淺析數(shù)學(xué)分析一致連續(xù)性

1、一 引入“一致性”的意義 數(shù)學(xué)分析教材中有不少概念，如函數(shù)的連續(xù)性與一直連續(xù)性、函數(shù)列的收斂性與一致收斂性，初學(xué)者很容易混淆，因而成為“數(shù)學(xué)分析”中學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)所在。數(shù)學(xué)分析中的三個(gè)“一致性”(即一致有界, 一致連續(xù), 一致收斂) 的概念對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)很重要。 弄清函數(shù)的一致連續(xù)性的概念和掌握判斷函數(shù)一致連續(xù)的方法無疑是學(xué)好函數(shù)一致連續(xù)性理論的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)分析教材只給出一致連續(xù)的概念和判斷函數(shù)在閉區(qū)間上一致連續(xù)的G·康托定理,內(nèi)容篇幅少,為了使初學(xué)者對(duì)函數(shù)一致連續(xù)性的理論有正確的理解和全面的掌握,作為教材內(nèi)容的適當(dāng)擴(kuò)展和補(bǔ)充顯然，一致連續(xù)要比連續(xù)條件強(qiáng)。但在數(shù)學(xué)分析教科書中，僅

2、給出一致連續(xù)的定義以及利用定義證明函數(shù)f（x）在某區(qū)間上一致連續(xù)的數(shù)學(xué)方法，呈現(xiàn)了函數(shù)一致連續(xù)完美的邏輯結(jié)果，但學(xué)生對(duì)定義特別是其中 的很難理解。一致連續(xù)是一個(gè)很重要的概念,在微積分學(xué)以及其他學(xué)科中常常用到,而且函數(shù)列的一致連續(xù)性和一致收斂又有著密切關(guān)系。在研究函數(shù)列的收斂問題中,常常要用到函數(shù)列與函數(shù)之間的收斂、一致連續(xù)性、一致收斂的關(guān)系。數(shù)學(xué)分析中的函數(shù)一致連續(xù)性、函數(shù)列一致有界性、函數(shù)列一致收斂性、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性、含參變量無窮積分一致收斂性等“一致性”概念是學(xué)習(xí)上的難點(diǎn),因此,牢固掌握這些概念及與之有關(guān)的理論,對(duì)打好分析基礎(chǔ),培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力都有著重要的意義。對(duì)函數(shù)列的

3、極限函數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)以及含參變量積分性質(zhì)的討論,常常需要討論其一致收斂性,而函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性可歸結(jié)成部分和函數(shù)列的一致收斂性的研究,含參變量無窮積分的一致收斂性,又可歸結(jié)成函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性的研究,故本文著重討論函數(shù)一致連續(xù)性和函數(shù)列一致收斂性重要概念。函數(shù)一致連續(xù)的概念是學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，證明某一個(gè)函數(shù)是否具有一致連續(xù)性讓許多同學(xué)更是無從下手。為了解決這一難點(diǎn)，化抽象為簡單，給出一致連續(xù)性的幾種等價(jià)形式，能幫助同學(xué)易于接受。函數(shù)一致連續(xù)的幾何意義數(shù)學(xué)分析是一門非常抽象的學(xué)科，有極強(qiáng)的邏輯性和嚴(yán)密性，體現(xiàn)在：能用簡明的數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確的表述用冗長的文學(xué)語言也不一定能定量

4、的事物發(fā)展過程。這也是初學(xué)者無法理解分析中定義的原因。而幾何意義將是數(shù)學(xué)分析課程入門的一引導(dǎo)者，它向?qū)W生展示了數(shù)學(xué)分析中最基本的思想方法，有利于學(xué)生對(duì)抽象概念的理解，能更好地發(fā)展學(xué)生的思維能力。本文通過揭示一致連續(xù)與一致收斂概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，導(dǎo)出了利用連續(xù)性判定一致收斂的方法。此方法對(duì)于通常的初等函數(shù)及函數(shù)列一致收斂與非一致收放的判定非常有效，且很簡便，可說是一目了然。它不僅限于在指一致連續(xù)與一致收斂定區(qū)間上的討論，還便于作全面的研究。通過對(duì)函數(shù)及函數(shù)列的一致連續(xù)的定義的對(duì)照對(duì)函數(shù)列的一致收斂與一致連續(xù)問題進(jìn)行了討論,通過這種討論使我們清晰的看到函數(shù)列的一致連續(xù)問題不僅和函數(shù)列本身有關(guān)而且和

5、極限函數(shù)有著密切的關(guān)系。探討了一致連續(xù)和一致收斂的關(guān)系,并在有界區(qū)間上給出了一致連續(xù)和一致收斂的等價(jià)關(guān)系。掌握這些關(guān)系為今后研究連續(xù)、收斂問題提供了更多的依據(jù)。 二 對(duì)數(shù)學(xué)分析中一致連續(xù)的概念的理解一致連續(xù)是從函數(shù)連續(xù)的概念派生出來的，是指存在一個(gè)微小變化的界限，如果函數(shù)定義域內(nèi)的任意兩點(diǎn)間的距離不超過這個(gè)界限，則這兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值之差就能達(dá)到任意小。函數(shù)一致連續(xù)的概念一直是數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，在多年的教學(xué)實(shí)踐中，深感學(xué)生對(duì)函數(shù)一致連續(xù)的概念掌握的不是很好，經(jīng)常聽到學(xué)生有這樣的疑問：函數(shù)連續(xù)和一致連續(xù)究竟有什么區(qū)別？本文談的就是在教學(xué)中如何讓學(xué)生較快地理解函數(shù)一致連續(xù)的概念。1 從連續(xù)的概念

6、引出一致連續(xù)的概念函數(shù)的一致連續(xù)性是函數(shù)的重要特征，它標(biāo)志著一個(gè)連續(xù)函數(shù)的變化速度有無“突變”。對(duì)于函數(shù)一致連續(xù)來說，不僅要求函數(shù)在區(qū)間上的每一點(diǎn)保持連續(xù)，還進(jìn)一步要求它在區(qū)間上所有點(diǎn)鄰近有大體上均勻的變化趨勢(shì)。也就是說：對(duì)于任給的正數(shù)，要求存在一個(gè)與x 無關(guān)的正數(shù)，使對(duì)自變量的任意2 個(gè)值x'，x"，只要它們的距離 x'-x " ，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x'）-f（x "），。顯然，一致連續(xù)要比連續(xù)條件強(qiáng)。但在數(shù)學(xué)分析教科書中，僅給出一致連續(xù)的定義以及利用定義證明函數(shù)f（x）在某區(qū)間上一致連續(xù)的數(shù)學(xué)方法，呈現(xiàn)了函數(shù)一致連續(xù)完美的邏輯結(jié)果，但學(xué)生

