數(shù)字電路基礎(chǔ)第二章

1、2.1 數(shù)字電路的基礎(chǔ)知識(shí)2.2 邏輯代數(shù)及其運(yùn)算規(guī)則2.3 邏輯函數(shù)表示方法2.4 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn) 在數(shù)字電路中，主要研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關(guān)系，因此數(shù)字電路又稱(chēng)邏輯電路，其研究工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)或開(kāi)關(guān)代數(shù)）。邏輯變量：邏輯變量：用字母表示，取值只有0和1。 此時(shí)，0和1不再表示數(shù)量的大小， 只代表兩種不同的狀態(tài)。2.1 概述一、與邏輯（與運(yùn)算）、與邏輯（與運(yùn)算）與邏輯：與邏輯：僅當(dāng)決定事件（僅當(dāng)決定事件（Y Y）發(fā)生的所有條件（）發(fā)生的所有條件（A A，B B，C C，）均滿(mǎn)足時(shí)，事件（）均滿(mǎn)足時(shí)，事件（Y Y）才能發(fā)生。表達(dá)）才能發(fā)生。表達(dá)式為：式為：例：開(kāi)關(guān)例：開(kāi)關(guān)A

2、A，B B串聯(lián)控制燈泡串聯(lián)控制燈泡Y Y電路圖L=ABEABYA A、B B都斷開(kāi)，燈不亮。都斷開(kāi)，燈不亮。 E A B Y A A斷開(kāi)、斷開(kāi)、B B接通，燈不亮。接通，燈不亮。 E A B Y A A接通、接通、B B斷開(kāi)，燈不亮。斷開(kāi)，燈不亮。2.2 邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算 E A B Y A A、B B都接通，燈亮。都接通，燈亮。開(kāi)關(guān)A 開(kāi)關(guān)B燈Y斷開(kāi) 斷開(kāi)斷開(kāi) 閉合閉合 斷開(kāi)閉合 閉合滅滅滅亮功能表功能表 將開(kāi)關(guān)接通記作將開(kāi)關(guān)接通記作1 1，斷開(kāi)記作，斷開(kāi)記作0 0；燈亮記作；燈亮記作1 1，燈，燈滅記作滅記作0 0?？梢宰鞒鋈缦卤砀駚?lái)描述與邏輯關(guān)系?？梢宰鞒鋈缦卤砀駚?lái)描述與邏輯關(guān)系

3、：A BY0 00 11 01 10001真真值值表表兩個(gè)開(kāi)關(guān)均接通時(shí)，燈才會(huì)兩個(gè)開(kāi)關(guān)均接通時(shí)，燈才會(huì)亮。邏輯表達(dá)式為：亮。邏輯表達(dá)式為：實(shí)現(xiàn)與邏輯的電路稱(chēng)為實(shí)現(xiàn)與邏輯的電路稱(chēng)為與門(mén)與門(mén)。 與門(mén)的邏輯符號(hào)：與門(mén)的邏輯符號(hào)：YAB&二、或邏輯（或運(yùn)算）二、或邏輯（或運(yùn)算）電路圖L=ABEABY或邏輯：或邏輯：當(dāng)決定事件（當(dāng)決定事件（Y Y）發(fā)生的各種條件）發(fā)生的各種條件A A，B B，C C，) )中，只要有一個(gè)或多個(gè)條件具備，事件（中，只要有一個(gè)或多個(gè)條件具備，事件（Y Y）就發(fā)生。表達(dá)式為：就發(fā)生。表達(dá)式為： 兩個(gè)開(kāi)關(guān)只要有一個(gè)接通，燈兩個(gè)開(kāi)關(guān)只要有一個(gè)接通，燈就會(huì)亮。邏輯表達(dá)式為：

4、就會(huì)亮。邏輯表達(dá)式為：開(kāi)關(guān) A 開(kāi)關(guān) B燈 Y斷開(kāi) 斷開(kāi)斷開(kāi) 閉合閉合 斷開(kāi)閉合 閉合滅亮亮亮A BY0 00 11 01 10111 功能表功能表真值表真值表AB1實(shí)現(xiàn)或邏輯的電路稱(chēng)為實(shí)現(xiàn)或邏輯的電路稱(chēng)為或門(mén)或門(mén)。或門(mén)的邏輯符號(hào)：或門(mén)的邏輯符號(hào)：三、非邏輯（非運(yùn)算）三、非邏輯（非運(yùn)算）非邏輯：非邏輯：指的是邏輯的否定。當(dāng)決定事件（指的是邏輯的否定。當(dāng)決定事件（Y Y）發(fā)生的）發(fā)生的條件（條件（A A）滿(mǎn)足時(shí)，事件不發(fā)生；條件不滿(mǎn)足，事件反）滿(mǎn)足時(shí)，事件不發(fā)生；條件不滿(mǎn)足，事件反而發(fā)生。表達(dá)式為：而發(fā)生。表達(dá)式為：Y YA A電路圖EAYR功能表功能表真值表真值表實(shí)現(xiàn)非邏輯的電路稱(chēng)為實(shí)現(xiàn)非邏輯

