數(shù)值計(jì)算的誤差

1、一、誤差來源的分類一、誤差來源的分類二、誤差分析的重要性二、誤差分析的重要性三、絕對誤差三、絕對誤差四、相對誤差四、相對誤差五、有效數(shù)字五、有效數(shù)字六、數(shù)值運(yùn)算的誤差傳播六、數(shù)值運(yùn)算的誤差傳播1.觀測誤差觀測誤差 通過測量得到模型中參數(shù)的值通過測量得到模型中參數(shù)的值 觀測誤差觀測誤差 /* Measurement Error */注：注：通常根據(jù)測量工具的精度，可以知通常根據(jù)測量工具的精度，可以知道這類誤差的界。道這類誤差的界。一、誤差來源的類型一、誤差來源的類型 2.模型誤差模型誤差 從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型 模型誤差模型誤差 /* Modeling Error

2、*/ 當(dāng)?shù)貌坏綌?shù)學(xué)模型的精確解時(shí)，要用當(dāng)?shù)貌坏綌?shù)學(xué)模型的精確解時(shí)，要用數(shù)值計(jì)算方法求它的近似解，由此產(chǎn)生數(shù)值計(jì)算方法求它的近似解，由此產(chǎn)生的誤差稱為的誤差稱為截?cái)嗾`差或方法誤差截?cái)嗾`差或方法誤差3. 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差 求近似解求近似解 方法誤差方法誤差 (截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差) /* Truncation Error */ 例如：例如：在微積分中在微積分中sinx可展開成可展開成 xxxxxx,!7! 5! 3sin753 但在計(jì)算機(jī)中計(jì)算時(shí)，常用前幾項(xiàng)來但在計(jì)算機(jī)中計(jì)算時(shí)，常用前幾項(xiàng)來代替，即拋棄了無窮級數(shù)的后段，這樣代替，即拋棄了無窮級數(shù)的后段，這樣就產(chǎn)生了截?cái)嗾`差。就產(chǎn)生了截?cái)嗾`差。 當(dāng)當(dāng)|

3、x|很小時(shí)，常用很小時(shí)，常用x代替代替sinx，其截，其截?cái)嗾`差大約為斷誤差大約為 x 3/6。 由于計(jì)算機(jī)字長有限，原始數(shù)據(jù)的輸由于計(jì)算機(jī)字長有限，原始數(shù)據(jù)的輸入及浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算過程中都有可能產(chǎn)生誤入及浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算過程中都有可能產(chǎn)生誤差，這樣產(chǎn)生的誤差稱為差，這樣產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差舍入誤差4.舍入誤差舍入誤差 機(jī)器字長有限機(jī)器字長有限 舍入誤差舍入誤差 /* Roundoff Error */在數(shù)值分析課程中，主要研究在數(shù)值分析課程中，主要研究0 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差0 舍入誤差舍入誤差二、誤差分析的重要性二、誤差分析的重要性 觀察如下兩個(gè)方程組觀察如下兩個(gè)方程組 9999. 19999. 022

4、121xxxx 0001. 29999. 022121xxxx試思考這兩個(gè)方程組的解的關(guān)系？試思考這兩個(gè)方程組的解的關(guān)系？容易看出兩方程系數(shù)完全相同，而右端常容易看出兩方程系數(shù)完全相同，而右端常數(shù)項(xiàng)有微小差別：數(shù)項(xiàng)有微小差別：1.9999變成變成2.0001，其，其誤差為誤差為2.0001-1.9999=0.0002 但對應(yīng)的解為但對應(yīng)的解為其其解竟然相差得很大！解竟然相差得很大！ 1121xx 1321xx解的最大誤差解的最大誤差= 2 據(jù)說，美軍據(jù)說，美軍 1910 1910 年的一次部隊(duì)的命令傳遞是這樣的年的一次部隊(duì)的命令傳遞是這樣的: : 營長對值班軍官營長對值班軍官: : 明晚大約明