7、對(duì)定義特別是其中 的很難理解，那么我們?cè)谏险n時(shí)就不宜照本宣科，需要把概念中所隱含的知識(shí)逐步解釋清楚，才可以幫助學(xué)生較快地理解一致連續(xù)的概念。下面我們從函數(shù)f（x）在區(qū)間I 上連續(xù)的定義出發(fā)，通過2 個(gè)例子，快速建立函數(shù)f（x）在區(qū)間I 上一致連續(xù)的定義。定義1 （函數(shù)f（x）在區(qū)間I 上連續(xù)） 設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I 上的函數(shù)，若對(duì)0，對(duì)于每一點(diǎn)xI，都存在相應(yīng)=（，x）0，只要x'I，且x-x' ，就有f（x）-f（x'），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I 上連續(xù)。給出以下2 個(gè)例子。例1 考查函數(shù)f（x）=在區(qū)間（0，1上的連續(xù)性。解 對(duì)（0，1，因?yàn)閤=0，則存在鄰域U

8、（，'），使得xU（，'），有x，所以有 -=2。對(duì)0，取=min，就有 -。這里 與有關(guān)，有時(shí)特記為（，）。注意本例中不存在可在區(qū)間（0，1上通用的，即不存在最小的（正數(shù)）。強(qiáng)調(diào)：的位置不同， 的取值也隨之產(chǎn)生變化。例2 考查函數(shù)f （x）=在區(qū)間上c，+）（c0）的連續(xù)性。解 對(duì)c，+）（c0），存在鄰域U（，'），使得xU（，'）時(shí)，有 -=<。對(duì)0，取=，就有 -。這里可取得最小的，也就是可通用的=，該 卻與無關(guān)，可記為（）。比較例1 中 與例2 中 的不同，引出較函數(shù)f（x）在區(qū)間I 上連續(xù)的概念條件更強(qiáng)的函數(shù)f（x）在區(qū)間I 上一致連續(xù)的概念。

9、定義2 （一致連續(xù)） 設(shè)（f x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)0，存在（0），使得對(duì)任何x'，x"I，只要x'-x" ，就有f（x'）-f（x"），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I 上一致連續(xù)。連續(xù)概念中 與一致連續(xù)概念中的 不同，通過具體的例子來說明，就更加直觀，對(duì)初學(xué)的學(xué)生來說，更容易接受。通過這樣的2 個(gè)例子引出函數(shù)f（x）在區(qū)間I 上一致連續(xù)的概念，可使學(xué)生在剛接觸到一致連續(xù)時(shí)，就對(duì)其中的 有一種直觀的感受。這樣學(xué)生對(duì) 的取法就比較清楚，可以迅速讓學(xué)生理解一致連續(xù)的概念。2 利用函數(shù)一致連續(xù)的概念證明函數(shù)一致連續(xù)為了進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)函數(shù)一致

10、連續(xù)概念的理解和記憶，隨即提出用定義驗(yàn)證一致連續(xù)的方法：對(duì)0，確證（0）存在。為此，從不失真地放大f（x'）-f（x"） 這個(gè)式子入手，使在放大后的式子中，除因子x'-x" 之外，其余部分中不含有x' 和x"，然后使所得式子f（x'）-f（x"） ，從中解出x'-x" . 例3 驗(yàn)證函數(shù)f（x）=sin在區(qū)間（c，1）（0c1）內(nèi)一致連續(xù)。證明因?yàn)閟in - sin=2 sin cos 所以對(duì)0，取=，使得對(duì)任何x'，x"（c，1），只要x'-x" ，就有sin 1x&

11、#39; - sin1x"。3 函數(shù)不一致連續(xù)的概念下面證明例1 中的函數(shù)f（x）=在區(qū)間（1，0上不一致連續(xù)。找不到可在區(qū)間（0，1上通用的，即不存在最小的（正數(shù)）。先給出函數(shù)f（x）在區(qū)間I 上不一致連續(xù)的定義。定義3 存在某個(gè)0，無論 是怎么樣小的正數(shù)，在I 上總有兩點(diǎn)x' 和x"，雖然滿足x'-x" 0，卻有f（x'）-f（x"）。證明取0=1，對(duì)（1），取x'=min ，12與x"=，便有x'-x" =，但=-=21=。因此也可以說函數(shù)f（x）在區(qū)間I 上連續(xù)，存在一個(gè)集合A=x xI

12、 ，如果當(dāng)集合A 中存在一個(gè)最小的 時(shí)，則f（x）就是I 上一致連續(xù)，而f（x）在區(qū)間I 上連續(xù)則只要求存在集合A 就可以了。三 一致收斂概念 1函數(shù)列一致收斂的定義設(shè)S1 ( x) , S2 ( x) , , Sn ( x) , 是一列定義在同一數(shù)集X 上的函數(shù), 稱為定義在X 上的函數(shù)列. 設(shè) un ( x) 稱為定義在X上的函數(shù)列,表達(dá)式u1 ( x) + u2 ( x) + + un ( x) + , x X 稱為定義在X上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),簡記為un ( x) 或un ( x) .設(shè)數(shù)集X為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un ( x) 的收斂域,則對(duì)每個(gè)x X,記S ( x) =un ( x) ,稱S (

13、x) 為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un ( x)的和函數(shù).定義i設(shè)有函數(shù)列 Sn ( x) ,若對(duì)任給的 > 0 ,存在只依賴于的正整數(shù)N () ,當(dāng)n > N () 時(shí),不等式Sn ( x) - S ( x) <對(duì)X 上一切x成立,則稱 Sn ( x) 在X 上一致收斂于是s（x）.一致收斂的定義還可以用下面的方式來表達(dá):定義ii設(shè)sn - s = | Sn ( x) - S ( x) | ,若sn - s = 0,就稱Sn ( x) 在X上一致收斂于S ( x) .定義20，N，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，都有這時(shí)稱函數(shù)列在上一致收斂于，記作一致收斂與逐點(diǎn)收斂之間的區(qū)別：定義2中的只依賴于，它適用于一

