講 微分方程ppt課件PPT課件

1、實驗?zāi)康膶嶒瀮?nèi)容2學(xué)會用MATLAB求微分方程的數(shù)值解1學(xué)會用MATLAB求簡單微分方程的解析解1 1求簡單微分方程的解析解4 4實驗作業(yè)2求微分方程的數(shù)值解3 數(shù)學(xué)建模實例 第1頁/共31頁求微分方程的數(shù)值解（一）常微分方程數(shù)值解的定義（二）建立數(shù)值解法的一些途徑（三）用MATLAB軟件求常微分方程的數(shù)值解返 回第2頁/共31頁1目標(biāo)跟蹤問題一：導(dǎo)彈追蹤問題 2目標(biāo)跟蹤問題二：慢跑者與狗3地中海鯊魚問題返 回數(shù)學(xué)建模實例第3頁/共31頁微分方程的解析解 求微分方程（組）解析解的命令:dsolve(方程1,方程2,方程n,初始條件,自變量)To MATLAB（ff1） 結(jié) 果：u = tg(t

2、-c)第4頁/共31頁 解 輸入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)結(jié) 果 為 : y =3e-2xsin（5x）To MATLAB（ff2）第5頁/共31頁解 輸入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(x) % 將x化簡 y=simple(y) z=simple(z)結(jié) 果 為：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+

3、c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t To MATLAB（ff3）返 回第6頁/共31頁微分方程的數(shù)值解（一）常微分方程數(shù)值解的定義 在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很復(fù)雜,且大多得不出一般解而實際中的對初值問題，一般是要求得到解在若干個點上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個滿足精確度要求的便于計算的表達式因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的0000121212( , ) () (),(), () ,.nnnyf x yxy xyxxxxxy xy xy xy yy對常微分方程 ：，其數(shù)值解是指由初始點開始的若干離散的 處的值，即對， 求出準(zhǔn)

4、確值的相應(yīng)近似值返 回第7頁/共31頁（二）建立數(shù)值解法的一些途徑100 , 0,1,2,1, ( , ) ()iixxhinyf x yy xy設(shè)則可用以下離散化方法求解微分方程1用差商代替導(dǎo)數(shù) 若步長h較小，則有hxyhxyxy)()()( 故有公式：100( ,) 0,1,2, -1() iiiiyyhf x yinyy x此即歐拉法第8頁/共31頁2使用數(shù)值積分對方程y=f(x,y), 兩邊由xi到xi+1積分，并利用梯形公式，有：11111()()( ,( )(,()(,()2iixiixiiiiiiyxyxfty td txxfxyxfxyx 實際應(yīng)用時，與歐拉公式結(jié)合使用：, 2

5、 , 1 , 0 ),(),(2),()(11) 1(1)0(1kyxfyxfhyyyxhfyykiiiiikiiiii(1)( )111112 0 kkkiiiiiyyyyy（）對于已給的精確度，當(dāng)滿足時， 取，然后繼續(xù)下一步 的計算此即改進的歐拉法故有公式：)(),(),(200111xyyyxfyxfhyyiiiiii第9頁/共31頁3使用泰勒公式 以此方法為基礎(chǔ)，有龍格-庫塔法、線性多步法等方法4數(shù)值公式的精度 當(dāng)一個數(shù)值公式的截斷誤差可表示為O（hk+1）（其中k為正整數(shù)，h為步長）時，稱它是一個k階公式 k越大，則數(shù)值公式的精度越高歐拉法是一階公式，改進的歐拉法是二階公式龍格-庫塔

6、法有二階公式和四階公式線性多步法有四階亞當(dāng)斯外插公式和內(nèi)插公式返 回第10頁/共31頁（三）用MATLAB軟件求常微分方程的數(shù)值解t，x=solver(f,ts,x0,options)ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程寫成的M文件名ts=t0,tf，t0、tf為自變量的初值和終值函數(shù)的初值ode23：組合的2/3階龍格庫塔費爾貝格算法ode45：運用組合的4/5階龍格庫塔費爾貝格算法自變量值函數(shù)值用于設(shè)定誤差限(缺省時設(shè)定相對誤差10-3, 絕對誤差10-6),命令為：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）, rt，at：分別

