力學學科綜合課5

1、未知然而有界結(jié)構(gòu)特征值問題及其應(yīng)用研究報告人：邱志平 北京航空航天大學固體力學研究所 2005. 6. 29內(nèi)容提綱一、具有不確定性結(jié)構(gòu)特征值問題研究概況二、非概率區(qū)間分析模型三、區(qū)間特征值問題的解法及數(shù)值算例四、工程應(yīng)用實例一、具有不確定性結(jié)構(gòu)特征值問題研究概況1、問題背景2、不確定性分類 隨機性 模糊性 未知然而有界性3、不確定問題非概率模型的必要性4、具有不確定性結(jié)構(gòu)特征值問題研究概況二、非概率區(qū)間分析模型 區(qū)間數(shù)學簡介 區(qū)間定義： 區(qū)間四則運算： 從“近世代數(shù)”的觀點來看:在這種四則運算的定義下，區(qū)間集合 不是域，甚至連環(huán)都不是。 區(qū)間運算的特殊性質(zhì) 區(qū)間分析方法特點 不確定性(unc

2、ertain) 非線性(nonlinear) 自檢驗性(self-validated) 高可靠性數(shù)值方法(High reliable numerical method)區(qū)間分析通過上下界表示浮點數(shù)，可以獲得包含精確結(jié)果的區(qū)間(包圍盒)，具有很高的計算可靠性。Hansen等利用該方法核實了早期愛國者導彈算法中由于浮點數(shù)截斷誤差而導致錯誤結(jié)果，指出利用區(qū)間方法完全可以避免這類錯誤。 Moore R E. Methods and Applications of Interval Analysis. London: Prentice-Hall, Inc., 1979. Alefeld G and He

3、rzberger J. Introduction to Interval Computations, New York: Academic Press, 1983. Neumaier A. Interval Methods for Systems of Equations. Cambridge: Cambridge University Press, 1990. 非概率區(qū)間分析模型 廣義區(qū)間實特征值問題 廣義區(qū)間復(fù)特征值問題 標準區(qū)間特征值問題 Deif, A., Advanced Matrix Theory for Scientists and Engineers, Abacus Press

4、, 1991. 式中：標準區(qū)間特征值問題的Deif求解定理 ：三、區(qū)間特征值問題的解法及數(shù)值算例 標準區(qū)間特征值問題目的：計算區(qū)間特征值求解方法： 1)擴展Deif方法； 2)半正定解法； 3)參數(shù)分解求解方法； 4)區(qū)間攝動法； 5)區(qū)間Taylor級數(shù)法； 6)極值求解定理。 廣義區(qū)間實特征值問題 擴展Deif求解方法式中： 數(shù)值算例:圖1 5自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)彈簧剛性參數(shù)上下界：質(zhì)量參數(shù)上下界：表1 區(qū)間特征值上界和相應(yīng)特征向量 表2 區(qū)間特征值下界和相應(yīng)特征向量 29.3269368103.3137982201.8605276323.5612202593.9518289.0496602

5、.0905476.1143139.1514573.2307720.1008856.1467305.12265850601107-.1808153.1413684.1035781.0466456-.1821054.0708056.1512243-.0483593-.1502713.1207813-.0172933.1073709-.1619392.1284561-.0405273.002789620.673369084.8673933171.3316032274.2045861443.7521711.0540253.0911848.1117942.1356099.2026348.1037262.

6、1371021.1053900.0382630-.1716796.1366264.0825511-.0633039-.16705240.738197.1377577-.0627982-.1302819.1231384-.199829.0933005-.1511698.1274533-.0449671.003592表3 區(qū)間特征值絕對不確定度和相對不確定度4.32678399.223202515.264462224.628317048.09982890.17453540.09863020.08223380.08291790.0986269 半正定解法為半正定矩陣和 數(shù)值算例:圖2 5層框架結(jié)構(gòu)區(qū)

7、間剛度矩陣：區(qū)間質(zhì)量矩陣：4.62157.83036.22591.60440.257741.009147.702544.35583.34670.075599.5956108.9858104.29074.69510.0450106.1150172.8947166.50486.38980.0384211.5044227.9488219.72668.22220.0374表4 半正定方法特征值區(qū)間4.61667.83036.22341.60690.258240.642847.820044.23143.58860.081198.1800109.3993103.78975.60960.0540157.84

