空間問(wèn)題與板殼單元

1、 在用有限元法求解軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題時(shí)，采用的單元一般為整圓環(huán)，如圖所示。它們和子午面rz面相交的截面，可以是直邊三角形或矩形，也可以是任意四邊形、曲邊三角形、曲邊四邊形等。各個(gè)單元之間以圓環(huán)形的鉸相互連接，而每一個(gè)鉸與子午面rz面的交點(diǎn)就稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)。如圖上的i、j、m等。所有單元將在子午面rz面上形成有限元網(wǎng)格，與在平面問(wèn)題中形成的網(wǎng)格一樣。因?yàn)樵谳S對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中采用的單元是一個(gè)整圓環(huán)，所以在計(jì)算單元的體積時(shí)要注意到這一點(diǎn)。下面以三角形截面單元為例，說(shuō)明如何求解軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題。 如圖所示子午面rz面上的一個(gè)三角形單元，設(shè)單元上任一點(diǎn)的徑向位移（沿r向位移）分量為 ，軸向位移（沿z向位移）為量為 。由于這兩個(gè)位

2、移分量?jī)H是r和z的函數(shù)，故令uw123456urzwrz 與平面問(wèn)題一樣，可將位移用形函數(shù)及節(jié)點(diǎn)位移表示為iijjmmiijjmmuN uN uN uwN wN wN w即eeeeijmu= NNNv uNIII式中： 二階單位矩陣； 、 、 形函數(shù)矩陣，如下IiNjNmN 1()2iiiiNabrc z （i、j、m 輪換）1211iijjmmrzrzrz jjimmrzarz11jimzbz 11jimrcr式中： 由彈性力學(xué)知，軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中除平面內(nèi)的應(yīng)變分量 外，還有環(huán)向應(yīng)變 。rzzr、 、因此其幾何方程為rezrzururwzwurz 將位移代入上式，得eeeeeeeijmBBBB

3、引入iiiiabrc zhr則00001020iiiieiiiiiiiNrbNhrcNzcbNNzrB 應(yīng)變矩陣 中的元素不全是常量，因此單元內(nèi)的應(yīng)變也不是常量，這是因?yàn)檩S對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中采用的單元是圓環(huán)，徑向的位移 必引起環(huán)向應(yīng)變 ，而此應(yīng)變的大小與點(diǎn)的位置有關(guān)。另外，由于 中含有 項(xiàng)，使單元的應(yīng)變、應(yīng)力及單元?jiǎng)偠染仃嚨挠?jì)算比平面問(wèn)題復(fù)雜得多。1 reBueB根據(jù)彈性力學(xué)可知 ，對(duì)于軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，有ee D Terzrz 1011101111+1 210111 20002 1ED = 根據(jù)虛功原理或用最小位能原理，可以和平面問(wèn)題一樣推得其單元?jiǎng)偠染仃嚨谋磉_(dá)式為 ，在軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中，由于單元是一圓環(huán)，上

4、述積分式中的微分體積 可取為微分圓環(huán)的體積，即 ，故單元?jiǎng)偠染仃嚍閑eeTdVKBDBdV2dVrdrdz2eeTerdrdzKBDB 與平面問(wèn)題一樣，單元?jiǎng)偠染仃?是一個(gè) 階的方陣，矩陣 可分成三塊，故 也可分成 個(gè)子矩陣，每個(gè)子矩陣為 階的方陣，其表達(dá)式為3 32 2eBeK2eeTeststrdrdzKBDB( , ,)s ti j m 因?yàn)榫仃?與坐標(biāo)有關(guān)，且坐標(biāo)r處于分母上，因此積分不像平面問(wèn)題中那么簡(jiǎn)單，常采用三種辦法進(jìn)行計(jì)算：1、顯式積分；2、數(shù)值積分；3、簡(jiǎn)單的近似積分。一般采用第3種簡(jiǎn)單的積分，它不僅在程序上簡(jiǎn)單，而且還回避了節(jié)點(diǎn)在極軸上時(shí)帶來(lái)的奇異問(wèn)題。實(shí)踐證明，在精度方面