5、晚大約 8 8點(diǎn)鐘左右，哈雷彗星將可能在這點(diǎn)鐘左右，哈雷彗星將可能在這個(gè)地區(qū)看到，這種彗星每隔個(gè)地區(qū)看到，這種彗星每隔 7676年才能看見一次。命令所有士兵年才能看見一次。命令所有士兵著野戰(zhàn)服在操場上集合，我將向他們解釋這一罕見的現(xiàn)象。如著野戰(zhàn)服在操場上集合，我將向他們解釋這一罕見的現(xiàn)象。如果下雨的話，就在禮堂集合，我為他們放一部有關(guān)彗星的影片。果下雨的話，就在禮堂集合，我為他們放一部有關(guān)彗星的影片。值班軍官對連長值班軍官對連長: : 根據(jù)營長的命令，明晚根據(jù)營長的命令，明晚8 8點(diǎn)哈雷彗星將在操場點(diǎn)哈雷彗星將在操場上空出現(xiàn)。如果下雨的話，就讓士兵穿著野戰(zhàn)服列隊(duì)前往禮堂，上空出現(xiàn)。如果下雨的話

6、，就讓士兵穿著野戰(zhàn)服列隊(duì)前往禮堂，這一罕見的現(xiàn)象將在那里出現(xiàn)。這一罕見的現(xiàn)象將在那里出現(xiàn)。連長對排長連長對排長: : 根據(jù)營長的命令，明晚根據(jù)營長的命令，明晚8 8點(diǎn)，非凡的哈雷彗星將點(diǎn)，非凡的哈雷彗星將身穿野戰(zhàn)服在禮堂中出現(xiàn)。如果操場上下雨，營長將下達(dá)另一身穿野戰(zhàn)服在禮堂中出現(xiàn)。如果操場上下雨，營長將下達(dá)另一個(gè)命令，這種命令每隔個(gè)命令，這種命令每隔7676年才會(huì)出現(xiàn)一次。年才會(huì)出現(xiàn)一次。排長對班長排長對班長: : 明晚明晚8 8點(diǎn)，營長將帶著哈雷彗星在禮堂中出現(xiàn)，點(diǎn)，營長將帶著哈雷彗星在禮堂中出現(xiàn)，這是每隔這是每隔 7676年才有的事。如果下雨的話，營長將命令彗星穿年才有的事。如果下雨的話，

7、營長將命令彗星穿上野戰(zhàn)服到操場上去。上野戰(zhàn)服到操場上去。班長對士兵班長對士兵: : 在明晚在明晚8 8點(diǎn)下雨的時(shí)候，著名的點(diǎn)下雨的時(shí)候，著名的7676歲哈雷將軍將歲哈雷將軍將在營長的陪同下身著野戰(zhàn)服，開著他那在營長的陪同下身著野戰(zhàn)服，開著他那“彗星彗星”牌汽車，經(jīng)過牌汽車，經(jīng)過操場前往禮堂。操場前往禮堂。三、絕對誤差和絕對誤差限三、絕對誤差和絕對誤差限 定義定義 設(shè)某一量的精確值為設(shè)某一量的精確值為x，近似值為近似值為x*，則則x*與與x之差叫做近似值之差叫做近似值x*的的絕對誤絕對誤差差(簡稱簡稱誤差誤差)，記為，記為絕對誤差是誤差的絕對值絕對誤差是誤差的絕對值絕對誤差的性質(zhì)絕對誤差的性質(zhì)(

8、1)絕對誤差絕對誤差e(x*) 可正可負(fù)可正可負(fù)(2) |e(x*) |的大小標(biāo)志著的大小標(biāo)志著x*的精確度的精確度(3) 絕對誤差絕對誤差e(x*) 通常通常未知未知定義定義 若有一個(gè)適當(dāng)小的正數(shù)若有一個(gè)適當(dāng)小的正數(shù) ，使，使*|*|*)(| xxxe 有時(shí)用有時(shí)用 表示近似值表示近似值x*的的精度或準(zhǔn)確值的所在范圍。精度或準(zhǔn)確值的所在范圍。* xx則則 稱為近似值稱為近似值 x* 的的絕對誤差限絕對誤差限。* *注：注：在實(shí)際問題中，絕對誤差和絕對誤差在實(shí)際問題中，絕對誤差和絕對誤差限一般是有量綱的。限一般是有量綱的。 例如，測得某物體的長度為例如，測得某物體的長度為5m，其誤，其誤差限為

