正態(tài)分布與兩個極限定理

1、1 本次課講授第四章的本次課講授第四章的4.14.5。 下次課講授第五章的下次課講授第五章的5.15.2， 下次上課時交作業(yè)：下次上課時交作業(yè)：P43P44 重點：正態(tài)運算與切比雪夫不等式重點：正態(tài)運算與切比雪夫不等式 難點：同上難點：同上第十二講：正態(tài)分布與大數(shù)定律第十二講：正態(tài)分布與大數(shù)定律2指數(shù)期望再平方。二乘泊松，獨立加減都加上；方差：常數(shù)為零系提方, q 等價要牢記。系數(shù)為零不相關(guān)，三個強(qiáng)關(guān)正負(fù)一；標(biāo)準(zhǔn)變量相關(guān)系，線性提系分配律；方差加減協(xié)方差，對稱積期望減期望積；離差積，協(xié)方差E第十二講：正態(tài)分布與大數(shù)定律第十二講：正態(tài)分布與大數(shù)定律不相關(guān)的幾個等價結(jié)論不相關(guān)的幾個等價結(jié)論; 0)

2、,() 1 (YXR定義：式得到）式得到）（由相關(guān)系數(shù)的計算公（由相關(guān)系數(shù)的計算公; 0),cov()2( YX到）到）由協(xié)方差的均值定理得由協(xié)方差的均值定理得)()()()3(YEXEXYE 獨立，則它們不相關(guān)。與定理：若YX不相關(guān)。與獨立與證：YXYXEYEXXYEYXXY00),cov()( 例（例（2000，3分）分）2222222222)()()()()();()()()()()()()();()(),YEYEXEXEDYEXECYEYEXEXEBYEXEAYXYXYX （）不不相相關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件為為（與與則則隨隨機(jī)機(jī)變變量量）的的方方差差期期望望都都存存在在，設(shè)設(shè)二二維維

3、隨隨機(jī)機(jī)變變量量（ 0),cov(0),( R不相關(guān)不相關(guān)與與分析：分析：)()()(),cov(),cov(0YXEYXEYXYXEYXYX )()()()()()()(22222222YEYEXEXEYEXEYXE B故選故選第十二講第十二講 相關(guān)系數(shù)與正態(tài)分布相關(guān)系數(shù)與正態(tài)分布一、正態(tài)分布的密度與分布一、正態(tài)分布的密度與分布.,2 N記作記作 1.1.定義定義其中其中 及及 0 0都為常數(shù)，這種分布叫做都為常數(shù)，這種分布叫做正態(tài)分布正態(tài)分布或或高斯分布高斯分布。設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X X 的概率密度為的概率密度為 xexfx,21)(222)( 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) 時，正

4、態(tài)分布時，正態(tài)分布 叫做叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 其概率密度為其概率密度為 xexx,2122 1,0N1, 0 O 21 xfx 若固定若固定=0 O x x第十二講第十二講 相關(guān)系數(shù)與正態(tài)分布相關(guān)系數(shù)與正態(tài)分布可。稱區(qū)間積分只積一半即顯然，它是偶函數(shù)。對的密度函數(shù)是偶函數(shù)：正態(tài)2221)() 1 , 0()(. 2xexNx 1212)(2)(0202dxedxxdxxx 即212121020222 dxedxexx 第十二講第十二講 相關(guān)系數(shù)與正態(tài)分布相關(guān)系數(shù)與正態(tài)分布3.3.正態(tài)變量的分布函數(shù)正態(tài)變量的分布函數(shù) xdxxfxFxFxf)()(),()(的的關(guān)關(guān)系系式式是是首首先先

5、：分分布布函函數(shù)數(shù)與與密密度度的表達(dá)式為：因此，正態(tài)分布2, N dtexFxt222 21 的關(guān)系式為：與其密度，則的分布函數(shù)為特殊地，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量)()()(xxx dtedttxxxtxx2221)()(),()( 第十二講第十二講 相關(guān)系數(shù)與正態(tài)分布相關(guān)系數(shù)與正態(tài)分布4.正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)0)()(, 0)()(, 1)()(:)()(1xxFFFxxF、點，即非負(fù)規(guī)范和單調(diào)不減特，都具有，都是分布函數(shù)，因此還是）無論是（ xx13 ）對稱性：（)()(xXPxXPy軸對稱，即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度關(guān)于5 . 0)0(2：正態(tài)密度的偶函數(shù)特點）原點等分性：由標(biāo)準(zhǔn)（).(1)

