理想流體有旋無旋流動

1、第八章第八章 理想流體的有旋流動和無旋流動理想流體的有旋流動和無旋流動1 1 理想流體運(yùn)動基本方程組2 2 理想流體基本方程的定解條件及其積分3 3 理想流體的有旋流動4 4 有勢流動速度勢和流函數(shù)5 5 幾種簡單的不可壓縮流體的平面流動及其疊加6 6 平行流繞過圓柱體的平面流動8.1 8.1 微分形式的連續(xù)方程微分形式的連續(xù)方程 單位時(shí)間內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)ABCDABCD面流入面流入dydzvxxzyABCDEFGHdxdydzxvzvyvdydzvxdydzdxx)v(vxx 單位時(shí)間內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)EFGHEFGH面流出面流出dydz)dxxvv)(dxx(xx dydzdxx)v(vxx 8.1

2、 8.1 微分形式的連續(xù)方程微分形式的連續(xù)方程 單位時(shí)間內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)x x方向凈質(zhì)量流量方向凈質(zhì)量流量dxdydzx)v(x 同理：單位時(shí)間內(nèi)同理：單位時(shí)間內(nèi)y y方向凈質(zhì)量流量方向凈質(zhì)量流量dxdydzy)v(y z z方向：方向：dxdydzz)v(z 單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)密度變化引起的質(zhì)量變化量為：單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)密度變化引起的質(zhì)量變化量為：dxdydzt l 由質(zhì)量守恒：即：控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增長率即：控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增長率 通過界面流出控制體的質(zhì)量流量通過界面流出控制體的質(zhì)量流量0 08.1 8.1 微分形式的連續(xù)方程微分形式的連續(xù)方程0z)v(y)v(x)v(tzyx 微分形式的

3、連續(xù)方程微分形式的連續(xù)方程kzjyix zvyvxvvzyx z)v(y)v(x)v()v(zyx 引入哈密頓算子引入哈密頓算子8.1 8.1 微分形式的連續(xù)方程微分形式的連續(xù)方程0)v(t 用歐拉法分析流體運(yùn)動時(shí)用歐拉法分析流體運(yùn)動時(shí): :zvyvxvtdtdzyx 當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)遷移導(dǎo)數(shù)遷移導(dǎo)數(shù)0z)v(y)v(x)v(tzyx 展開并整理，得：展開并整理，得：0)zvyvxv(dtdzyx 0)v(dtd 8.1 8.1 微分形式的連續(xù)方程微分形式的連續(xù)方程vzvyvxv)vzyx div(0)v(t div0)v(dtd div 散度：散度：微分形式的連續(xù)方程適用于所有流體（粘性、理

4、想），所有微分形式的連續(xù)方程適用于所有流體（粘性、理想），所有流態(tài)（層、紊、亞音速、超音速等）。流態(tài)（層、紊、亞音速、超音速等）。8.1 8.1 微分形式的連續(xù)方程微分形式的連續(xù)方程 對定常流動：對定常流動：0z)v(y)v(x)v(zyx 0)v( div0)v( 0zvyvxvzyx 0)v( div0v 對不可壓縮流體定常流動：對不可壓縮流體定常流動：8.2 8.2 流體微團(tuán)運(yùn)動的分解流體微團(tuán)運(yùn)動的分解剛體的運(yùn)動速度剛體的運(yùn)動速度剛體任意參考點(diǎn)的平移速度剛體任意參考點(diǎn)的平移速度繞參考點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)速度繞參考點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)速度流體任一質(zhì)點(diǎn)流體任一質(zhì)點(diǎn)速度速度質(zhì)點(diǎn)上任意參考點(diǎn)的平移速度質(zhì)點(diǎn)上任意參考點(diǎn)的

5、平移速度繞通過該點(diǎn)的瞬時(shí)軸旋轉(zhuǎn)速度繞通過該點(diǎn)的瞬時(shí)軸旋轉(zhuǎn)速度變形速度變形速度8.2 8.2 流體微團(tuán)運(yùn)動的分解流體微團(tuán)運(yùn)動的分解xzyABCDEFGHdxdydzyvxvzv2dzzv2dyyv2dxxvvxxxx 2dzzv2dyyv2dxxvvvyyyyFY 2dzzv2dyyv2dxxvvvzzzzFZ 8.2 8.2 流體微團(tuán)運(yùn)動的分解流體微團(tuán)運(yùn)動的分解2dzzv2dyyv2dxxvvvxxxxFX 2dzxv212dyxv21zy 2dz)xvzv(212dy)xvyv(212dxxvvzxyxxx 2dz)xvzv(212dy)xvyv(21zxyx 移動移動線變形運(yùn)動線變形運(yùn)動角

