講一維勢(shì)場(chǎng)性質(zhì)PPT課件

1、1一、正交、歸一、完備態(tài)（1） 態(tài)疊加原理：量子態(tài)可按任意一組正交、歸一、完備態(tài)矢量來(lái)分解，即nnncn態(tài)矢量，也稱(chēng)基矢量子態(tài),nc 展開(kāi)系數(shù)第1頁(yè)/共26頁(yè)2一、正交、歸一、完備態(tài)（2）200*12sin(), 0;( )1,2,3,0,0,.sin,sinsin0,()21,( )( )0,(0, )2( )sin(nnnmnmnnnn xxaxnaaxxanxdxnxmxdxmnmnxx dxmnan xxccxaa以無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子為例利用有正交、歸一由傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，在內(nèi)，任何奇函數(shù)可表示為1)n完備第2頁(yè)/共26頁(yè)3一、正交、歸一、完備態(tài)（3）(,)nnnc 和 的內(nèi)積112(

2、 )sin( )( )( )nnnnnnn xxccxaaxx數(shù)學(xué)上，完備性。物理上，是無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的波函數(shù)態(tài)疊加原理。由能量本征方程確定構(gòu)成體系的基矢*( ) ( )(,)nnncxx dx nc如何確定 ？第3頁(yè)/共26頁(yè)4一、正交、歸一、完備態(tài)（3）*1*1*11*( ) ( )(,)( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )nnnmmmnnmmmmnmmmnnmmnmmncxx dxxcxxx dxxcx dxcxx dxccxx dx 證：由完備性，這里用到了第4頁(yè)/共26頁(yè)5一、正交、歸一、完備態(tài)（4）22/2*( )()( )( )( )( )( )a

3、xnnnnnnnmmnnnnnxA eHaxHxx dxxcxx處于諧振子勢(shì)中的粒子，由能量本征方程確定的分立波函數(shù)為，構(gòu)成一組正交、歸一、完備的基矢。由正交、歸一可得的正交、歸一性可以證明，具有完備性，即具有將所有函數(shù)展開(kāi)的能力：。由態(tài)疊加原理，就是粒子的量子態(tài)。第5頁(yè)/共26頁(yè)6一、正交、歸一、完備態(tài)（5）1*222( )( )( )(,)( ) ( )|(,)|nnnnnnnnnnnnxxcxcxx dxccE 結(jié)論：由能量本征方程解出的，通常被稱(chēng)為態(tài)矢量，也稱(chēng)基矢,它們是正交、歸一、完備的。無(wú)論在無(wú)限深方勢(shì)阱還是諧振子中，粒子的量子態(tài)都能用這樣的態(tài)矢來(lái)展開(kāi)，即，其中展開(kāi)系數(shù)粒子處于某一

4、態(tài)矢的概率為，同時(shí)，也是粒子具有態(tài)矢對(duì)應(yīng)的能量的概率。第6頁(yè)/共26頁(yè)7二、 一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(1) 1、定態(tài) 薛定格方程 若 不顯含 ，則可令 ， 且 。若已知t=0時(shí)體系處于某一個(gè)能量本征態(tài)： ，則在t0后，體系狀態(tài)為 通常稱(chēng)這樣的態(tài)為定態(tài)定態(tài)。 2、簡(jiǎn)并 如果系統(tǒng)的能級(jí)是分立的，即 ，若對(duì)同一個(gè)能級(jí)，有兩個(gè)及其以上的本征函數(shù)與其對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)這個(gè)能級(jí)是簡(jiǎn)并簡(jiǎn)并的。( ,0)( )nEr tr),(),(2),(22trtrVmtrti),(trVt( , )( ) ( )nEr tr f t( , )( )exp(/ )nEnr triE t)/exp()(iEttfnEE

5、 第7頁(yè)/共26頁(yè)8222222/212 322sin(), 0;( )1,2,3,0,0,.( )(1/2),( )( )()0,1,2,( )nnnnna xnnnnnnEEman xxaxnaaxxaExEEnA eHax nEx 一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量本征值與本征態(tài)為，n= ， ，一個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)：非簡(jiǎn)并一維諧振子的能量本征值為本征態(tài)為，一個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)：非簡(jiǎn)并若一個(gè)( )nnnExE對(duì)應(yīng)二個(gè)（及以上）：稱(chēng)是簡(jiǎn)并的 實(shí)際中，簡(jiǎn)并的情況遠(yuǎn)比非簡(jiǎn)并的多，與對(duì)稱(chēng)性相關(guān)。第8頁(yè)/共26頁(yè)9二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(2) 3、宇稱(chēng)：函數(shù)在空間反演下表現(xiàn)出的特性。:( )()( )()(

