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍載著他開往會(huì)合地點(diǎn)，那么這一天他就不會(huì)提前回家了。提前的十分鐘時(shí)間從何而來？顯然是由于節(jié)省了從相遇點(diǎn)到預(yù)定會(huì)合點(diǎn)，又從預(yù)定會(huì)合點(diǎn)返回相遇點(diǎn)這一段路的緣故，故由相

6、遇點(diǎn)到預(yù)定會(huì)合點(diǎn)需開5分鐘。而此人提前了三十分鐘到達(dá)預(yù)定會(huì)合點(diǎn)，故相遇時(shí)他已步行了二十五分鐘。應(yīng)該填寫：25分析判斷題參考答案1解 飼料來源、公羊與母羊的比例、飼料冬儲(chǔ)、繁殖問題、羊的養(yǎng)殖年限、出售時(shí)機(jī)、羊制品及其深加工等. 2 解 （1）更換自來水龍頭及其費(fèi)用、節(jié)約下來水費(fèi)兩個(gè)因素，兩者的比較可用于確定建模目標(biāo)； （2）數(shù)據(jù)調(diào)查：學(xué)校平均每個(gè)月的用水量，食堂的用水量、衛(wèi)生間用水量、宿舍用水限量的、定時(shí)定量供水的可行性調(diào)查；臨時(shí)申請(qǐng)用水問題等因素3解 撤離時(shí)人員的分布狀態(tài)、人員總數(shù)、撤離速度、人們之間相對(duì)擁擠程度、人員所在地與安全地點(diǎn)的距離、人員撤離完畢所需要的總時(shí)間等.4 解 設(shè)為時(shí)刻血液中

7、酒精的濃度，則濃度遞減率的模型應(yīng)為其通解是而就是所求量. 由題設(shè)可知故有 和 由此解得 可見在事故發(fā)生時(shí)，司機(jī)血液中酒精的濃度已經(jīng)超出了規(guī)定. 5 解 可以轉(zhuǎn)化為運(yùn)輸模型，具體做法如下：首先確定總的供求量. 總產(chǎn)量顯然為160噸；總需求量中，地區(qū)丁的需求量在保證其他地區(qū)最低需求條件下，最多是60噸因此，總需求量按最高需求應(yīng)為210噸，因而可視問題為供小于求的運(yùn)輸問題 其次，為產(chǎn)銷平衡，虛設(shè)一個(gè)水庫D，其產(chǎn)量為50噸 再次，為確定需求量，將有最低需求與額外需求量的地區(qū)分別視為兩個(gè)子區(qū)，并確定各自需求量，注意最低需求量不能由虛設(shè)水庫供給，從而可設(shè)其引水費(fèi)M（M是一個(gè)充分大的正數(shù)）. 綜合上述討論得

8、產(chǎn)銷平衡運(yùn)價(jià)表如下： 表2 單位：元/千噸地區(qū)引水費(fèi)水庫甲1 甲2 乙 丙 丁1 丁2產(chǎn) 量ABCD(虛)16 16 13 22 17 1714 14 13 19 15 1519 19 20 23 M MM 0 M 0 M 050605050銷 量30 20 70 30 10 506解 根據(jù)題意可知：下一年病人數(shù)=當(dāng)年患者數(shù)的一半+新患者.于是令為從2000年起計(jì)算的年后患者的人數(shù)，可得到遞推關(guān)系模型：得遞推公式由可以算出2005年時(shí)的患者數(shù)人.由遞推公式容易看出，故結(jié)論正確.7 解 穿高跟鞋后新的比值應(yīng)為 令 ， 由此可知 8解 以地球中心為原點(diǎn)，向上方向?yàn)榭v軸建立直角坐標(biāo)系從地球表面算起，

9、設(shè)應(yīng)站高度為，那么根據(jù)題設(shè)，該點(diǎn)到地球表面的切線長(zhǎng)應(yīng)為 則依據(jù)題意，并利用勾股定理有，解得. 也可以利用切割線定理求出9 解若視該路線圖中各街路交點(diǎn)為頂點(diǎn)，相連接街路為邊，郵路就成為一個(gè)賦權(quán)無向圖。從而只要該圖能一筆畫出，則其總長(zhǎng)就是最短的。本例要求從D返回到D，但奇點(diǎn)個(gè)數(shù)有8個(gè)，郵遞員肯定是要重復(fù)走某些街路的。選擇在奇點(diǎn)處加邊使所有點(diǎn)均為偶點(diǎn)，同時(shí)所加邊的權(quán)和最小。容易計(jì)算加邊的方案最好。（1）郵遞員要走2+3+2+2+4+3+1+3+2+3+3+3+3+2+1+3+4+3+2+3=52km路程；（2）建議郵遞員行走的一條路線為（不是唯一的）。( 如果改為郵遞員從郵局出發(fā)走遍所有街路后再返回

