2021-2022學(xué)年甘肅省蘭州第一中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)理科試題解析

1、 PAGE PAGE 15蘭州一中2021-2022-2學(xué)期高二年級(jí)期中考試試卷數(shù)學(xué)（理科）說明：本試卷分為第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.答案寫在答題卡上.交卷時(shí)只交答題卡.一選擇題（共12小題，滿分60分，每小題5分）1. 復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A. 1B. 1C. D. i【答案】B【解析】【分析】先求出共軛復(fù)數(shù)，再求出虛部即可.【詳解】由題意知：，則虛部為1.故選：B.2. 在用反證法證明“已知，且，則，中至多有一個(gè)大于0”時(shí)，假設(shè)應(yīng)為（ ）A. ，都小于0B. ，至少有一個(gè)大于0C. ，都大于0D. ，至少有一個(gè)小于0【答

2、案】C【解析】【分析】反證法，應(yīng)假設(shè)命題結(jié)論的否定.【詳解】“至多有一個(gè)大于0”包括“都不大于0和有且僅有一個(gè)大于0”，故其對(duì)立面為“，都大于0”故選：C3. 函數(shù)yx2cos 2x的導(dǎo)數(shù)為（ ）A. y2xcos 2xx2sin 2xB. y2xcos 2x2x2sin 2xC. yx2cos 2x2xsin 2xD. y2xcos 2x2x2sin 2x【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即可【詳解】y(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(sin 2x)(2x)2xcos 2x2x2sin 2x故選：B4. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）A. B.

3、C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的問題中，要注意定義域優(yōu)先法則的應(yīng)用.5. 用S表示圖中陰影部分的面積，則S的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【詳解】試題分析：先將陰影部分的面積用定積分表示bcf（x）dxabf（x）dx，然后根據(jù)定積分的意義進(jìn)行選擇即可詳解：由定積分的幾何意義知區(qū)域內(nèi)的曲線與X軸的面積代數(shù)和即bcf（x）dxabf（x）dx選項(xiàng)D正確故選D點(diǎn)睛：本題考查定積分在求面積

4、中的應(yīng)用，解題是要注意分割，關(guān)鍵是要注意在x軸下方的部分積分為負(fù)（積分的幾何意義強(qiáng)調(diào)代數(shù)和），屬于基礎(chǔ)題注意積分并不等于面積，當(dāng)被積函數(shù)為正時(shí)積分和面積相等，當(dāng)被積函數(shù)為負(fù)時(shí)積分等于面積的相反數(shù).6. 把3封信投到4個(gè)信箱中，所有可能的投法共有（ ）A. 7種B. 12種C. 種D. 種【答案】D【解析】【分析】由題意可得每封信都有4種投法，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理可求出結(jié)果【詳解】由題意可得，第1封信投到信箱中有4種投法，第2封信投到信箱中有4種投法，第3封信投到信箱中有4種投法，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有種投法，故選：D7. 設(shè)函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f（x）的圖象如圖所示，則導(dǎo)函

5、數(shù)y=f （x）的圖象可能是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)的圖像可知，函數(shù)從左到右，單調(diào)區(qū)間是：增、減、增、減，也即導(dǎo)數(shù)從左到右，是：正、負(fù)、正、負(fù).結(jié)合選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)符合，故本題選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題.8. 已知函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】將題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出圖像，利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.【詳解】由函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)

6、，等價(jià)于函數(shù)的圖像與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)，令，得當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值；作出函數(shù)圖像，如圖所示，由圖可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.9. 將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短

7、道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）A. 120種B. 240種C. 360種D. 480種【答案】B【解析】【分析】先將5名志愿者分為4組，然后再將4組分到4個(gè)項(xiàng)目，再根據(jù)分布乘法原理即可得解.【詳解】先將5名志愿者分為4組，有種分法，然后再將4組分到4個(gè)項(xiàng)目，有種分法，再根據(jù)分步乘法原理可得不同的分配方案共有種.故選：B.10. （1+2x2 ）（1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為A. 12B. 16C. 20D. 24【答案】A【解析】【分析】本題利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式求展開式指定項(xiàng)的系數(shù)【詳解】由題意得x3

8、的系數(shù)為，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理，利用展開式通項(xiàng)公式求展開式指定項(xiàng)的系數(shù)11. 下列說法正確的是：設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，則；過曲線外一定點(diǎn)做該曲線的切線有且只有一條；已知做勻加速運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)方程是米，則該物體在時(shí)刻秒的瞬時(shí)速度是米秒；一物體以速度（米/秒）做直線運(yùn)動(dòng)，則它在到秒時(shí)間段內(nèi)的位移為米；已知可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于任意時(shí)，是函數(shù)在上單調(diào)遞增的充要條件A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本題考查了導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)條件逐項(xiàng)判斷即可【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)函數(shù)則，故錯(cuò)對(duì)于選項(xiàng)，過曲線外一定點(diǎn)做該曲線的切線可以有多條，故錯(cuò)對(duì)于選項(xiàng)，已知做勻速運(yùn)動(dòng)物體