5、的電路稱(chēng)為非門(mén)非門(mén)。 非門(mén)的邏輯符號(hào)：非門(mén)的邏輯符號(hào)：YA1YA常用的邏輯運(yùn)算常用的邏輯運(yùn)算1 1、與非運(yùn)算：與非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：邏輯表達(dá)式為：A BY0 00 11 01 11110 真 值 表)(BAYYAB與非門(mén)的邏輯符號(hào)L=A+B&2 2、或非運(yùn)算：、或非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：邏輯表達(dá)式為：)(BAYA BY0 00 11 01 11000 真值表YAB或非門(mén)的邏輯符號(hào)L=A+B13 3、異或運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：、異或運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：BABABAY A BY0 00 11 01 10110 真值表YAB異或門(mén)的邏輯符號(hào)L=A+B=10 1=11 0=11 1=A 0=A

6、1=A A=A A=AA14 4、同或運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：、同或運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：ABBAYA B Y A B 同或門(mén)的邏輯符號(hào) L=A+B = 異或和同或互為反運(yùn)算異或和同或互為反運(yùn)算 0 1= 01 0=01 1=A 0=A 1=A A=A A=AA15 5、 與或非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：與或非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：)(DCBAYY1&ABCD與或非門(mén)的邏輯符號(hào)2.3 邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式一、基本公式一、基本公式與運(yùn)算：111 001 010 000或運(yùn)算：111 101 110 000請(qǐng)?zhí)貏e注意與普請(qǐng)?zhí)貏e注意與普通代數(shù)不同之處通代數(shù)不同之處1.常量之間的關(guān)系常量之間的關(guān)系

7、2.基本公式基本公式0-1 律：AAAA10 0011AA分別令分別令A(yù)=0及及A=1代入這些代入這些公式，即可證公式，即可證明它們的正確明它們的正確性。性。亦稱(chēng)亦稱(chēng) 非非律非非律 3.基本定理基本定理交換律：ABBAABBA結(jié)合律：)()()()(CBACBACBACBA分配律：)()()(CABACBACABACBA利用真值表很容易證利用真值表很容易證明這些公式的正確性。明這些公式的正確性。如證明如證明AB=BA：求證求證: : （1717式）式） A+BC=(A+B)(A+C)證明證明: :右邊右邊 =(A+B)(A+C)=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC=AA+AB+AC+

8、BC=A +A(B+C)+BC=A +A(B+C)+BC=A(1+B+C)+BC=A(1+B+C)+BC=A =A 1+BC 1+BC=A+BC=A+BC= =左邊左邊課本上用真值表證明課本上用真值表證明二、常用公式二、常用公式1. A+AB =2. A+AB= A+AB=A(A+B)=A(A+B)=注注: 紅色變量被吸收紅色變量被吸收掉！統(tǒng)稱(chēng)掉！統(tǒng)稱(chēng) 吸收律吸收律注注: 紅色變量被吸收紅色變量被吸收掉！統(tǒng)稱(chēng)掉！統(tǒng)稱(chēng) 吸收律吸收律AA+BA+BABAB證明證明: :A+AB =(A+A) (A+B) ;分配律分配律 =1(A+B) =A+BA+BC=(A+B)(A+C)3. AB+AB =4.

