多元函數(shù)極限連續(xù)

1、高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程腳本編寫：王利平課件制作：王利平第一章 多元函數(shù)微分學 重極限重極限 累次極限累次極限 連續(xù)性連續(xù)性 極限的運算法則極限的運算法則 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第二節(jié) 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性一. 多元函數(shù)的極限及極限的運算請點擊請點擊二. 多元函數(shù)的連續(xù)性三. 多元函數(shù)的間斷點1. 回憶與推廣請點擊請點擊一、多元函數(shù)的極限及其運算2.二元函數(shù)極限的定義3.多元函數(shù)極限的性質(zhì)、定理4. 累次極限回憶一元函數(shù)的情形回憶一元函數(shù)的情形推廣到多元函數(shù)中推廣到多元函數(shù)中驗證可行性驗證可行性1.1.回憶與推廣回憶與推廣x0 xyay ay ay().()

2、a)(xf.xO. )(lim 0的幾何意義axfxx.x0 xyay ay ay().()a)(xf.xO. )(lim 0的幾何意義axfxx.x0 xyay ay ay().()a)(xf.xO. )(lim 0的幾何意義axfxx. . I I, , )( 0的聚點為設xxxfy , ),(U , 0 , 0 0時當點若xx , |)(| ),U()(則稱即axfaxf . )(lim 0axfxx . I I, , )( 0的聚點為設xxxfy , ),(U , 0 , 0 0時當點若xx , |)(| ),U()(則稱即axfaxf . )(lim 0axfxxXXfu )( 的聚

3、點的聚點為為 0X),(U0XX ),U()( aXf |)(| aXf )(lim 0aXfXX 進行整理 . , )( 0的聚點的聚點為為設設XXXfu , ),(U , 0 , 0 0時時當點當點若若XX , |)(| ),U()(則稱則稱即即aXfaXf . )(lim 0aXfXX （重極限）（重極限） , D),(U , 0 , 0 0時時當點當點若若XX 時的極限時的極限( (二重極限二重極限), ), 記為記為 .),(lim)(lim000ayxfXfyyxxXX0 )( XXXfza當當為為則稱則稱 ),U()( aXf有有 ,D),( , )( 2RyxXXfz設設 .

4、D ),(000的聚點的聚點為為yxX 2.2.二元函數(shù)極限的定義二元函數(shù)極限的定義幾點注意. ), U( 00的某些點可無定義內(nèi)及函數(shù)在點XX. ,),( U 00行向進可以任意方式沿任何方內(nèi)的鄰域落在點點XXX . | ),(U , |)(| ),U()(azazaXfaXf亦即亦即即即 . , )3( 的類似極限的定義與二元函數(shù)時nRXn . )( )()(0 D,),(U20200處有定義處有定義在點在點且且即即XXfyyxxXX)(Xfz 多元函數(shù)的極限如果存在多元函數(shù)的極限如果存在, , 則必唯一則必唯一. . . )( , 0)(lim 00時的無窮小量時的無窮小量為為則稱則稱若

5、若XXXXXXaXfaXfXX)( )(lim0應用這個性質(zhì)應用這個性質(zhì), , 可將一元函數(shù)的可將一元函數(shù)的極限運算法則和極限運算法則和性質(zhì)推廣到多元性質(zhì)推廣到多元函數(shù)中來函數(shù)中來. . 0lim ),(U ,00XXXX其中其中3.3.多元函數(shù)極限的性質(zhì)、定理多元函數(shù)極限的性質(zhì)、定理例(夾逼定理)由于由于. |lim 2200yxyxyx求求|022yxyx|)|(|2yxyxyx而而, 0) | (lim00yxyx故由夾逼定理故由夾逼定理, , 得得0|lim2200yxyxyx夾逼定理夾逼定理 例例解解例(無窮小性質(zhì))又又( (有界量有界量) )( (無窮小量無窮小量) )無窮小量的性

