有限元碩士課程講義

1、碩士課程有限元與數(shù)值模擬上海交通大學(xué)塑性成形技術(shù)與裝備研究院董湘懷 韓先洪2013年教材、參考書 n王勖成. 有限單元法. 北京:清華大學(xué)出版社，2003n曾攀. 有限元分析及應(yīng)用. 北京:清華大學(xué)出版社，2004n董湘懷等. 材料加工理論與數(shù)值模擬. 北京:高等教育出版社，2005教學(xué)計劃1 1、概論、彈性力學(xué)基礎(chǔ)、概論、彈性力學(xué)基礎(chǔ)2 2、有限元法的數(shù)學(xué)原理、有限元法的數(shù)學(xué)原理 3 3、有限元法的基本原理、有限元法的基本原理 4 4、單元插值函數(shù)、單元插值函數(shù) 5 5、等參單元、等參單元6 6、應(yīng)用注意事項、應(yīng)用注意事項 （以上為考試重點）（以上為考試重點）7 7、約束變分原理、約束變分原

2、理 8 8、結(jié)構(gòu)單元、結(jié)構(gòu)單元9 9、熱傳導(dǎo)問題的有限元法、熱傳導(dǎo)問題的有限元法 1010、動力學(xué)問題的有限元法、動力學(xué)問題的有限元法 1111、材料非線性、材料非線性1212、幾何非線性、幾何非線性1313、接觸與碰撞、接觸與碰撞授課方式n課內(nèi) 講解 討論n課外 閱讀 習(xí)題成績：作業(yè)20%，課堂提問10%，筆試70%。 0 0 緒論緒論0.1 有限元法的要點和特性0.2 有限元法的發(fā)展、現(xiàn)狀和未來0.3 有限元法的學(xué)習(xí)和應(yīng)用0.1 0.1 有限元法的要點和特性有限元法的要點和特性0.1.1 有限元法的基本思想有限元法的基本思想n化整為零n集零為整n（位移）有限元法與上限法的比較 相似點：假設(shè)

3、位移場，求泛函極值 相異點：分片/整體，求結(jié)點位移/求參數(shù)0.2 0.2 有限元法的特性有限元法的特性（1）對于復(fù)雜幾何構(gòu)形的適應(yīng)性（2）對于各種物理問題的可用性（3）建立于嚴(yán)格理論基礎(chǔ)上的可靠性（4）適合計算機實現(xiàn)的高效性0.2 0.2 有限元法的發(fā)展、現(xiàn)狀和未來有限元法的發(fā)展、現(xiàn)狀和未來0.2.1 有限元法的早期工作有限元法的早期工作n起源于1940年代n1950年代推廣到平面問題n1960年Clough提出“有限元法”的名稱n1970年代應(yīng)用于大塑性變形問題n1990年代金屬成形模擬進(jìn)入實用化0.2 0.2 有限元法的發(fā)展、現(xiàn)狀和未來有限元法的發(fā)展、現(xiàn)狀和未來0.2.1 有限元法的發(fā)展和

4、現(xiàn)狀有限元法的發(fā)展和現(xiàn)狀 （1）單元的類型和形式 （2）有限元法的理論基礎(chǔ)和離散格式 （3）有限元方程的解法 穩(wěn)態(tài)問題 特征值問題 瞬態(tài)問題 非線性問題及其處理方法 （4）有限元法的計算機軟件0.2 0.2 有限元法的發(fā)展、現(xiàn)狀和未來有限元法的發(fā)展、現(xiàn)狀和未來n通用軟件 結(jié)構(gòu)分析 熱分析 流體動力學(xué)分析 電磁場分析 多物理場耦合分析 舉例: ANSYS ABAQUSn專用軟件 沖壓成形模擬及工藝優(yōu)化 體積成形模擬 熱處理模擬 舉例: DYNAFORM DEFORM有限元法應(yīng)用簡介（CAE）0.2 0.2 有限元法的發(fā)展、現(xiàn)狀和未來有限元法的發(fā)展、現(xiàn)狀和未來n有限元法的應(yīng)用狀況（曾攀）：n我國機

5、械新產(chǎn)品開發(fā)70%用到有限元法n材料加工工程等領(lǐng)域論文90%以上以有限元法為分析工具n有限元法在其中80%以上的論文中起決定性作用0.2 0.2 有限元法的發(fā)展、現(xiàn)狀和未來有限元法的發(fā)展、現(xiàn)狀和未來0.2.1 有限元法的未來有限元法的未來 （1）新的材料本構(gòu)關(guān)系和單元形式 （2）新的數(shù)值分析方案 多重非線性耦合、多場耦合、跨尺度、非確定性、分析結(jié)果的評估和自適應(yīng)的分析方法。 （3）CAD/CAM/CAE集成0.3 0.3 有限元法的學(xué)習(xí)和應(yīng)用有限元法的學(xué)習(xí)和應(yīng)用0.3.1 數(shù)值模擬方法的優(yōu)越性數(shù)值模擬方法的優(yōu)越性 經(jīng)濟(jì)、快速、優(yōu)化、并行結(jié)果詳盡 應(yīng)力、應(yīng)變、溫度 組織性能變化虛擬、靈活三種基本

6、的研究方法：實驗、理論、模擬有限元分析實例（塑性成形過程模擬）破裂單元控制算法實現(xiàn)精沖過程的準(zhǔn)確模擬破裂單元控制算法實現(xiàn)精沖過程的準(zhǔn)確模擬沖壓過程回彈預(yù)測沖壓過程回彈預(yù)測鍛造過程微觀組織演變鍛造過程微觀組織演變數(shù)值模擬數(shù)值模擬金屬體積成形三維有限元數(shù)值模擬系統(tǒng)開發(fā)金屬體積成形三維有限元數(shù)值模擬系統(tǒng)開發(fā)金屬體積成形過程數(shù)值模擬與網(wǎng)格質(zhì)量技術(shù)研究金屬體積成形過程數(shù)值模擬與網(wǎng)格質(zhì)量技術(shù)研究沖壓分析實例（油底殼拉深）動力分析實例（汽車碰撞）基于有限元模擬的優(yōu)化技術(shù)連桿鍛造工藝優(yōu)化連桿鍛造工藝優(yōu)化管件類產(chǎn)品設(shè)計優(yōu)化管件類產(chǎn)品設(shè)計優(yōu)化船舶設(shè)計優(yōu)化船舶設(shè)計優(yōu)化沖壓工藝穩(wěn)健設(shè)計沖壓工藝穩(wěn)健設(shè)計05010015

7、02002500.750.800.850.900.951.00 Thickness (mm)Section lenght(mm) Optimization result Experiment resultABCDEFGHIJKL0.3 0.3 有限元法的學(xué)習(xí)和應(yīng)用有限元法的學(xué)習(xí)和應(yīng)用0.3.2 數(shù)值模擬方法的研究課題數(shù)值模擬方法的研究課題n離散方法 有限元法、有限體積法、無網(wǎng)格法、 分子動力學(xué)、混合方法n本構(gòu)模型 力學(xué)模型、組織性能演化模型n求解方法 方程組求解、全量理論n應(yīng)用技術(shù) 集成、優(yōu)化、智能化0.3 0.3 有限元法的學(xué)習(xí)和應(yīng)用有限元法的學(xué)習(xí)和應(yīng)用0.3.3 本課程的目的本課程的目的n