10、郵局，如何分析解答? )10 解 稍加考慮并注意生活常識(shí)便知，問題與盤子、水和溫度這三個(gè)實(shí)體直接相關(guān)，從而可以給出以下因素：洗滌劑水的溫度、周圍環(huán)境的溫度、盤子的溫度、洗滌劑水的量、盤子尺寸的大小、每次放入水中的盤子數(shù)、水的初始溫度、終了溫度、水是否流動(dòng)、空氣是否有對(duì)流11 解 根號(hào)下表達(dá)式較繁，可以在假設(shè)很大情形下，略去第一項(xiàng)，從而得到y(tǒng) =exp(x).又若便可以寫成更為簡(jiǎn)潔的形式；如果（很小，則可以略去原式第二項(xiàng)而寫成 12 解 可以轉(zhuǎn)化為運(yùn)輸模型，具體做法如下： 首先確定總的產(chǎn)銷量. 總產(chǎn)量顯然為12000件；總需求量中，客戶3的需求量在保證已承諾給客戶1和2的供給量7000件條件下，

11、最多是5000件，而客戶4則最多可得4000件因此，總需求量按最高需求應(yīng)為16000件，因而可視問題為供小于求的運(yùn)輸問題 其次，為產(chǎn)銷平衡，虛設(shè)一個(gè)工廠4，其產(chǎn)量為4000件 再次，為確定需求量，將有最低需求與額外需求量的客戶分別視為兩個(gè)客戶，并確定各自需求量，注意最低需求量不能由虛設(shè)工廠供給，從而可設(shè)其利潤(rùn)值是-M（M是一個(gè)充分大的正數(shù)）. 綜合上述討論得產(chǎn)銷平衡運(yùn)價(jià)表如下： 表2 單位：元/件 客戶利潤(rùn)工廠1 2 3 3 4供給量123 465 63 62 62 6468 67 65 65 6263 60 59 59 60 -M -M -M 0 03000500040004000 需 求

12、量 4000 3000 1000 4000 4000 13 解（1）因?yàn)榭尚杏虻挠疑戏綗o界，故將出現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)趨于無窮大的情形，結(jié)果是問題具有無界解； （2）將最優(yōu)解代入約束條件可知第二個(gè)約束條件為嚴(yán)格不等式，而其他為嚴(yán)格等式。這說明，鐵和鈣的攝入量達(dá)標(biāo)，而蛋白質(zhì)的攝入量超最低標(biāo)準(zhǔn)18個(gè)單位。 14 解設(shè)想一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假如你能停住，請(qǐng)立即停車。停車是需要時(shí)間的，在這段時(shí)間內(nèi)，車輛仍將向前行駛一段距離。對(duì)于那些黃燈亮?xí)r已過線的車輛，則應(yīng)當(dāng)保證它們?nèi)阅艽┻^馬路，馬路的寬度是要考慮的。黃燈亮的時(shí)間長(zhǎng)度應(yīng)保證距路口不足制動(dòng)距離的車輛能通過馬

13、路。因而黃燈亮的時(shí)間長(zhǎng)度應(yīng)該考慮的相關(guān)因素有：（）司機(jī)在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應(yīng)當(dāng)剎車的反應(yīng)時(shí)間即司機(jī)的反應(yīng)靈敏程度；（）剎車制動(dòng)后車輛駛過的路程；（）此街道的行駛速度；（）馬路的寬度；（）不同的路面狀況；（）不同的車重；（）天氣情況。(至少列出三種，少一種扣三分)15 解1）要研究的問題：如何設(shè)置四部電梯的?？糠绞?，使之發(fā)揮最大效益； 2）所需資料為：每天早晨乘電梯的總?cè)藬?shù)、各層上、下電梯的人數(shù)、電梯的速度、樓層的高度、層數(shù)等；3）要做的具體建模前期工作：觀察和統(tǒng)計(jì)所需資料，一般講，需要統(tǒng)計(jì)一周內(nèi)每天的相關(guān)資料；4）可以建立概率統(tǒng)計(jì)模型，亦可在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下建立確定性模型16 解（1）車流的密度；（

14、2）車的行駛速度； （3）道路的寬度； （4）行人穿越馬路的速度；（5）設(shè)置斑馬線地點(diǎn)的兩側(cè)視野等。 （注意：最少寫出3個(gè)因素。每少寫對(duì)一個(gè)因素扣3分）計(jì)算題參考答案1 解 本題屬于產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問題模型。 (1) 利用最小元素法可得初始方案如表2，表2運(yùn)價(jià) 銷地產(chǎn)地 B1 B2 B3 B4產(chǎn)量15A1A2A3 3 5 2 9 15 4 7 5 12 6 9 10 11 20 15 25銷量 10 20 15 15 （2）使用閉回路法可得負(fù)檢驗(yàn)數(shù)為= -1，故令進(jìn)基 （3）使用閉回路法進(jìn)行調(diào)整知出基，便得新的運(yùn)輸方案如表3 表3運(yùn)價(jià) 銷地產(chǎn)地 B1 B2 B3 B4產(chǎn)量A1A2A3 3 5 2