9、差限為0.01m 思考題：思考題：設(shè)有兩個(gè)溫度計(jì)，其一測量設(shè)有兩個(gè)溫度計(jì)，其一測量1000時(shí)的絕對誤差限為時(shí)的絕對誤差限為5，而另一個(gè)，而另一個(gè)測量測量100時(shí)的絕對誤差限為時(shí)的絕對誤差限為5。 問：哪一個(gè)溫度計(jì)更精確？問：哪一個(gè)溫度計(jì)更精確？四、相對誤差和相對誤差限四、相對誤差和相對誤差限答：答：雖然兩者絕對誤差限的數(shù)值相同，雖然兩者絕對誤差限的數(shù)值相同，但第一種溫度計(jì)更為精確。但第一種溫度計(jì)更為精確。 決定一個(gè)量的近似值的精確度除了決定一個(gè)量的近似值的精確度除了要看絕對誤差的大小外，還要考慮到要看絕對誤差的大小外，還要考慮到該量本身該量本身的大小。的大小。定義定義 絕對誤差與準(zhǔn)確值之比絕對

10、誤差與準(zhǔn)確值之比0,*)(*)(*xxxxxxexeerr稱為稱為x*的相對誤差（的相對誤差（relative error）(2)由于準(zhǔn)確值由于準(zhǔn)確值x未知，故實(shí)際問題未知，故實(shí)際問題中，中，當(dāng)當(dāng)| |較小時(shí)，常取較小時(shí)，常取*)(xer*)(*)(xxexer注注(1)相對誤差是個(gè)無量綱量相對誤差是個(gè)無量綱量,對近似問題，可對近似問題，可用于刻畫近似精確度；值小者精度高。用于刻畫近似精確度；值小者精度高。當(dāng)當(dāng)| |較小時(shí)，可用下式計(jì)算較小時(shí)，可用下式計(jì)算*)(xer定義定義 若指定一個(gè)適當(dāng)小的正數(shù)若指定一個(gè)適當(dāng)小的正數(shù) ，使使則稱則稱 為近似值為近似值 x*的的相對誤差限相對誤差限*)(xr

11、 當(dāng)數(shù)值當(dāng)數(shù)值x有很多位數(shù)字時(shí)，常按照有很多位數(shù)字時(shí)，常按照“四舍五入四舍五入”原則原則取前幾位數(shù)字作為取前幾位數(shù)字作為x的近似值。我們來考慮的近似值。我們來考慮“四舍五入四舍五入”近似法近似法的的相對誤差相對誤差。簡例：簡例：設(shè)設(shè) x = = 3.1415926取取x1*= 3作為作為的近似值，則的近似值，則0)1(102131415. 0|re五、有效數(shù)字五、有效數(shù)字-數(shù)值近似中數(shù)值近似中相對誤差相對誤差的一種實(shí)用刻畫的一種實(shí)用刻畫取取 x2* = 3.14 作為作為的近似值，則的近似值，則2)2(102114. 300159. 0|re取取 x3* = 3.1416作為作為的近似值，則的

12、近似值，則4)3(10211416. 300000734. 0|re它們的相對誤差都不超過所保留的末位數(shù)字位的它們的相對誤差都不超過所保留的末位數(shù)字位的半個(gè)單位半個(gè)單位（四舍五入）（四舍五入）。例：例：1*= 3，2*= 3.14，3*= 3.140, 4*= 3.141, 5*= 3.149 作為作為的近似值，則有的近似值，則有效數(shù)字分別有多少位？效數(shù)字分別有多少位？答：答：1，3，3, 3, 3(相對誤差為相對誤差為0.0023)例：例：精確數(shù)有多少位有效數(shù)字？精確數(shù)有多少位有效數(shù)字？答：答：無窮多位有效數(shù)字無窮多位有效數(shù)字（參見書（參見書p6?!）有效數(shù)字的性質(zhì)有效數(shù)字的性質(zhì) 有效數(shù)字的

13、位數(shù)可刻畫近似有效數(shù)字的位數(shù)可刻畫近似數(shù)的精確度。有效數(shù)字越多，則數(shù)的精確度。有效數(shù)字越多，則相對誤差越小。相對誤差越小。六、數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)六、數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)1. 利用微分估計(jì)誤差利用微分估計(jì)誤差(1) 一元函數(shù)的一元函數(shù)的函數(shù)值計(jì)算函數(shù)值計(jì)算誤差估計(jì)誤差估計(jì)問題：問題：設(shè)設(shè)y=f(x)，x的近似值為的近似值為x*，則，則y的近似值的近似值 y*的誤差如何計(jì)算？的誤差如何計(jì)算？解：解：dyye *)(ydyyer *)(dxxf*)( *)(*)(xexf *)(*)(*)(xfxexf *)(*)(*)(xexfxxfr *)(*)(*)(*)(xxfxxfyrr 故相應(yīng)的故相應(yīng)的誤