6、變形運(yùn)動角變形運(yùn)動旋轉(zhuǎn)運(yùn)動旋轉(zhuǎn)運(yùn)動ABCD22xxxvvdxdyvxy 22yyyvvdxdyvxy 22xxxvvdxdyvxy 22yyyvvdxdyvxy 22xxxvvdxdyvxy 22yyyvvdxdyvxy 22xxxvvdxdyvxy 22yyyvvdxdyvxy xvyv8.2 8.2 流體微團(tuán)運(yùn)動的分解流體微團(tuán)運(yùn)動的分解 移動移動移動速度：移動速度： xv yv zv8.2 8.2 流體微團(tuán)運(yùn)動的分解流體微團(tuán)運(yùn)動的分解8.2 8.2 流體微團(tuán)運(yùn)動的分解流體微團(tuán)運(yùn)動的分解 線變形線變形每秒內(nèi)單位長度的伸長（或縮短）量稱為每秒內(nèi)單位長度的伸長（或縮短）量稱為線應(yīng)變速度線應(yīng)變速度

7、線變形速度：線變形速度：xvx yvy 角變形角變形8.2 8.2 流體微團(tuán)運(yùn)動的分解流體微團(tuán)運(yùn)動的分解角變形速度的定義為角變形速度的定義為每秒內(nèi)一個(gè)直角的角度變化量。每秒內(nèi)一個(gè)直角的角度變化量。記為：記為：)(2 8.2 8.2 流體微團(tuán)運(yùn)動的分解流體微團(tuán)運(yùn)動的分解通過形心互相垂直的兩條中心線直角夾角的減小量（即變化量）通過形心互相垂直的兩條中心線直角夾角的減小量（即變化量）為為 ，于是得流體微團(tuán)在垂直于，于是得流體微團(tuán)在垂直于z z軸的平面上的角變形軸的平面上的角變形速度分量速度分量 dd dtddtd2z )yvxv(21)dtddtd(21xyz )zvyv(21yzx )xvzv(2

8、1zxy )yvxv(21xyz 流體微團(tuán)角變形速度之流體微團(tuán)角變形速度之半的三個(gè)分量半的三個(gè)分量8.2 8.2 流體微團(tuán)運(yùn)動的分解流體微團(tuán)運(yùn)動的分解 旋轉(zhuǎn)運(yùn)動旋轉(zhuǎn)運(yùn)動dtdtx xv vd dy y dtdty yv vd dx x 流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度的定義為流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度的定義為每秒內(nèi)繞同一轉(zhuǎn)軸的兩條互相每秒內(nèi)繞同一轉(zhuǎn)軸的兩條互相垂直的微元線段旋轉(zhuǎn)角度的平均值垂直的微元線段旋轉(zhuǎn)角度的平均值。流體微團(tuán)沿流體微團(tuán)沿z z軸的旋轉(zhuǎn)角速度分量軸的旋轉(zhuǎn)角速度分量8.2 8.2 流體微團(tuán)運(yùn)動的分解流體微團(tuán)運(yùn)動的分解流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度的三個(gè)分量速度的三個(gè)分量把以上結(jié)果代入把以上結(jié)果

9、代入F F點(diǎn)的速度公式點(diǎn)的速度公式8.2 8.2 流體微團(tuán)運(yùn)動的分解流體微團(tuán)運(yùn)動的分解在一般情況下流體微團(tuán)的運(yùn)動可分解為三部分：在一般情況下流體微團(tuán)的運(yùn)動可分解為三部分：隨流體微團(tuán)隨流體微團(tuán)中某一點(diǎn)一起前進(jìn)的平移運(yùn)動；繞這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動；變中某一點(diǎn)一起前進(jìn)的平移運(yùn)動；繞這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動；變形運(yùn)動（包括線變形和角變形）。形運(yùn)動（包括線變形和角變形）。8.2 8.2 流體微團(tuán)運(yùn)動的分解流體微團(tuán)運(yùn)動的分解 流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度不等于零的流動稱為流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度不等于零的流動稱為有旋流動有旋流動；0 0 流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度等于零的流動稱為流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度等于零的流動稱為無旋流動無旋流動。0

