概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：4-3 矩、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

1、 4.3 矩、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)問題 對(duì)于二維隨機(jī)變量(X ,Y ):已知聯(lián)合分布邊緣分布 對(duì)二維隨機(jī)變量,除每個(gè)隨機(jī)變量各自的概率特性外, 相互之間可能還有某種聯(lián)系問題是用一個(gè)怎樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系. 數(shù)反映了隨機(jī)變量 X , Y 之間的某種關(guān)系 4.4幾個(gè)重要的 r.v. 函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 X 的 k 階原點(diǎn)矩 X 的 k 階絕對(duì)原點(diǎn)矩 X 的 k 階中心矩 X 的 方差矩矩 X ,Y 的 k + l 階混合原點(diǎn)矩 X ,Y 的 k + l 階混合中心矩 X ,Y 的 二階原點(diǎn)矩 X ,Y 的二階混合中心矩 X ,Y 的協(xié)方差 X ,Y 的相關(guān)系數(shù) 稱為 X ,Y 的協(xié)方差. 記為 稱為（X

2、, Y ）的協(xié)方差矩陣可以證明 協(xié)方差矩陣 為 半正定矩陣協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義定義定義若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,稱為X ,Y 的 相關(guān)系數(shù)，記為事實(shí)上，若稱 X ,Y 不相關(guān).無量綱 的量 若 ( X ,Y ) 為離散型，若 ( X ,Y ) 為連續(xù)型，協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的計(jì)算 求 cov (X ,Y ), XY 1 0 p qX P 1 0 p qY P 例1 已知 X ,Y 的聯(lián)合分布為XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 0, D(Y ) 0 時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 等式成立 Cauchy-Schwarz不等式證 令對(duì)任何實(shí)數(shù) t ,即等號(hào)成立有兩個(gè)相等的實(shí)零點(diǎn)即顯然

3、即即 Y 與 X 有線性關(guān)系的概率等于1, 這種線性關(guān)系為完全類似地可以證明當(dāng)E(X 2) 0, E(Y 2 ) 0 時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 等式成立.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) Cauchy-Schwarz不等式的等號(hào)成立即Y 與X 有線性關(guān)系的概率等于1，這種線性關(guān)系為系性質(zhì)如例1中 X ,Y 的聯(lián)合分布為XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 1p + q = 1已求得 , 則必有其中 X , Y 不相關(guān)X ,Y 相互獨(dú)立X , Y 不相關(guān)若 ( X , Y ) 服從二維正態(tài)分布，X , Y 相互獨(dú)立X , Y 不相關(guān)例4 設(shè) ( X ,Y ) N ( 1,4; 1,4; 0.5 ), Z = X + Y , 求 XZ解例4 若 X , Y 是兩個(gè)r.v., 用X 的線性函數(shù)去逼近 Y 所產(chǎn)生的平均平方誤差為當(dāng)取平均平方誤差最小. 矩在線性回歸中 的應(yīng)用附錄附錄附例 設(shè) X ,Y 相互獨(dú)立, 且都服從 N ( 0, 2), U = aX + bY , V= aX - bY , a,b 為常數(shù)，且都不為零，求UV 解由附例而故 a,b 取何值時(shí), U與V 不相關(guān)？此時(shí), U與V 是否獨(dú)立？繼續(xù)討論但 UN (0, 2a2 2