專題平面向量的概念及線性運算教師版

1、專題 20平面向量的概念及線性運算知識梳理1. 向量的有關概念(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量 的大小叫做向量的長度(或模)，記AB作|AB|.(2) 零向量：長度為 0 的向量叫做零向量，其方向是任意的向量：長度等于 1 個長度的向量叫做(3)向量(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量平行向量又稱為共線向量，任一組平行向量都可以移到同一直線上規(guī)定：0 與任一向量平行(5) 相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量(6) 相反向量：與向量 a 長度相等且方向相反的向量叫做 a 的相反向量規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量2. 向量加法與減法運算(1) 向量的加

2、法定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法法則：三角形法則；平行四邊形法則運算律：abba；(ab)ca(bc) 了解向量的實際背景；理解平面向量的基本概念和幾何表示；理解向量相等的含義. 掌握向量加、減法和數乘運算，理解其幾何意義；理解向量共線定理. 了解向量的線性運算性質及其幾何意義掌握向量加、減法、數乘的運算，以及兩個向量共線的充要條件(2) 向量的減法 定義：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法 法則：三角形法則3. 向量的數乘運算及其幾何意義實數 與向量 a 的積是一個向量，記作 a，它的長度與方向規(guī)定如下： |a|a； 當 0 時，a 與 a 的方向相同；當 0 時，a 與 a 的方

3、向相反；當 0 時，a0.運算律：設 、R，則： (a)()a； ()aaa； (ab)ab4. 向量共線定理向量 b 與 a(a0)共線的充要條件是有且只有一個實數 ，使得 ba.題型講練題型一平面向量的基本概念例 1給出下列六個命題：兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；若|a|b|，則 ab；若ABDC，則 A、B、C、D 四點平行四邊形；在ABCD 中，一定有 ；ABDC若 mn，np，則 mp；若 ab，bc，則 ac.其中錯誤題有(填序號)：兩向量起點相同，終點相同，則兩向量相等；但兩相等向量，不一定有相同的起點和終點，故不正確；|a|b|，由于 a 與 b 方向不確定，所以

4、a、b 不一定相等，故不正確； ，可能有A、B、C、D 在一條直線上的情況，所以不正確；零向量與任ABDC一向量平行，故 ab，bc 時，若 b0，則 a 與 c 不一定平行，故不正確【變式 1】設 a0 為向量，若 a 為平面內的某個向量，則 a|a|a0；若 a 與 a0 平行，則 a|a|a0；若 a 與 a0 平行且|a|1，則 aa0.上述命題中，假命題個數是：3：向量是既有大小又有方向的量，a 與|a|a0 模相同，但方向不一定相同，故是假命題；若 a 與 a0 平行，則 a 與 a0 方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時 a|a|a0，故、也是假命題，填 3.【變式 2】下

5、面有 5 個命題：向量的模都相等；長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量；若 a、b 滿足|a|b|且 a 與 b 同向，則 ab；兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；對任意非零向量 a、b 必有|ab|a|b|.其中正確的是(填序號)：向量的模均為 1，故正確；共線包括同向和反向，故不正確；向量不能比較大小，不正確；根據向量的表示，正確；由向量加法的三角形法則知正確題型二向量的線性表示1 ， 1 ， a， b，用例 2平行四邊形 OADB 的對角線交點為 C， BM3BCCN3CDOAOBa、b 表示 、 、 OMONMN.1 1115解：BAab，BM6BA6a6b，OMOB

6、BM6a6b.ODab，ONOC1 1 2 2211CN2OD6OD3OD3a3b.MNONOM2a6b.1 ， ，在ABC 中， ，若 a， b，則 【變式 1】BD2DCAE3EDABACBE(用 a、b 表示)：1a14b23 33 31 31：BEBAAEBA4ADBA4(ABBD)BA4AB4BD4AB431 11 1 11BC4AB4 BAAC)2AB4AC2a4b.，在ABO 中， 1 ， 1 ，AD 與 BC 相交于點 M，設【變式 2】OC4OAOD2OBOAa，OBb.試用 a 和 b 表示向量OM.解：設 manb，OM則 AMOMOAmanba(m1)anb.1 1AD