6、(1)()()(xxXPxXPxXPx dtexFNXxxt .222221)(),(:)(5 則則設(shè)設(shè)求求區(qū)區(qū)間間概概率率和和分分布布函函數(shù)數(shù)由由 tz xzzdze2221)()()(212222 xzdzexzz z1)(1)()()()(1111 xxXxPxXP第十二講第十二講 相關(guān)系數(shù)與正態(tài)分布相關(guān)系數(shù)與正態(tài)分布)()()()()(:),(1212212 xxxFxFxXxPNX則所以：若)()()()(,22221 xFxFxXPxx，即：可取可取其中12-1-1 ,2 , 12NX若若求求 .4 ;1 ;30XPXPXP解解 30 XP 210 213 5 . 0 1 15 .

7、 0 1 16915. 08413. 0 .5328. 0 )1(1 XP 211 0 . 5 . 0 4 XP 2141 41XP 5 . 11 .0668. 0 )21()21()(211221 xxxXxP時，時，分析：分析： 第十二講第十二講 相關(guān)系數(shù)與正態(tài)分布相關(guān)系數(shù)與正態(tài)分布例題例題12-1-2（2010，4分）分）. 2)(; 1)(;423)(;432)(, )0, 0( ,0),(0),()(3, 1)()(2121 baDbaCbaBbaAbabaxxbfxxafxfxfxf）應(yīng)應(yīng)滿滿足足（則則若若均均勻勻分分布布的的概概率率密密度度，上上的的為為密密度度，為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正

8、態(tài)態(tài)分分布布的的概概率率設(shè)設(shè)1)()(, 031,41)(,21)()(, 0)(2212 dxxfxfxxfexxfxfx所所以以滿滿足足規(guī)規(guī)范范性性：是是密密度度函函數(shù)數(shù)，因因為為。其其它它由由題題設(shè)設(shè)：分分析析，顯顯然然 第十二講第十二講 相關(guān)系數(shù)與正態(tài)分布相關(guān)系數(shù)與正態(tài)分布 0201)()()(1dxxbfdxxafdxxf即：即：代代入入規(guī)規(guī)范范性性取取值值區(qū)區(qū)間間根根據(jù)據(jù)由由已已知知xbaxxbfxxafxf, )0, 0( ,0),(0),()(21 , 1432143214202300222 babdxeadxbdxeaxx )(, 432Aba選答案選答案故：故： 第十二講第

9、十二講 相關(guān)系數(shù)與正態(tài)分布相關(guān)系數(shù)與正態(tài)分布例題12-1-3（2009，4分）._)()(),21(7 . 0)(3 . 0)( XExxxxFX函函數(shù)數(shù)，則則為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布的的分分布布其其中中的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量2121)21(7 . 0)(3 . 0)()(),(的的復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)是是注注意意由由密密度度與與分分布布的的關(guān)關(guān)系系：的的密密度度為為分分析析：設(shè)設(shè)xxxxxFxfxfX dxxxdxxxdxxxfEX)21(35. 0)(3 . 0)( 故只要積第二個即可故只要積第二個即可，為為為奇函數(shù)對稱區(qū)間積分為奇函數(shù)對稱區(qū)間積分是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，

10、注意到注意到0)()(xxx dttdtttdtttEX)(7 . 0)(4 . 12)()12(35. 0 7 . 0)(7 . 0)(700 dtt .第十二講第十二講 相關(guān)系數(shù)與正態(tài)分布相關(guān)系數(shù)與正態(tài)分布23121331232123221321)( ;)( ;)( ;),3 , 2 , 1/22)3 , 5(),2 , 0(),1 , 0(,pppDpppCpppBpppAiXPpNXNXNXXXXii（則：是隨機(jī)變量，且設(shè)若固定若固定=0 O x x221137)2()2()2()2(221111 XXFFXPp解：由已知，)() 11() 1() 1 ()202()202()2()2

11、(222*2*22222的標(biāo)準(zhǔn)變量是XXXPFFXPpXX ) 137() 1 ()37()37() 1()352()352()2()2(22*33333XPFFXPpXX Appp故正確答案為由圖示，顯然;321第十二講第十二講 正態(tài)分布正態(tài)分布例題例題12-1-4（2013，4分）分）dxxxfXE)()(義：根據(jù)數(shù)學(xué)期望即均值定代入公式的密度函數(shù)將正態(tài)分布021)(),(222)(2 xexfNxdxxeXEx222)(21)( xtdtett22)(21 dttedtett 2222221 )(),(. 12XENX，則其數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)變量二、正態(tài)分布的數(shù)字特征與二維正態(tài)密度二、正態(tài)分