15、 9 15 4 7 5 12 6 9 10 11 20 15 25銷量 10 20 15 152 牛頓冷卻定律指出,當(dāng)系統(tǒng)與環(huán)境的溫度差(不超過1015)不大時(shí),系統(tǒng)溫度的變化率與系統(tǒng)溫度和環(huán)境溫度之差成正比,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為，其中為系統(tǒng)溫度，為環(huán)境溫度，為客觀時(shí)間，為散熱系數(shù)，散熱系數(shù)只與系統(tǒng)本身有關(guān)解一個(gè)正常人在一般的溫度環(huán)境下，受大腦神經(jīng)中樞的調(diào)節(jié)，其體溫能維持在37 ，但死亡后其體溫調(diào)節(jié)功能立即喪失，于是逐漸冷卻。（）以20:30作為時(shí)間坐標(biāo)的起始點(diǎn)，記為，而在時(shí)刻，被害者的體溫為，根據(jù)牛頓冷卻定律，在時(shí)間段內(nèi)，有分離變量并積分得由可確定，又由得可確定于是當(dāng)時(shí),由上式可解得時(shí)時(shí)分；于是被

16、害人的死亡時(shí)間約為時(shí)分時(shí)分時(shí)分即被害人的死亡時(shí)間約為在18:04，因此不能從時(shí)間上排除鄭某的作案嫌疑。（）已知,代入,解得時(shí)時(shí)分；于是被害人的死亡時(shí)間約為時(shí)分時(shí)分時(shí)分即被害人的死亡時(shí)間約為17:05，因此能從時(shí)間上排除鄭某的作案可能性。3解本題是選自文字教材的練習(xí)題，由于其求解大家都比較熟悉，這里不再贅述而只是做簡(jiǎn)單的提示和必要的說明。本題屬于決策樹模型，且為兩階段決策模型。其一般做法是：先從左至右畫出決策樹，并將題目中有關(guān)數(shù)據(jù)標(biāo)于決策樹上，然后利用期望值法從右至左計(jì)算各個(gè)狀態(tài)節(jié)點(diǎn)和決策節(jié)點(diǎn)的期望值，依據(jù)期望值的大小進(jìn)行遴選和剪枝，從而最后給出決策結(jié)果。注意它是文字教材上的習(xí)題，這里僅作關(guān)鍵性

17、說明。 首先，建立決策樹模型如圖.ACBDB高水位 高水位 洪水 0.02洪水 0.02筑堤不筑堤搬走不搬走-1800-500-60500-10000-60000 圖 其次，使用期望值法計(jì)算過程見圖.ACBDB高水位 高水位 洪水 0.02洪水 0.02筑堤不筑堤搬走不搬走-1800-500-60500-10000-60000-1800-1335-1335-3700 圖 最優(yōu)決策為：不必搬走機(jī)械，但要筑一個(gè)護(hù)堤，期望損失1335元。4 解以開始下雪時(shí)刻為時(shí)間坐標(biāo)的原點(diǎn)，4:00對(duì)應(yīng)時(shí)刻是；由于下雪速度是均勻的，所以在時(shí)刻時(shí)積雪厚度為 ；設(shè)路面寬度為 ,鏟雪車的工作效率為 .設(shè)在時(shí)間段所鏟雪的體

18、積為，則其推進(jìn)的距離為由題設(shè)，可得 及 即 及 于是 2 即4:00對(duì)應(yīng)的時(shí)刻是37.08分=37分4.8秒.故這場(chǎng)雪大約是從3點(diǎn)22分55秒開始下的5 解 由題意可知，只需求出該網(wǎng)絡(luò)圖的最小樹即可.利用破圈法容易得樹形圖（圖5-2）： 圖5-2 v1v2v3v4v6v5v8v7v943243425故得架設(shè)路線為:總架線長(zhǎng)度為27km，故總架設(shè)費(fèi)用為 （萬元）6解 本題屬于圖模型中較為簡(jiǎn)單的最短路問題。為使用圖方法求解，首先要建立其圖模型，然后才能使用相應(yīng)的解法求解之；求解方法則是Dijkstra的雙標(biāo)號(hào)法；獲得固定標(biāo)號(hào)之后再進(jìn)行逆向搜索即可得到從廠家A到目的地的最佳運(yùn)輸路線；最后要給出其最小費(fèi)用值。24AB2