10、0 有旋流動和無旋流動僅由流體微團(tuán)本身是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)來決定，而與流體微有旋流動和無旋流動僅由流體微團(tuán)本身是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)來決定，而與流體微團(tuán)本身的運(yùn)動軌跡無關(guān)。團(tuán)本身的運(yùn)動軌跡無關(guān)。8.3 8.3 理想流體的運(yùn)動微分方程理想流體的運(yùn)動微分方程xzyABCDEFGHdxdydz2dxxpp2dxxppxfzfyf在在x x方向：方向：8.3 8.3 理想流體的運(yùn)動微分方程理想流體的運(yùn)動微分方程a am mF F x xp pf fdtdtdvdvx xx x 1 1y yp pf fdtdtdvdvy yy y 1 1z zp pf fdtdtdvdvz zz z 1 1理想流體的歐拉運(yùn)理想流體的歐拉

11、運(yùn)動微分方程組動微分方程組p pf fd dt tv vd d 1 1矢量形式：矢量形式：8.3 8.3 理想流體的運(yùn)動微分方程理想流體的運(yùn)動微分方程 歐拉方程對于不可壓縮流體和可壓縮流體都是適用的。歐拉方程對于不可壓縮流體和可壓縮流體都是適用的。 當(dāng)當(dāng) 時(shí)歐拉運(yùn)動微分方程成為歐拉平衡時(shí)歐拉運(yùn)動微分方程成為歐拉平衡微分方程。微分方程。0zyxvvv8.3 8.3 理想流體的運(yùn)動微分方程理想流體的運(yùn)動微分方程理想流體的運(yùn)動微分方程的另一種形式理想流體的運(yùn)動微分方程的另一種形式此方程組稱為此方程組稱為蘭姆（蘭姆（H HLambLamb）運(yùn)動微分方程）運(yùn)動微分方程。8.4 8.4 理想流體基本方程組

12、的定解條件理想流體基本方程組的定解條件p方程組的封閉問題方程組的封閉問題連續(xù)方程連續(xù)方程 1 1個(gè)個(gè)運(yùn)動方程運(yùn)動方程 3 3個(gè)個(gè)4個(gè)個(gè)未知量未知量 5 5個(gè)個(gè)： ,p,v ,v ,vzyx對于不可壓縮流體，對于不可壓縮流體，對于密度僅是壓強(qiáng)的函數(shù)的流體對于密度僅是壓強(qiáng)的函數(shù)的流體const )p( 8.4 8.4 理想流體基本方程組的定解條件理想流體基本方程組的定解條件p方程組的定解條件方程組的定解條件初始條件初始條件指在起始瞬時(shí)指在起始瞬時(shí)t t0 0所給定的流場中每一點(diǎn)的流動參數(shù)。即求得所給定的流場中每一點(diǎn)的流動參數(shù)。即求得的解在的解在t t0 0時(shí)所應(yīng)分別滿足的預(yù)先給定的坐標(biāo)函數(shù)。時(shí)所應(yīng)

13、分別滿足的預(yù)先給定的坐標(biāo)函數(shù)。注：定常流動不需要給定初始條件。注：定常流動不需要給定初始條件。8.4 8.4 理想流體基本方程組的定解條件理想流體基本方程組的定解條件邊界條件邊界條件指任一瞬時(shí)運(yùn)動流體所占空間的邊界上必須滿足的條件。指任一瞬時(shí)運(yùn)動流體所占空間的邊界上必須滿足的條件。 運(yùn)動學(xué)條件運(yùn)動學(xué)條件：邊界上速度邊界上速度動力學(xué)條件動力學(xué)條件：邊界上的力（壓強(qiáng)）邊界上的力（壓強(qiáng)）固體壁面固體壁面：流體既不能穿透壁面，也不能脫離壁面而形成空隙，：流體既不能穿透壁面，也不能脫離壁面而形成空隙，即流體與壁面在法線方向的相對分速度應(yīng)等于零。即流體與壁面在法線方向的相對分速度應(yīng)等于零。wnnvv 固壁