12、布的數(shù)字特征與二維正態(tài)密度第十二講：正態(tài)分布第十二講：正態(tài)分布dxexXDx222)(2)(21)( xtdtett22222 是偶函數(shù)是偶函數(shù)dtett 0222222 stesdtest 2,221222則則令令22202120212)21(212)23(222222)( dsesdsessXDss 將將正正態(tài)態(tài)分分布布密密度度代代入入由由方方差差定定義義 dxxfXExXD)()()(2 .)(),(. 222 XDNX，則其方差設(shè)隨機(jī)變量第十二講：正態(tài)分布第十二講：正態(tài)分布).,(),(. 11, 0, 0,rNYXrYXYXYXYX 記為其中4.二維正態(tài)分布的邊緣密度二維正態(tài)分布的邊

13、緣密度密度關(guān)系。根據(jù)聯(lián)合密度與邊緣由邊緣密度定義，即設(shè)),()()().,(),(22xFxxFxfrNYXXXYXYX ）服從二維正態(tài)分布（則稱（的聯(lián)合密度滿足若定義rYXeryxfYXYXYXyyxrxryxyyyxyxxx,121,),(. 122 22 22121 2 3.二維正態(tài)分布的密度二維正態(tài)分布的密度第十二講：正態(tài)分布第十二講：正態(tài)分布 dxyxfyfdyyxfxxFxfYX),()(),(),()(，出出利利用用以以上上公公式式，容容易易推推 dyerxfyxgyxX,2121)( 222)(21xxxxe .,2xxX 即即： 22222)()(2)()1 ( 21),(y

14、yyxyxxxyyxrxryxg 其其中中：222)(21),()(yyxYYedxyxfyf 同同理理),(2YYNY ).,(),(),(2222YYXXYXYXNNrN ，分分別別為為分分布布都都是是一一維維正正態(tài)態(tài)分分布布的的兩兩個個邊邊緣緣因因此此，二二維維正正態(tài)態(tài)分分布布可參閱教材）推導(dǎo)繁瑣略，推導(dǎo)過程(第十二講：正態(tài)分布第十二講：正態(tài)分布5.5.二維正態(tài)分布的獨立性與相關(guān)系數(shù)二維正態(tài)分布的獨立性與相關(guān)系數(shù).)(,)(,)(,)(),(2222YXYXYXYXYDXDYExErN 中中二二維維正正態(tài)態(tài)分分布布可可參參考考相相關(guān)關(guān)教教材材證證明明繁繁瑣瑣略略，有有興興趣趣者者分分別別

15、為為：與與相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)的的協(xié)協(xié)方方差差布布可可以以證證明明：二二維維正正態(tài)態(tài)分分.),(;),cov(),(),(),(22rYXRrYXYXRYXCovrNYXYXYX 如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X與與 Y 獨立獨立, 并且都服從正態(tài)分布并且都服從正態(tài)分布,則則 yfxfyxfYX,。獨立且都服從正態(tài)分布與充要條件是）的不相關(guān)（、變量定理：二維正態(tài)分布的YXrYXr00第十二講：正態(tài)分布第十二講：正態(tài)分布 22 22 22121 2121,yyyxyxxxyyxrxryxeryxf .21)()(222221 yyxxyxyxYXeyfxf 0,ryfxfyxfYX，可得：由反之反之, 若

16、設(shè)若設(shè) r = 0, 則得則得 22222121,yyxxyxyxeyxf 222222 2121yyxxyyxxee yfxfYX 第十二講：正態(tài)分布第十二講：正態(tài)分布例題例題12-2-1（2007，4分）分）.)()()();()()();()();()()()/()(),(/yfxfDyfxfCyfBxfAyxfXyYYXyfxfYXYXYXYXYXYXYX 密密度度的的條條件件概概率率的的條條件件下下，的的概概率率密密度度，則則在在、分分別別表表示示不不相相關(guān)關(guān)，與與服服從從二二維維正正態(tài)態(tài)分分布布，且且和和設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量獨立。與于獨立，得到正態(tài)分布，不相關(guān)等效分析：首先，根據(jù)二