9、 A(A+B )=證明證明: A(A+B )=AA+AB =A+AB =A(1+B) =A(A+B ) (A+B )=注注: 紅色變量被吸收紅色變量被吸收掉！也稱(chēng)掉！也稱(chēng) 吸收律吸收律AAA5. AB+AC+BC =證明證明: : AB+AC+BC =AB+AC+(A+A)BC =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C) +AC(1+B) =AB +ACAB+AC+BCD =AB+ACAB+AC冗余定律冗余定律或或多余項(xiàng)定理多余項(xiàng)定理或或包含律包含律(A+B)(A+C)(B+C) =(A+B)(A+C)(A+B)(A+C)(B+C+D) =(A+B)(A+C)冗余定律冗余定律或或多余項(xiàng)定理

10、多余項(xiàng)定理的其他形式的其他形式同理：此多余項(xiàng)可以同理：此多余項(xiàng)可以擴(kuò)展成其他形式擴(kuò)展成其他形式6. A(AB) = A(AB) =證明證明:A(AB) =A(A+B) =AA+AB = ABA(AB) =A(A+B) =AA+AB = A(1+B) =AABA一、代入定理一、代入定理 任何一個(gè)含有變量任何一個(gè)含有變量A的等式，如果將所有出的等式，如果將所有出現(xiàn)現(xiàn)A的位置都用同一個(gè)邏輯函數(shù)代替，則等式仍的位置都用同一個(gè)邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個(gè)規(guī)則稱(chēng)為代入定理。然成立。這個(gè)規(guī)則稱(chēng)為代入定理。例如，已知等式例如，已知等式 ，用函數(shù)，用函數(shù)Y=BC代替等式中的代替等式中的B，根據(jù)代入定理，等

11、式仍然成立，即有：，根據(jù)代入定理，等式仍然成立，即有：BABA )(CBACBACBA)() )(2.4 邏輯代數(shù)的基本定理二、二、 反演定理反演定理對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中，如果將表達(dá)式中的所有的所有“”換成換成“”，“”換成換成“”，“0”換成換成“1”，“1”換成換成“0”，原變量換成反變量，原變量換成反變量，反變量換成原變量反變量換成原變量，那么所得到的表達(dá)式就是函，那么所得到的表達(dá)式就是函數(shù)數(shù)Y的反函數(shù)的反函數(shù)Y（或稱(chēng)補(bǔ)函數(shù)）。這個(gè)規(guī)則稱(chēng)為反（或稱(chēng)補(bǔ)函數(shù)）。這個(gè)規(guī)則稱(chēng)為反演定理。演定理。CDCBAY)()(DCCBAYCDCBAY)(CDCBAY

12、 )(應(yīng)用反演定理應(yīng)注意兩點(diǎn)：應(yīng)用反演定理應(yīng)注意兩點(diǎn)：1、保持原來(lái)的運(yùn)算優(yōu)先順序，即如果在原函數(shù)表、保持原來(lái)的運(yùn)算優(yōu)先順序，即如果在原函數(shù)表 達(dá)式中，達(dá)式中，AB之間先運(yùn)算，再和其它變量進(jìn)行之間先運(yùn)算，再和其它變量進(jìn)行 運(yùn)算，運(yùn)算， 那么非函數(shù)的表達(dá)式中，仍然是那么非函數(shù)的表達(dá)式中，仍然是AB之之 間先運(yùn)算。間先運(yùn)算。2、不屬于單個(gè)變量上的反號(hào)應(yīng)保留不變。、不屬于單個(gè)變量上的反號(hào)應(yīng)保留不變。(p28例例2.4.3）三、三、 對(duì)偶定理對(duì)偶定理 對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式，如果將表達(dá)式中的所有中的所有“”換成換成“”，“”換成換成“”，“0”換成換成“1”，“1”

13、換成換成“0”，而，而變量保持不變變量保持不變，則，則可得到的一個(gè)新的函數(shù)表達(dá)式可得到的一個(gè)新的函數(shù)表達(dá)式 YD, YD稱(chēng)為稱(chēng)為Y的對(duì)的對(duì)偶式。偶式。對(duì)偶定理：對(duì)偶定理：如果兩個(gè)邏輯式相等，則它們的對(duì)偶如果兩個(gè)邏輯式相等，則它們的對(duì)偶式也相等。式也相等。 利用對(duì)偶規(guī)則利用對(duì)偶規(guī)則,可以使要證明及要記憶的公可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。式數(shù)目減少一半。)(CBAYCBAYD)( CDABY) )()(DCBAYDACABCBA)()(CABABCAAA 1（2）式式AA0（12）式）式2.5 邏輯函數(shù)及其表示方法一、邏輯函數(shù) 如果以邏輯變量作為輸入，以運(yùn)算結(jié)果作為輸出，當(dāng)輸入變量的取值

