二次根式的定義實用教案

1、1 1二次根式二次根式(gnsh)(gnsh)的定義的定義基礎基礎(jch)(jch)課堂課堂精精講精練講精練精精 講講1.定義：形如_的式子叫做二次根式；其中 “ ” 稱為二次根號，a稱為被開方數(shù)(式)要點(yodin)精析： (1)二次根式的定義是從式子的結構形式上界定的，必須含有 二次根號“ ”；“ ”的根指數(shù)為2，即 ，“2”一 般省略不寫 (2)被開方數(shù)a可以是一個數(shù)，也可以是一個含有字母的式子， 但前提是a必須大于或等于0. (3)在具體問題中，已知二次根式 ，就意味著給出了a0 這一條件(0)a a 2a第1頁/共22頁第一頁，共23頁?；A課堂基礎課堂(ktng)(ktng)精

2、講精練精講精練精精 講講 (4)形如b (a0)的式子也是二次根式；b與 是相乘的關系(gun x)，當b為帶分數(shù)時，要寫成假分數(shù) 的形式2.易錯警示： (1)二次根式是從形式上定義的，不能從化簡結果 上判斷，如 ， ， 等都是二次根式； (2)像 (a0)這樣的式子只能稱為含有二次根 式的式子，不能稱為二次根式aa2a041a第2頁/共22頁第二頁，共23頁?；A課堂基礎課堂(ktng)(ktng)精講精練精講精練 精精 練練1 1二次根式二次根式(gnsh)(gnsh)的定義的定義1下列(xili)式子一定是二次根式的是()A.B.C.D.2x 22x 22x xC C 判斷是否為二次根式

3、必須滿足兩個條件：一是被開 方數(shù)為非負數(shù)，二是根指數(shù)為2，只有C符合條件2下列式子不一定是二次根式的是() A. B. C. D.a2ab021b A A根據(jù)二次根式的定義進行識別根據(jù)二次根式的定義進行識別. . 中中a0 0時不是二次根式時不是二次根式a第3頁/共22頁第三頁，共23頁?；A課堂基礎課堂(ktng)(ktng)精精講精練講精練精精 練練3下列(xili)式子： ， ， ， ， ， ， 中， 是二次根式的有() A2個 B3個 C4個 D5個71m51a 10022ab2x4如果代數(shù)式 有意義，那么(n me)P(m，n)在坐 標系中的位置為() A第一象限 B第二象限 C第三

4、象限 D第四象限mnmmn 根據(jù)二次根式及分式有意義的條件得m0且mn0，解得m0且n1 B m 1 C m 1且m 1 D m 1且m 12x11mm根據(jù)題意得：根據(jù)題意得： ，解得，解得m1 1且且m1.1.故選故選D.D.B BD D 1mm 010第6頁/共22頁第六頁，共23頁?；A課堂基礎課堂(ktng)(ktng)精精講精練講精練精精 練練7(2015濱州)如果式子 有意義，那么x的取值范圍在數(shù) 軸上表示出來(ch li)，正確的是()8(2015綿陽)要使代數(shù)式 有意義，則x的() A最大值為 B最小值為 C最大值為 D最小值為9若式子 有意義，則實數(shù)x的取值范圍是 _26x2

5、3x23233232C CA A026(5)xxx3 3且且x5 5由題意由題意(t y)得得 ，解得，解得x3且且x5xx 第7頁/共22頁第七頁，共23頁。二次根式二次根式(gnsh)(gnsh)的的“雙重雙重”非負性非負性基礎課堂基礎課堂(ktng)(ktng)精精講精練講精練精精 講講(0,0)aa 式子 (a0）具有雙重非負性： 是非 負數(shù)(fsh)， 的被開方數(shù)是非負數(shù)(fsh)，即 0， a0， 注意：幾個非負數(shù)(fsh)的和為0時，這幾個非負 數(shù)為0. aaaa第8頁/共22頁第八頁，共23頁。基礎課堂基礎課堂(ktng)(ktng)精精講精練講精練精精 練練二次根式二次根式(