7、為設(shè)定的相對誤差和絕對誤差第11頁/共31頁 1在解含n個未知數(shù)的方程組時，x0和x均為n維向量，M文件中的待解方程組應(yīng)以x的分量形式寫出 2使用MATLAB軟件求數(shù)值解時，高階微分方程必須等價地變換成一階微分方程組注意:第12頁/共31頁解: 令 y1=x，y2=y1則微分方程變?yōu)橐浑A微分方程組：0)0(, 2)0()1 (1000211221221yyyyyyyy1建立M文件vdp1000m如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1); 2取t0=0，tf=300

8、0，輸入命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-)3結(jié)果如圖050010001500200025003000-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52To MATLAB（ff4）第13頁/共31頁 例例 5 解微分方程組. 1)0(, 1)0(, 0)0(51. 0321213312321yyyyyyyyyyyy解 1建立M文件rigidm如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-051*y(1)*y

9、(2);2取t0=0，tf=12，輸入命令： T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)3結(jié)果如圖To MATLAB（ff5）024681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81圖中，y1的圖形為實線，y2的圖形為“*”線，y3的圖形為“+”線返 回第14頁/共31頁導(dǎo)彈追蹤問題 設(shè)位于坐標(biāo)原點的甲艦向位于x軸上點A(1, 0)處的乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭始終對準(zhǔn)乙艦如果乙艦以最大的速度v0(常數(shù))沿平行于y軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是5v0，求導(dǎo)彈運行的曲線方程乙艦行駛多遠(yuǎn)時，

10、導(dǎo)彈將它擊中？解法一（解析法）第15頁/共31頁由(1),(2)消去t, 整理得模型:(3) 151)1 (2yyx初值條件為: 0)0(y 0)0( yTo MATLAB(chase1)軌跡圖見程序chase1第16頁/共31頁解法二(數(shù)值解法)1建立M文件eq1m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x); 2 取x0=0，xf=09999，建立主程序ff6m如下： x0=0，xf=09999 x,y=ode15s(eq1,x0 xf,0 0); plot(x,y(:,1),b

11、) hold on y=0:001:2; plot(1,y,b*) 結(jié)論: 導(dǎo)彈大致在（1，02）處擊中乙艦.To MATLAB(ff6)2151 )1 (yyx)1/(15121221xyyyy令y1=y, y2=y1，將方程（3）化為一階微分方程組第17頁/共31頁解法三(建立參數(shù)方程求數(shù)值解) 設(shè)時刻t乙艦的坐標(biāo)為(X(t)，Y(t)，導(dǎo)彈的坐標(biāo)為(x(t)，y(t)3因乙艦以速度v0沿直線x=1運動，設(shè)v0=1，則w=5，X=1，Y=t.第18頁/共31頁4 解導(dǎo)彈運動軌跡的參數(shù)方程建立M文件eq2m如下： function dy=eq2(t,y) dy=zeros(2,1); dy(

12、1)=5*(1-y(1)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); dy(2)=5*(t-y(2)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); 取t0=0，tf=2，建立主程序chase2m如下： t,y=ode45(eq2,0 2,0 0); Y=0:001:2; plot(1,Y,-)， hold on plot(y(:,1),y(:,2),*)To MATLAB(chase2)第19頁/共31頁5 結(jié)果見圖1導(dǎo)彈大致在（1，02）處擊中乙艦，與前面的結(jié)論一致圖1圖2返 回 在chase2m中，按二分法逐步修改tf，即分別取tf=1，05,025,直到tf=021時，得圖2結(jié)論：