5、它并不比精確的積分公式法差。 具體做法是取節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)平均值，即單元中心坐標(biāo)eB33ijmijmrrrrzzzz并取iiiiabrc zhr在式剛度矩陣中以 代替 ，以 代替 可得ihihrir00102iieiiiibhccbB 這樣就使得單元?jiǎng)偠染仃囍械谋环e函數(shù)化為常數(shù)，然后積分即可求得 ，具體表達(dá)式這里不再給出。estK 與平面問(wèn)題一樣，無(wú)論使用虛功原理或最小位能原理可以得到相同的載荷移置公式，其形式與平面問(wèn)題相似。 1. 集中載荷 軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中的集中載荷實(shí)質(zhì)上是沿著圓周線(xiàn)作用，均勻分布的一圈力。在子午面單元上任一點(diǎn) 處作用集中力 ，其中 、 為單位弧長(zhǎng)上分布力的合力，其對(duì)應(yīng)的等效節(jié)點(diǎn)載荷為

6、,CCrzTcrczcFFF =rcPrzP2eeTcccrFNF 2. 面力 設(shè)單元的分布面力為 ，則其對(duì)應(yīng)的等效節(jié)點(diǎn)載荷為T(mén)rzqqq =2eeTqSrdSFNq 3. 體積力 設(shè)單元是分布體力為 ，其中 、 為單位體積的體力分量，其對(duì)應(yīng)的等效節(jié)點(diǎn)載荷為T(mén)rzGGG =rGzG2eeTGArdrdzFN G 例如，在體力為自重的情況下，有 、 其中 為容重，于是有0rG zG 0000200020000202026TijmeGijmATijmATijmjmimijNNNrdrdzNNN-NNNrdrdzArrrrrrrrr F 1. 位移模式 如圖所示的四面體單元，單元節(jié)點(diǎn)的編碼為i，j，

7、m，n。每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有三個(gè)位移分量，單元節(jié)點(diǎn)的位移列陣可表示為iTjeiiijjjmmmnnnmnuvwuvwuvwuvw 單元的位移模式采用線(xiàn)性多項(xiàng)式的形式，如下123456789101112uxyzvxyzwxyz 將單元上四個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，求解相應(yīng)參數(shù)，則單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移可用節(jié)點(diǎn)位移和形函數(shù)表示，如下iijjmmnniijjmmnniijjmmnnuN uN uN uN uvN vN vN vN vwN wN wN wN w用矩陣表示為000000000000000000000000iijmnjeijmnmijmnneeijmnuNNNNvNNNNwNNNNNNNN uIIIIN 式

8、中：I I三階單位陣； 、 、 、 四面體單元的形函數(shù)，如下iNjNmNnN1()61()61()61()6iiiiijjjjjmmmmmnnnnnNab xc yd zVNab xc yd zVNab xc yd zVNab xc yd zVjjjimmmnnnxyzaxyzxyz111jjimmnnyzbyzyz111jjimmnnxzcxzxz111jjimmnnxydxyxy1111iiijjjmmmnnnxyzxyzVxyzxyz式中：（i、j、m、n輪換） 式中：V四面體的體積。 2. 單元應(yīng)變 根據(jù)幾何方程，得eeeeijmnBBBBB 00000016000iiiiiiiiii

9、bcdVcbdcdbB（i、j、m、n輪換） 由于單元中的應(yīng)變是常量，所以四面體單元是常應(yīng)變單元。3. 單元應(yīng)力由物理方程得單元的應(yīng)力為eeeeeijmnDDBSSSSS式中： 空間問(wèn)題的彈性矩陣，如下D10001110001110001111 211 2000002 11 2000002 11 2000002 1ED =式中： 四面體單元的應(yīng)力矩陣，表示為S11111132222220600iiiiiiiiiiiiiiiibAcAdAbcAdAbAcdAA cA bVA dA cA dA bS （i、j、m、n輪換）式中： ， ， 。 11A21 22(1)A3(1)(1)(1 2 )EA