14、是靜止的固壁是靜止的0nv不同流體交界面上不同流體交界面上n2n1vv 不同流體交界面或固體壁面不同流體交界面或固體壁面ppamb 8.5 8.5 歐拉積分歐拉積分 伯努利積分伯努利積分p兩類積分的前提條件兩類積分的前提條件1.1. 流動是定常的流動是定常的2.2. 作用在流體上的質(zhì)量力是有勢的作用在流體上的質(zhì)量力是有勢的3.3. 流體不可壓縮或?yàn)檎龎毫黧w流體不可壓縮或?yàn)檎龎毫黧w如果流體的密度僅與壓強(qiáng)有關(guān)，即如果流體的密度僅與壓強(qiáng)有關(guān)，即= =(p) (p) ，則這種流場稱為，則這種流場稱為正壓性正壓性的，流體稱為的，流體稱為正壓流體。正壓流體。這時(shí)存在著一個(gè)壓強(qiáng)函數(shù)這時(shí)存在著一個(gè)壓強(qiáng)函數(shù)p

15、pF F( (x,y,z,tx,y,z,t) )8.5 8.5 歐拉積分歐拉積分 伯努利積分伯努利積分正壓流體存在壓強(qiáng)函數(shù)正壓流體存在壓強(qiáng)函數(shù)p pF F(x,y,z,t)(x,y,z,t) 常見的正壓流體常見的正壓流體等溫（等溫（T TT T1 1）流動中的可壓縮流體）流動中的可壓縮流體; ;絕熱流動中的可壓縮流體絕熱流動中的可壓縮流體; ;對于不可壓縮流體，對于不可壓縮流體，ppF在以上三個(gè)前提條件下在以上三個(gè)前提條件下, ,蘭姆運(yùn)動微分方程可簡化為蘭姆運(yùn)動微分方程可簡化為: :8.5 8.5 歐拉積分歐拉積分 伯努利積分伯努利積分p 歐拉積分歐拉積分8.5 8.5 歐拉積分歐拉積分 伯努

16、利積分伯努利積分在在無旋無旋流動中流動中0zyx歐拉積分式歐拉積分式對于非粘性的不可壓縮流體和可壓縮的正壓流體，在有勢的質(zhì)對于非粘性的不可壓縮流體和可壓縮的正壓流體，在有勢的質(zhì)量力作用下作定常無旋流動時(shí)，流場中任一點(diǎn)的單位質(zhì)量流體量力作用下作定常無旋流動時(shí)，流場中任一點(diǎn)的單位質(zhì)量流體質(zhì)量力的質(zhì)量力的位勢能、壓強(qiáng)勢能、和動能的總和保持不變，而這三位勢能、壓強(qiáng)勢能、和動能的總和保持不變，而這三種機(jī)械能可以互相轉(zhuǎn)換。種機(jī)械能可以互相轉(zhuǎn)換。p 伯努利積分伯努利積分8.5 8.5 歐拉積分歐拉積分 伯努利積分伯努利積分對對有旋有旋流動，流動，沿某條流線沿某條流線求積分求積分8.5 8.5 歐拉積分歐拉積

17、分 伯努利積分伯努利積分定常流動流場中的流線和跡線重合，定常流動流場中的流線和跡線重合，dxdx、dydy、dzdz就是在就是在dtdt時(shí)間時(shí)間內(nèi)流體微團(tuán)的位移內(nèi)流體微團(tuán)的位移dsdsvdtvdt在三個(gè)軸向的分量。在三個(gè)軸向的分量。const22vpF對于對于非粘性的不可壓縮流體非粘性的不可壓縮流體和和可壓縮的正壓流體可壓縮的正壓流體，在，在有勢的有勢的質(zhì)量力質(zhì)量力作用下作作用下作定常有旋定常有旋流動時(shí)，流動時(shí)，沿同一流線上各點(diǎn)單位質(zhì)沿同一流線上各點(diǎn)單位質(zhì)量流體質(zhì)量力的位勢能、壓強(qiáng)勢能和動能的總和保持常數(shù)值，量流體質(zhì)量力的位勢能、壓強(qiáng)勢能和動能的總和保持常數(shù)值，而這三種機(jī)械能可以互相轉(zhuǎn)換。而這