14、切；而定義1中的極限式 (1) 若用陳述方式來表示時(shí)，其中的既與有關(guān)，又與中的考察點(diǎn)有關(guān)定義設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列為如果，則稱在上一致收斂于由定義2與定義易知：若, 則若或在上一致收斂，則它們?cè)谏媳匾恢率諗慨?dāng)把數(shù)列看作一個(gè)特殊的函數(shù)序列 時(shí)，如果收斂，則可認(rèn)為它在上一致收斂當(dāng)把數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)看作一個(gè)特殊的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)時(shí),如果收斂，則可認(rèn)為它在上一致收斂又若，則同樣可以認(rèn)為把逐點(diǎn)收斂（即數(shù)列或數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂）的柯西準(zhǔn)則推廣為一致收斂的柯西準(zhǔn)則，即為以下兩個(gè)定理定理5.1在上一致收斂的充要條件是：，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切和一切都有定理5.1'在上一致收斂的充要條件是：，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切和一切都有有關(guān)定義2、定

15、義以及柯西條件的否定說法，分別示于相關(guān)知識(shí)相關(guān)知識(shí)18.1-18.4例5討論函數(shù)列分別在和上的一致收斂性解首先，對(duì)每一固定的，恒有，即在上處處收斂于(i)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，都有由于上述只依賴于，依據(jù)定義2，證得，(ii)當(dāng)時(shí)，由解出由此可見既依賴，又依賴，故，四 對(duì)函數(shù)一致連續(xù)性的幾點(diǎn)討論弄清函數(shù)的一致連續(xù)性的概念和掌握判斷函數(shù)一致連續(xù)的方法無疑是學(xué)好函數(shù)一致連續(xù)性理論的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)分析教材只給出一致連續(xù)的概念和判斷函數(shù)在閉區(qū)間上一致連續(xù)的G·康托定理,內(nèi)容篇幅少,為了使初學(xué)者對(duì)函數(shù)一致連續(xù)性的理論有正確的理解和全面的掌握,作為教材內(nèi)容的適當(dāng)擴(kuò)展和補(bǔ)充,本文做以下幾點(diǎn)討論:1 關(guān)于函

16、數(shù)一致連續(xù)的概念定義設(shè)函數(shù)f ( x) 在區(qū)間I 有定義,若P> 0 , v> 0 , x1 , x2 I :| x1 - x2| <,有| f ( x1) - f ( x2) | <,稱函數(shù)f ( x) 在I 一致連續(xù)。對(duì)函數(shù)的一致連續(xù)性概念的掌握,應(yīng)注意以下三個(gè)方面的問題:(1) 要注意函數(shù)在區(qū)間的連續(xù)性與一致連續(xù)性的區(qū)別和聯(lián)系。比較函數(shù)在區(qū)間的連續(xù)性和一致連續(xù)性定義可知:前者的不僅與有關(guān),而且還與點(diǎn)x0 有關(guān),即對(duì)于不同的x0 ,一般來說是不同的,這表明只要函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù),函數(shù)就在區(qū)間連續(xù);后者的僅與有關(guān),與x0無關(guān),即對(duì)不同的x0 ,是相同的。這表明函

17、數(shù)在區(qū)間的一致連續(xù)性,不僅要求函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的每一點(diǎn)都連續(xù),而且要求函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)是“一致”的(即連續(xù)可對(duì)一點(diǎn)來講,而且對(duì)于某一點(diǎn)x0 ,取決于x0和,而一致連續(xù)必須以區(qū)間為對(duì)象,只取決于,與點(diǎn)x0 的值無關(guān)) 。在區(qū)間I 一致連續(xù)的函數(shù)在這個(gè)區(qū)間一定是連續(xù)的,事實(shí)上,由一致連續(xù)性定義將x1 固定,令x2 變化,即知函數(shù)f ( x )在x1 連續(xù),又x1 是I 的任意一點(diǎn),從而函數(shù)f ( x) 在I 連續(xù)。但在區(qū)間I 連續(xù)的函數(shù)在這區(qū)間上不一定一致連續(xù),例如f( x) = 1/ x 在區(qū)間(0 ,1) 就是如此。(2) 函數(shù)一致連續(xù)的實(shí)質(zhì),就是當(dāng)這個(gè)區(qū)間的任意兩個(gè)彼此充分靠近的點(diǎn)上的值的差

18、, 就絕對(duì)值來說, 可以任意小, 即 x1 , x2 I ,當(dāng)| x1 - x2| <時(shí),就有| f ( x1) - f ( x2) | <.(3) 要注意函數(shù)一致連續(xù)的否定敘述。一致連續(xù)的否定就是非一致連續(xù),即設(shè)函數(shù)f ( x) 在區(qū)間I 有定義,若0 > 0 , > 0 , x1 , x2 I :| x1 - x2| <,有| f ( x1) - f ( x2) | 0 ,則稱函數(shù)f ( x) 在I 非一致連續(xù)?？偟膩碚f,函數(shù)的連續(xù)性反映了函數(shù)的局部性質(zhì),而函數(shù)的一致連續(xù)性則反映了在整個(gè)區(qū)間上的整體性質(zhì)。二者之間既有區(qū)別又有聯(lián)系。2 關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)的條件根據(jù)

19、函數(shù)一致連續(xù)性定義可以判別函數(shù)在區(qū)間上的一致連續(xù)性,這種判別方法關(guān)鍵在于找出對(duì)于區(qū)間上的點(diǎn)可以共用的,但對(duì)某些函數(shù)而言找這樣的并非易事。因此有必要去探討判別函數(shù)在區(qū)間上的一致連續(xù)的簡便方法。由一致連續(xù)定義自然地得到函數(shù)連續(xù)是函數(shù)一致連續(xù)的必要條件,但不是充分條件,那么連續(xù)函數(shù)在區(qū)間還應(yīng)滿足什么條件才能使函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)呢? G·康托定理告訴我們:函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a , b上一致連續(xù)的充分必要條件是f ( x) 在 a , b 上連續(xù)。所以在閉區(qū)間 a , b 連續(xù)的函數(shù)必一致連續(xù),在一定條件下G·康托定理也可以推廣到有界的開區(qū)間和無界的區(qū)間。妨礙由區(qū)間連續(xù)性

