函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題

1、第十節(jié)、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第十節(jié)、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（一）有界性與最大值最小值定理（二）零點定理（三）介值定理（四）應(yīng)用（一）有界性與最大值最小值定理（二）零點定理（三）介值定理（四）應(yīng)用最值概念最值概念設(shè)設(shè)f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間I上有定義，如果存在上有定義，如果存在x0 0I，使得，使得對任一對任一xI，恒有恒有 00( )()( )()f xf xf xf x則稱則稱f( (x0 0) )是函數(shù)是函數(shù)f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間I上的最大值（最小值）上的最大值（最小值）. .注注(1) 最大值可以等于最小值最大值可以等于最小值(2) 函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間I上可能取不到最值上可

2、能取不到最值在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最大值和最小值最大值和最小值. .定理定理幾何意義幾何意義abxoy1 2 定理的條件是重要的定理的條件是重要的l注注u例例y= =x在在( (1,2)內(nèi)內(nèi)xoy1221311101xxxxxy在在 0,2 上上xoy12（一）有界性與最大值最小值定理（二）零點定理（三）介值定理（四）應(yīng)用（一）有界性與最大值最小值定理（二）零點定理（三）介值定理（四）應(yīng)用設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f( (x) )在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且上連續(xù)，且f( (a) )與與f( (b) )異號（即異號（即f(

3、 (a) )f( (b)0) )，則在開區(qū)間，則在開區(qū)間( (a,b) )內(nèi)至少有一點內(nèi)至少有一點使使f( ()=)=0. .定理定理幾何意義幾何意義如果連續(xù)曲線弧如果連續(xù)曲線弧y= =f( (x) )的兩個端點的兩個端點位于位于x軸的不同側(cè)，那么這段曲線弧軸的不同側(cè)，那么這段曲線弧與與x軸至少有一個交點軸至少有一個交點. .xoyab如果如果x0 0使使f( (x0 0)=0)=0，那么，那么x0 0稱為函數(shù)稱為函數(shù)f( (x) )的的零點零點. .（一）有界性與最大值最小值定理（二）零點定理（三）介值定理（四）應(yīng)用（一）有界性與最大值最小值定理（二）零點定理（三）介值定理（四）應(yīng)用設(shè)函數(shù)設(shè)

4、函數(shù)f( (x) )在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值不同的函數(shù)值f( (a)=)=A及及f( (b)=)=B，則對于，則對于A與與B之間的任意之間的任意一個數(shù)一個數(shù)C，在開區(qū)間，在開區(qū)間( (a,b) )內(nèi)至少有一點內(nèi)至少有一點使得使得 f( ()=)=C ( (a b)定理定理幾何意義幾何意義Abxoya)(xfy BC連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧y= =f( (x) )與水平直線與水平直線y= =C至少至少相交于一點相交于一點. .推論推論在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)的函數(shù)上連續(xù)的函數(shù)f( (x) )的值域的值域為閉區(qū)間為閉區(qū)間 m,M

5、,其中其中m與與M依次為依次為f( (x) )在在 a,b 上的最小值與最大值上的最小值與最大值. .（一）有界性與最大值最小值定理（二）零點定理（三）介值定理（四）應(yīng)用（一）有界性與最大值最小值定理（二）零點定理（三）介值定理（四）應(yīng)用u例例u例例01423 xx證明方程證明方程有一個實根有一個實根. .在區(qū)間在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少內(nèi)至少),( 若若f (x)在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),且且)(limxfx 存在存在, ,則則內(nèi)有界內(nèi)有界. .f (x)在在),( 函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習(xí)函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習(xí)連續(xù)的概念連續(xù)的概