13、時刻t=021時，導(dǎo)彈在（1，021）處擊中乙艦To MATLAB(chase2)第20頁/共31頁慢跑者與狗 一個慢跑者在平面上沿橢圓以恒定的速率v=1跑步,設(shè)橢圓方程為: x=10+20cos t, y=20+5sin t 突然有一只狗攻擊他 這只狗從原點出發(fā),以恒定速率w跑向慢跑者,狗的運動方向始終指向慢跑者分別求出w=20,w=5時狗的運動軌跡1 模型建立設(shè)t 時刻慢跑者的坐標(biāo)為(X(t)，Y(t)，狗的坐標(biāo)為(x(t)，y(t) 則 X=10+20cos t, Y=20+15sin t. 狗從(0,0)出發(fā), 與導(dǎo)彈追蹤問題類似，狗的運動軌跡的參數(shù)方程為:2222d(1020cos)

14、d(1020cos)(20 15sin)d(20 15sin)d(1020cos)(20 15sin)(0)0, (0)0 xwtxttxtyywtyttxtyxy第21頁/共31頁2 模型求解(1) w=20時,建立文件eq3m如下: function dy=eq3(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2

15、)2);取t0=0，tf=10，建立主程序chase3m如下： t0=0;tf=10; t,y=ode45(eq3,t0 tf,0 0); T=0:01:2*pi; X=10+20*cos(T); Y=20+15*sin(T); plot(X,Y,-) hold on plot(y(:,1),y(:,2),*) 在chase3m中，不斷修改tf的值,分別取tf=5, 25, 35,至315時,狗剛好追上慢跑者To MATLAB(chase3)第22頁/共31頁建立M文件eq4m如下: function dy=eq4(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(10+20*cos(

16、t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)- y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);取t0=0，tf=10，建立主程序chase4m如下： t0=0;tf=10; t,y=ode45(eq4,t0 tf,0 0); T=0:01:2*pi; X=10+20*cos(T); Y=20+15*sin(T); plot(X,Y,-) hold on plot(y(:,1),y(:,2),*) 在chase3m中，不斷修改tf的值

17、,分別取tf=20, 40, 80,可以看出,狗永遠(yuǎn)追不上慢跑者To MATLAB(chase4)(2) w=5時返 回第23頁/共31頁地中海鯊魚問題 意大利生物學(xué)家Ancona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，從第一次世界大戰(zhàn)期間,地中海各港口幾種魚類捕獲量百分比的資料中，他發(fā)現(xiàn)鯊魚等的比例有明顯增加（見下表），而供其捕食的食用魚的百分比卻明顯下降顯然戰(zhàn)爭使捕魚量下降，從而食用魚增加，鯊魚等也隨之增加，但為何鯊魚的比例大幅增加呢？ 他無法解釋這個現(xiàn)象，于是求助于著名的意大利數(shù)學(xué)家VVolterra，希望建立一個食餌捕食系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，定量地回答這個問題年代1914191519161917

18、1918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.819.7第24頁/共31頁 該 模型反映了在沒有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的制約關(guān)系，沒有考慮食餌和捕食者自身的阻滯作用，是Volterra提出的最簡單的模型第25頁/共31頁首先，建立M文件shierm如下： function dx=shier(t,x) dx=zeros(2,1); dx(1)=x(1)*(1-01*x(2); dx(2)=x(2)*(-05+002*x(1);其次，建立主程序sharkm如下： t,x=ode45(shier,0 15,25 2); plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*) plot(x(:,1),x(:,2)To MATLAB(shark)第26頁/共31頁相圖),(21xx為：0510150102030405060708090100020406080100051015202530求解結(jié)果： 左圖反映了x1（t）與x2（t）的關(guān)系 可以猜測： x1（t）與x2（t）都是周期函數(shù)第27頁/共31頁模型（二） 考慮人工捕獲 設(shè)表示捕獲能力的系數(shù)為e，相當(dāng)于食餌的自然增長率由r1 降為r1-e，捕食者的死亡率由r2 增為