20、轉(zhuǎn)變?yōu)閰^(qū)間一致連續(xù)性有兩種情況: (1) 區(qū)間有界但非閉,這時(shí)開的端點(diǎn)可能成為破壞一致連續(xù)性的點(diǎn); (2) 區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)為無窮或兩個(gè)端點(diǎn)為無窮,這時(shí),函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處也可能破壞一致連續(xù)性。這時(shí)只要我們對(duì)于破壞一致連續(xù)性的開的端點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)附加一定的限制條件,函數(shù)就一致連續(xù)了。因此在數(shù)學(xué)分析教材的基礎(chǔ)上補(bǔ)充以下定理和推論。定理1 函數(shù)f ( x) 在( a , b) 內(nèi)一致連續(xù)的充分必要條件是f ( x) 在( a , b) 連續(xù),且 f ( x) 與f ( x) 都存在。證明:必要性( ) 若f ( x) 在( a , b) 內(nèi)一致連續(xù),則對(duì)> 0 , > 0 , x1 , x2

21、( a , b) 且| x1 - x2 | <時(shí),有| f ( x1) - f ( x2) | <,此時(shí)對(duì)端點(diǎn)a ,當(dāng)x1 , x2滿足0 < x1 - a </ 2 ,0 < x2 - a </ 2 時(shí),就有| x1 - x2| | x1 - a| + | x2 - a| <,于是| f ( x1) - f ( x2) | <. 由柯西收斂準(zhǔn)則知 f ( x)存在，同理可證 f ( x) 也存在,從而f ( x) 在( a , b) 連續(xù),且 f ( x) 與f ( x) 都存在。充分性( ) 若f ( x) 在( a , b) 連續(xù),且 f

22、( x) 與f ( x)都存在,補(bǔ)充定義f ( a) = f ( x) , f ( b) = f ( x) ,這樣f ( x) 在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù),從而f ( x) 在 a , b上一致連續(xù),故f ( x) 在( a , b) 內(nèi)一致連續(xù)。根據(jù)定理1 容易得出以下推論:推論1 函數(shù)f ( x) 在 a , b) 內(nèi)一致連續(xù) f ( x) 在 a , b) 連續(xù)且f ( x)存在。推論2 函數(shù)f ( x) 在( a , b內(nèi)一致連續(xù)Z f ( x) 在( a , b連續(xù)且f ( x) 存在。定理2 若f ( x) 在( - , + ) 內(nèi)連續(xù),且f ( x) 和f ( x) 都存在,則

23、f ( x) 在( - , + ) 上一致連續(xù)。證明: > 0 , 1 > 0 ,由f ( x)= A , b > 0 ,當(dāng)x > b 時(shí),有| f ( x ) - A | </ 2 ,從而當(dāng)x1 , x2 > b 且| x1 - x2 | <1時(shí),有| f ( x1) - f ( x2) | | f ( x1) - A | + | f ( x2) - A | <由此可知f ( x) 在 b , + ) 上一致連續(xù)。同理可證當(dāng)| x1 - x2| <2時(shí),有| f ( x1) - f ( x2) | <,即知f ( x) 在( - ,

24、 a 上一致連續(xù)。又f ( x) 在 a , b上連續(xù),因此3 > 0 當(dāng)| x1 - x2| <3時(shí)有| f ( x1) - f ( x2) | <,故f ( x) 在 a , b 上一致連續(xù)。取= min1 ,2 ,3 , 當(dāng)| x1 - x2| <時(shí)便有| f ( x1) - f ( x2) | <即f ( x) 在( - , + ) 上一致連續(xù)。由定理2 容易得出以下推論:推論1 函數(shù)f ( x) 在( a , + ) 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是f ( x) 在( a , + ) 內(nèi)連續(xù),且f ( x) 與f ( x)都存在。推論2 函數(shù)f ( x) 在 a

25、, + ) 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是f ( x) 在 a , + ) 內(nèi)連續(xù)且f ( x)存在。推論3 函數(shù)f ( x) 在( - , b) 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是f ( x) 在( - , a) 內(nèi)連續(xù)且f ( x)與f ( x)都存在。推論4 函數(shù)f ( x) 在( - , b 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是f ( x) 在( - , b內(nèi)連續(xù)且f ( x)存在。以上的定理及推論提供了判斷函數(shù)一致連續(xù)性簡單而有效的方法。例1 ,下列函數(shù)在指定區(qū)間上是否一致連續(xù)?(1) f ( x) = , x (0 ,1) ; (2) f ( x) = 1/ (1 +) , x (0 , + ) ; (3) f (

26、 x) = sinx/ x , x (0 ,)解: (1) 顯然f ( x) =在(0 ,1) 內(nèi)連續(xù),且= 0 , x3 = 1即= 0與 x3 = 1都存在故f ( x) 在(0 ,1) 一致連續(xù)。(2) 顯然f ( x) = 1/ (1 +) 在(0 , + ) 內(nèi)連續(xù),且f ( x) = 1/ (1 + x2) = 1f ( x) = 1/ (1 + x2) = 0故f ( x) = 1/ 1 + 在(0 , + ) 內(nèi)一致連續(xù)。(3) f ( x) = sin x/ x = 1f ( x) = sin x/ x = 0 因此f ( x) 在(0 ,) 內(nèi)一致連續(xù)。對(duì)于任意區(qū)間,也有以

27、下結(jié)論函數(shù)f ( x) 在區(qū)間I 上一致連續(xù)的充分必要條件是對(duì)區(qū)間上I 任意兩個(gè)數(shù)列 x n 與 y n 當(dāng)( x n y n) = 0 時(shí),有 f ( x n) - f ( yn) = 0.由此可見,判斷函數(shù)一致連續(xù)的方法是多種多樣的,只要我們靈活多變,才能做到事半功倍,在教學(xué)中恰當(dāng)?shù)厝ヒ龑?dǎo)學(xué)生去思考去運(yùn)用,學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力必將有效地得到提高。3 證明函數(shù)非一致連續(xù)的簡便方法根據(jù)函數(shù)的非一致連續(xù)定義可以證明函數(shù)在區(qū)間上的非一致連續(xù)性。例2 證明函數(shù)f ( x) =在R 非一致連續(xù)。證明: = 1/ 2 , > 0 ( n >) , x= l n( n + 1) , x= l