14、確定之后，輸出的取值便隨之而定。輸出與輸入之間的函數(shù)關(guān)系稱(chēng)為邏輯函數(shù)。Y=F(A,B,C,)二、邏輯函數(shù)表示方法 常用邏輯函數(shù)的表示方法有：邏輯真值表（真值表）、邏輯函數(shù)式（邏輯式或函數(shù)式）、邏輯圖、波形圖、卡諾圖及硬件描述語(yǔ)言。它們之間可以相互轉(zhuǎn)換。例：一舉重裁判電路設(shè)A、B、C為1表示開(kāi)關(guān)閉合，0表示開(kāi)關(guān)斷開(kāi)；Y為1表示燈亮，為0表示燈暗。得到函數(shù)表示形式：真值表函數(shù)式)(CBAABCCABCBAY邏輯圖波形圖ABCYtttt)(CBAY真值表：真值表：將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)地列出。一對(duì)應(yīng)地列出。0 10 11 01 0A YA Y一輸入變一輸入變量

15、，二種量，二種組合組合 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0二輸入變二輸入變量，四種量，四種組合組合A B C Y0 0 0 0 0 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1三輸入變?nèi)斎胱兞?，八種量，八種組合組合A B C D Y0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0 10 0 1 1 10 1 0 0 00 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 1 1A B C D Y1 0 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 11 0 1 1 11 1 0 0 11 1 0 1 11 1 1 0 1

16、1 1 1 1 1四輸入變四輸入變量，量，16種種組合組合 n個(gè)變量可以有個(gè)變量可以有2n個(gè)組合，個(gè)組合，一般按二進(jìn)制的順序，輸出與一般按二進(jìn)制的順序，輸出與輸入狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)，列出所有輸入狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)，列出所有可能的狀態(tài)?？赡艿臓顟B(tài)。邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式 把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)系寫(xiě)成把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)系寫(xiě)成與與、或或、非非等邏輯運(yùn)算的組合式，即等邏輯運(yùn)算的組合式，即邏輯代數(shù)式邏輯代數(shù)式，又稱(chēng)為又稱(chēng)為邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式，通常采用，通常采用“與或與或”的形的形式。式。比如：比如：ABCCBACBACBACBAF邏輯圖：邏輯圖： 把相應(yīng)的邏輯關(guān)系用邏輯符號(hào)和連把相應(yīng)的邏輯關(guān)系用邏輯符號(hào)和連

17、線表示出來(lái)。線表示出來(lái)。)(CBAY各種表示方法之間的相互轉(zhuǎn)換1 1、真值表、真值表邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式方法方法: :將真值表中為將真值表中為1 1的項(xiàng)相加的項(xiàng)相加, ,寫(xiě)成寫(xiě)成 “與或式與或式”。CABCBABCAYA B C Y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 例例2.5.12 2、邏輯式、邏輯式真值表真值表方法方法: :將輸入變量取值的所有將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一帶入邏輯式求函組合狀態(tài)逐一帶入邏輯式求函數(shù)值數(shù)值, ,列成表即得真值表。列成表即得真值表。例例2.5.2CBACBAYA B

18、 C Y 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 011111103 3、邏輯式、邏輯式邏輯圖邏輯圖方法方法: :用圖形符號(hào)代替邏輯式中的運(yùn)算符號(hào)用圖形符號(hào)代替邏輯式中的運(yùn)算符號(hào), ,就可以畫(huà)出邏輯圖就可以畫(huà)出邏輯圖. .例例2.5.3CCBACBAY)(4 4、邏輯圖、邏輯圖邏輯式邏輯式方法方法: :從輸入端到輸出端逐級(jí)寫(xiě)出每個(gè)圖形符從輸入端到輸出端逐級(jí)寫(xiě)出每個(gè)圖形符號(hào)對(duì)應(yīng)的邏輯式，即得到對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)式號(hào)對(duì)應(yīng)的邏輯式，即得到對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)式. .AB)( BA)(BABABABABABABAY )()()(5 5、波形圖、波形圖真值表

19、真值表ABCYtttt00000011010101101000101111001111A B C Y 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 01100101最小項(xiàng): 在在n變量邏輯函數(shù)中，若變量邏輯函數(shù)中，若m為包含為包含n個(gè)因子的乘個(gè)因子的乘積項(xiàng)，而且這積項(xiàng)，而且這n個(gè)變量都以原變量或反變量的形式在個(gè)變量都以原變量或反變量的形式在m 中中出現(xiàn)出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次一次，則這個(gè)乘積項(xiàng)，則這個(gè)乘積項(xiàng)m稱(chēng)為該稱(chēng)為該函數(shù)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)積項(xiàng)，通常稱(chēng)為最小項(xiàng)。函數(shù)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)積項(xiàng)，通常稱(chēng)為最小項(xiàng)。3個(gè)變量個(gè)變量A、B、C可組成可組成 8(23)個(gè)最