8、33174.0049165.92318.07980.0487209.5148230.0845219.799710.28490.0468表5 Deif方法特征值區(qū)間 參數(shù)分解求解方法 數(shù)值算例:圖3 固支梁彈性模量區(qū)間:橫截面積區(qū)間:質(zhì)量密度區(qū)間:圖4 第一階特征值界限隨梁的面積不確定性變化曲線 圖5 第一階特征值界限隨梁的長度不確定性變化曲線 區(qū)間攝動法 區(qū)間特征值： 數(shù)值算例:圖6 5層框架結(jié)構(gòu)剛度參數(shù)的上下界為：（單位：N/m） 質(zhì)量參數(shù)的上下界為：（單位：Kg）區(qū)間剛度矩陣：區(qū)間質(zhì)量矩陣：表6 一階攝動特征值的下界及其特征向量表7 一階攝動特征值的下界及其特征向量0.45623E+010

9、.40495E+020.97966E+020.15753E+030.20915E+03誤差0.54275E-010.14733E+000.21423E+000.31794E+000.36542E+000.32528E-01-0.79261E-01-0.10061E+00-0.88503E-010.82234E-010.64307E-01-0.10886E+00-0.41246E-010.53670E-01-0.12307E+000. 92119E-01-0.61114E-010.99607E-010.64182E-010.97213E-010.11240E+000.45407E-010.641

10、30E-01-012754E+00-0.58381E-010.12227E+000.12858E+01-0.11536E+000.84924E-010.25147E-010.77702E+010.47661E+020.10917E+030.17366E+030.22969E+03誤差0.60132E-010.15948E+000.23101E+000.34654E+000.39366E+000.31090E-01-0.827092E-01-0.10803E+00-0.89505E-010.84611E-010.62931E-01-0.11414E-01-0.41977E-010.56814E-

11、01-012812E+000.93893E-01-0.66522E+010.10298E+000.6443E-010.100652E-010.11897E+000.43917E-010.64052E-01-0.13296E+00-0.60771E-010.13257E+000.13293E+01-0.11895E+000.91862E-010.27167E-01 區(qū)間Taylor級數(shù)法區(qū)間特征值： 數(shù)值算例:圖7 5自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)彈簧剛性參數(shù)上下界：質(zhì)量參數(shù)上下界：表8 Taylor級數(shù)解法特征值區(qū)間表9 精確解特征值區(qū)間4.6165807.8302903.21371040.7535604

12、7.7024606.94890098.572270108.98576010.413490158.863200172.89465014.031450211.504350227.94875016.4444004.6165807.8302903.21371040.6428247.820047.1772298.18002109.3993111.21929157.84330174.0028716.15957209.51477230.0844720.56970 極值求解定理區(qū)間特征值： 數(shù)值算例:圖8 8桿平面桁架區(qū)間參數(shù)：圖9 前四階特征值上下界(實線-特征值包含定理，虛線-區(qū)間頂點法解) 廣義區(qū)間復(fù)特

13、征值問題目的：計算區(qū)間特征值提出的求解方法： 1)區(qū)間矩陣頂點法 2)區(qū)間攝動法 3) 區(qū)間Taylor級數(shù)法 數(shù)值算例:質(zhì)量參數(shù):阻尼參數(shù):剛度參數(shù):圖10 7自由度彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)圖11 區(qū)間頂點法與區(qū)間攝動法所得復(fù)特征值比較 數(shù)值算例:該比例阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的質(zhì)量，剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)的標稱值分別為: 圖12 5自由度彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)區(qū)間：圖13 復(fù)特征值的實部和虛部區(qū)間五、工程應(yīng)用實例H425型直升機涵道尾槳動態(tài)特性計算分析圖14 翼型圖圖15 實體模型圖圖16 有限元模型材料名稱泡沫塊42.542.50.250.250.2517.017.017.075.0膨脹膠膜18.518.

14、518.50.250.250.257.47.47.41151.5玻璃布18.518.50.01850.150.150.150.370.370.372000.0Kevlar布31.00.03100.250.250.250.620.620.621750.0碳布125.00.12500.3320.3320.3323.63.63.61616.7碳條125.0125.00.3320.3320.3323.63.63.61511.3鈦44.044.044.00.30.30.316.916.916.94500.0Kevlar帶5.6165.6160.250.250.252.8082.8082.8081366.01Cr18Ni3A212.0212.0212.00.270.270.2783.4683.4683.467709.02618A69.0