10、由于單元中的應(yīng)力是常量，所以四面體單元是常應(yīng)力單元。 4. 單元?jiǎng)偠染仃?由虛功原理，按照平面問(wèn)題的類(lèi)似推導(dǎo)，可得空間問(wèn)題的單元?jiǎng)偠染仃嚍閑eTeeTedxdydzVK =BDB= BDB單元?jiǎng)偠染仃嚳杀硎緸榉謮K形式，如下iiijiminjijjjmjnemimjmmmnninjnmnnKKKKKKKKK =KKKKKKKK式中任一子塊由下式計(jì)算147258369(1)36 (1+ )(12 )eTeststKKKEV =KKKVKKKK= BDB, ,s ti j m n122123124125261271281292()()()rsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsr

11、srsrsrsrsrsKb bA c cd dKAc bA b cKAd bA b dKAb cA c bKc cA d db bKAd cA c dKAb dA d dKAc dA d cKd dA b bc c式中：5. 等效節(jié)點(diǎn)載荷（1）集中載荷若集中載荷為 ，則等效節(jié)點(diǎn)載荷可表示為T(mén)ccxcyczFFFFeeTccFNFeeTqdAFNq（3）體力若分布體力為 ，則等效節(jié)點(diǎn)載荷可表示為T(mén)xyzGGGG =eeTGdxdydzFNG（2）面力 對(duì)于單元的某一邊界上的分布面力 ，則等效節(jié)點(diǎn)載荷可表示為qTxyzqqq 單 元 自 重 的 等 效 節(jié) 點(diǎn) 載 荷 可 由 上 式 計(jì) 算 ，

12、因?yàn)?，所以等效節(jié)點(diǎn)載荷表示為0,xyzGGG 11110 00 00 00 0444411110 00 00 00 04444eeTGTTdxdydzVVVVVWWWWFNG 由上式可知，單元等效節(jié)點(diǎn)力可看作將單元自重W均勻移置到每個(gè)節(jié)點(diǎn)上。 1. 四面體單元 由上節(jié)可知，常應(yīng)變四面體單元中的各點(diǎn)應(yīng)力為常量，然而實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中的各點(diǎn)應(yīng)力是隨著坐標(biāo)變化的，為了反映真實(shí)情況，可以假定高次位移模式，相應(yīng)的單元稱(chēng)為高階單元。例如，在四節(jié)點(diǎn)四面體單元的基礎(chǔ)上增加節(jié)點(diǎn)數(shù)，形成四面體單元族，如圖所示。圖中的4節(jié)點(diǎn)、10節(jié)點(diǎn)和20節(jié)點(diǎn)四面體單元，與左側(cè)的四面體比較，可以看出節(jié)點(diǎn)的數(shù)目與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)完全一致，

13、因此相應(yīng)的位移模式可取為一次、二次和三次完全多項(xiàng)式。不難驗(yàn)證10節(jié)點(diǎn)二次四面體單元的應(yīng)力、應(yīng)變隨著坐標(biāo)線(xiàn)性變化，20節(jié)點(diǎn)三次四面體的應(yīng)力、應(yīng)變是坐標(biāo)的二次函數(shù)，對(duì)于彈性力學(xué)問(wèn)題其計(jì)算精度大大高于4節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變四面體單元。高次四面體單元 2. 六面體單元 在空間問(wèn)題中經(jīng)常使用六面體單元，常見(jiàn)的六面體單元有8節(jié)點(diǎn)、20 節(jié)點(diǎn)和32節(jié)點(diǎn)的立方體單元，如圖5.5所示。8節(jié)點(diǎn)六面體單元精度明顯高于同樣節(jié)點(diǎn)數(shù)的四面體單元，20節(jié)點(diǎn)的六面體單元精度更高一些，但六面體形狀難以適應(yīng)工程結(jié)構(gòu)的復(fù)雜外形，實(shí)際中使用不多。 空間六面體單元 板殼結(jié)構(gòu)是工程結(jié)構(gòu)中常見(jiàn)的一種結(jié)構(gòu)，如圖所示，中面為平面的稱(chēng)為板，中面為曲面的稱(chēng)