6、念定義定義注意注意優(yōu)點優(yōu)點yx 0lim0)()(lim000 xfxxfx是變量是變量x 直觀、直觀、 便于分析便于分析 )(lim0 xfxx)(lim0 xfxx )(0 xf 左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù)三個要點三個要點便于應(yīng)用便于應(yīng)用自然、自然、, 0 0 當(dāng)當(dāng) |0 xx時時 | )()(|0 xfxfx可以等于可以等于0 x清晰、便于論證清晰、便于論證間斷的概念與分類間斷的概念與分類u概念概念在在處沒有定義處沒有定義)(xf0 x在在處有定義處有定義)(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在在在處有定義處有定義)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在但但)()(lim00

7、xfxfxx 但但u分類分類間斷點間斷點和和)( 0 xf)( 0 xf都存在都存在第一類間斷點第一類間斷點和和)( 0 xf)( 0 xf至少一個不存在至少一個不存在第二類間斷點第二類間斷點)()( 00 xfxf可去間斷點可去間斷點)()( 00 xfxf跳躍間斷點跳躍間斷點無窮間斷點無窮間斷點振蕩間斷點振蕩間斷點初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)過復(fù)合運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)過復(fù)合運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四則運算仍連續(xù)初等函數(shù)初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的

8、性質(zhì)u有界性與最大值最小值定理有界性與最大值最小值定理u零點定理與介值定理零點定理與介值定理函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習(xí)函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題(1)(6)(2)(xf在在0 x處連續(xù)，處連續(xù)，)( xf在在0 x處也連續(xù)處也連續(xù). .(3)( xf在在0 x處連續(xù)，處連續(xù)，)( xg在在0 x處不連續(xù)處不連續(xù))()(xgxf

9、 在在0 x處一定不連續(xù)處一定不連續(xù). .(4)( xf在在0 x處不連續(xù)，處不連續(xù)，)( xg在在處不連續(xù)處不連續(xù))()(xgxf 在在0 x處一定不連續(xù)處一定不連續(xù). .)(xf在在 ba,上不連續(xù)，則上不連續(xù)，則)( xf在在 ba,上無界上無界(5)一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù). .u例例1 1判斷下列說法的正確性判斷下列說法的正確性)(xf在在0 x處連續(xù)，處連續(xù)，在在0 x處也連續(xù)處也連續(xù). .| )(|xf二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷

10、點的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題找間斷點找間斷點初等函數(shù)初等函數(shù)分段函數(shù)分段函數(shù)無定義的點無定義的點分段點（嫌疑）分段點（嫌疑）判類型判類型 求極限求極限求連續(xù)區(qū)間求連續(xù)區(qū)間 有定義的開區(qū)間有定義的開區(qū)間討論分段點的連續(xù)性討論分段點的連續(xù)性合并合并間斷點間斷點間斷點間斷點無定義的點無定義的點思路思路u例例2xxxxxf111111 )(確定下列函數(shù)的間斷點確定下列函數(shù)的間斷點, ,判斷類型判斷類型, ,并求連續(xù)區(qū)間并求連續(xù)區(qū)間討論全面討論全面xxxxxf)(sin)()(112 討論左右極限討論左右極限1( )lnf xxx=0=0也是間斷點也是間斷點(1)(2)(3)

11、011sin)1ln(0sin)(23xxxxxxxxf1112cos)(xxxxxfu補補1 1010sin)(xxxxxf確定下列函數(shù)的間斷點確定下列函數(shù)的間斷點, ,判斷類型判斷類型, ,并求連續(xù)區(qū)間并求連續(xù)區(qū)間xxf1arctan)(xxxf2tan)(1212)(11xxxf(4)(5)(1)(2)(3)(4)二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題u例例3 3確定常數(shù)確定常數(shù)a, ,b使函數(shù)使函數(shù)011ln1010cos