18、三種機(jī)械能可以互相轉(zhuǎn)換。p 伯努利方程伯努利方程8.5 8.5 歐拉積分歐拉積分 伯努利積分伯努利積分質(zhì)量力僅僅是重力質(zhì)量力僅僅是重力不可壓縮流體不可壓縮流體gzconstppFconst22vpgz8.6 8.6 渦線渦線 渦管渦管 渦束渦束 渦通量渦通量在有旋流動流場的全部或局部區(qū)域中連續(xù)地充滿著繞自身軸在有旋流動流場的全部或局部區(qū)域中連續(xù)地充滿著繞自身軸線旋轉(zhuǎn)的流體微團(tuán)，于是形成了一個(gè)用角速度線旋轉(zhuǎn)的流體微團(tuán)，于是形成了一個(gè)用角速度 表示的表示的渦量場渦量場（或稱角速度場）。（或稱角速度場）。),(tzyx流線流線流管流管流束流束流量流量渦線渦線渦管渦管渦束渦束渦通量渦通量8.6 8.6

19、 渦線渦線 渦管渦管 渦束渦束 渦通量渦通量p 渦線渦線渦線是一條曲線，在給定瞬時(shí)渦線是一條曲線，在給定瞬時(shí)t t，這條曲線上每一點(diǎn)的切線與，這條曲線上每一點(diǎn)的切線與位于該點(diǎn)的流體微團(tuán)的角速度的方向相重合，所以渦線也就位于該點(diǎn)的流體微團(tuán)的角速度的方向相重合，所以渦線也就是沿曲線各流體微團(tuán)的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動軸線。是沿曲線各流體微團(tuán)的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動軸線。p 渦管渦管 渦束渦束8.6 8.6 渦線渦線 渦管渦管 渦束渦束 渦通量渦通量在給定瞬時(shí)，在渦量場中任取一在給定瞬時(shí)，在渦量場中任取一不是渦線的封閉曲線，通過封閉不是渦線的封閉曲線，通過封閉曲線上每一點(diǎn)作渦線，這些渦線曲線上每一點(diǎn)作渦線，這些渦線形成一個(gè)管狀表

20、面，稱為形成一個(gè)管狀表面，稱為渦管渦管。渦管中充滿著作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的流體，渦管中充滿著作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的流體，稱為稱為渦束渦束。p 渦通量渦通量8.6 8.6 渦線渦線 渦管渦管 渦束渦束 渦通量渦通量旋轉(zhuǎn)角速度的值旋轉(zhuǎn)角速度的值與垂直于角速度方向的微元渦管橫截面積與垂直于角速度方向的微元渦管橫截面積dAdA的乘積的兩倍稱為微元渦管的的乘積的兩倍稱為微元渦管的渦通量渦通量( (也稱也稱渦管強(qiáng)度渦管強(qiáng)度) )。dAdJ2有限截面渦管的渦通量有限截面渦管的渦通量AndAJ28.7 8.7 速度環(huán)量速度環(huán)量 斯托克斯定理斯托克斯定理渦通量和流體微團(tuán)的角速度不能直接測得。渦通量和流體微團(tuán)的角速度不能直接測得。實(shí)

21、際觀察發(fā)現(xiàn)，在有旋流動中流體環(huán)繞某一核心旋轉(zhuǎn)，渦通量越大，實(shí)際觀察發(fā)現(xiàn)，在有旋流動中流體環(huán)繞某一核心旋轉(zhuǎn)，渦通量越大，旋轉(zhuǎn)速度越快，旋轉(zhuǎn)范圍越擴(kuò)大。旋轉(zhuǎn)速度越快，旋轉(zhuǎn)范圍越擴(kuò)大?？梢酝茰y，渦通量與環(huán)繞核心的流體中的速度分布有密切關(guān)系。可以推測，渦通量與環(huán)繞核心的流體中的速度分布有密切關(guān)系。p速度環(huán)量速度環(huán)量速度在某一封閉周線切線上的分量沿該封閉周線的線積分。速度在某一封閉周線切線上的分量沿該封閉周線的線積分。sdv8.7 8.7 速度環(huán)量速度環(huán)量 斯托克斯定理斯托克斯定理規(guī)定沿封閉周線繞行的正方向?yàn)橐?guī)定沿封閉周線繞行的正方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向逆時(shí)針方向，即封閉周線所，即封閉周線所包圍的面積總在前進(jìn)方