8、應(yīng)用有限元法求解實際工程問題（大多數(shù)） 1）理解問題、確定其力學(xué)、數(shù)學(xué)模型 2）建立有限元模型、選擇計算方法 3）分析計算結(jié)果、進(jìn)行改進(jìn)n有限元方法研究（少數(shù)） 二次開發(fā) 新模型、新算法 軟件開發(fā)1 1* * 彈性力學(xué)基礎(chǔ)彈性力學(xué)基礎(chǔ) 1.1* 張量的基本概念1.2* 應(yīng)力分析1.3* 位移與應(yīng)變1.4* 邊界條件1.5* 本構(gòu)方程1.6* 基本方程和原理1.11.1* * 張量的基本概念張量的基本概念1.1.1*下標(biāo)符號及求和約定下標(biāo)符號及求和約定 31332211iiipxaxaxaxa 1、角標(biāo)符號、角標(biāo)符號 2、求和約定、求和約定 啞標(biāo)啞標(biāo),自由標(biāo)自由標(biāo) 例例1 例例2 (i=1,2,

9、3) 表示 例例3 (i, j=1,2,3) iipux 312123uuupxxxijijya x1.11.1* * 張量的基本概念張量的基本概念空間坐標(biāo)系xi與xk 1.1.2* 張量的定義張量的定義 由若干個當(dāng)坐標(biāo)系改變時滿足轉(zhuǎn)換關(guān)系 的分量所組成的集合為張量。 零階、一階、二階張量 一階張量的坐標(biāo)變換公式 二階張量的判別式 1.1.3* 張量的基本性質(zhì)張量的基本性質(zhì) （1）存在張量不變量 （2）張量可以疊加和分解 （3）張量可分對稱張量、非對稱張量、反對稱張量 （4）二階對稱張量存在三個主軸和三個主值 二階張量可以用矩陣表示，張量的這些基本性質(zhì)可由矩陣的性質(zhì)來理解。 1.11.1* *

10、 張量的基本概念張量的基本概念1.11.1* * 張量的基本概念張量的基本概念1.1.4* 二階張量的主值、主方向和不變量二階張量的主值、主方向和不變量1）主值和主方向 Ta a 2）二階張量的特征方程和不變量 (T-I)a0 0det2123TjiijjjiikkTTTTT 1+2+3=Tkk=I1 12+13+23=（Tii Tjj Tij Tji ）/2=I2 123=detT=I3 1.11.1* * 張量的基本概念張量的基本概念1.1.5* 二階對稱張量二階對稱張量T的性質(zhì)的性質(zhì)1）T的三個主值都是實數(shù)； 2）T對應(yīng)于不同特征值的兩特征向量必正交； 3）T恒有三個互相垂直的主軸方向。

11、 1.11.1* * 張量的基本概念張量的基本概念1.1.6* 二階張量的分解二階張量的分解1）分解為對稱張量和反對稱張量之和 jiijjiijijAAAAA2121 2）分解為球張量和偏張量之和 mijijijAAA mijijijiimAAAAA,31 3）極分解（detF0） F=RU， F=VR 1.11.1* * 張量的基本概念張量的基本概念1.1.7* 奧高公式奧高公式1.21.2* * 應(yīng)力分析應(yīng)力分析1.2.1* 柯西應(yīng)力的定義柯西應(yīng)力的定義應(yīng)力矢量 dsdssppP0lim 1.21.2* * 應(yīng)力分析應(yīng)力分析1.2.2* 應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量lklklkkl

12、ePeP)()(, 1.21.2* * 應(yīng)力分析應(yīng)力分析應(yīng)力的矩陣表示應(yīng)力分量的向量表示1.21.2* * 應(yīng)力分析應(yīng)力分析1.2.3* 任意斜截面上的應(yīng)力任意斜截面上的應(yīng)力 受力物體內(nèi)一點任意方位微分面上所受的應(yīng)力情況 微分面的投影:由靜力平衡條件:可得 全應(yīng)力:應(yīng)力邊界條件：任意斜切微分面上的應(yīng)力 ;xyzdFldFdFmdFdFndF0zzxyyxxxxdFdFdFdFSnmlSnmlSnmlSzyzxzzzyyxyyzxyxxx2222zyxSSSSjij iTl1.21.2* * 應(yīng)力分析應(yīng)力分析.3* * 應(yīng)力平衡微分方程應(yīng)力平衡微分方程 根據(jù)靜力平衡條件，如 ，有

13、 同時考慮y、z方向的平衡，經(jīng)整理得質(zhì)點的應(yīng)力平衡微分方程 簡記為 單元體六個面上的應(yīng)力分量 0 xP0)()()(dxdydzdxdydzdxdydzzdzdxdyydydzdxxzxyxxzxzxxyyxxx000zyxzyxzyxzyzxzzyyxyzxyxx0iijx1.21.2* * 應(yīng)力分析應(yīng)力分析平衡方程（考慮體積力的作用）平衡方程的矩陣形式 1.31.3* * 位移與應(yīng)變位移與應(yīng)變1.3.1* 位移位移向量記法向量記法或或1.31.3* * 位移與位移與應(yīng)變應(yīng)變1.3.2* 小變形分析小變形分析 1、小應(yīng)變 單元體在Oxy坐標(biāo)平面內(nèi)的純變形 1.31.3* * 位移與位移與應(yīng)變

14、應(yīng)變 切應(yīng)變及剛體轉(zhuǎn)動切應(yīng)變與剛性轉(zhuǎn)動 1.31.3* * 位移與位移與應(yīng)變應(yīng)變 單元體變形的分解1.31.3* * 位移與位移與應(yīng)變應(yīng)變 相對位移張量及其分解xxyxzijyxyyzzxzyzr()/ 2()/ 2()/ 2()/ 2()/ 2()/ 20()/ 2()/ 2()/ 20()/ 2()/ 2()/ 20 xxyyxxzzxyxxyyyzzyzxxzzyyzzxyyxxzzxyxxyyzzyzxxzzyyz000 xxyxzzyijyxyyzzxzxzyzyxr()/2()/2()/2ijijjijiijjiijjirrrrrrrr1.31.3* * 位移與位移與應(yīng)變應(yīng)變1.3

15、.3* 小應(yīng)變幾何方程小應(yīng)變幾何方程 無限接近兩點的位移分量之間的關(guān)系變形體內(nèi)無限接近兩點的位移分量及其位移增量 iiijiijuuudxuux uuuudxdydzxyzvvvvdxdydzxyzwwwwdxdydzxyz1.31.3* * 位移與位移與應(yīng)變應(yīng)變 位移分量與應(yīng)變分量的關(guān)系 ()ccxdxuuudxuudxdxx()bbydyvvvdyvvdydyy 1 21 2tan11byxbuudyuuubbyyvabdyvvvvdyyy tanyxyxuytanxyxyvxxyyxxyyxuvyx111222xyyxxyyxuvyx1.31.3* * 位移與位移與應(yīng)變應(yīng)變 應(yīng)變分量與位