6、gnsh)(gnsh)的的“雙重雙重”非負性非負性(0,0)aa1010若若 (y(y2)22)20 0，則，則(x(xy)2 016y)2 016等于等于(dngy)(dngy)() )A A1 1B B1 1C C3201632016D D32016320161111(2015(2015攀枝花攀枝花) )若若y y 2 2，則，則xyxy_._.1212(2014(2014白銀白銀) )已知已知x x、y y為實數(shù)，且為實數(shù)，且y y 4 4， 則則x xy y_1x29x 29x3x3xB91或7由題意得x290，解得x3，y4，xy1或7.第9頁/共22頁第九頁，共23頁。考慮不全造成

7、答案不完整考慮不全造成答案不完整基礎基礎(jch)(jch)課堂課堂精精講精練講精練精精 練練13(中考濰坊)若代數(shù)式 有意義(yy)，則實數(shù)x的 取值范圍是() A x 1 B x 1且x 3 C x 1 D x 1且x 3 本題易錯在漏掉分母不為0這個條件(tiojin)，由題意知x10且(x 3)20，解得x 1且x 3.B B 21(3)xx第10頁/共22頁第十頁，共23頁。課堂課堂(ktng)(ktng)小結小結名師點金名師點金名師點金名師點金1.二次根式的條件： (1)帶二次根號“ ”； (2)被開方數(shù)是非負數(shù) 2.常見具有“非負性”的三類(sn li)數(shù)： ，|a|，a2n(n

8、為 正整數(shù))；二次根式的雙重非負性為：(1) 0； (2)a0.aa第11頁/共22頁第十一頁，共23頁。1 1利用二次根式定義利用二次根式定義(dngy)(dngy)識別二次根式識別二次根式提升提升(tshng)(tshng)拓展拓展考向導練考向導練14下列(xili)各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？ (1) ；(2) ；(3) (x3)； (4) ；(5) ；(6) (ab0) 132( 8)3x2(1)a25x2()ab因為 ， ， (x3)， ， (ab0)中的根指數(shù)都是2，且被開方數(shù)大于或等于0，所以都是二次根式因為 的被開方數(shù)小于0，所以不是二次根式132( 8)3x2(

9、1)a2()ab解題歸納：判斷一個式子是不是二次根式，一定要緊扣定義， 看所給的式子是否同時具備二次根式的兩個特征：(1)帶二次根號“ ”；(2)被開方數(shù)是非負數(shù)二者缺一不可，否則就不是二次根 式25x第12頁/共22頁第十二頁，共23頁。2 2利用利用(lyng)(lyng)二次根式有意義的條件確定字母的取值范圍二次根式有意義的條件確定字母的取值范圍提升提升(tshng)(tshng)拓展拓展考向導練考向導練15當x為何值時，下列(xili)各式有意義？ (1) ；(2) . 12xx 135xx(1)(1)由題意得由題意得 11x2.2.(2)(2)由題意得由題意得 解得解得 33x5.5

10、.-1 0,1,2-0,2,xxxx解解得得,xx30503,5,xx第13頁/共22頁第十三頁，共23頁。3 3利用利用(lyng)(lyng)二次根式的非負性求字母的值二次根式的非負性求字母的值提升拓展提升拓展(tu zhn)(tu zhn)考向導練考向導練題型題型1 1 被開方數(shù)被開方數(shù)(bi ki fn sh)(bi ki fn sh)的非負性的非負性(a0)(a0)的應的應用用1616 已知已知y y ，求，求 的值的值12 213 1 23xx 11xy分析：要求含x，y式子的值，必須先求x，y的值由于已知條件只有一個等式且沒有給出任何字母的值，因此解本題的關鍵是運用被開方數(shù)的非負

11、性列出不等式組確定x的取值范圍，然后進一步確定x及y的值，最后才能代入求值第14頁/共22頁第十四頁，共23頁。基礎基礎(jch)(jch)課堂課堂精精講精練講精練精精 練練由被開方數(shù)由被開方數(shù)(bi ki fn sh)(bi ki fn sh)的非負性，得的非負性，得 將將x x 代入已知條件，得代入已知條件，得y y . . 2 23 35.5.1311xy 解此類題的突破口是靈活運用二次根式有意義解此類題的突破口是靈活運用二次根式有意義(yy)的的條件：被開方數(shù)是非負數(shù)它是限制字母取值范圍的重條件：被開方數(shù)是非負數(shù)它是限制字母取值范圍的重要條件，也是易被忽略的隱含條件要條件，也是易被忽略