28、n n R :| x- x| =| l n ( n + 1) l n n| = l n (1 + 1/ n) < l n =,有| f ( x) - f ( x) | = | ( n + 1) - n| = 1 > 1/ 2 =所以f ( x) = 在R 非一致連續(xù)。利用定義證明函數(shù)f ( x) 在I 非一致連續(xù)的關(guān)鍵在于確定 > 0 ,找出x, x”I 使得| f ( x) - f ( x”) | ,而做到這一點(diǎn),對(duì)于某些函數(shù)來說并非易事。根據(jù)函數(shù)的一致連續(xù)性的充要條件,容易得出證明函數(shù)在區(qū)間I 非一致連續(xù)的較簡便的兩個(gè)充分判別法。(1) 連續(xù)函數(shù)f ( x) 在區(qū)間( a

29、 , b) 內(nèi)非一致連續(xù)的充分條件是f ( a + 0) 和f ( b - 0) 至少有一個(gè)不存在。(2) 連續(xù)函數(shù)f ( x) 在區(qū)間I 非一致連續(xù)的充分條件是在區(qū)間I 上存在兩個(gè)數(shù)列 x n 、 y n ,使得( x n y n) = 0,但 f ( x n) - f ( y n) 0現(xiàn)在利用判別法(2) 證明例2 :證明:取x n = l n ( n + 1) , y n = l n n R ,且( x n y n) = (l n( n + 1) l n n) = l n(1 +) = 0但 f ( x n) - f ( y n) = (-) = ( n + 1 - n) = 1 0所以

30、由判別法(2) 知f ( x) = e x 在R 非一致連續(xù)。利用這兩個(gè)判別法證明函數(shù)f ( x ) 在區(qū)間上非一致連續(xù)性的優(yōu)點(diǎn)是顯而易見的:不用直接確定> 0 找x1 , x2 I 滿足| f ( x1) - f ( x2) | ,而只須觀察f ( a + 0) 和f ( b - 0) 的存在性或找出兩個(gè)數(shù)列 x n 和 y n 滿足判別的條件即可。例3 證明下列函數(shù)在所示區(qū)間內(nèi)非一致連續(xù)f ( x) = cos, x (0 , 1)證明: 因?yàn)閏os不存在,所以f ( x) 在(0 , 1) 內(nèi)不一致連續(xù)。五 關(guān)于函數(shù)列的一致連續(xù)性的研究一、關(guān)于一致性的幾個(gè)定義一致連續(xù)是一個(gè)很重要的

31、概念,在微積分學(xué)以及其他學(xué)科中常常用到,而且函數(shù)列的一致連續(xù)性和一致收斂又有著密切關(guān)系。在研究函數(shù)列的收斂問題中,常常要用到函數(shù)列與函數(shù)之間的收斂、一致連續(xù)性、一致收斂的關(guān)系。本文就從這里人手展開討論,對(duì)于函數(shù)的一致連續(xù)性我們知道有如下定義定義1 :函數(shù)f ( x) 在數(shù)集E 上一致連續(xù)是指:對(duì)P > 0 ,存在 > 0 ,使得當(dāng): x1 , x2 E ,且| x1- x2 | < 時(shí),有| f ( x1) - f ( x2) | < 。函數(shù)的一致連續(xù)性定義使我們考慮問題角度從局部化問題轉(zhuǎn)入了整體問題。如:“有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定是一致連續(xù)的”。在研究函數(shù)的整體性質(zhì)

32、時(shí),一致連續(xù)顯的特別有用。例如:黎曼積分存在時(shí),有這樣的命題如下:命題若函數(shù)f ( x) 在區(qū)間 a , b 上有界,且至多具有有限多個(gè)點(diǎn)不連續(xù)點(diǎn),則函數(shù)f ( x ) 在區(qū)間 a , b 上可積。特別是:函數(shù)f ( x ) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù)時(shí),則函數(shù)f ( x) 在區(qū)間 a , b 上可積。此命題的證明中,函數(shù)的一致連續(xù)性起著非常重要的作用。在實(shí)變函數(shù)中有名的盧津定理,給出了連續(xù)函數(shù)和可測(cè)函數(shù)之間的關(guān)系,表明用連續(xù)函數(shù)可以“逼近”可測(cè)函數(shù), 從而可以用比較熟悉的連續(xù)函數(shù),去把握比較抽象的可測(cè)函數(shù),并在某些場合可以適當(dāng)?shù)匕芽蓽y(cè)函數(shù)轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)。因而連續(xù)、一致連續(xù)性的許多等價(jià)命題和定

33、理,為研究實(shí)際問題提供了依據(jù)。對(duì)于函數(shù)列 f n ( x ) 的一致連續(xù)性要比函數(shù)f ( x) 的一致連續(xù)性復(fù)雜,因?yàn)樗恢皇巧婕暗揭粋€(gè)函數(shù),而是要涉及到一個(gè)函數(shù)列 f n ( x) ,其定義如下:定義2 設(shè)函數(shù)列 f n ( x ) 在數(shù)集E 上有定義,若對(duì)任意給定> 0 ,總存在 > 0 ,使得當(dāng): x1 , x2E ,且| x1 - x2| <時(shí),對(duì)一切的n N ,都有| fn (x1) - f n (x2) | <,則稱函數(shù)列f n (x) 在數(shù)集E 上一致連續(xù)。函數(shù)列f n (x) 在E 上一致收斂于f (x) 又有定義如下:定義3 設(shè)函數(shù)列fn (x) 與函

34、數(shù)f (x) 均在數(shù)集E 上有定義,若對(duì)任意> 0 ,總存在某個(gè)自然數(shù)N ,使得當(dāng)n > N 時(shí),對(duì)一切x E ,都有| f n ( x) - f ( x) | <,則稱函數(shù)列f n ( x) 在數(shù)集上一致收斂于f(x) 。有了函數(shù)與函數(shù)列的一致收斂與一致連續(xù)的定義,關(guān)于f n (x) 與f (x) 一致性有如下命題:命題1. 若函數(shù)列f n (x) 在數(shù)集E 上一致收斂于f (x) ,且, n N ,f n (x) 在E 上一致連續(xù),則極限函數(shù)f (x) 在E 上一致連續(xù)。這個(gè)命題給出了函數(shù)列與極限函數(shù)的一致連續(xù)、一致收斂之間的關(guān)系。用定義1 ,定義3 就可以證明此命題。證