16、移分量之間關(guān)系的公式用角標(biāo)符號表示為稱為小應(yīng)變幾何方程。 1;21;21;2xyzzyyzxxzzxyyxuvwxzyvwuyxzwuvzyx12jiijjiuuxx1.31.3* * 位移與應(yīng)變位移與應(yīng)變應(yīng)變分量的向量表示1.41.4* * 邊界條件邊界條件問題的域和邊界1.51.5* * 理想彈性體的本構(gòu)方程理想彈性體的本構(gòu)方程 ekleijklijC ekldeijklijCd klijjlikeijklvvGC212 )1 (2vEG 有限變形問題：ekleijklijDC 1.51.5* * 理想彈性體的本構(gòu)方程理想彈性體的本構(gòu)方程矩陣形式其中1.61.6* * 基本方程和原理基本方

17、程和原理1.6.1* 彈性力學(xué)邊值問題彈性力學(xué)邊值問題 1.61.6* * 基本方程和原理基本方程和原理虛功原理虛功原理求理論(解析)解的基本方法n微分方程化簡、離散 n積分方程變分法n圖解法：莫爾圓、滑移線法 假設(shè)試函數(shù)：利用邊界條件、守恒條件等確定系數(shù)塑性力學(xué)問題的經(jīng)典求解方法n主應(yīng)力法（解微分方程）2rddrh 塑性力學(xué)問題的經(jīng)典求解方法n滑移線法（圖解法）2mambabK （）塑性力學(xué)問題的經(jīng)典求解方法n上限法（解積分方程） *ijDTiijtDiiVSSP udVK V dSTu dS 塑性力學(xué)問題的經(jīng)典求解方法n問題：只適用于簡單問題，或必須對問題進(jìn)行簡化n解析方法與數(shù)值方法的比較

18、彈塑性力學(xué)參考書n彈性力學(xué)，徐芝綸，高等教育出版社，1982n金屬塑性成形原理董湘懷主編，機械工業(yè)出版社，2011 習(xí)題1.1*1 有限元法的理論基礎(chǔ)有限元法的理論基礎(chǔ) 1.1 引言1.2 微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法1.3 變分法1.4 彈性力學(xué)的基本方程和變分原理1.1 引言引言n微分方程的邊值問題 域 V 和邊界 S（S=Su+Sp） 1.1 引言引言n兩類求解方法：n直接針對原始方程求解 主應(yīng)力法、有限差分法n間接針對原始方程求解 上限法、有限元法1.1 引言引言n有限差分法：直接求解基本方程和相應(yīng)的定解條件的近似解n有限元法：從等效積分形式出發(fā)，分片假設(shè)近似函數(shù)1.1 引言引言

19、n有限差分離散（空間）1.1 引言引言n有限元離散（物質(zhì)）1.2 微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法1.2.1 微分方程的等效積分形式微分方程的等效積分形式 未知場函數(shù)u應(yīng)滿足微分方程組: 邊界條件:1.2 微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法 由于微分方程組在域中每一點都必須為零，故對任意的函數(shù)向量v 1.2 微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法1.2 微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法法1.2.1 等效積分的弱形式等效積分的弱形式 對等效積分形式進(jìn)行分部積分可得

20、 其中C，D，E，F(xiàn)是微分算子，其階數(shù)較A為低。以提高v的連續(xù)性要求為代價，降低了對u的連續(xù)性要求。 1.2 微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法例例 二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題 微分方程 邊界條件 等效積分形式1.2 微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法法強制邊界條件:對第一個積分的前二項進(jìn)行分部積分，得 于是01.2 微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法法向?qū)?shù)令則有即為等效積分的弱形式, 其中 1.2 微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法1.2.3 加權(quán)余量法加權(quán)余量法

21、(Weighted Residual Method) 近似解的一般形式其中ai是待定參數(shù)；Ni是試探函數(shù)，取自完全的函數(shù)序列。 完全的函數(shù)系列是指任一函數(shù)都可以用此序列表示。 近似解代入微分方程和邊界條件將產(chǎn)生殘差(即余量):有 (),()aaA NR B NR1.2 微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法 常用的權(quán)函數(shù)的選擇： 1配點法 2子域法 3最小二乘法 使 最小，取 4力矩法 5伽遼金(Galerkin)法 1.2 微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法例例1.3 二階常微分方程邊界條件近似解一階近似解二階近似解(參見教材2

22、2-25頁)1.2 微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法例例1.4 一維熱傳導(dǎo)問題，微分方程其中近似解 作業(yè)：求解本題（練習(xí)題1.1）。1.2 微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法1.2 微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法n加權(quán)余量法的問題:n解的收斂性沒有嚴(yán)格的理論證明；n近似解也不具有明確的上、下界性質(zhì)。1.3 變分原理和里茲方法變分原理和里茲方法1.3.1 變分法的概念變分法的概念 （參見曾攀書77-79頁） 變分法與微分方程邊值問題是等價的。 （參見曾攀書65-67頁例題） 作業(yè)第1章 練

23、習(xí)題1.11.3 變分原理和里茲方法變分原理和里茲方法1.3.2 線性、自伴隨微分方程變分原理的建立線性、自伴隨微分方程變分原理的建立 1線性、自伴隨微分算子 1.3 變分原理和里茲方法變分原理和里茲方法例1.3 變分原理和里茲方法變分原理和里茲方法 2泛函的構(gòu)造1.3 變分原理和里茲方法變分原理和里茲方法1.3 變分原理和里茲方法變分原理和里茲方法3. 泛函的極值性1.3 變分原理和里茲方法變分原理和里茲方法1.3.3 里茲方法里茲方法1.3 變分原理和里茲方法變分原理和里茲方法1.3 變分原理和里茲方法變分原理和里茲方法1.3 變分原理和里茲方法變分原理和里茲方法 例例: 用里茲法求解微分

24、方程問題（參見教材33-34頁）1.3 變分原理和里茲方法變分原理和里茲方法n關(guān)于里茲法的幾點討論 收斂性 應(yīng)用中的困難 （1）完備性：試探函數(shù) Ni（i=1n）應(yīng)取自完全函數(shù)系列。 （2）協(xié)調(diào)性： Ni（i=1n）應(yīng)滿足 Cm-1連續(xù)性要求。 （1）在求解域比較復(fù)雜時，難以選取滿足邊界條件的試探函數(shù)。 （2）為了提高近似解的精度，需要增加待定參數(shù)和試探函數(shù)的項數(shù)。 1.4 彈性力學(xué)的變分原理彈性力學(xué)的變分原理1.4.1 平衡方程和幾何方程的等效積分平衡方程和幾何方程的等效積分“弱弱”形式形式虛功原理虛功原理 1虛位移原理 平衡方程： 力的邊界條件： 等效積分形式： 分部積分： 將上式代回等效