6、質(zhì)無窮小量的性質(zhì). 1sin)(lim 222200yxyxyx求求由于由于1 1sin 22 yx0)(lim2200yxyx. 01sin)(lim 222200yxyxyx故故 例例解解例(有理化)有理化有理化 ( (平方差公式平方差公式) ). 11 lim 222200yxyxyx求求1)1 () 11 )(lim22222200yxyxyxyx原式原式2) 11 (lim2200yxyx 例例解解例(等價無窮小)等價無窮小替代等價無窮小替代.sinlim 20 xyxyx求求xxyxxyyxyx2020limsinlim . 2lim20yyx 例例解解 0)( sin2sinli

7、mlimsinlimsinlim20202020 xyxyyxyxyyxxyyxyxyxyx利用重要極限利用重要極限例(重要極限) .11lim 25yxxyxx求求 例例解解 , 11lim 15eexyxxxyx原式原式 . 1lim , 11lim 55yxxexyxxyx其中其中利用重要極限利用重要極限例(極限不存在) 例例解解 , 則取kxy . 0lim),(lim22420000 xkxkxxyxfyxyx )0 , 0(),(yx由于極限存在應與的方式和方向無關, 故原極限不存在. . ),(lim 00yxfyx求求),( yxf設設, 0 ,22242yxyxyx, 0 ,

8、 022 yx , 2則若取kxy . 1lim),(lim2424220000kkxkxkxxyxfyxyx該例還說明一個問題 對此你有什么想法 ?, xky 雖然沿無窮多個方向：, 0 , 函數(shù)極限均為時當)0 , 0(),(yx . ),( lim 00不存在不存在但函數(shù)的極限但函數(shù)的極限yxfyx多元函數(shù)的極限不存在.“無窮多個方向”不等于“任意方向”.可利用方向性來判別 累次極限是指的下列極限 一般說來, 這兩個極限不一定相等. 在高等數(shù)學中, 運算順序不能隨便交換.),(limlimyxfbyax) ),(lim (limyxfbyax),(limlimyxfaxby) ),(li

9、m (limyxfaxby4. 累次極限若兩個累次極限存在, 但不相等：),(limlim),(limlimyxfyxfaxbybyax. ),( lim 不存在則二重極限yxbyax例.lim 2200yxyxyxyx求1limlimlim202200 xxxyxyxyxxyx1limlimlim202200yyyyxyxyxyxy由于兩個累次極限不相等, 故. lim2200不存在yxyxyxyx 例例解解例 二重極限存在不一定能推出累次極限存在.則有設 , 0 ,1sin),( 22yxyxyxf) 1|1sin| ( 01sinlim00yyxyx但. )1sinlim(lim1sin

10、limlim0000不存在yxyxyxyx 例例即算兩個累次極限存在且相等,也不一定能推出二重極限存在.請同學們課后討論函數(shù)22),(yxxyyxf時的兩類極限.)0,0(),(yx當二.多元函數(shù)的連續(xù)性1.二元函數(shù)連續(xù)性的定義請點擊請點擊2.二元連續(xù)函數(shù)的運算3.多元初等函數(shù)4.有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) , ),U( , 0 , 0 0時當點若DXX在在則稱二元函數(shù)則稱二元函數(shù)有有 ),( ),),(U()( 0yxfXfXf . , ),( 02DXRDXXfz設設 . 0處連續(xù)處連續(xù)點點 X . 0稱為函數(shù)的連續(xù)點稱為函數(shù)的連續(xù)點點點 X 0則函數(shù)在點則函數(shù)在點為函數(shù)定義域的聚點，為函

11、數(shù)定義域的聚點，若若 X 0處的連續(xù)性等價于處的連續(xù)性等價于X . )()(lim00XfXfXX. , )U( )( 00的聚點為則內(nèi)有定義在若DXXXf1.1.二元函數(shù)連續(xù)性的定義二元函數(shù)連續(xù)性的定義若函數(shù)若函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域 上的每一點上的每一點都連續(xù)都連續(xù), , 則稱函數(shù)則稱函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域 上連續(xù)上連續(xù), ,記為記為. )()(CXf)(Xf)(Xf數(shù)中討論區(qū)間端點處連續(xù)性的情形數(shù)中討論區(qū)間端點處連續(xù)性的情形. .如果點如果點為區(qū)域為區(qū)域 的邊界點的邊界點, ,則只需討論則只需討論X點點的鄰域中屬于的鄰域中屬于 的那一部分的那一部分, ,類似于一元函類似于一元函X連續(xù)的多元函數(shù)的連續(xù)的