6、)( )()( )( )cos( )cos()cos( )sin( )sin()sin( )PPxxPxxxPxxxxPxxxPxxx 定義空間反演算符 為如果或，稱(chēng)具有確定的偶宇稱(chēng)或奇宇稱(chēng)，如偶宇稱(chēng)奇宇稱(chēng)注意：一般的函數(shù)沒(méi)有確定的宇稱(chēng)偶宇稱(chēng)奇宇稱(chēng)第9頁(yè)/共26頁(yè)10二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(3)4、定態(tài)薛定格方程：能量本征方程222*/222( , ),( , )( , ) ( , )2( , )( , )( ),( ) ( )( )(1)2iEtmxV x tix tV x tx ttm xVVV x ttx tx eV xxExm x 設(shè)質(zhì)量為 的粒子，沿 方向運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能為

7、粒子滿足的薛定格方程為一般情況下，為實(shí)數(shù)。若不顯含 且t0后體系處于定態(tài)：則有此即定態(tài)薛定格方程，也就是能量本征方程。第10頁(yè)/共26頁(yè)11二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(4) 定理1。量也是也是方程解，對(duì)應(yīng)的能也是實(shí)數(shù)，有為實(shí)數(shù)，取共軛，并注意到【證】對(duì)能量本征方程。量也是程的一個(gè)解，對(duì)應(yīng)的能也是能量本征方，則能量本征值為解，對(duì)應(yīng)的是能量本征方程的一個(gè)設(shè)ExxExxVxmExVxVExEx)()()()(2)()()()(*222*第11頁(yè)/共26頁(yè)12二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(5) 推論1*2*2*( )( )1( )( )( )( )( )( )( ) |( )|1

8、01( )( )( )iExxExExxxCxxCxCxCCeCxxx 對(duì)應(yīng)于能量的某個(gè)本征值 ，能量本征方程的解不簡(jiǎn)并，則這個(gè)解可取為實(shí)函數(shù)?！咀C】是能量本征方程對(duì)應(yīng) 的一個(gè)解，根據(jù)定理 ，也是對(duì)應(yīng)能量 的一個(gè)解，如果能級(jí)不簡(jiǎn)并，則和對(duì)應(yīng)的是同一個(gè)量子態(tài)令 可取為實(shí)函數(shù)。第12頁(yè)/共26頁(yè)13二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(6) 定理21122*( )( )( ),( )1( )xEExExxxE設(shè)是能量本征方程的一個(gè)解，對(duì)應(yīng)于能量的某個(gè)本征值 ，總可以找到能量本征方程的一組實(shí)解，凡是屬于 的任何解，均可表示為這一組實(shí)解的線性疊加?！咀C】設(shè)是能量本征方程屬于 的解，如果實(shí)數(shù)域，不談。

9、如果復(fù)數(shù)域，由定理 ，也是能量本征方程屬于 的解。第13頁(yè)/共26頁(yè)14二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(7)222*1212*1212( ) ( )( )2( )( )( )( ) ( )( )( )( )11( )(),( )()22V xxExm xxxxxixxExxxixi能量本征方程是線性微分方程，其解具有疊加性，即和也是方程屬于 的解，且，實(shí)數(shù)域，從中可得到得證。第14頁(yè)/共26頁(yè)15二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(8)的解。也是方程對(duì)應(yīng)于有，并注意到的解。令是方程【證】的解。也是方程對(duì)應(yīng)于則的解，能量本征值是能量本征方程對(duì)應(yīng)于如果，具有確定的偶宇稱(chēng)，即：設(shè)定理Ex

10、xExxVxdxdmxdddxdxVxVxxxExxVxdxdmxExExxVxVxV)()()()()(2)()()(,)()()()(2)()()()()()(3222222第15頁(yè)/共26頁(yè)16二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(9)具有確定的宇稱(chēng)。即但，。另一方面，即必然對(duì)應(yīng)同一量子態(tài)，和無(wú)簡(jiǎn)并，則的解。屬于是方程都和，則，若【證】由定理有確定的宇稱(chēng)。具無(wú)簡(jiǎn)并，則若的解，如果能量本征值是能量本征方程對(duì)應(yīng)于推論：設(shè))(. 1, 1),()()(),()()()()()()()()()()()()()()(2)()()()(3)()(),()()(222222xccxxPxpxcxcP