25、積分式，就得到它經(jīng)分部積分后的“弱”形式： 1.4 彈性力學(xué)的變分原理彈性力學(xué)的變分原理n虛位移原理表述了力系平衡的必要而充分的條件。n還應(yīng)指出，在導(dǎo)出虛位移原理的過程中，未涉及物理力程(應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系)，所以虛位移原理不僅可以用于線彈性問題，而且可以用于非線性彈性及彈塑性等非線性問題。 1.4 彈性力學(xué)的變分原理彈性力學(xué)的變分原理1虛應(yīng)力原理 幾何方程： 位移邊界條件： 等效積分形式： 分部積分可得： 化簡得： 1.4 彈性力學(xué)的變分原理彈性力學(xué)的變分原理n虛應(yīng)力原理表述了位移協(xié)調(diào)的必要而充分的條件。n和虛位移原理相同，在導(dǎo)出虛應(yīng)力原理過程中，同樣末涉及物理方程。因此，虛應(yīng)力原理同樣可以應(yīng)用

26、于線彈性以及非線性彈性和彈塑性等不同的力學(xué)問題。n應(yīng)指出，無論是虛位移原理和虛應(yīng)力原理，它們所依賴的幾何方程和平衡方程都是基于小變形理論的，所以它們不能直接應(yīng)用于基于大變形理論的力學(xué)問題。 1.4 彈性力學(xué)的變分原理彈性力學(xué)的變分原理1.4.2 線彈性力學(xué)的變分原理線彈性力學(xué)的變分原理 1最小位能原理 由虛位移原理： 代入物理方程得： 利用對稱性和單位體積應(yīng)變能的定義，得： 假定體力和面力的大小和方向都是不變的，可從位勢函數(shù)導(dǎo)出 于是有1.4 彈性力學(xué)的變分原理彈性力學(xué)的變分原理 在所有區(qū)域內(nèi)滿足幾何關(guān)系，在邊界上滿足給定位移條件的可能位移中，真實位移使系統(tǒng)的總位能取駐值，實際上是取最小值，上

27、式稱為最小位能原理。 1.4 彈性力學(xué)的變分原理彈性力學(xué)的變分原理 證明最小位能原理證明最小位能原理：設(shè) 總位能： 其中 因此1.4 彈性力學(xué)的變分原理彈性力學(xué)的變分原理 2最小余能原理 由虛應(yīng)力原理： 代入物理方程得： 利用對稱性和單位體積余能的定義，得： 于是有 其中 1.4 彈性力學(xué)的變分原理彈性力學(xué)的變分原理 在所有在彈性體內(nèi)滿足平衡方程，在邊界上滿足力的邊界條件的可能應(yīng)力中，真實的應(yīng)力使系統(tǒng)的總余能取駐值，實際上是取最小值，上式稱為最小余能原理。 1.4 彈性力學(xué)的變分原理彈性力學(xué)的變分原理 3. 彈性力學(xué)變分原理的能量上、下界 由于應(yīng)變能應(yīng)等于外力功，總位能與總余能之和為零。假定在

28、Su上給定位移為零，可以推得： 上式后兩項積分(不包括負(fù)號)此時是外力功的二倍，因此總位能數(shù)值上等于彈性體系的總應(yīng)變能，取負(fù)號，即 1.4 彈性力學(xué)的變分原理彈性力學(xué)的變分原理 由最小位能原理 則有 由最小余能原理 則有 可見，利用最小位能原理求得位移近似解的彈性變形能是真解變形能的下界，即近似的位移場在總體上偏小，也就是說結(jié)構(gòu)的計算模型顯得偏于剛硬；而利用最小余能原理得到的應(yīng)力近似解的彈性余能是真實解余能的上界，即近似的應(yīng)力解在總體上偏大，結(jié)構(gòu)的計算模型偏于柔軟。當(dāng)分別利用這兩個極值原理求解同一問題時，我們將獲得這個問題的上界和下界，可以較準(zhǔn)確地估計所得近似解的誤差。 作業(yè)第1章 練習(xí)題1.

29、52 彈性力學(xué)問題有限單元法的 一 般原理和表達(dá)格式 2.1 引 言 2.2 平面問題3結(jié)點三角形單元的有限元格 式 2.3 廣義坐標(biāo)有限單元法的一般格式2.4 有限元解的性質(zhì)和收斂性 2.5 軸對稱問題的有限元格式 2.1 引引 言言n位移元n原理和步驟n有限元解的收斂性2.2 平面問題平面問題3結(jié)點三角形單元的有限元格式結(jié)點三角形單元的有限元格式2.2.1 單元位移模式及插值函數(shù)單元位移模式及插值函數(shù)2.2 平面問題平面問題3結(jié)點三角形單元的有限元格式結(jié)點三角形單元的有限元格式 1單元的位移模式及插值函數(shù)yxvyxu654321 mmmjjjiiiyxuyxuyxu321321321 )(

30、21)(21)(21321mmjjiimmjjiimmjjiiucucucAubububAuauauaA 2.2 平面問題平面問題3結(jié)點三角形單元的有限元格式結(jié)點三角形單元的有限元格式 2. 位移插值函數(shù)2.2 平面問題平面問題3結(jié)點三角形單元的有限元格式結(jié)點三角形單元的有限元格式 插值函數(shù)的性質(zhì):（1）在節(jié)點上： ),(01),(mjiijijyxNijjji當(dāng)當(dāng) （2）在單元中任一點有：1mjiNNN （3）相鄰單元公共邊上位移的連續(xù)性。 2.2 平面問題平面問題3結(jié)點三角形單元的有限元格式結(jié)點三角形單元的有限元格式 3應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣 應(yīng)變矩陣2.2 平面問題平面問題3結(jié)點三角形單元的

31、有限元格式結(jié)點三角形單元的有限元格式 應(yīng)力矩陣2.2 平面問題平面問題3結(jié)點三角形單元的有限元格式結(jié)點三角形單元的有限元格式2.2.2 利用最小位能原理建立有限元方程利用最小位能原理建立有限元方程2.2 平面問題平面問題3結(jié)點三角形單元的有限元格式結(jié)點三角形單元的有限元格式2.2 平面問題平面問題3結(jié)點三角形單元的有限元格式結(jié)點三角形單元的有限元格式2.2.3 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 1. 單元剛度矩陣的形成 2. 單元剛度矩陣的力學(xué)意義和性質(zhì)2.2 平面問題平面問題3結(jié)點三角形單元的有限元格式結(jié)點三角形單元的有限元格式 單元剛度矩陣的特性2.2 平面問題平面問題3結(jié)點三角形單元的有限元格式