12、多元函數(shù)的和、差、積、和、差、積、 商商( (分母不能為零分母不能為零) )仍是仍是連續(xù)函數(shù)；連續(xù)函數(shù)；連續(xù)的多元函數(shù)的復合函數(shù)仍連續(xù)連續(xù)的多元函數(shù)的復合函數(shù)仍連續(xù). .在一定的條件下在一定的條件下, , 2.二元連續(xù)函數(shù)的運算與一元函數(shù)類似 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和復合步驟所構成的多元函數(shù), 稱為多元初等函數(shù). 由基本初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)的運算法則可知: 多元初等函數(shù)在其有定義的區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.3.多元初等函數(shù) 一元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì), 推廣到多元函數(shù)中應是連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域上的性質(zhì).在空間)2( nRn中, 閉區(qū)域不一定有界.在一維空間中, 閉區(qū)間一定是有界的.4.

13、有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) . 為有界閉區(qū)域為有界閉區(qū)域設設nR使使則則若若 , ),()( 2, 1XXCXf , )(max)(1XfXfX . )(min)(2XfXfX 性質(zhì)1 (最大、最小值定理)推 論 )()( , CXfRn為有界閉區(qū)域. )( 內(nèi)有界在Xf設nR為有界閉區(qū)域. 任意一個值, 至少存在一點0X使得.)(0Xf, )()(CXf且)(Xf在上取兩個若函數(shù)值與, )(則對于與間的性質(zhì)2(介值定理)從定理可看出：)(maxXfX)(minXfX則至少存在一點0X使得.)(0Xf若取 由連續(xù)性根存在定理能否由介值定理得出?設nR為有界閉區(qū)域.存在一點0X使得.0)(0Xf

14、兩個函數(shù)值與0, 且, 則至少, )()(CXf又)(Xf在上取若 該定理實際上是介值定理的推論.性質(zhì)3(根存在定理)通常說：通常說：0X如果函數(shù)如果函數(shù)在點在點)(Xf處處不連續(xù)不連續(xù), , 則稱函數(shù)在點則稱函數(shù)在點0X處間斷處間斷點點0X稱為函數(shù)的間斷點稱為函數(shù)的間斷點. .三.多元函數(shù)的間斷點 尋找間斷點的方法與一元函數(shù)的情況類似函數(shù)無定義的點;極限存在但不等于函數(shù)例如：極限不存在的點;在該點的函數(shù)值的點等等.例 . 的間斷點的間斷點求函數(shù)求函數(shù)yxxyz由分母不能為零由分母不能為零, ,的一切點均為函的一切點均為函數(shù)的間斷點數(shù)的間斷點. .Oxy 例例解解直線直線上上0 yx多元函數(shù)的間斷點可以構成直線、曲線、曲面等, 也可以是某些點的集合.例 . 1 22的間斷點的間斷點求函數(shù)求函數(shù)yxz由分母不能為零由分母不能為零, , . , 0 22函數(shù)無定義函數(shù)無定義時時當當 yx 例例解解故點故點為函數(shù)的間斷點為函數(shù)的間斷點. .)0 , 0(例由三角函數(shù)知識可知由三角函數(shù)知識可知, ,所求間斷點為所求間斷點為222kyx),2, 1,0(kOxy同心圓同心圓 . )tan( 22的間斷點的間斷點求函數(shù)求函數(shù)yxz 例例解解例(極坐標)根據(jù)函數(shù)連續(xù)的定義根據(jù)函數(shù)連續(xù)的定義, ,只需證明只需證明 . 0),(lim00yxfy