11、xpxcxxpxcxxxxExExxVxdxdmxxxVxVxxxVxVEx第16頁(yè)/共26頁(yè)17二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(10)4( )()( )( )()3()( )( )(), ( )( )(),( )( )( )(),(V xVxEExEV xVxxEf xxx g xxxf xg xEf xfxg定理 ：設(shè)，則對(duì)應(yīng)于任何一個(gè)能量本征值 ，總可以找到能量本征方程的一組解，其中的每個(gè)解都有確定的宇稱(chēng)，而屬于 的任何解，都可用它們來(lái)展開(kāi)。【證】設(shè)是能量本征方程屬于 的解，由定理 ，也是方程屬于 的一個(gè)解。令則和也是方程屬于 的解，且)()( )()( )( )11( ) (

12、)( )() ( )( )22xgxExxf xg xxf xg xxf xg x 具有確定的宇稱(chēng)。屬于 的解和可以用和來(lái)展開(kāi)：和，證畢。第17頁(yè)/共26頁(yè)18二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(11)處是連續(xù)的在處是連續(xù)的，因而在有限）（的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)求積分：程在發(fā)生跳變，此時(shí)可對(duì)方處，必定是連續(xù)的。在和的區(qū)域，連續(xù)在【證】對(duì)方程點(diǎn)必定是連續(xù)的。在及其導(dǎo)數(shù)函數(shù)有限，則能量本征若：設(shè)定理axxaxxxxVEaadxxxVEmdxxdxdaxxxVaxxxxVxxVEmxdxdaxxVVaxVaxVxVaaaa)()()()(0)0()0()()(2)()()()()()(),()(2)()(

13、)(,;,)(5200221221limlim第18頁(yè)/共26頁(yè)19二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(12)處是連續(xù)的。在處是連續(xù)的在，若處是連續(xù)的在和，【證】由定理處是連續(xù)的。時(shí)在當(dāng)為能量本征函數(shù)，則有限，若推論：設(shè)axaxxxxaxxxaxxxVVaxVaxVxV/)(ln)(/ )(0)()()(50)()(ln)(,;,)(1221第19頁(yè)/共26頁(yè)20二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(13) 22121211221122121211221122112212122212112212100)()(60)(0) 1 ()2()2(, 0)(2) 1 (, 0)(2)()(6常數(shù)

14、束縛態(tài)，則是和常數(shù)，又，有【證】由定理。都是束縛態(tài)，則和解，若的同一能量均為能量本征方程屬于和推論：設(shè)常數(shù)，得到【證】按假設(shè)常數(shù)。的解，則能量同一均為能量本征方程屬于和：設(shè)定理EVEmVEmExx第20頁(yè)/共26頁(yè)21二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(14)另行討論。有奇點(diǎn)，則在奇點(diǎn)處要如果級(jí)不簡(jiǎn)并。代表同一量子態(tài)，即能和，得到，兩邊同除推論，有束縛態(tài)，由定理的兩個(gè)量是能量本征方程屬于能和【證】設(shè)并的。束縛態(tài)，則必定是不簡(jiǎn)中運(yùn)動(dòng)，如存在：設(shè)粒子在無(wú)奇點(diǎn)勢(shì)場(chǎng)定理)(/ln/ln0)/(ln/6)(72121212121221121122121xVCCCExV第21頁(yè)/共26頁(yè)22三、有限深

15、對(duì)稱(chēng)方勢(shì)阱中的束縛態(tài)(1) 設(shè) 粒子能量 條件 在阱外 能量本征方程 解2a)( xVx00V0V2aE. 2/|,; 2/|, 0)(0axVaxxVE00VE 2/|ax 0)()(2)(0222xEVmxdxd. 2/,; 2/,)(axBeaxAexxx/)(20EVm()0 x 為滿足束縛態(tài)的要求，需有第22頁(yè)/共26頁(yè)23三、有限深對(duì)稱(chēng)方勢(shì)阱中的束縛態(tài)(2) 在阱內(nèi) 能量本征方程 其解具有 2a)(xVx00V0V2aE|/2,xa0)()(222xkxdxdcos,sinikxkxkxe和的形式/2mEk )2/tan(/cos/sin/)(ln)(ln2/5/)(2,)(,/2)2/|(|cos)(1)(3),()(0kakAeeAkxCkxkCaxEVmAexaxaxkxCxxxVxVxxx得到，即處，推論，在由定理在）偶宇稱(chēng)（必有確定的宇稱(chēng)。的推論知，由定理，且束縛態(tài)的能級(jí)不簡(jiǎn)并外外內(nèi)內(nèi)外內(nèi)外內(nèi)第23頁(yè)