35、明如下:我們知道函數(shù)列fn (x) 在E 上一致收斂于f (x) ,所以對(duì)P> 0 ,存在N N ,使得當(dāng)n > N ,有|f n (x) - f (x) | < ( x1 ,x2 E) ,同時(shí)有| f n ( x 1) - f n ( x 1) | < 和| f n ( x2) - f n ( x2) | < ( x 1 , x2 E) 成立。取定n > N ,我們考察f n ( x ) 在E 上也是一致連續(xù)的。對(duì)上述 > 0 , v > 0 ,使得當(dāng)( x1 , x2 E) , | x 1 - x2 | < 時(shí),就有| f n ( x1

36、) - f n ( x2) | <于是只要x 1 , x2 E 時(shí),當(dāng)| x 1 - x2 | < ,有:| f ( x1) - f ( x 2) | | f ( x1) - f n ( x1) | +| f n ( x1) - f n ( x2) | +| f n ( x2) - f ( x 2) | += 成立。故f ( x ) 在E 上一致連續(xù)性得以證明。例如:函數(shù)列 (1 - x) 在0 ,1 上一致收斂于0 ,對(duì)任意自然數(shù)n , (1 - x ) 與0 均在0 ,1 上連續(xù)。命題2 若函數(shù)列 f n ( x) 在數(shù)集E 上一致連續(xù), f n ( x) = f ( x) ,

37、則極限函數(shù)f ( x) 在E 上一致連續(xù)。同樣,我們可以由定義1 ,定義2 ,證明此命題。這個(gè)命題給出了函數(shù)列 f n ( x) 一致連續(xù)性的一個(gè)判別法。若函數(shù)列 f n ( x) 在數(shù)集E 上逐點(diǎn)收斂于f ( x) , 而函數(shù)f ( x) 在E 上不一致連續(xù), 則函數(shù)列 f n ( x) 在數(shù)集E 上是非一致連續(xù)的。例如:函數(shù)列 x n 在0 ,1 就是如此。二、函數(shù)列一致性和連續(xù)性定理:命題3 若函數(shù)列 f n ( x) 在區(qū)間I 上一致收斂于f ( x ) ,且每一項(xiàng)f n ( x) 都在I 上連續(xù),則極限函數(shù)f ( x ) 在區(qū)間I 上連續(xù)。注1 :若各項(xiàng)為連續(xù)函數(shù)的函數(shù)列在區(qū)間上其極

38、限函數(shù)f ( x) 不連續(xù)。則此函數(shù)列在區(qū)間上不一致收斂。如: 的各項(xiàng)在 - 1 ,1 都連續(xù),但極限函數(shù)f ( x)= ,在x = 1 時(shí)不連續(xù),從而推得 的在 - 1 ,1 不一致收斂。注2 :由連續(xù)函數(shù)的定理可得之逆命題不成立:即:若函數(shù)列 f n ( x) 在區(qū)間I 上一致收斂于f ( x ) ,且f ( x ) 連續(xù),則 N ,當(dāng)n > N 時(shí),函數(shù)列 f n ( x) 皆連續(xù)?這是不成立的。因?yàn)? f n ( x) =D ( x ) 處處不連續(xù),但f n ( x) = 0 = f ( x ) 處處連續(xù),且有| f n ( x) - 0 | 知收斂為一致收斂。注3 :如下逆命題

39、也不成立:即:若函數(shù)列 f n ( x) 在區(qū)間I 上收斂于f ( x ) , f n ( x) 與f ( x) 均連續(xù),則收斂為一致收斂。這是不可能的。例如: f n =在(0 ,1) 單調(diào)趨于0 ,但不一致收斂。上述命題3 將條件適當(dāng)?shù)母淖円部梢缘玫叫碌拿},例如:命題3 在區(qū)間上成立同時(shí)在數(shù)集E 上也成立,因此有如下命題:命題3若函數(shù)列 f n ( x) 在數(shù)集E 上一致收斂于f ( x) ,且每一項(xiàng)f n ( x) 都在數(shù)集E 上連續(xù),則極限函數(shù)f ( x) 在數(shù)集E 上連續(xù)。當(dāng)然,我們也可以把函數(shù)列 f n ( x) 在E 上一致收斂于f ( x) 的條件適當(dāng)?shù)臏p弱,又得到下面的命題

40、:命題3若函數(shù)列 f n ( x) 在數(shù)集E 上內(nèi)閉一致收斂于f ( x ) ,且每一項(xiàng)f n ( x ) 都在數(shù)集E 上連續(xù),則極限函數(shù)f ( x) 在數(shù)集E 上連續(xù)。進(jìn)一步可得到下面的命題。命題4 若函數(shù)列 f n ( x) 在區(qū)間I 上一致收斂于f ( x ) ,且f n ( x) 在區(qū)間I 上都是一致連續(xù),且 f n ( x) 與f ( x) 均存在,則極限函數(shù)f ( x ) 在區(qū)間I 上一致連續(xù)。(其中I = ( a , b) )從命題4 可以看出,命題4 實(shí)際上等價(jià)命題1 。三、連續(xù)與一致收斂D in i 定理設(shè)函數(shù)列 f n ( x) 在區(qū)間 a , b 上收斂于連續(xù)函數(shù)f (

41、x ) ,對(duì) x a , b 都有f n ( x ) f n+1 ( x) 或f n ( x) > f n+1 ( x) 成立,且每個(gè)f n ( x ) 在 a , b 上連續(xù),則函數(shù)列 f n ( x ) 在區(qū)間 a ,b 上一致收斂。D i n i 定理給出了函數(shù)列 f n ( x ) 在閉區(qū)間 a , b 上一致收斂的充分條件。因此可以判別函數(shù)列的一致收斂性。例如: f n ( x) = 在 a , b 上,f n ( x) = n (-1)在1 ,10 上,如果將Di ni 定理定義在數(shù)集上我們又可以得到下面的命題。命題:設(shè)函數(shù)列 f n ( x) 在數(shù)集E 上收斂于連續(xù)函數(shù)f

