量子力學(xué)6 散射-3qz

1、2022-7-616.4 玻恩近似玻恩近似2022-7-62回顧分波法的的適用條件分波法的的適用條件A. A. 中心力場中心力場B. B. 不為不為 0 0 的數(shù)要少的數(shù)要少，即，即 或或 對對l l的收斂很快才行。也就是說，分波法適用的收斂很快才行。也就是說，分波法適用于于短力程短力程和和低能散射。低能散射。l )( fQ當(dāng)入射粒子的動能較大時(shí)，利用分波法計(jì)算散射界面非常復(fù)雜。2022-7-63但是如果粒子動能很大，散射中心的相互作用勢能可以看成微擾時(shí)怎么辦 玻恩近似。玻恩近似體系的哈密頓量可以寫為體系的哈密頓量可以寫為HHH 0自由粒子的哈密頓自由粒子的哈密頓 20pH 相互作用勢相互作用

2、勢)(rUH 取粒子波函數(shù)為箱歸一化波函數(shù)取粒子波函數(shù)為箱歸一化波函數(shù)rikeLr 23)( 微擾將使粒子從動量為微擾將使粒子從動量為 的態(tài)躍遷到動量為的態(tài)躍遷到動量為 的態(tài)。的態(tài)。kk 222k|k|k| 根據(jù)能量守恒定律時(shí)，粒子在遠(yuǎn)處，不起作用，以后，才起作用時(shí)，粒子在遠(yuǎn)處，不起作用，以后，才起作用0t0t2022-7-64入射波的幾率流密度為入射波的幾率流密度為33*)2(222vLikLiikikizziJz也就是入射粒子流強(qiáng)也就是入射粒子流強(qiáng)度，即度，即vL-3=N3 vL kv 入射粒子流密度為入射粒子流密度為 ，其中，其中 而單位時(shí)間內(nèi)散射到立體角 內(nèi)的粒子數(shù)為 d dqvLdn

3、),(3 2022-7-65另一方面，動量大小為另一方面，動量大小為 ，方向在立體角，方向在立體角 內(nèi)的末態(tài)內(nèi)的末態(tài)的態(tài)密度是的態(tài)密度是k d kdLm32 )(22mHwmk 單位時(shí)間內(nèi)的躍遷幾率為代代入入 ddeUvkvLdkLdeULwdnriri232323323482rrrrkkkk單位時(shí)間內(nèi)散射到立體角 內(nèi)的粒子數(shù) d drerUHrkkikk)()( dqvLdn),(3 ddeUvkvLdnri23234rrkk比較比較 24224rrkkdeUqri2022-7-66 24224rrkkdeUqri微分散射截面為絕對值內(nèi)保留負(fù)號是絕對值內(nèi)保留負(fù)號是因?yàn)槠渌椒ㄓ?jì)算的因?yàn)槠渌?/p>

4、法計(jì)算的散射振幅都有負(fù)號散射振幅都有負(fù)號首先引入矢量首先引入矢量 ，其數(shù)值為，其數(shù)值為kkK 2sin2 kK 可以看出，可以看出， 是散射角，是散射角， 是散射引起的動量的變化。是散射引起的動量的變化。 K利用這個(gè)矢量利用這個(gè)矢量K，積分可以簡化為，積分可以簡化為 軸z計(jì)算時(shí)取K的方向?yàn)閟in4sin0200cos02drKrrrUKddedrrrUdeUriKirrrK因此有因此有 20422sin4 drKrrrUKq 如果勢能如果勢能U(r) 已知，上式可以直接計(jì)算微分散射截面已知，上式可以直接計(jì)算微分散射截面2022-7-67實(shí)例與討論如果勢能如果勢能U(r)可以表示為球?qū)ΨQ的方勢壘

5、或勢阱可以表示為球?qū)ΨQ的方勢壘或勢阱即，可以寫為即，可以寫為 ，這時(shí)玻恩近似很容易處理。，這時(shí)玻恩近似很容易處理。 ararUrU, 0,0（1）玻恩近似的成立條件對于球?qū)ΨQ的勢阱，波矢滿足的方程是對于球?qū)ΨQ的勢阱，波矢滿足的方程是 akkkak cotcot0 其中其中222Ek 20222Ukk 0210210cot1cot1 kakEUkaEUk210)1(EUkk 這樣上述方程可以改寫為這樣上述方程可以改寫為2022-7-68 21021001cot1cotEUkaEUkkak 玻恩近似的成立條件玻恩近似的成立條件EUEU2110210 當(dāng)粒子能量很高時(shí)，當(dāng)粒子能量很高時(shí)，0UE Ek