32、結(jié)點三角形單元的有限元格式2.2.4 單元等效結(jié)點載荷列陣單元等效結(jié)點載荷列陣 例例1 均勻等厚單元的自重2.2 平面問題平面問題3結(jié)點三角形單元的有限元格式結(jié)點三角形單元的有限元格式例例2 均布側(cè)壓例例3 x方向三角分布載荷2.2 平面問題平面問題3結(jié)點三角形單元的有限元格式結(jié)點三角形單元的有限元格式2.2.5 結(jié)構(gòu)剛度矩陣和結(jié)構(gòu)結(jié)點載荷列陣的集成結(jié)構(gòu)剛度矩陣和結(jié)構(gòu)結(jié)點載荷列陣的集成eeTTeeTTp)()(21PGuuGKGu PuKuuTTp21 由最小位能原理，令0p，有 0up PKu 2.2 平面問題平面問題3結(jié)點三角形單元的有限元格式結(jié)點三角形單元的有限元格式 1. 單元剛度矩陣

33、的轉(zhuǎn)換貢獻(xiàn)矩陣：mmmjmijmjjijimijiinmjinmjiKKKKKKKKK11 2.2 平面問題平面問題3結(jié)點三角形單元的有限元格式結(jié)點三角形單元的有限元格式 2. 單元等效結(jié)點載荷列陣的轉(zhuǎn)換2.2 平面問題平面問題3結(jié)點三角形單元的有限元格式結(jié)點三角形單元的有限元格式 3. 結(jié)構(gòu)剛度矩陣和結(jié)構(gòu)載荷列陣的集成 4. 結(jié)構(gòu)剛度矩陣的性質(zhì)和特點 特點： 對稱性 奇異性 稀疏性 非零元素呈帶狀分布 2.2 平面問題平面問題3結(jié)點三角形單元的有限元格式結(jié)點三角形單元的有限元格式2.2.6 引入位移邊界條件引入位移邊界條件 1. 直接代入法2.2 平面問題平面問題3結(jié)點三角形單元的有限元格式

34、結(jié)點三角形單元的有限元格式 2. 對角元素改1法2.2 平面問題平面問題3結(jié)點三角形單元的有限元格式結(jié)點三角形單元的有限元格式 3. 對角元素乘大數(shù)法2.3 廣義坐標(biāo)有限法的一般格式廣義坐標(biāo)有限法的一般格式2.3.1 選擇單元位移函數(shù)的一般原則選擇單元位移函數(shù)的一般原則 1. 廣義坐標(biāo)的個數(shù)應(yīng)與結(jié)點自由度數(shù)相等。 2. 選取多項式時，常數(shù)項和坐標(biāo)的一次項必須完備。 3. 多項式的選取應(yīng)由低階到高階，盡量選取完全多項式以提高單元的精度。 2.3 廣義坐標(biāo)有限法的一般格式廣義坐標(biāo)有限法的一般格式2.3.2 彈性有限元分析的步驟彈性有限元分析的步驟1、用假想的線或面將物體分成若干有限單元。 2、假設(shè)

35、單元在且僅在節(jié)點互相連接，將節(jié)點位移作為基本未知量。 3、選擇適當(dāng)?shù)牟逯岛瘮?shù)。 4、利用位移函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)確定單元中的應(yīng)變、應(yīng)力分布。 5、根據(jù)最小位能原理建立單元剛度方程。 6、將單元外載荷按作用力等效的原則形成等效節(jié)點力。 7、按節(jié)點整體編號及自由度的順序，將單元的剛度方程組裝成整體剛度方程。 8、根據(jù)邊界節(jié)點必須滿足的位移條件，修改整體剛度方程。 9、求解整體剛度方程，得到節(jié)點位移。 10、根據(jù)求得的節(jié)點位移計算各單元的應(yīng)變和應(yīng)力。 有限元分析的操作步驟 n 建模n 分網(wǎng)n 加載n 求解n 后處理有限元分析示例n受單向拉伸的帶圓孔的板條 y x o 有限元分析示例n通過布爾運算生成幾何模型

36、 A1 A2 L10 4 3 2 6 5 L2 L3 L5 L9 有限元分析示例 a） b） 網(wǎng)格自動劃分的結(jié)果 a）全三角形網(wǎng)格劃分 b）智能化的全四邊形網(wǎng)格劃分 有限元分析示例 a） b） 施加邊界條件 a）位移邊界條件 b）力邊界條件 有限元分析示例 a） b） 等效應(yīng)力分布 a）線彈性模型的計算結(jié)果 b）雙線性彈塑性模型的計算結(jié)果 2.4 有限元解的性質(zhì)和收斂有限元解的性質(zhì)和收斂準(zhǔn)則準(zhǔn)則2.4.1 有限元解的收斂準(zhǔn)則有限元解的收斂準(zhǔn)則 在什么條件下，當(dāng)單元尺寸趨于零時，有限元解趨于真正解?2.4 有限元解的性質(zhì)和收斂有限元解的性質(zhì)和收斂準(zhǔn)則準(zhǔn)則2.4.2 收斂準(zhǔn)則的物理意義收斂準(zhǔn)則的物

37、理意義 位移及其一階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)的項是代表與單元的剛體位移和常應(yīng)變狀態(tài)相應(yīng)的位移模式。所以完備性的要求由插值函數(shù)所構(gòu)成的有限元解必須能反映單元的剛體位移和常應(yīng)變狀態(tài)。 如果在單元交界面上位移不連續(xù)，將在交界面上引起無限大的應(yīng)變，有限元解就不可能收斂于真正解。2.4 有限元解的性質(zhì)和收斂有限元解的性質(zhì)和收斂準(zhǔn)則準(zhǔn)則2.4.3 位移元解的下限性質(zhì)位移元解的下限性質(zhì)2.5 軸對稱問題的有限元格式軸對稱問題的有限元格式2.5.1 3結(jié)點三角形環(huán)狀單元的插值函數(shù)及應(yīng)力應(yīng)變矩陣結(jié)點三角形環(huán)狀單元的插值函數(shù)及應(yīng)力應(yīng)變矩陣 1. 位移模式和插值函數(shù) 三角形環(huán)狀單元 3 節(jié)點三角形環(huán)狀單元的 rz 截面 mmjj

38、iimmjjiiwNwNwNwuNuNuNu， )(21zcrbaANiiii 2.5 軸對稱問題的有限元格式軸對稱問題的有限元格式 2. 應(yīng)變矩陣2.5 軸對稱問題的有限元格式軸對稱問題的有限元格式 3. 應(yīng)力矩陣和單元積分2.5 軸對稱問題的有限元格式軸對稱問題的有限元格式2.5.2 3結(jié)點環(huán)狀單元的單元剛度矩陣結(jié)點環(huán)狀單元的單元剛度矩陣2.5 軸對稱問題的有限元格式軸對稱問題的有限元格式2.5.3 3結(jié)點環(huán)狀單元的等效結(jié)點載荷結(jié)點環(huán)狀單元的等效結(jié)點載荷作業(yè)作業(yè)第2章 2.3，2.4(不求主應(yīng)力) 3.1 引言3.2 一維單元 3.3 二維單元3.4 三維單元 3.1 引言引言n在個給定問