42、( x) ,又存在自然數(shù)N ,當(dāng)n > N ,對(duì)x E 都有f n ( x ) f n+1( x ) 或f n ( x ) > f n+1 ( x ) 成立,且每個(gè)f n ( x) 在數(shù)集E 上連續(xù),則函數(shù)列 f n ( x) 在數(shù)集E 上內(nèi)閉一致收斂于f ( x ) 。六 一致連續(xù)的幾個(gè)等價(jià)命題及其應(yīng)用函數(shù)一致連續(xù)的概念是學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，證明某一個(gè)函數(shù)是否具有一致連續(xù)性讓許多同學(xué)更是無從下手。為了解決這一難點(diǎn)，化抽象為簡單，筆者在教學(xué)過程中給出一致連續(xù)性的幾種等價(jià)形式，能幫助同學(xué)易于接受。一致連續(xù)定義：設(shè)函數(shù)（ ）在區(qū)間I（開、閉、半開都可）上有定義，若對(duì)任給正數(shù)，總

43、存在某一個(gè)正數(shù)（），只要， 屬于I，且 ，便有（）（） ，則稱（ ）在區(qū)間 上一致連續(xù)。定理可以證明下述四個(gè)命題和一致連續(xù)定義是相互等價(jià)的：（1）若對(duì)任給正數(shù)，總存在某一個(gè)正數(shù)k，只要， 屬于I，且xx ，且滿足 k，（）便有（）（）（）， k=k（）。（2）對(duì)區(qū)間 中滿足（-）=0 的任何兩個(gè)數(shù)列 ， ，（ ）-（ ）=0。（3）對(duì)區(qū)間I 中的任何cauchy 列，（）也是cauchy列。（4）（ x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)，（ a+0）及（ b-0）存在且連續(xù)。證明：一致連續(xù)定義命題 （1）。因?yàn)樵}正確，其逆否命題也一定正確，二者是等價(jià)的。因此可以用它們的逆否命題來證明。一致連續(xù)定義的

44、逆否命題是：對(duì)任給正數(shù)，存在某一個(gè)正數(shù)（），使得對(duì)任意， 屬于，如果（）（） ，就有- 。命題（1）的逆否命題是：對(duì)任意正數(shù)，存在某一個(gè)正數(shù)k，使得對(duì)任意， 屬于， 如果（）（） ， 就有 k。如果由一致連續(xù)定義的逆否命題能得到命題（1）的逆否命題，則命題（1）得證?，F(xiàn)在證明這個(gè)結(jié)論。由于- ，故存在正整數(shù)k，使得k - （k+1）。不妨設(shè)，將，進(jìn)行（k +1）等分，記為，其中，。由上不等式知 = ，故有（ ） （ ） 。（ =1，2， k+1），從而 。根據(jù)定義的逆否命題式知，若 ，則（ ）（ ）。如果取k=，由上述推論知：對(duì)任何， 屬于，當(dāng)（ ）（ ） 時(shí) ，必有 k。即證明了命題（1）。

45、命題（1）命題（2）利用反證法。設(shè)有數(shù)列 ， 均屬于I，且（ -），但（ ）-（ ）0，即存在某個(gè)0，對(duì)任何自然數(shù)j，都有某個(gè)j，使得（）（） （a）當(dāng)j=1，2，3，時(shí)，得到數(shù)列，它是數(shù)列的一子列，故（）0。由（1）知，對(duì)任給正數(shù)，總存在某一個(gè)正數(shù)k，只要， 屬于，當(dāng) k，（xx）時(shí)，有（ ）（ ） 。又由（）0 知，對(duì)>0，存在有N>0，當(dāng)j>N 時(shí)，有 故當(dāng)j>k 時(shí)，由上式及（a）式知 =k。所以由（1）知（）（ ） ，但這與（a）式矛盾，故必有（ ）-（ ）0。命題（2）命題（3）利用反證法，設(shè)為區(qū)間I 中的某一cauchy 列，但（ ）不是cauchy 列，

46、因此，有某個(gè)，對(duì)任意自然數(shù)k，總存在有>>k 及相應(yīng)在（ ）中的兩項(xiàng)（ ），（），使得（ ）-（） （b）當(dāng)k=1，2，3，時(shí)，可得到的兩個(gè)子列 ， ，由于收斂，所以， 也收斂，且收斂于同一極限 ，因此（），由（2）知，（ ）-（ ）=0，但這與(b)式矛盾，故（ ） 必為cauchy 列。命題（3）命題（4）首先證明（ ）在（a，b）內(nèi)連續(xù)，任?。╝，b），又設(shè)，n是（a，b）內(nèi)任一收斂于的數(shù)列，令Y n= 即：，。則，由題設(shè)知（ ）存在。因此由子列定理知（） ， （） 均收斂于相同的極限，從而（） =（ ） =（） =（） （ ）又因?yàn)椋?）存在，故由收斂數(shù)列的子列定理有：（）

47、=（ ） 。所以（ ） （），由收斂于x0的數(shù)列的任意性，根據(jù)歸結(jié)原理知 （）（ ），這就是說（）在（a，b）處連續(xù)。又由（a，b）的任意性知（）在（a，b）內(nèi)連續(xù)。再證（ a+0）存在且有限。設(shè)， ，為（a，b）內(nèi)均收斂于a的任意兩數(shù)列，令= k=1，2，。則 ，從而（ ）存在，所以（ ）=（） 。又因?yàn)椋ǎ┘埃?）也都存在，故（） =（） =（ ）， （ ）=（ ）=（） 。從而有（） （ ），由歸結(jié)原理知極限（）存在且有限，其值為（ a+0），同理可證（ b-0）存在且有限。命題（4）一致連續(xù)定義由于（）在區(qū)間（a，b）上連續(xù)，且極限（ a+0），（ b-0）存在，因此可補(bǔ)充定義（ a）

48、=（ a+0），（ b）=（ b-0），可得函數(shù)：（）=則稱（）為（）在閉區(qū)間a， b上的延拓，（）在閉區(qū)間a， b上連續(xù)且一致連續(xù)，即對(duì)任意0，存在有0，使得只要， a， b，且- ，便有F（）F（） ，從而只要， 屬于I=（a，b），且- ，便有（ ）（ ） 。本定理實(shí)際給出了函數(shù)一致連續(xù)的四個(gè)充要條件，因此應(yīng)用上述等價(jià)命題可以證明函數(shù)是一致連續(xù)的或不是一致連續(xù)的，且往往比較簡單。例證明函數(shù)（）= 在任一有限區(qū)間（-a，a）（a>0）內(nèi)一致連續(xù)。證明 設(shè)為（-a，a）中的任意cauchy 列，因此，對(duì)任意>0，存在N>0，當(dāng)n>m>N>0 時(shí)有- 從而（