6、aUkaEUka210210 當(dāng)宗量與當(dāng)宗量與ka 值相差一個(gè)很小的相角時(shí)值相差一個(gè)很小的相角時(shí),則相移則相移 很小。很小。0 因此玻恩近似的適用條件為1200 vaUEkaUv是粒子入射的經(jīng)典速度，因此玻恩近似適用于高能粒子散射。分波法適用于第能粒子的散射，因此這兩種方法是互補(bǔ)的。2022-7-69說明對于勢阱，說明對于勢阱， 玻恩近似對低能散射有時(shí)也是有效的。玻恩近似對低能散射有時(shí)也是有效的。00 U對于勢阱，對于勢阱， 的低能散射問題也可能有效的低能散射問題也可能有效00 U1ka0UE aUUE21021002tantan 所以只要有所以只要有 不是很接近不是很接近 則則 就很小就很小

7、玻恩近似適用。玻恩近似適用。aU210)2( 2 0 例一：例一：高速帶電粒子被中性原子散射高速帶電粒子被中性原子散射原子核所產(chǎn)生的電場被原子內(nèi)部的電原子核所產(chǎn)生的電場被原子內(nèi)部的電子所屏蔽這種庫倫是可以寫為子所屏蔽這種庫倫是可以寫為 arsereZZrU 2 21021001cot1cotEUkaEUkkak 2022-7-610 arsereZZrU 2a為原子半徑，為原子半徑，Z為原子序數(shù)，為原子序數(shù)，es 的定義為的定義為210)4( ees 20422sin4 drKrrrUKq 將勢能的具體形式代入微分散射截面的公式，得：將勢能的具體形式代入微分散射截面的公式，得： 2242422

8、220424222114sin4aKKeZZdrKreKeZZqsars 如果如果12sin2 kaKa1/a2可以忽略可以忽略不計(jì)不計(jì)因此，微分散射截面為： 2csc4442422 veZZqs 盧瑟福公式，經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果經(jīng)典力學(xué)的適用條件是：經(jīng)典力學(xué)的適用條件是：12sin2kaKa2022-7-611質(zhì)心坐標(biāo)系和實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系一般為了計(jì)算簡單我們都用質(zhì)心坐標(biāo)系，但是在實(shí)驗(yàn)測量時(shí)是在固定在實(shí)驗(yàn)室的坐標(biāo)系中進(jìn)行的，因此為了與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較，必須找出質(zhì)心坐標(biāo)系和實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系的角度變換關(guān)系。設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為 速度為速度為 ，得粒子，得粒子1沿沿z軸撞擊質(zhì)量軸撞擊質(zhì)量為為 的粒子的粒子2。粒子。粒子2

9、初始時(shí)刻在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)初始時(shí)刻在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中靜止。擇兩個(gè)粒子的質(zhì)心速度為系中靜止。擇兩個(gè)粒子的質(zhì)心速度為1 1v2 2111M vv2022-7-612在質(zhì)心坐標(biāo)系中粒子在質(zhì)心坐標(biāo)系中粒子1的速度為的速度為2112211111 vvvv而粒子而粒子2的運(yùn)動速度是的運(yùn)動速度是21112 vv圖（圖（a）圖（圖（b）碰撞后兩個(gè)粒子有質(zhì)量中心向碰撞后兩個(gè)粒子有質(zhì)量中心向兩邊以相反的方向運(yùn)動，每個(gè)兩邊以相反的方向運(yùn)動，每個(gè)粒子的運(yùn)動速度的大小與碰撞粒子的運(yùn)動速度的大小與碰撞前相同。前相同。2022-7-613設(shè)碰撞后粒子設(shè)碰撞后粒子1的速度的速度u1與與z軸成軸成 角，而速度的大小為角，而速度的大小為

10、 21121 vu圖（圖（c）在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中，粒子在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中，粒子1碰撞碰撞后的速度為后的速度為 u1與與z 軸成軸成 角。角。0 而且有：而且有：11uvuM coscos101uvuM sinsin101uu 所以 cossincossin1100uvuM cossintan2120 121 Mvu利用了利用了關(guān)系關(guān)系2022-7-614兩個(gè)坐標(biāo)系中散射角之間的關(guān)系 cossintan2120 根據(jù)微分散射截面的定義，在兩個(gè)坐標(biāo)系中根據(jù)微分散射截面的定義，在兩個(gè)坐標(biāo)系中 是相同的。是相同的。Ndn所以有 000, dqdq 即 00000sin,sin, ddqddq 0000sin,sin, dqdq 0 dd 因?yàn)橐驗(yàn)?cossintan2120 再由散射角關(guān)系再由散射角關(guān)系 cos2coscos212121210uuuuuu 2022-7-615 cos2coscos212121210uuuuuu 微分散射截面的變換關(guān)系微分散射截面的變換關(guān)系微分 duuuuuuuqdsincos2cos,sin23212221122