20、小項(xiàng)：個(gè)最小項(xiàng)：ABCCABCBACBABCACBACBACBA、ABCmCABmCBAmCBAmBCAmCBAmCBAmCBAm76543210、4個(gè)變量可組成個(gè)變量可組成 16(24)個(gè)最小項(xiàng)個(gè)最小項(xiàng),記作記作m0m15。三、邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式若兩個(gè)最小項(xiàng)僅有一個(gè)因子不同，則稱(chēng)這兩個(gè)最小項(xiàng)具有相鄰性。例： 和 ，這兩個(gè)最小項(xiàng)相加時(shí)能合并，并可消去1個(gè)因子。 ABC0000m 00011m 10102m 20113m 31004m 41015m 51106m 61117m 7編號(hào)對(duì)應(yīng)十進(jìn)制數(shù) 最小項(xiàng)使最小項(xiàng)為1 的變量取值CBACBACBABCACBACBACABABCCBACABCBA

21、ACBCABCBA)(最小項(xiàng)的性質(zhì)最小項(xiàng)的性質(zhì): :任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使其值為任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使其值為1。任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)的乘積必為任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)的乘積必為0。全部最小項(xiàng)的和必為全部最小項(xiàng)的和必為1。CBACBA 具有相鄰性的兩個(gè)最小項(xiàng)可以合并，并消去一對(duì)因子。具有相鄰性的兩個(gè)最小項(xiàng)可以合并，并消去一對(duì)因子。只有一個(gè)因子不同的兩個(gè)最小項(xiàng)是具有相鄰性的最小項(xiàng)。只有一個(gè)因子不同的兩個(gè)最小項(xiàng)是具有相鄰性的最小項(xiàng)。例如: :將它們合并，可消去因子: := BCABC 和 ABC 具有邏輯相鄰性。ABC+ABC = (A+A) BC 任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示成唯

22、一的一任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項(xiàng)之和，稱(chēng)為組最小項(xiàng)之和，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式，也稱(chēng)為，也稱(chēng)為最小項(xiàng)表達(dá)式最小項(xiàng)表達(dá)式。 對(duì)于不是最小項(xiàng)表達(dá)式的與或表達(dá)式，對(duì)于不是最小項(xiàng)表達(dá)式的與或表達(dá)式，可利用公式可利用公式AA1 和和A(B+C)ABAC來(lái)配項(xiàng)展開(kāi)成最小項(xiàng)表達(dá)式。來(lái)配項(xiàng)展開(kāi)成最小項(xiàng)表達(dá)式。 )15,14,11,10, 9 , 7 , 3()()()()mmmmmmmABCDDABCCDBADCBABCDACDBADCBADDABCDDCBABCDACDBADCBACBBACDBBADCBAACCDADCBAY例例2.5.6CBAm2CB

23、Am1如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項(xiàng)相加，便是函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。的那些最小項(xiàng)相加，便是函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。A B CY最小項(xiàng)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101110100m0m1m2m3m4m5m6m7CBABCACBACBAmmmmmY)5 ,3 ,2, 1(5321BCAm3CBAm5 在在n變量邏輯函數(shù)中，若變量邏輯函數(shù)中，若M為包含為包含n個(gè)因子個(gè)因子的和項(xiàng)，的和項(xiàng)，而且這而且這n個(gè)變量都以原變量或反變量的個(gè)變量都以原變量或反變量的形式在形式在M 中中出現(xiàn)出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)且

24、僅出現(xiàn)一次一次，則這個(gè)和項(xiàng)，則這個(gè)和項(xiàng)M稱(chēng)為該函數(shù)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)和項(xiàng)，通常稱(chēng)為最大稱(chēng)為該函數(shù)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)和項(xiàng)，通常稱(chēng)為最大項(xiàng)。項(xiàng)。 n個(gè)變量有個(gè)變量有2n個(gè)最大項(xiàng)，記作個(gè)最大項(xiàng)，記作i最大項(xiàng)的性質(zhì)： 在輸入變量的任何取值下必有一個(gè)最大項(xiàng)且僅有一個(gè)最大項(xiàng)的值為0； 全體最大項(xiàng)之積為0；即 任意兩個(gè)最大項(xiàng)之和為1； 只有一個(gè)變量不同的兩個(gè)最大項(xiàng)的乘積等于各相同變量之和。 最大項(xiàng):120ii0Mn例: 寫(xiě)出函數(shù) Y=A(B+C)的標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式。 解: 最小項(xiàng)與最大項(xiàng)的關(guān)系最小項(xiàng)與最大項(xiàng)的關(guān)系 相同編號(hào)的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)存在互補(bǔ)關(guān)系相同編號(hào)的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)存在互補(bǔ)關(guān)系即即: mi = Mi = 若干個(gè)最小項(xiàng)