49、） （ ） = = -.=故（） 也是cauchy 列，所以由（1）與（4）等價(jià)知，（）在任一有限區(qū)間（-a，a）（a>0）內(nèi)都一致連續(xù)。七 函數(shù)列一致收斂性的推廣1 預(yù)備知識(shí)定義1 設(shè) (x ) 是實(shí)數(shù)集E上的實(shí)值函數(shù)列，若對(duì)任意 > 0，存在 > 0，當(dāng)xE ，yE時(shí)，有f (x) f ( y) < （n =1, 2, ），則稱（）在E 上同等連續(xù)定義2 設(shè)(X , d)是量度量空間， 是任意正數(shù)，Y X ，若任給x X ，至少存在一個(gè)點(diǎn)yY ，使d(x, y) < ，則稱Y 為(X , d)的 -網(wǎng)，若Y 是有限的，則稱Y 為(X , d)的有限 -網(wǎng)定理1

50、 若E 為緊實(shí)數(shù)集， (x ) 是E上一致收斂的連續(xù)函數(shù)列，則 (x )在E上同等連續(xù)顯然，函數(shù)列的同等連續(xù)性推不出函數(shù)列的一致收斂性。2 主要結(jié)果定理2 若函數(shù)列 (x )在實(shí)數(shù)集E上同等連續(xù)，對(duì)任意的 0，都存在有限 -網(wǎng)y1，y2，y k，函數(shù)列 (x )在y1，y2，y k 上收斂，則 (x )在E上一致收斂證明 因 (x )在E 上同等連續(xù)，對(duì)任意 > 0都存在 > 0 ，取x, yE ，且x y < 時(shí)，有(x) ( y) < （n =1, 2, ）由條件對(duì) > 0，存在有限 -網(wǎng)y1，y2，y k， (x )收斂，對(duì)每個(gè)i (i =1, 2, L,

51、k)，都存在 n i，當(dāng) m, n > ni 時(shí)，有 (y i ) (y i ) < 取=max于是m, n > 時(shí)，對(duì)每個(gè)i (i =1, 2, k)，有 (y i ) (y i ) < ，任取xE ，有一個(gè)i， xU (y i,) ，于是當(dāng) m, n > 時(shí)，有 (x ) (x ) = (x) ( yi ) + ( yi ) ( y i) + ( yi ) (x) (x) ( yi ) + ( yi ) ( y i) + ( yi ) (x)< 證畢推論1 函數(shù)列 (x )在緊實(shí)數(shù)集E上同等連續(xù)， (x )在E上處處收斂，則 (x )在E上一致收斂推論2

52、 E 為緊實(shí)數(shù)集，E1 是E 的稠子集， (x )在E上同等連續(xù)，在E 1上處處收斂，則 (x )在E 上一致收斂事實(shí)上，因?yàn)?(x )在E上同等連續(xù)，對(duì)任意 > 0，都存在 > 0，當(dāng)x y < ，x, yE 時(shí)，f (x) f ( y) < / 3 （n =1, 2, ）由于1 E 稠密于E ，U(x,)是E的開覆蓋及E為緊集，存在有限開覆蓋U(x1,), U(x k,)，而 (x )在x1 , ,x k 收斂，由定理2 即證 定理3 E 為緊實(shí)數(shù)集， (x ) 在E上連續(xù)，在E的稠子集 E0 上同等連續(xù)且處處收斂，則 (x )在E 上一致收斂證明 只須證 (x )

53、在E 上同等連續(xù)，由于 (x )在 E 0上同等連續(xù)，對(duì)任意 > 0，都存在 > 0， 0 x, yE ，當(dāng)x y < / 3時(shí)，有fn (x) f n( y) < 取x, yE，且x y < / 3，因E0 在E 中稠，存在 E 0中的數(shù)列 xn, yn ，使得x n x, yn y由于 fn (x) n 在E上連續(xù)，所以對(duì)于任意i（i =1,2, ），有fi (xn ) fi(x) ， f i( y n) fi(y ) ，從而fi(x) fi(y”) fi(xn) fi(yn)（當(dāng)n充分大時(shí)， xn-yn<） 證畢定義3 E 為實(shí)數(shù)集， (x )為E上的

54、函數(shù)列，且處處收斂于f (x)，如果對(duì)任意的 > 0及每個(gè)自然數(shù)N ，都存在E 的有限 網(wǎng) x1, ,xk 及k 個(gè)大于N 的自然數(shù)n1 , , n k ，使f (x) f (x) < （x U（，）E），稱 (x )一致收斂于f (x)定理4 如果 (x )在實(shí)數(shù)集E上一致收斂于f (x)，且對(duì)于充分大的n， f n(x) 在E 上連續(xù)，則f (x)在E上連續(xù)證明 任給一個(gè)x0E ，因（）=（）對(duì)任給的 > 0 ，存在自然數(shù)N ， n > N 時(shí)，（）-（），而 (x ) 在E上一致收斂于f (x)，所以對(duì)上述的 > 0及N ，存在有限 網(wǎng)x1，xk及k個(gè)大于N

55、 的自然數(shù)n1，n k，使f (x) f (x) <，（x U（，）E）設(shè)U（，）E ，則f ( ) - ( ) <， ，由于f (x)的連續(xù)性，存在 > 0 ，x U（，） 時(shí)f ( x) - f ( ) < ，不妨使U（，） U（，），于是xU（，）時(shí)，有f（x）-f()=f（x）- f ( x)+ f ( x)- f ( )+ f ( )-f()=f（x）- f ( x)¦+ f ( x)- f ( )+ f ( )-f()<3 證畢定理5 (x )在a, b上一致收斂于f (x)，存在自然數(shù)N ，n > N 時(shí)， fn (x) 在a, b上可積，則f (x)在a, b上可積證明 對(duì)任意的 > 0及自然數(shù)N ，都存在有限 -網(wǎng)