12、1sin)(xbxxxxxaxxf在在x=0=0處連續(xù)處連續(xù). .u補補2 2確定常數(shù)確定常數(shù)a, ,b使函數(shù)使函數(shù)1000111)21ln()(2xbxxaxxxxxf在在x=0=0處連續(xù)處連續(xù). .u例例4 4設(shè)設(shè) 11xxaxxf)( 002xxxbxg)(確定確定a, ,b使使)()(xgxf 在在),( 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .u例例5 5設(shè)設(shè)21)(,lim)(xxgnnnnxfxxxxn 討論復(fù)合函數(shù)討論復(fù)合函數(shù))(xgf在在內(nèi)的連續(xù)性內(nèi)的連續(xù)性. .及及)(xfg),( u例例6 6討論討論nnnnnxxxxxf 2lim)(的連續(xù)性的連續(xù)性. .u例例7 7u補補3 3討論討論xx

13、xxxfnnnn 112121lim)(的連續(xù)性的連續(xù)性. .設(shè)設(shè),1lim)(2212 nnnxbxaxxxf確定常數(shù)確定常數(shù)a, ,b使使)(xf在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .),( 二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題u例例8 8u例例9 9設(shè)設(shè)bxaeaxf 1)(a, ,b為常數(shù)為常數(shù)確定常數(shù)確定常數(shù)a, ,b的正負(fù)并求的正負(fù)并求 lim ( ).xf x, 0)(lim xfx在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,),( 且且有無窮間斷點有

14、無窮間斷點設(shè)設(shè))()(1 xxaexfx0 x及可去間斷點及可去間斷點試求常數(shù)試求常數(shù)a的值的值. ., 1 x二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題( (五五) ) 證明題證明題1連續(xù)的概念2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)( (五五) ) 證明題證明題1連續(xù)的概念2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)u例例1010u例例1111u補補4 4設(shè)設(shè)xexf )(在在0 x處連續(xù)處連續(xù), ,證明證明)(xf在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .),( )()()(R,21

15、2121xfxfxxfxx 設(shè)設(shè))(xf在在0 x處連續(xù)處連續(xù), ,證明證明)(xf在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .),( 在在)(xf)()()(R,212121xfxfxxfxx 設(shè)設(shè)0 x處連續(xù)處連續(xù), ,證明證明)(xf在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .),( ( (五五) ) 證明題證明題1連續(xù)的概念2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)( (五五) ) 證明題證明題1連續(xù)的概念2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2 2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)（1）有界性與最值性（2）零點定理（3）介值定理2 2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)（1）有界性與最值性（2）零點定理（3）介值定理u例例1212u補補5 5證明證

16、明BxfAxfbxax )(lim,)(lim設(shè)設(shè))(xf在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,)(xf在在),(ba內(nèi)有界內(nèi)有界. .),(ba設(shè)設(shè))(xf在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,),( aBxfAxfxax )(lim,)(lim證明證明)(xf在在),( a內(nèi)有界內(nèi)有界. .2 2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)（1）有界性與最值性（2）零點定理（3）介值定理2 2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)（1）有界性與最值性（2）零點定理（3）介值定理（2 2）零點定理）零點定理u例例1313 證明證明01 xxsin在在 22 ,內(nèi)至少有一個實根內(nèi)至少有一個實根. .u例例1414 證明奇次多項

17、式證明奇次多項式)()(001221120 aaxaxaxpnnn至少有一個實根至少有一個實根. .方程根的存在性方程根的存在性（2 2）零點定理）零點定理構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)u例例1515u例例1616u補補6 6設(shè)設(shè))(xf在在2 , 0a證明證明上連續(xù)上連續(xù), ,)()(aff20 ( )()f xf x a在在上至少有一個實根上至少有一個實根. ., 0a設(shè)設(shè)為連續(xù)函數(shù)，其定義域和值域都是為連續(xù)函數(shù)，其定義域和值域都是證明存在證明存在,ba 使使.)( f)(xf,ba)()(),()(bgbfagaf 設(shè)設(shè))(),(xgxf上的兩個連續(xù)函數(shù)，上的兩個連續(xù)函數(shù)，是是證明存在證明存在),(0ba