14、為殼。本節(jié)以四節(jié)點(diǎn)矩形彎曲薄板單元為例，說(shuō)明板殼單元的基本理論。板殼結(jié)構(gòu)( , )ww x ywuzx wvzy 1.應(yīng)變?cè)诎宓男隙壤碚撝校鍐卧牡奈灰票硎緸?板單元的應(yīng)變表示為222222xeyxywuxxvwzzyyuvwyxx y 式中：222222Twwwxyx y 2.應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系10110002(1)xxyyxyxyE 則應(yīng)力為xyxyzDD式中： 彈性矩陣。D3.內(nèi)力分量由彈性理論得22222312xhhhhyxyfMMz dzzdzMhMDDD式中： 薄板彎曲問(wèn)題的彈性矩陣，如下fD32101012(1)(1)002fEhD 則薄板應(yīng)力可由內(nèi)力表示，如下312zhM 四

15、節(jié)點(diǎn)矩形薄板單元如圖所示，節(jié)點(diǎn)位移為iiixiiyiiwwwywx （i、j、m、n輪換） 矩形薄板有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，整個(gè)單元的位移列陣為T(mén)eTTTTijmn矩形薄板單元的位移模式可取為22312345672233389101112waa xa ya xa xya ya xa x ya xya ya x ya xyeew N 將薄板單元的坐標(biāo)和節(jié)點(diǎn)位移代入上式，求解得到 ，并代回上式，則上式表示為112aa式中：ijmnNNNNN式中：iixiyiNNNN式中：222211(1)(2)811(1)(1)811(1)(1)8iiiiixiiiiyiiiiNNbNa （i、j、m、n輪換）式中：,iii

16、ixyxyaabb將位移代入應(yīng)變表達(dá)式，可得到單元應(yīng)變eeeeijmnBBBBB 式中：22222222222211122iieiiiiiaxzzybabx y NNNNBNN （i、j、m、n輪換）化簡(jiǎn)后得到單元應(yīng)變矩陣，如下22223(1)01 3(1)3(1)1(1 3)04(334)(321)(321)iiiiieiiiiiiiiiiiibbazaaabbbaB則單元應(yīng)力可由物理方程求得，如下eeee= DDS 單元?jiǎng)偠染仃囉梅謮K形式表示為 將應(yīng)變矩陣 、彈性矩陣 代入單元?jiǎng)偠纫话惚磉_(dá)式 中，得單元?jiǎng)偠染仃嚍閑BDeeTedVKB DB112112heeTehabd d dz KBDB

17、iiijiminjijjjmjnemimjmmmnninjnmnnKKKKKKKKKKKKKKKKK111213212223313233staaaaaaaaaK, ,s ti j m n式中子矩陣為33的矩陣，如下式中：222200001122222200122222001322220212231514455323515532351553235155iijiijjjbbbaaHaaabaaaHbbbbbaHaaaaaaHbbb 02200002222322003122322200003322(1)(35)5(3)(3)15()()323515515()()2(1)(35)5(3)(3)iijijjjiijijaaHbbaH abbbaHaaaaH abbaHaa 式中：30026012(1)ijijDEhHDab 至于單元節(jié)點(diǎn)等效載荷的求法以及總體剛陣的組裝均與平面問(wèn)題是類(lèi)似的，這里不再給出。把四節(jié)點(diǎn)矩形平面應(yīng)力單元和該節(jié)討論的四節(jié)點(diǎn)矩形彎曲薄板單元結(jié)合起來(lái)，可以構(gòu)造同時(shí)考慮中面的伸展和板彎曲的四節(jié)點(diǎn)矩形板單元，進(jìn)而分析殼體單元。 如圖（a）表示一個(gè)邊長(zhǎng)為1m的正方形薄板，四邊固支，中心受垂直板面的