向量及其代數(shù)運(yùn)算

1、數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系 第八章第一部分第一部分 向量代數(shù)向量代數(shù)第二部分第二部分 空間解析幾何空間解析幾何 在三維空間中:空間形式空間形式 點(diǎn)點(diǎn), , 線線, , 面面基本方法基本方法 坐標(biāo)法坐標(biāo)法; ; 向量法向量法坐標(biāo)坐標(biāo), , 方程（組）方程（組）空間解析幾何與向量代數(shù) 四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 第一節(jié)一、向量的概念一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算 三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其線性運(yùn)算 第八八章 .a或表示法:向量的模 : 向量的大小,21MM記作一、向量的概念一、向量的概念

2、向量:(又稱矢量). 1M2M既有大小, 又有方向的量稱為向量向徑 (矢徑):自由向量: 與起點(diǎn)無關(guān)的向量.起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.單位向量: 模為 1 的向量,.a或記作 a零向量: 模為 0 的向量,.00或，記作有向線段 M1 M2 ,或 a ,a或.a或規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;若向量 a 與 b大小相等, 方向相同, 則稱 a 與 b 相等,記作 ab ;若向量 a 與 b 方向相同或相反, 則稱 a 與 b 平行, ab ;與 a 的模相同, 但方向相反的向量稱為 a 的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上, 故兩向量平行又稱 兩向量共線 .若 k (3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一

3、平面上 , 則稱此 k 個(gè)向量共面 .記作a ;二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算1. 向量的加法向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律 : 交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加 .bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba s3a4a5a2a1a54321aaaaas2. 向量的減法向量的減法三角不等式ab)( ab有時(shí)特別當(dāng),ab aa )( aababaabababa0babaaa3. 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法 是一個(gè)數(shù) ,.a規(guī)定 :時(shí)，0，同向與aa,0時(shí),0時(shí).0a;aa;1aa可見;1aa;aa 與 a 的乘積

4、是一個(gè)新向量, 記作，反向與aa總之:運(yùn)算律 : 結(jié)合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba, 0a若a則有單位向量.1aa因此aaa 定理定理1. 設(shè) a 為非零向量 , 則( 為唯一實(shí)數(shù))證證: “ ”., 取 且再證數(shù) 的唯一性 .則,0故.即abab設(shè) abba取正號(hào), 反向時(shí)取負(fù)號(hào), a , b 同向時(shí)則 b 與 a 同向,設(shè)又有 b a ,0)(aaa baab.ab故,0a而“ ”則,0 時(shí)當(dāng)例例1. 設(shè) M 為MBACD解解:ABCD 對(duì)角線的交點(diǎn),0 時(shí)當(dāng)ba,0 時(shí)當(dāng),aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2已知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向

5、ab .,MDMCMBMAba表示與試用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMDxyz三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系. 坐標(biāo)原點(diǎn) 坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)過空間一定點(diǎn) o ,o 坐標(biāo)面 卦限(八個(gè))面xoy面yozzox面1. 空間直角坐標(biāo)系的基本概念空間直角坐標(biāo)系的基本概念xyzo向徑在直角坐標(biāo)系下 11坐標(biāo)軸上的點(diǎn) P, Q , R ;坐標(biāo)面上的點(diǎn) A , B , C點(diǎn)點(diǎn) M特殊點(diǎn)的坐標(biāo) :有序數(shù)組),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0

6、 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(稱為點(diǎn) M 的坐標(biāo)坐標(biāo))原點(diǎn) O(0,0,0) ;rrM坐標(biāo)軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標(biāo)面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo2. 向量的坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn) M , ),(zyxM則沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,軸上的單位向量分別表示以zyxkji的坐標(biāo)為此式稱為向量 r 的坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式 ,rkzjyix稱為向量,r任意向量 r 可用向徑 OM 表示.NMONOMOCOBOA, ixOA, jyOBkzOC四、利用坐標(biāo)作向

7、量的線性運(yùn)算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 則ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 時(shí)當(dāng)aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:，為實(shí)數(shù)例例2. 已知兩點(diǎn)在AB直線上求一點(diǎn) M , 使解解: 設(shè) M 的坐標(biāo)為, ),(zyx如圖所示ABMo11MAB, ),(111zyxA),(222zyxB及實(shí)數(shù), 1得),(zyx11),(212121zzyyxx即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOB AOOM )(OMOB OMOBOA(說明說明: 由得定比分點(diǎn)公式定比分點(diǎn)公式:,121

8、xx,121yy121zz,1時(shí)當(dāng)點(diǎn) M 為 AB 的中點(diǎn) ,于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中點(diǎn)公式中點(diǎn)公式:五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式222zyx),(zyxr 設(shè)則有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得),(111zyxA因AB得兩點(diǎn)間的距離公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx對(duì)兩點(diǎn)與, ),(222zyxB, rOM作OMr OROQOPBABAOAOBB

9、A例例3. 在 z 軸上求與兩點(diǎn))7, 1 ,4(A等距解解: 設(shè)該點(diǎn)為, ),0,0(zM,BMAM因?yàn)?2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求點(diǎn)為及)2,5,3(B. ),0,0(914M思考思考: (1) 如何求在 xoy 面上與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程 ?離的點(diǎn) . 提示提示:(1) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)為, )0,(yxM利用,BMAM得,028814 yx(2) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)為, ),(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z例例4. 已知兩點(diǎn))5,0,4(A和, )3, 1 ,7(B解解:求141)2,1

10、,3(142,141,143.BABABABAoyzx2. 方向角與方向余弦方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量 ,ba任取空間一點(diǎn) O ,aOA作,bOBOAB稱 =AOB (0 ) 為向量 ba,的夾角. ),(ab或類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 . ,0),(zyxr給定與三坐標(biāo)軸的夾角 , , rr稱為其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦稱為其方向余弦方向余弦. 記作),(baoyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性質(zhì):的單位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos例例5. 已知兩點(diǎn))2

11、,2,2(1M和, )0,3, 1(2M的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20計(jì)算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM例例6. 設(shè)點(diǎn) A 位于第一卦限,解解: 已知角依次為,43求點(diǎn) A 的坐標(biāo) . ,43則222coscos1cos41因點(diǎn) A 在第一卦限 , 故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 . )3,23,3(向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾 ,6AO且OAOAAO練習(xí)題練習(xí)題解解: 因pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kjikji157131. 設(shè),853kjim,742kjin求向量pnm