14、差限誤差限估算如下估算如下因?yàn)橐驗(yàn)?2)二元函數(shù)的二元函數(shù)的函數(shù)值計(jì)算函數(shù)值計(jì)算誤差估計(jì)誤差估計(jì)問題：問題：設(shè)設(shè)y=f(x1, x2)， x1, x2的近似值的近似值為為x1*, x2* ，則，則y的誤差如何計(jì)算？的誤差如何計(jì)算？解解yyye*)(由于由于故絕對誤差限為故絕對誤差限為)*()*,*()*()*,*(22211121xexxxfxexxxf 與前面類似的推導(dǎo)可得多元函數(shù)的誤差與前面類似的推導(dǎo)可得多元函數(shù)的誤差估計(jì)估計(jì)2. 加減乘除運(yùn)算的估計(jì)誤差加減乘除運(yùn)算的估計(jì)誤差（注意：下列公式均省略了（注意：下列公式均省略了“*”）)(21xxe (1)加法運(yùn)算：加法運(yùn)算：)()(21xex

15、e | )()(| )(|2121xexexxe 即即)()()(2121xxxx而而則則相對誤差限相對誤差限| )(| )(|21xexe 加法的所有誤差估計(jì)公式：加法的所有誤差估計(jì)公式：)()()(2121xexexxe)()()(2121xxxx212121)()()(xxxexexxer212121)()()(xxxxxxr和的誤差和的誤差(限限)等于誤差等于誤差(限限)之和之和)(21xxe (2)減法運(yùn)算：減法運(yùn)算：| )()(| )(|2121xexexxe 故故1212() = ()+ () xx x x而而)()()()(22211121xexxxxexxx )()(21xe

16、xe | )(| )(|21xexe 減法的所有誤差估計(jì)公式：減法的所有誤差估計(jì)公式：)()()(2121xexexxe )()()(2121xxxx 212121)()()(xxxexexxer 212121)()()(xxxxxxr 和和(差差)的誤差限等于誤差限之和的誤差限等于誤差限之和和和(差差)的誤差等于誤差之和的誤差等于誤差之和(差差)()()(2121xxxx 1212() = () ()e xxe xe x注意：注意：(3)乘法運(yùn)算乘法運(yùn)算)()()()(21122121xexxexxxdxxe 故誤差限計(jì)算公式為故誤差限計(jì)算公式為)()()(211221xxxxxx 因?yàn)橐驗(yàn)?/p>

17、212121)()(xxxxexxer 212112)()(xxxexxex 2211)()(xxexxe )()(21xexerr 積的相對誤差積的相對誤差(限限)等于等于兩個(gè)自變量兩個(gè)自變量相相對誤差對誤差(限限)之和之和故相對誤差限計(jì)算公式為故相對誤差限計(jì)算公式為)()()(2121xxxxrrr 乘法的所有誤差估計(jì)公式：乘法的所有誤差估計(jì)公式：)()()(211221xexxexxxe )()()(211221xxxxxx )()()(2121xexexxerrr )()()(2121xxxxrrr (4)除法的所有誤差估計(jì)公式：除法的所有誤差估計(jì)公式：22211221)()()(xxexxexxxe 22211221)()()(xxxxxxx )()()(2121xexexxerrr )()()/(2121xxxxrrr 注意：注意： )()()(2121xxxxrrr )()()/(2121xxxxrrr 積積(商商)的相對誤差限等于兩個(gè)的相對誤差限等于兩個(gè)自變量相對誤差限的和。自變量相對誤差限的和。例：例： 設(shè)有三個(gè)近似數(shù)，設(shè)有三個(gè)近似數(shù)， a=2.31, b=1.93, c=2.24它們都有三位有效數(shù)字，試計(jì)算它們都有三位有效數(shù)字，試計(jì)算p =a+bc，(p)和和r(p)并問：并問：p的計(jì)算的計(jì)算結(jié)果