25、之和表示的表達(dá)式若干個(gè)最小項(xiàng)之和表示的表達(dá)式Y(jié)，其反函數(shù)，其反函數(shù)Y可用等同個(gè)與這些最小項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)之積表可用等同個(gè)與這些最小項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)之積表示。示。 例：例：7531mmmmY = 7531MMMM=)mmmm(7531 Ym7m3m5m1Mimi四四、邏輯函數(shù)形式的變換 根據(jù)邏輯表達(dá)式，可以畫(huà)出相應(yīng)的邏輯圖，根據(jù)邏輯表達(dá)式，可以畫(huà)出相應(yīng)的邏輯圖，表達(dá)式的形式?jīng)Q定門(mén)電路的個(gè)數(shù)和種類(lèi)。在用電表達(dá)式的形式?jīng)Q定門(mén)電路的個(gè)數(shù)和種類(lèi)。在用電子器件組成實(shí)際的邏輯電路時(shí)，由于選擇不同邏子器件組成實(shí)際的邏輯電路時(shí)，由于選擇不同邏輯功能類(lèi)型的器件，因此需要將邏輯函數(shù)式變換輯功能類(lèi)型的器件，因此需要將

26、邏輯函數(shù)式變換成相應(yīng)的形式。成相應(yīng)的形式。1 1、最簡(jiǎn)最簡(jiǎn)與或與或表達(dá)式表達(dá)式CABACBCABADCBCBECACABAEBAY最簡(jiǎn)與或表達(dá)式最簡(jiǎn)與或表達(dá)式首先是式中首先是式中乘積項(xiàng)最少乘積項(xiàng)最少 乘積項(xiàng)中含的乘積項(xiàng)中含的變量最少變量最少 實(shí)現(xiàn)電路的與門(mén)少實(shí)現(xiàn)電路的與門(mén)少 下級(jí)或門(mén)輸入端個(gè)數(shù)少下級(jí)或門(mén)輸入端個(gè)數(shù)少與門(mén)的輸入端個(gè)數(shù)少與門(mén)的輸入端個(gè)數(shù)少2 2、最簡(jiǎn)最簡(jiǎn)與非與非-與非與非表達(dá)式表達(dá)式在最簡(jiǎn)與或表達(dá)式在最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的基礎(chǔ)上兩次取反的基礎(chǔ)上兩次取反用摩根定律去掉內(nèi)層的非號(hào)用摩根定律去掉內(nèi)層的非號(hào))()()( CABACABACABAY3 3、最簡(jiǎn)最簡(jiǎn)或與或與表達(dá)式表達(dá)式CABAY A

27、CBACBACBACABACABACABAY )()()()()()()()()()(CABAACBAACBAY 求出反函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式利用反演規(guī)則寫(xiě)出函數(shù)的最簡(jiǎn)或與表達(dá)式4 4、最簡(jiǎn)最簡(jiǎn)或非或非-或非或非表達(dá)式表達(dá)式)()() )()( CABACABACABACABAY求最簡(jiǎn)或與表達(dá)式求最簡(jiǎn)或與表達(dá)式兩次取反兩次取反用摩根定律去用摩根定律去掉內(nèi)部的非號(hào)掉內(nèi)部的非號(hào)、最簡(jiǎn)最簡(jiǎn)與或非與或非表達(dá)表達(dá)式式)()()( ACBACABACABAY求最簡(jiǎn)或非求最簡(jiǎn)或非-或非表達(dá)式或非表達(dá)式用摩根定律去掉內(nèi)部非號(hào)。用摩根定律去掉內(nèi)部非號(hào)。方法一：方法一：CABAYACBACBACBACABAY)()