9、的運(yùn)動(dòng)方程為，則，所以，故正確對(duì)于選項(xiàng)，一物體以速度做直線運(yùn)動(dòng)，則它在到時(shí)間段內(nèi)的位移為，故正確對(duì)于選項(xiàng)，已知可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于任意時(shí)，是函數(shù)在上單調(diào)遞增的充分不必要條件，例如，故錯(cuò)故選B【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.12. 已知，若成立，則實(shí)數(shù)取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由奇偶性的定義得出函數(shù)為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式變形為，利用單調(diào)性得出，從而可解出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上為增函數(shù)，由得，由偶函數(shù)的性質(zhì)

10、得，由于函數(shù)在上為增函數(shù)，則，即，整理得，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.二填空題（共5小題，滿分25分，每小題5分）13. _.【答案】【解析】【分析】根據(jù)定積分的幾何意義及性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】，根據(jù)定積分的幾何意義可知，表示以為圓心，1為半徑的圓的四分之一面積，所以，而，所以故答案為：.14. 在二項(xiàng)式的展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和是32，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為_【答案】243【解析】【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可求，再利用賦值法求各項(xiàng)系數(shù)和.【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和是32，所以，故，取可得二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為，即243.故答案為：243.15.

11、若函數(shù)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意，都有，若函數(shù)在區(qū)間上是凸函數(shù)，則在中，的最大值是_.【答案】#【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)凸函數(shù)的性質(zhì)可得即可求最大值，注意等號(hào)成立條件.【詳解】由題設(shè)知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.16. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)（-e，-1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是_.【答案】.【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標(biāo)的值可得切點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)，則.又，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A在曲線上的切線為，即，代入點(diǎn)，得，即，考查函數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故存在唯一的實(shí)數(shù)

12、根，此時(shí)，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問題：一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)17. 若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【詳解】分析： 令 由于函數(shù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)點(diǎn)在區(qū)間 上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根求出的導(dǎo)數(shù)，當(dāng) 時(shí)，直接驗(yàn)證；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) 的單調(diào)性可得，要使 有兩個(gè)不同解，只需要 解得即可詳解： 令 由于函數(shù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)點(diǎn)在區(qū)間 上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 當(dāng) 時(shí)， ，

13、則函數(shù) 在區(qū)間單調(diào)遞增，因此 在區(qū)間上不可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，應(yīng)舍去當(dāng) 時(shí)，令 ，解得 ，令 ，解得 ，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；令 ，解得 ，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值要使在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，解得實(shí)數(shù) 的取值范圍是（.點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性極值，考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題三解答題（共5小題，滿分65分）18. 設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，.（1）若是實(shí)數(shù)，求的值；（2）若是純虛數(shù)，求.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先利用復(fù)數(shù)的乘法化簡，再根據(jù)是實(shí)數(shù)求解；（2）先利用復(fù)數(shù)的除法化簡，再根據(jù)是純虛數(shù)求解.【小問1詳解】解：，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，則，

14、解得.【小問2詳解】，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，則，解得.所以.19. 用分析法證明【答案】見證明【解析】【分析】用分析法證明，直到推出顯然成立的結(jié)論，即可.【詳解】證明：要證，只要證 只要證只要證 只要證 只要證顯然成立，故原結(jié)論成立【點(diǎn)睛】本題主要考查分析法證明不等式，只需熟記分析法的一般步驟即可，屬于?？碱}型.20. 數(shù)列滿足，.（1）試求出，；（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明.【答案】（1）,（2），證明見詳解.【解析】【分析】（1）由題意得,在中分別令可求結(jié)果；（2）由數(shù)列前四項(xiàng)可猜想運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可證明.【詳解】解：（1）,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以,（2）猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：假設(shè)

15、時(shí),有成立,則當(dāng)時(shí),有,故對(duì)成立.【點(diǎn)睛】該題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列的項(xiàng)、通項(xiàng)公式,考查數(shù)學(xué)歸納法,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.21. 已知函數(shù)（）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值【答案】()；（）最大值1；最小值【解析】【詳解】試題分析：（）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先求斜率，再代入切線方程公式中即可；（）設(shè)，求，根據(jù)確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最大值為，從而可以知道恒成立，所以函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，再根據(jù)單調(diào)性求最值.試題解析：（）因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（）設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以對(duì)任意有，即.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.因此在

16、區(qū)間上的最大值為，最小值為.【名師點(diǎn)睛】這道導(dǎo)數(shù)題并不難，比一般意義上的壓軸題要簡單很多，第二問比較有特點(diǎn)的是需要兩次求導(dǎo)數(shù)，因?yàn)橥ㄟ^不能直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，所以需要再求一次導(dǎo)數(shù)，設(shè)，再求，一般這時(shí)就可求得函數(shù)的零點(diǎn)，或是()恒成立，這樣就能知道函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求其最值，從而判斷的單調(diào)性，最后求得結(jié)果.22. 設(shè)函數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間：（2）若ax2+x+aexx+exlnx0成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，；（2）0a【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得，求得、的解集即可得解；（2）ax2+x+aexx+exlnx0成立xlnx，由（1）可得當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)y取得極大值，令g（x）xlnx,(x0)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出xlnx1