22、向的左側(cè)；被包圍面積的法線的正方包圍的面積總在前進(jìn)方向的左側(cè)；被包圍面積的法線的正方向應(yīng)與繞行的正方向形成向應(yīng)與繞行的正方向形成右手螺旋系統(tǒng)右手螺旋系統(tǒng)。8.7 8.7 速度環(huán)量速度環(huán)量 斯托克斯定理斯托克斯定理p斯托克斯定理斯托克斯定理當(dāng)封閉周線內(nèi)有渦束時(shí)，則沿封閉周線的速度環(huán)量等于該當(dāng)封閉周線內(nèi)有渦束時(shí)，則沿封閉周線的速度環(huán)量等于該封閉周線內(nèi)所有渦束的渦通量之和。封閉周線內(nèi)所有渦束的渦通量之和。AnkdAJ2適用于適用于微元渦束、有限單連通區(qū)域、空間曲面微元渦束、有限單連通區(qū)域、空間曲面。8.7 8.7 速度環(huán)量速度環(huán)量 斯托克斯定理斯托克斯定理單連通區(qū)域單連通區(qū)域區(qū)域內(nèi)任一條封閉周線都能

23、連續(xù)地收縮成一點(diǎn)而不越出流體的邊界。區(qū)域內(nèi)任一條封閉周線都能連續(xù)地收縮成一點(diǎn)而不越出流體的邊界。這種區(qū)域稱為這種區(qū)域稱為單連通區(qū)域單連通區(qū)域。否則，稱為。否則，稱為多連通區(qū)域多連通區(qū)域。8.7 8.7 速度環(huán)量速度環(huán)量 斯托克斯定理斯托克斯定理對多連通域：對多連通域：dAAnKK221通過多連通區(qū)域的渦通量等于沿這個(gè)區(qū)域的外周線的速度環(huán)通過多連通區(qū)域的渦通量等于沿這個(gè)區(qū)域的外周線的速度環(huán)量與沿所有內(nèi)周線的速度環(huán)量總和之差。量與沿所有內(nèi)周線的速度環(huán)量總和之差。8.8 8.8 湯姆孫定理 亥姆霍茲旋渦定理p 湯姆孫（湯姆孫（W. ThomsonW. Thomson）定理）定理正壓性的理想流體在有勢

24、的質(zhì)量力作用下沿任何由流體質(zhì)正壓性的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下沿任何由流體質(zhì)點(diǎn)所組成的封閉周線的點(diǎn)所組成的封閉周線的速度環(huán)量不隨時(shí)間而變化。速度環(huán)量不隨時(shí)間而變化。對于非粘性的不可壓縮流體和可壓縮正壓流體，在有勢質(zhì)量力作用對于非粘性的不可壓縮流體和可壓縮正壓流體，在有勢質(zhì)量力作用下速度環(huán)量和旋渦都是不能自行產(chǎn)生、也是不能自行消滅的。下速度環(huán)量和旋渦都是不能自行產(chǎn)生、也是不能自行消滅的。流場中原來有漩渦和速度環(huán)量的，永遠(yuǎn)有漩渦和保持原有的環(huán)量；流場中原來有漩渦和速度環(huán)量的，永遠(yuǎn)有漩渦和保持原有的環(huán)量；原來沒有漩渦和速度環(huán)量的，就永遠(yuǎn)沒有漩渦和環(huán)量原來沒有漩渦和速度環(huán)量的，就永遠(yuǎn)沒有漩渦和環(huán)量8

25、.8 8.8 湯姆孫定理 亥姆霍茲旋渦定理亥姆霍茲第一定理亥姆霍茲第一定理在同一瞬間渦管各截面上的渦通量都相同。在同一瞬間渦管各截面上的渦通量都相同。8.8 8.8 湯姆孫定理 亥姆霍茲旋渦定理推論推論：渦管不可能在流體中終止。只能自成封閉的管圈：渦管不可能在流體中終止。只能自成封閉的管圈或起于邊界、終于邊界。或起于邊界、終于邊界。亥姆霍茲第二定理（渦管守恒定理）亥姆霍茲第二定理（渦管守恒定理）正壓性的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下，渦管永遠(yuǎn)保持正壓性的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下，渦管永遠(yuǎn)保持為由相同流體質(zhì)點(diǎn)組成的渦管。為由相同流體質(zhì)點(diǎn)組成的渦管。8.8 8.8 湯姆孫定理 亥姆霍茲旋渦定理亥