28、(求出反函數(shù)的求出反函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式最簡(jiǎn)與或表達(dá)式求反，得到最簡(jiǎn)與或求反，得到最簡(jiǎn)與或非表達(dá)式非表達(dá)式)(ACBAY方法二：方法二：2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法一、公式化簡(jiǎn)法一、公式化簡(jiǎn)法并項(xiàng)法：并項(xiàng)法：吸收法：吸收法：A+AB =A消項(xiàng)法：消項(xiàng)法：消因子法：消因子法：配項(xiàng)法：配項(xiàng)法：AB+AB =AAB+A C+BC =AB+A CA+A B=A+BA+A =A A+A =1例2.6.1 試用并項(xiàng)法化簡(jiǎn)下列函數(shù)CDBACDBAY)(1CDABAACDBAY2CBCACBAY3BCDDCBDBCDCBY4ACDBCDBA)(CDBCDAABAACBACBA)(CBACBA)(BCCBDDBC

29、DDCB)()(=BCCBABA)(例2.6.2 試用吸收法化簡(jiǎn)下列函數(shù)ADABDCBAY)(1)(2DCABABDCABABY)()()(3DCBABCABCAYADADBCBA1)(ABDCDCAB)(1= A+BC例2.6.3 用消項(xiàng)法化簡(jiǎn)下列函數(shù))(1CBBAACYEDCAEBADCBAY)(2EDBCDBCADBADBAABCCBAY3CBBAACCBACEBADCBA)(DCEBBADBACBA )()()(DBACBA )()(例2.6.4 用消因子法化簡(jiǎn)下列函數(shù)ABCBY1BABBAY2DCDAACY3ACB BABABADACACDCAAC )(DAC 例2.6.5 化簡(jiǎn)函數(shù)

30、ABCBCACBAYABCBCABCACBAY解：)()(ABCBCABCACBABCBA; A+AA例2.6.6 化簡(jiǎn)函數(shù)CBCBBABAYCBAACBCCBABAY)()(解：; A+A1CBABCACBCBACBABACACBBA例2.6.6 化簡(jiǎn)函數(shù)CBCBBABAYCACBCBBABAY解二：CACBBA; 消去，消去解三：CACBCBBABAY; 消去,消去CACBBA;增加冗余項(xiàng);增加冗余項(xiàng)例2.6.7 化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)DEBADBCACBADCDBCBACY)(解：DEBADBCACBADCDBCBACY)(DEBACBADCDBCBAC)(吸收吸收法法DEBAADCDBCBAC消

31、因子消因子法法ADCDBCB吸收法吸收法消項(xiàng)法消項(xiàng)法ADBCB邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法 將n變量的全部最小項(xiàng)各用一個(gè)小方塊表示，并使具有邏輯相鄰性邏輯相鄰性的最小項(xiàng)在幾何位置上相鄰幾何位置上相鄰排列，得到的圖形叫做n變量最小項(xiàng)的卡諾圖。卡諾圖的定義：二、卡諾圖化簡(jiǎn)法二、卡諾圖化簡(jiǎn)法邏輯相鄰項(xiàng)：邏輯相鄰項(xiàng)：僅有一個(gè)變量不同其余變量?jī)H有一個(gè)變量不同其余變量均相同的兩個(gè)最小項(xiàng)，稱(chēng)為邏輯相鄰項(xiàng)。均相同的兩個(gè)最小項(xiàng)，稱(chēng)為邏輯相鄰項(xiàng)。BCACBACBA不是邏輯相不是邏輯相鄰項(xiàng)鄰項(xiàng)是邏輯是邏輯相鄰項(xiàng)相鄰項(xiàng)卡諾圖的表示：1、一變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖、一變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖一變量Y=F（A），YA01AYA01

32、m0m1全部最小項(xiàng)：A， A卡諾圖： 下面我們根據(jù)邏輯函數(shù)變量數(shù)目的不同分別介紹一下：AABY0101m0m1m2m3YAB00011110A BABABA B00011110YABm0m1m3m2YABC0100011110m0m1m4m5m3m2m7m62、二變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖、二變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖Y= F（A、B）YABC0001111001m0m1m4m5m3m2m7m63、三變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖、三變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖 Y=F（A、B、C）YABCD0001111000011110m0m1m4m5m3m2m7m6m12m13m8m9m15m14m11m10YABCD000

33、00101101010010111111001m0m1m3m2m4m5m7m6m8m9m11m10m12m13m15m144、四變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖、四變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖Y= F（A、B、C、D）注意：注意：左右、上下；在卡諾圖中，每一行的首尾；每一列的首尾；的最小項(xiàng)都是邏輯相鄰的。Y = AC+ AC + BC + BC卡諾圖：卡諾圖：YABC010001111011111100A(B+B)C +(A+A)BC Y=A(B+B)C+(A+A)BC+ =(m1 , m2 ,m3 ,m4 ,m5 ,m6 )1、把已知邏輯函數(shù)式化為最小項(xiàng)之和形式。2、將函數(shù)式中包含的最小項(xiàng)在卡諾圖對(duì)應(yīng) 的方