39、題的分析中、決定性的步驟之一是選擇適當(dāng)?shù)膯卧筒逯岛瘮?shù)。3.1 引言引言n結(jié)點參數(shù)可以包含場函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的結(jié)點值，具體取決于單元交界面上的連續(xù)性要求，而后者又由泛函中場函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階次所決定。n有限單元法中單元插值函數(shù)幾乎都采用不同階次冪函數(shù)的多項式。這是因為它們具有便于運算和易于滿足收斂性要求的優(yōu)點。3.2 一維單元一維單元3.2.1 拉格朗日單元拉格朗日單元 1. 總體坐標(biāo)內(nèi)的插值函數(shù) 插值函數(shù)的性質(zhì)： 拉格朗日插值多項式 n=2時3.2 一維單元一維單元 2. 自然坐標(biāo)內(nèi)的插值函數(shù) 引入無量綱坐標(biāo) 則拉格朗日插值多項式可表示為 3.2 一維單元一維單元 如果無量綱坐標(biāo)采用另一種形式 3

40、. 拉格朗日插值函數(shù)的廣義表達(dá)式 3.2 一維單元一維單元3.2.2 Hermite單元單元 如果希望在單元間的公共結(jié)點上保持場函數(shù)導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，則結(jié)點參數(shù)中還應(yīng)包含場函數(shù)導(dǎo)數(shù)的結(jié)點值。這時可以方便地采用Hermite多項式作為單元的插值函數(shù)。 對于只有兩個端結(jié)點的一維單元 或 其中3.2 一維單元一維單元3.2 一維單元一維單元3.3 二維單元二維單元3.3.1 三角形單元三角形單元 1. 三角形域的自然坐標(biāo)面積坐標(biāo) （1）面積坐標(biāo)的定義 面積坐標(biāo)的特點： （i）與結(jié)點i的對邊jm平行的直線上的諸點有相同的Li坐標(biāo)。 （ii）三個面積坐標(biāo)并不相互獨立 它是三角形的一種自然坐標(biāo)。3.3 二維單

41、元二維單元 （2）面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系),(/mjiAALii mmjjiyxyxyxA11121)(21ycxbaiii iiiiiiNycxbaAAAL)(21 1mjiLLL 3.3 二維單元二維單元 于是3.3 二維單元二維單元 （3）面積坐標(biāo)的微積分運算 采用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則3.3 二維單元二維單元 3. 用面積坐標(biāo)給出的三角形單元的插值函數(shù) （1）線性單元 （2）二次單元（畫線法） 3.3 二維單元二維單元3.3.2 拉格朗日矩形單元和拉格朗日矩形單元和Hermite矩形單元矩形單元 1. 拉格朗日矩形單元 利用二個坐標(biāo)方向適當(dāng)方次拉格朗日多項式的乘積。 3.3 二維單元二

42、維單元n缺點：增加內(nèi)結(jié)點和自由度數(shù)。3.3 二維單元二維單元 2. Hermite矩形單元 對于雙1階（3次）Hermite多項式3.3 二維單元二維單元3.3.3 Serendipity單元（單元（“珍奇珍奇”單元）單元） 二次Serendipity單元的構(gòu)造 角結(jié)點的插值函數(shù)： 雙一次拉格朗日多項式 增加邊內(nèi)結(jié)點時按劃線法構(gòu)造插值函數(shù)，如： 修正N1：3.3 二維單元二維單元3.3 二維單元二維單元n在構(gòu)造單元插值函數(shù)的意義上，三角形單元和四邊形單元，拉格朗日單元和Serendipity單元的差別消失了。而且這種構(gòu)造單元插值函數(shù)方法可以方便地推廣用于三維情況。 3.4 三維單元三維單元3.

43、4.1 四面體單元四面體單元 體積坐標(biāo)：3.4 三維單元三維單元 二次單元：畫線法“截面法”3.4 三維單元三維單元3.4.2 Serendipity單元單元 1. 線性單元(8結(jié)點) 2. 二次單元(20結(jié)點) 角結(jié)點： 棱內(nèi)結(jié)點：作業(yè)作業(yè)第3章 3.7 （注意題中的坐標(biāo)的變化區(qū)間與書中不同）4 4 等參單元和數(shù)值積分等參單元和數(shù)值積分4.1 引言4.2 等參變換的概念和單元矩陣的變換4.3 等參變換的條件和等參單元的收斂性4.4 等參元用于分析彈性力學(xué)問題的一般格式4.5 數(shù)值積分方法4.6 等參元計算中數(shù)值積分階次的選擇4.1 引言引言n需要將規(guī)則形狀的單元轉(zhuǎn)化為其邊界為曲線或曲面的相應(yīng)

44、單元。n等參變換：單元幾何形狀的變換和單元內(nèi)的場函數(shù)采用相同數(shù)目的結(jié)點參數(shù)及相同的插值函數(shù)進(jìn)行變換。n采用等參變換的單元稱之為等參單元。n采用等參變換可使各矩陣的積分在規(guī)則的單元域內(nèi)進(jìn)行，可以方便地采用標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)值積分方法計算。 4.2 等參變換的概念和單元矩陣的變換等參變換的概念和單元矩陣的變換4.2.1 等參變換等參變換 坐標(biāo)變換：將局部(自然)坐標(biāo)中幾何形狀規(guī)則的單元轉(zhuǎn)換成總體(笛卡爾)坐標(biāo)中幾何形狀扭曲的單元。 miiimiiimiiizNzyNyxNx111, 若,iiNNnm稱為等參變換； 若nm ，稱為超參變換； 若nm ，稱為次（亞）參變換。 4.2 等參變換的概念和單元矩陣的

45、變換等參變換的概念和單元矩陣的變換4.2 等參變換的概念和單元矩陣的變換等參變換的概念和單元矩陣的變換4.2 等參變換的概念和單元矩陣的變換等參變換的概念和單元矩陣的變換4.2.2 單元矩陣的變換單元矩陣的變換 1導(dǎo)數(shù)之間的變換zzNyyNxxNNiiii zNyNxNzNyNxNzyxzyxzyxNNNiiiiiiiiiJ， iiiiiiNNNzNyNxN1J 4.2 等參變換的概念和單元矩陣的變換等參變換的概念和單元矩陣的變換4.2 等參變換的概念和單元矩陣的變換等參變換的概念和單元矩陣的變換 于是4.2 等參變換的概念和單元矩陣的變換等參變換的概念和單元矩陣的變換 2體積微元、面積微元的

46、變換)(ddddV kjikjikjirdzdydxddzdydxddzdydxdd ddddddzyxzyxzyxdVJ 4.2 等參變換的概念和單元矩陣的變換等參變換的概念和單元矩陣的變換cdddA ddyxyxxzxzzyzy21222 dAd， （,） 4.2 等參變換的概念和單元矩陣的變換等參變換的概念和單元矩陣的變換 單元積分的變換 111111*),(),(dddGdxdydzzyxGeV ddcgdSzyxgeS),(),(1111* 其中 J),(),(),(),(*zyxGG Aczcycxgcg),(),(),(),(* 4.2 等參變換的概念和單元矩陣的變換等參變換的概