26、姆霍茲第三定理（渦管強(qiáng)度守恒定理）亥姆霍茲第三定理（渦管強(qiáng)度守恒定理）在有勢的質(zhì)量力作用下，正壓性的理想流體中任何渦管的在有勢的質(zhì)量力作用下，正壓性的理想流體中任何渦管的強(qiáng)度不隨時(shí)間而變化，永遠(yuǎn)保持定值。強(qiáng)度不隨時(shí)間而變化，永遠(yuǎn)保持定值。8.9 8.9 有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)p有勢流動有勢流動 速度勢速度勢對無旋流動：對無旋流動：0此式是此式是 成為某一函數(shù)的全微分的必要且充分的條件。成為某一函數(shù)的全微分的必要且充分的條件。dzvdyvdxvzyx用用(x,y,z,t)(x,y,z,t)表示該函數(shù)表示該函數(shù)8.9 8.9 有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢

27、和流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)),(tzyx速度勢函數(shù)速度勢函數(shù) 速度勢速度勢速度沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量等于速度勢對于相應(yīng)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)。速度沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量等于速度勢對于相應(yīng)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)。這一性質(zhì)對任何方向都成立。這一性質(zhì)對任何方向都成立。svs8.9 8.9 有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)對于柱面坐標(biāo)對于柱面坐標(biāo)當(dāng)不可壓縮流體或可壓縮流體作無旋流動時(shí)，總有速度勢存在。當(dāng)不可壓縮流體或可壓縮流體作無旋流動時(shí)，總有速度勢存在。無旋流動有勢流動無旋流動有勢流動如果已知如果已知，則可得速度場。，則可得速度場。求求 zyx,v,vv8.9 8.9 有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢和流

28、函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)代入連續(xù)方程代入連續(xù)方程0zvyvxvzyx02222222zyx拉普拉斯方程拉普拉斯方程2222222zyx拉普拉斯算子拉普拉斯算子對于圓柱坐標(biāo)對于圓柱坐標(biāo)8.9 8.9 有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)p 流函數(shù)流函數(shù)由不可縮流體平面流動的連續(xù)方程得由不可縮流體平面流動的連續(xù)方程得平面流動的流線微分方程為平面流動的流線微分方程為8.9 8.9 有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)函數(shù)函數(shù)永遠(yuǎn)滿足連續(xù)方程。在流線上永遠(yuǎn)滿足連續(xù)方程。在流線上 0 0或或常數(shù)。在常數(shù)。在每條流線上函數(shù)每條流線上函數(shù)都有它自己的常數(shù)值，所以稱函數(shù)都有它自己

29、的常數(shù)值，所以稱函數(shù)為為流流函數(shù)函數(shù)。8.9 8.9 有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)對于不可壓縮流體的平面流動，用極坐標(biāo)表示的連續(xù)方程、對于不可壓縮流體的平面流動，用極坐標(biāo)表示的連續(xù)方程、流函數(shù)的微分和速度分量分別為：流函數(shù)的微分和速度分量分別為：8.9 8.9 有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)流函數(shù)的物理意義是，平面流動中兩條流線間單位厚度通過的流函數(shù)的物理意義是，平面流動中兩條流線間單位厚度通過的體積流量等于兩條流線上的流函數(shù)之差。體積流量等于兩條流線上的流函數(shù)之差。只要是不可壓縮流體的平面流動，就存在著流函數(shù)。只要是不可壓縮流體的平面流動

30、，就存在著流函數(shù)。如果是如果是不可壓縮流體的平面無旋不可壓縮流體的平面無旋流動（即有勢流動），必然同流動（即有勢流動），必然同時(shí)存在時(shí)存在速度勢速度勢和和流函數(shù)流函數(shù)對于對于oxyoxy平面上的無旋流動平面上的無旋流動8.9 8.9 有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)不可壓縮流體平面無旋流動的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，也是不可壓縮流體平面無旋流動的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，也是調(diào)和函數(shù)。調(diào)和函數(shù)。速度勢和流函數(shù)存在以下關(guān)系：速度勢和流函數(shù)存在以下關(guān)系：8.9 8.9 有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)上上式是等勢線簇和流線簇互相垂直的條件，式是等勢線簇和