34、格中填 1，其余方格中填 0。方法一：方法一：解：對(duì)于AC有：對(duì)于AC有：對(duì)于BC有：對(duì)于BC有：根據(jù)函數(shù)式直接填卡諾圖方法二：方法二：YABC010001111011111001 1 例： 用卡諾圖表示之。1用卡諾圖表示邏輯函數(shù)：用卡諾圖表示邏輯函數(shù)：BAACDDBADCBAY例2.6.8 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)解：將Y化為最小項(xiàng)之和的形式DCBADCBADCBACDBAABCDDCBADBCADCBAYm1+m4+m6+m8+m9+m10+m11+m1511111111例2.6.9 已知邏輯函數(shù)的卡諾圖,試寫(xiě)出該函數(shù)的邏輯式 BC A CBAABCCBACBAY 化簡(jiǎn)依據(jù)化簡(jiǎn)依據(jù)：邏輯相鄰性

35、的最小項(xiàng)可以合并，并消去因子?；?jiǎn)規(guī)則化簡(jiǎn)規(guī)則：能夠合并在一起的最小項(xiàng)是2 n 個(gè)如何最簡(jiǎn)如何最簡(jiǎn)： 圈的數(shù)目越少越簡(jiǎn)；圈內(nèi)的最小項(xiàng)越多越簡(jiǎn)。特別注意特別注意：卡諾圖中所有的 1 都必須圈到， 不能合并的 1 必須單獨(dú)畫(huà) 圈。YABC010001111011111001 1 1 上兩式的內(nèi)容不相同，但函數(shù)值一定相同。YABC010001111011111001 1 1 Y1 =BC+BA+ ACY1 =CA+ BCA+B將Y1=AC+AC+BC+BC 化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與或式。此例說(shuō)明，一邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)結(jié)果可能不唯一。例：例：（畫(huà)矩形圈）。用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)合并最小項(xiàng)的原則（1）

36、任何兩個(gè)（）任何兩個(gè)（21個(gè)）相鄰最小項(xiàng)，可以合個(gè)）相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。CAACDBC DCB合并最小項(xiàng)的原則（2）任何）任何4個(gè)（個(gè)（22個(gè)）相鄰的最小項(xiàng)，可以合個(gè)）相鄰的最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去并為一項(xiàng)，并消去2個(gè)變量。個(gè)變量。ACBDDBDB DB此例說(shuō)明，為了使化簡(jiǎn)結(jié)果最簡(jiǎn)，可以重復(fù)利用最小項(xiàng)合并最小項(xiàng)的原則（3）任何）任何8個(gè)（個(gè)（23個(gè)）相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一個(gè)）相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去項(xiàng)，并消去3個(gè)變量。個(gè)變量。BD合并最小項(xiàng)的原則利用 AB+AB=A2個(gè)最小項(xiàng)合并，消去1個(gè)變量；4個(gè)最小項(xiàng)合并，消去2個(gè)變量；8

37、個(gè)最小項(xiàng)合并，消去3個(gè)變量； 2n個(gè)最小項(xiàng)合并，消去n個(gè)變量；卡諾圖化簡(jiǎn)法的步驟 畫(huà)出變量的卡諾圖; 作出函數(shù)的卡諾圖; 畫(huà)圈; 寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。畫(huà)圈的原則 合并個(gè)數(shù)為2n； 圈盡可能大-乘積項(xiàng)中含因子數(shù)最少； 圈盡可能少-乘積項(xiàng)個(gè)數(shù)最少； 每個(gè)圈中至少有一個(gè)最小項(xiàng)僅被圈過(guò)一次，以免出現(xiàn)多余項(xiàng)。例2.6.10 用卡諾圖將下式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與或函數(shù)式CBCBCACAYCBCABAYCBBACAY111111YY例2.6.11 用卡諾圖將下式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與或函數(shù)式DCACBADCDCAABDABCYDAYYDAYDADAYY)()(Y2.7 具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)約束項(xiàng)、任意項(xiàng)和邏輯函數(shù)式中的無(wú)關(guān)項(xiàng)無(wú) 關(guān) 項(xiàng)約束項(xiàng):當(dāng)限制某些輸入變量的取值不能出現(xiàn)時(shí)，用它們對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)恒等于0來(lái)表示