47、念和單元矩陣的變換二維情況的蛻化4.2 等參變換的概念和單元矩陣的變換等參變換的概念和單元矩陣的變換 3面積(或體積)坐標(biāo)與笛卡兒坐標(biāo)之間的變換 (1)面積或體積坐標(biāo)都不是完全獨立的 (2) 積分限應(yīng)作必要的改變 4.3 等參變換的條件和等參單元的收斂性等參變換的條件和等參單元的收斂性4.3.1 等參變換的條件等參變換的條件由： ),sin(JdddddddddA 得： dddddd),sin(J 應(yīng)滿足：0J 正常與異常的單元 4.3 等參變換的條件和等參單元的收斂性等參變換的條件和等參單元的收斂性4.3.2 等參單元的收斂性等參單元的收斂性 協(xié)調(diào)性要求:相鄰單元在公共邊(或面)上應(yīng)有完全相

48、同的結(jié)點，同時每一單元沿這些邊(或面)的坐標(biāo)和未知函數(shù)應(yīng)采用相同的插值函數(shù)加以確定。 4.3 等參變換的條件和等參單元的收斂性等參變換的條件和等參單元的收斂性 完備性要求: 對于等參單元：設(shè) 于是 代入插值函數(shù),得 在母單元內(nèi)只要滿足 ，則子單元可以滿足更嚴(yán)格的完備性要求。 對于超參單元，即MM，單元完備性要求通常是不滿足的。 對于次參單元，即Mn，只要滿足 ，則子單元滿足完備性要求。 4.4 等參元用于分析彈性力學(xué)問題的一般格式等參元用于分析彈性力學(xué)問題的一般格式 計算單元矩陣只需作兩方面的修改：積分變量(取自然坐標(biāo))及積分限。 以三維單元為例 1立方體單元系列 4.4 等參元用于分析彈性力

49、學(xué)問題的一般格式等參元用于分析彈性力學(xué)問題的一般格式 2四面體單元系列 對于二維問題只要將以上二組公式退化即可以得到母單元為正方形系列以及三角形系列的二維等參元的相應(yīng)公式。4.4 等參元用于分析彈性力學(xué)問題的一般格式等參元用于分析彈性力學(xué)問題的一般格式n只有對于少數(shù)規(guī)則形狀的單元，積分可以解析地積出。n面(體)積坐標(biāo)的冪函數(shù)的常用積分公式： 在某一棱邊(例如ij邊)上的積分公式 在某一三角形(例如ijk)全面積上的積分公式 在四面體(ijkm)全體積上的積分公式 n 通常情況下J及J都比較復(fù)雜，一般都不能進(jìn)行顯式積分而需求助于數(shù)值積分。 4.5 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法4.5.1 一維數(shù)值積分

50、一維數(shù)值積分 一維問題的數(shù)值積分的基本思想：構(gòu)造一個多項式，用近似函數(shù)的積分來近似原被積函數(shù)的積分。積分點的數(shù)目和位置決定了數(shù)值積分的精度。 1NewtonCotes積分 在這種積分方案中，包括積分域端點在內(nèi)的積分點按等間距分布。 4.5 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法 令 引入 ，將積分限規(guī)格化為0，1 則4.5 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法4.5 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法 2高斯積分 在此積分方案中，積分點不是等間距分布。 定義多項式 由下列條件確定n個積分點的位置4.5 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法 高斯積分和Newton-Cotes積分的區(qū)別： (1)在高斯積分中是2n-1次多項式。 (2)積分點不

51、是等間距分布的。 n個積分點的高斯積分可達(dá)2n-1階的精度。 將積分限規(guī)格化為-1，1，則對于原積分域(a,b)，積分點的坐標(biāo)和積分的權(quán)系數(shù)分別為： 例例1 4.5 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法4.5 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法 例例：比較積分 對于n個積分點，Newton-Cotes積分可以達(dá)到的精度是n-1階多項式，誤差為O(hn)階；高斯積分可以達(dá)到2n-1階多項式的精度，誤差是O(h2n)階。 4.5 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法4.5.2 二維和三維高斯積分二維和三維高斯積分 二維積分 三維積分4.5 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法4.5.3 Irons積分積分4.5.4 二維三角形單元和三維四面錐

52、單元的二維三角形單元和三維四面錐單元的Hammer積分積分4.6 等參元計算中數(shù)值積分階次的選擇等參元計算中數(shù)值積分階次的選擇 選擇積分階次的原則如下 1. 保證積分的精度 完全積分: 對一維問題，如果插值函數(shù)中的多項式階數(shù)為p，微分算子中導(dǎo)數(shù)的階次是m，則有限元得到的被積函數(shù)是2(p-m)次多項式(對于等參元假設(shè)J是常數(shù)時)。為保證原積分的精度，應(yīng)選擇高斯積分的階次np-m+l，這時可以精確積分至2(p-m)+1次多項式，可以達(dá)到精確積分剛度矩陣的要求。 對于二維4結(jié)點雙線性單元，在假設(shè)單元的J是常數(shù)的情況下，由于被積函數(shù)在各個方向的最高方次為2，所以要達(dá)到精確積分，應(yīng)采用22階高斯積分。如

53、果單元的J不是常數(shù)，則需要選取更多的積分點。 4.6 等參元計算中數(shù)值積分階次的選擇等參元計算中數(shù)值積分階次的選擇 減縮積分： 實際選取的高斯積分點數(shù)低于精確積分的要求。例如按單元插值函數(shù)中完全多項式的階數(shù)來選取。 實際計算表明：采用減縮積分往往可以取得較完全精確積分更好的精度。這是由于： (1)決定有限元精度的是完全多項式的方次。 (2)位移有限元的計算模型具有較實際結(jié)構(gòu)偏大的整體剛度。選取減縮積分方案將使有限元計算模型的剛度有所降低。 另外，這種減縮積分方案對于泛函中包含罰函數(shù)的情況也常常是必須的。 4.6 等參元計算中數(shù)值積分階次的選擇等參元計算中數(shù)值積分階次的選擇 2保證結(jié)構(gòu)總剛度矩陣

54、要是非奇異的4.6 等參元計算中數(shù)值積分階次的選擇等參元計算中數(shù)值積分階次的選擇4.6 等參元計算中數(shù)值積分階次的選擇等參元計算中數(shù)值積分階次的選擇 零能模式：由于采用減縮積分導(dǎo)致的使應(yīng)變能為零、而自身有別于剛體運動的位移模式。 例：4.6 等參元計算中數(shù)值積分階次的選擇等參元計算中數(shù)值積分階次的選擇例例 系統(tǒng)剛度矩陣奇異性檢查4.6 等參元計算中數(shù)值積分階次的選擇等參元計算中數(shù)值積分階次的選擇作業(yè)習(xí)題4.105 有限單元法應(yīng)用中的若干實際考慮有限單元法應(yīng)用中的若干實際考慮 5.1 引言5.2 有限元模型的建立5.3 應(yīng)力計算結(jié)果的性質(zhì)和處理5.4 子結(jié)構(gòu)法5.5 結(jié)構(gòu)對稱性和周期性的利用5.