12、的隱含條件1 21 2xx,xx 2101 201212x第15頁/共22頁第十五頁，共23頁。基礎基礎(jch)(jch)課堂課堂精精講精練講精練精精 練練題型2.二次根式(gnsh)的非負性的應用17已知 0，求x，y的值12xxy 因為(yn wi) 0， 0，且其和為0，所以 解得所以x，y的值分別為1，3.a2，|a|， 都為非負數(shù)，即a20，|a|0，0(a0)可利用“若幾個非負數(shù)之和為零，則這幾個非負數(shù)同時為零”建立方程組解決問題 方法總結方法總結1x2xyaa,xx y 1 02 0,xy 13第16頁/共22頁第十六頁，共23頁。4 4利用利用(lyng)(lyng)二次根式

13、的隱含條件求值二次根式的隱含條件求值提升提升(tshng)(tshng)拓展拓展考向導練考向導練18已知a為實數(shù)(shsh)，求代數(shù)式 的值2224aaa由題意得：由題意得：a2 200，a2 200，又，又a2 20 0，a0 0，原式原式 0 00.0.22 本題運用了定義法，解題關鍵之處在于先根據(jù)二次根式定義中被開方數(shù)為非負數(shù)這一條件及a20求出a0，然后將a的值代入代數(shù)式求出代數(shù)式的值第17頁/共22頁第十七頁，共23頁。提升拓展提升拓展(tu zhn)(tu zhn)考向導練考向導練19(模擬日照(rzho)已知x，y為實數(shù)，且滿足 (y1) 0，那么x2016y2015的值是多少？

14、 1x1y由已知可得 (1y) 0.1y0，(1y) 0，由非負數(shù)(fsh)的性質得1x0且1y0，x1，y1， x2016y2015 0.1x1y1y第18頁/共22頁第十八頁，共23頁。5 5利用二次根式利用二次根式(gnsh)(gnsh)非負性解與三角形相關的問題非負性解與三角形相關的問題提升提升(tshng)(tshng)拓展拓展考向導練考向導練20已知a、b為一等腰三角形的兩邊長，且滿足(mnz)等式 2 3 b4，求此等腰三角形的周長36a2a由題意知 解得a2，b4， 當三邊長為2，2，4時不能構成三角形，三邊長為4，4，2，此等腰三角形的周長為10.熟練掌握三角形的三邊關系是解

15、答本題的關鍵2, 36,aa 00第19頁/共22頁第十九頁，共23頁。提升提升(tshng)(tshng)拓展拓展考向導練考向導練 2121已知已知m m滿足滿足(mnz) (mnz) 且且 ，求，求m m的值的值2016xy2016xy依題意得：依題意得：xxy y20162016，把含有，把含有(hn yu)m(hn yu)m的方程相加得：的方程相加得：5(x5(xy)y)1 1m m0 0，mm10081.10081. 本題運用了整體代入的解題思想，由已知確定xy的值，再觀察含有字母m的兩方程的特點，把兩個方程相加得出x與y的和的有關式子，整體代入求出m的值, xxy 2016020160y,xymxym 230321 206 6利用二次根式的非負性求方程（組）中字母的值利用二次根式的非負性求方程（組）中字母的值( (整體思想）整體思想）第20頁/共22頁第二十頁，共23頁。確定二次根式的被開方數(shù)中字母取值范圍的一般方法：(1)如果二次根式的被開方數(shù)是整式，只要滿足(mnz)被開方 數(shù)是非負數(shù)即可；(2)如果被開方數(shù)是一個分式，首先要確保分式有意 義，即分母不等于0；其次要保證分式的值不小于0， 即分子等于0或分子、分母同號 根據(jù)(1)(2)可列出關于字母的不等式(組)，根據(jù)不 等式(組)的解集最終確定字母的取值.精煉精煉(jnglin)(jnglin)方法方法教你一招