31、流線簇互相垂直的條件，即正交性條件。即正交性條件。流網(wǎng)流網(wǎng)： 在平面上可以將等勢線簇和流線簇構(gòu)成正交網(wǎng)絡(luò)，稱為在平面上可以將等勢線簇和流線簇構(gòu)成正交網(wǎng)絡(luò)，稱為流網(wǎng)。流網(wǎng)。例：試證明不可壓縮流體平面流動yyxvy22,2xxyvx能滿足連續(xù)方程，是一個(gè)有勢流動，并求出速度勢。能滿足連續(xù)方程，是一個(gè)有勢流動，并求出速度勢。解：解：,2xxyvxyyxvy2201212yyyvxvyx8.9 8.9 有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)xyvx2xxvy2xvyvyx8.9 8.9 有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)dyvdxvdyydxxdyxdyyyxd

32、xxxy)()2(22YdyXdxdF如果如果dyyxYdxyxXyxFxxyy),(),(),(000dyyxYdxyxXyxFxxyy),(),(),(0008.9 8.9 有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)dyyydxxxyxy)0()2(00222322322yyxyxdyxxydxyyx)2()(22dyvdxvdyydxxdxydyyxYdxyxXyxFxxyy),(),(),(0008.9 8.9 有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)dyydxxyyxy)002()(0022332xyxxy設(shè)設(shè))(),(yfdxvyxx)(222yfxy

33、xyyxyfxy222)(yyyf2)(23)(23yyyf232),(2322yyxyxyx8.10 8.10 幾種簡單不可壓縮流體平面流動幾種簡單不可壓縮流體平面流動p均勻等速流均勻等速流yvxvdyvdxvdyydxxdyxyx0000jvivjvivvyxyx00其中其中v vx0 x0，v vy0y0為常數(shù)為常數(shù)yvxvdyvdxvdyydxxdxyxy00008.10 8.10 幾種簡單不可壓縮流體平面流動幾種簡單不可壓縮流體平面流動p 源流和匯流源流和匯流在無限平面上流體從一點(diǎn)沿徑向直線均勻地向各方流出，這在無限平面上流體從一點(diǎn)沿徑向直線均勻地向各方流出，這種流動稱為種流動稱為點(diǎn)

34、源點(diǎn)源，這個(gè)點(diǎn)稱為，這個(gè)點(diǎn)稱為源點(diǎn)源點(diǎn)。若流體沿徑向直線均勻地從各方流入一點(diǎn)，這種流動稱為若流體沿徑向直線均勻地從各方流入一點(diǎn)，這種流動稱為點(diǎn)點(diǎn)匯匯，這個(gè)點(diǎn)稱為，這個(gè)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)匯點(diǎn)。8.10 8.10 幾種簡單不可壓縮流體平面流動幾種簡單不可壓縮流體平面流動8.10 8.10 幾種簡單不可壓縮流體平面流動幾種簡單不可壓縮流體平面流動8.10 8.10 幾種簡單不可壓縮流體平面流動幾種簡單不可壓縮流體平面流動符合符合0rvr2v的流動的流動點(diǎn)渦點(diǎn)渦p 渦流和點(diǎn)渦渦流和點(diǎn)渦8.10 8.10 幾種簡單不可壓縮流體平面流動幾種簡單不可壓縮流體平面流動222282rpvpp8.11 8.11 幾種簡單

35、平面無旋流動的疊加幾種簡單平面無旋流動的疊加無旋流動疊加后仍然是無旋流動。無旋流動疊加后仍然是無旋流動。幾個(gè)無旋流動的速度勢及流函數(shù)的代數(shù)和等于新的無旋流幾個(gè)無旋流動的速度勢及流函數(shù)的代數(shù)和等于新的無旋流動的速度勢和流函數(shù)。動的速度勢和流函數(shù)。新無旋流動的速度是這些無旋流動速度的矢量和。新無旋流動的速度是這些無旋流動速度的矢量和。p 源流和匯流疊加源流和匯流疊加8.11 8.11 幾種簡單平面無旋流動的疊加幾種簡單平面無旋流動的疊加8.11 8.11 幾種簡單平面無旋流動的疊加幾種簡單平面無旋流動的疊加當(dāng)當(dāng)a a 時(shí)，時(shí)，q qv v 且保持且保持2aq2aqv v=M=M為一有限常數(shù)。為一有限常數(shù)。 a 0 a 0時(shí)時(shí) 偶極流偶極流( (偶極子偶極子) )M M：偶極矩偶極矩8.11 8.11 幾種簡單平面無旋流動的疊加幾種簡單平面無旋流