7、ODOA2OBOAa2b. 與 共線 A、M、D 三點共線， AMAD 存在實數 t，使得 ，AMtAD即(m1)anbta1.2b (m1)anbta12tb.m1t， 消去 t，得 m12n，tn2，即 m2n1.1m1 CMOMOCmanb4a4anb，CBOBOCb4a4ab.11 與 共線 C、M、B 三點共線， CMCB 存在實數 t ，使得CM，t CB11即m1anbt 1 b，a414m11 ，4t14 消去 t ，得 4mn1.1nt1，由得 m1，n3， OMab.77 1 377題型三 共線向量例 3 設兩個非零向量 a 與 b 不共線若 ab， 2a8b， 3(ab)

8、求證：A、B、D 三點共線；(1)(2)ABBCCD試確定實數k，使 kab 和 akb 共線 ab， 2a8b， 3(ab)，證明： AB(1)BCCDBDBCCD2a8b3(ab)5(ab)5AB.AB、BD共線又它們有公共點 B，A、B、D 三點共線(2) 解： kab 與 akb 共線，存在實數 ，使 kab(akb)，即(k)a(k1)b.又 a、b 是兩不共線的非零向量，kk10.k210. k1.【變式 1】已知 a、b 是不共線的向量， ab， ab(、R)，當AB三點共線時 、 滿足的條件為：1ACA、B、C：由ABab，ACab(、R)及 A、B、C 三點共線得ABtAC，

9、所以 at，bt(ab)b，即所以 1.1t，【變式 2】已知平面內 O，A，B，C 四點，其中A，B，C 三點共線，且 ，OCxOAyOB則 xy：1 ，即 ， OC (1： A，B，C 三點共線， ACABOCOAOBOA)OAOB，即 x1，y， xy1.題型四向量共線的應用，設O 是ABC 內部一點，且 ，則AOB 與AOC 的例 4OAOC2OB面積之比為1：2，設M 是 AC 的中點，則 OAOC2OM.：又OAOC2OB，OMOB，即O 是 BM 的中點，SAOB1SS1SAOBAOMAOC，即2.2SAOC1AC；在 AB 上取一點 M，使得【變式】如圖，ABC 中，在 AC

10、上取一點 N，使 AN31AB；在 BN 的延長線上取點 P，使得 NP1BN；在 CM 的延長線上取點Q，使得 AMMQ32 CM時，APQA，試確定 的值1解： APNPNA2(BNCN)11 2(BNCN)2BC，1 QAMAMQ2BMMC，1 1 又APQA， 2BMMC2BC，1 1即 MC2MC， 2.1 ，在ABC 中， ，若 a， b，則 (用1.BD2DC，AE3EDABACBEa、b 表示)：1a14b23 33 31 31：BEBAAEBA4ADBA4(ABBD)BA4AB4BD4AB431 11 1 11BC4AB4 BAAC)2AB4AC2a4b.2. 設 a、b 是

11、兩個不共線向量， 2apb， ab， a2b，若A、B、D 三點共AB線，則實數p 的值為：1BCCD： BDBCCD2ab，又 A、B、D 三點共線， 存在實數 ，使ABBD.22，即 p1.p， 3. 若點 O 是ABC 所在平面內的一點，且滿足|OBOC|形狀為：直角三角形|OBOC2OA|，則ABC 的： OBOC2OAOBOAOCOAABAC，OBOCCBABAC，|ABAC|ABAC|.故 A、B、C 為矩形的三個頂點，ABC 為直角三角形 ，則ABM 與ABC 的面4.若點 M 是ABC 所在平面內的一點，且滿足 5AMAB3AC積比為3：5課后作業(yè) ，得 3AM3AC2AD2A

12、M ，即 3CM：設 AB 的中點為 D，由 5AMAB3AC3 2MD.，故 C、M、D 三點共線，且MD5CD，也就是ABM 與ABC 對于邊AB 的兩高之比為 35，則ABM 與ABC 的面積比為3.55. 如圖，在ABC 中， 1 ，P 是 BN 上的一點，若 2 ，則實數 m 的AN3NCAPmAB11AC值為： 3111 x ：設 |BP|y，|PN|x，則APANNP4ACBN，APABBPABxy y x y y28，yx 得APABAC，令11，得 y3BNxxy4（xy）4（xy）yx，代入得 m 3 .116. ABC 中，AB 邊的高為 CD，若 a， b，ab0，|a|1，|b|2，則 CBCAAD(用 a、b 表示)44：5a5b：如圖， ab0，ab， ACB90，ABAC2BC2 5.又 CDAB，AC2ADAB， AD4 55 .4 444 AD5AB5(ab)5a5b.7.