55、1 引言 有限元分析的要點： 1. 合理的有限元模型； 2. 恰當(dāng)?shù)姆治龇桨负陀嬎惴椒ǎ?3. 計算結(jié)果的處理和正確解釋。 5.2 有限元模型的建立有限元模型的建立 根據(jù)求解目的進(jìn)行模型化5.2.1 單元類型和形式的選擇單元類型和形式的選擇 1. 單元類型：取決于問題的類型和簡化 2. 單元形式 例例5.1 5.2 有限元模型的建立有限元模型的建立n網(wǎng)格質(zhì)量 各種單元的形態(tài)比 單元畸變a）歪斜單元 b）翹曲單元5.2 有限元模型的建立有限元模型的建立5.2.2 網(wǎng)格的劃分網(wǎng)格的劃分 1. 網(wǎng)格疏密的合理布置 （1）局部加密網(wǎng)格 （2）自適應(yīng)分析 單元細(xì)分格式 a）四邊形單元 b）三角形單元 網(wǎng)

56、格自動生成和加密5.2 有限元模型的建立有限元模型的建立 2. 疏密網(wǎng)格的過渡簡單的過渡 較復(fù)雜的過渡 圖5.35.3 應(yīng)力計算結(jié)果的性質(zhì)和處理應(yīng)力計算結(jié)果的性質(zhì)和處理 由結(jié)點位移求單元內(nèi)的應(yīng)力：通過導(dǎo)數(shù)運算得到的應(yīng)變和應(yīng)力的精度低于位移精度。 應(yīng)力解的誤差表現(xiàn)在： (1) 單元內(nèi)部不滿足平衡方程； (2) 單元與單元的交界面上應(yīng)力一般不連續(xù)； (3) 在力的邊界上般也不滿足力的邊界條件。 除非實際應(yīng)力變化的階次等于或低于所采用單元的應(yīng)力的階次，得到的只能是近似解答。5.3 應(yīng)力計算結(jié)果的性質(zhì)和處理應(yīng)力計算結(jié)果的性質(zhì)和處理5.3.1 應(yīng)力近似解的性質(zhì)應(yīng)力近似解的性質(zhì) 設(shè)5.3 應(yīng)力計算結(jié)果的性

57、質(zhì)和處理應(yīng)力計算結(jié)果的性質(zhì)和處理 求最小位能歸結(jié)為求如下泛函的極小值問題：對于線彈性問題，上式還可以表示為 應(yīng)變和應(yīng)力近似解是真實應(yīng)變和真實應(yīng)力在加權(quán)最小二乘意義上的近似解。它必然在真正解上下振蕩。在某些點近似解正好等于真實解，也即在單元內(nèi)存在最佳應(yīng)力點。 5.3 應(yīng)力計算結(jié)果的性質(zhì)和處理應(yīng)力計算結(jié)果的性質(zhì)和處理5.3.2 等參元的最佳應(yīng)力點等參元的最佳應(yīng)力點5.3 應(yīng)力計算結(jié)果的性質(zhì)和處理應(yīng)力計算結(jié)果的性質(zhì)和處理 5.3 應(yīng)力計算結(jié)果的性質(zhì)和處理應(yīng)力計算結(jié)果的性質(zhì)和處理5.3.3 單元平均或結(jié)點平均單元平均或結(jié)點平均 應(yīng)變和應(yīng)力解在單元間是不連續(xù)的，另一方面通常實際工程問題中我們感興趣的是單

58、元邊緣和結(jié)點上的應(yīng)力，因此需對計算得到的應(yīng)力進(jìn)行處理和改善。 1. 取相鄰單元應(yīng)力的平均值或 2. 取圍繞結(jié)點各單元應(yīng)力的平均值 5.3 應(yīng)力計算結(jié)果的性質(zhì)和處理應(yīng)力計算結(jié)果的性質(zhì)和處理5.3.7 自適應(yīng)分析自適應(yīng)分析 1. 單元的能量積分 2. h型改進(jìn) 2. p型改進(jìn)5.4 子結(jié)構(gòu)法子結(jié)構(gòu)法例例 框架結(jié)構(gòu)及其子結(jié)構(gòu)分解5.4 子結(jié)構(gòu)法子結(jié)構(gòu)法 可以采用子結(jié)構(gòu)方法的幾種情況： （1）結(jié)構(gòu)中可以劃分出多塊相同的部分，取相同部分的結(jié)構(gòu)作為子結(jié)構(gòu)。 （2）某些結(jié)構(gòu)方案的變化只是在局部，而其余部分不變。 （3）將大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)劃分為若干子結(jié)構(gòu)，提高計算效率。 子結(jié)構(gòu)計算中需要討論兩方面問題： （1）內(nèi)

59、部自由度的凝聚； （2）坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。 5.4 子結(jié)構(gòu)法子結(jié)構(gòu)法5.4.1 內(nèi)部自由度的凝聚內(nèi)部自由度的凝聚凝聚后的方程：消元運算 5.4 子結(jié)構(gòu)法子結(jié)構(gòu)法5.4.2 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)轉(zhuǎn)換局部坐標(biāo)和總體坐標(biāo)之間的關(guān)系 5.4 子結(jié)構(gòu)法子結(jié)構(gòu)法5.5 結(jié)構(gòu)對稱性和周期性的利用結(jié)構(gòu)對稱性和周期性的利用5.5.1 具有對稱面的結(jié)構(gòu)具有對稱面的結(jié)構(gòu) 對稱面上的邊界條件按以下規(guī)則確定： 1在不同的對稱面上，將位移分量區(qū)分為對稱分量和反對稱分量。 2將載荷也區(qū)分為對稱分量和反對稱分量。 3如載荷是對稱的，則位移的反對稱分量為0；如載荷是反對稱的，則位移的對稱分量為0。 例例 5.5 結(jié)構(gòu)對稱性和周期性的利用結(jié)構(gòu)對

60、稱性和周期性的利用5.5 結(jié)構(gòu)對稱性和周期性的利用結(jié)構(gòu)對稱性和周期性的利用5.5 結(jié)構(gòu)對稱性和周期性的利用結(jié)構(gòu)對稱性和周期性的利用5.5.3 旋轉(zhuǎn)周期結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)周期結(jié)構(gòu) 1沿周向周期性變化的載荷情況5.4 結(jié)構(gòu)對稱性和周期性的利用結(jié)構(gòu)對稱性和周期性的利用作業(yè)習(xí)題5.18.1 引言8.2 約束變分原理8.3 彈性力學(xué)廣義變分原理8.5 不可壓縮彈性力學(xué)問題的有限元法8.1 引言引言n自然變分原理：場變量已事先滿足附加條件。n 約束變分原理、即廣義變分原理：利用適當(dāng)?shù)姆椒▽龊瘮?shù)應(yīng)事先滿足的附加條件引入泛函，使有附加條件的變分原理變成無附加條件的變分原理。n例如：板殼問題要滿足交界面上撓度法向?qū)?shù)的