17、維YXAyfxfyxfyfyxfyxfYXYYX義即得到結(jié)論；將其代入條件密度定和獨立結(jié)論義然后，根據(jù)條件密度定)()(),()(),()/(/A故選故選第十二講：正態(tài)分布與大數(shù)定律第十二講：正態(tài)分布與大數(shù)定律._)()0 ;,(222XYENYX則，）服從正態(tài)分布，設(shè)二維隨機(jī)變量（ 例題例題12-2-2（2011，數(shù)三，數(shù)三，4分）分）第十二講：正態(tài)分布大數(shù)定律與中心極限定理第十二講：正態(tài)分布大數(shù)定律與中心極限定理也獨立、等效獨立，不相關(guān)、且）的邊緣分布即（，）服從正態(tài)分布，量（解：由已知二維隨機(jī)變22222),(),(,)0 ;,(YXYXNYNXYXNYX .)(,)(222222 EY

18、DYEYEXEYEXXYE由期望獨立積的性質(zhì)，).()(2222 EYEXXYE即：證證 22221 xXexfX的的概概率率密密度度函函數(shù)數(shù)為為：的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為（)0 bbXaY 22222222)(22)(2121)(21)(1)()(YYyYbbayxXYYeebbayxebbayxfbyFyf 代代入入將將由于由于 bxay是單調(diào)函數(shù)，且反函數(shù)為是單調(diào)函數(shù)，且反函數(shù)為 ,bayx,1bxy)()()()()(bayFbayXPybXaPyYPyFX 定理定理1 .,),(,2222 bbaNNbXaYNXYY 則則設(shè)設(shè) 三、正態(tài)變量的線性函數(shù)的分布三、正態(tài)變量的線性函數(shù)的分布

19、的分布的分布bXaY . 1第十二講：正態(tài)分布與大數(shù)定律第十二講：正態(tài)分布與大數(shù)定律22,yyxxNYNXYX ，獨立，且獨立，且與與設(shè)設(shè)定理定理2.,22yxyxNYXZ 則則 ,21222xxxxXexf 的的概概率率密密度度函函數(shù)數(shù)為為與與YX .21222yyyyYeyf 直接得結(jié)論題沒有什么幫助，下略該積分比較繁瑣且對解的的概概率率密密度度函函數(shù)數(shù)為為YXZ )(2)(2222221)(yxyxzyxYXezf ),(),(222 bbaNbXabXaXNX正態(tài)分布，即也服從的線性函數(shù)則定理結(jié)論：若 bayfbyfbXY1)(0 時時的的密密度度為為同同理理求求第十二講：正態(tài)分布與大

20、數(shù)定律第十二講：正態(tài)分布與大數(shù)定律niNXXXXiiin, 2 , 1,221，獨立，且獨立，且設(shè)設(shè) 定理定理321211,iniiniiiniiiccNXc 則則因此，上述結(jié)論還可以推廣到更一般的情況因此，上述結(jié)論還可以推廣到更一般的情況)(22222YXYXYXZYXZNYXYXZ ，即即，時時態(tài)態(tài)，且且隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的和和仍仍服服從從正正定定理理結(jié)結(jié)論論：獨獨立立的的正正態(tài)態(tài))169,43(433 , 2 , 1),(2322213213212321 NXXXZiNXXXXiii。則：。則：相互獨立，且相互獨立，且，例如例如第十二講：正態(tài)分布與大數(shù)定律第十二講：正態(tài)分布與大數(shù)定律算即

21、可。均值方差的運算性質(zhì)計且均值方差的計算按照加減）后仍然正態(tài)，行線性運算（乘系數(shù)可概括：獨立正態(tài)變量進(jìn)，獨立加減都加上。方差：常數(shù)為零系數(shù)方，可加可減獨立積；期望：常數(shù)不變系數(shù)提例題例題12-3-1(1999,3分分);21)1()(;21)0()(;21)1()(;21)0()(),1 , 1(),1 , 0( YXPDYXPCYXPBYXPANNYX則則：分分別別服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布與與設(shè)設(shè)兩兩個個獨獨立立的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量，找關(guān)系：數(shù)的。由區(qū)間概率與分布函分析：本題考查知識點0),0()()()(5 . 0)0( tttFtTPT21)0()211() 1 () 1() 1(110

22、)(ZTFzZPYXPZSZttF即的均值中只有和；且和只有的由已知，對應(yīng) B故選故選第十二講：正態(tài)分布大數(shù)定律與中心極限定理第十二講：正態(tài)分布大數(shù)定律與中心極限定理)2 , 1(),2 , 1 (,NYXSNYXZYXSYXZ正態(tài)分布，且，由已知，它們也服從令例題例題12-3-2（1998，6分）分）的方差。的方差。量量的正態(tài)分布，求隨機(jī)變的正態(tài)分布，求隨機(jī)變，方差為，方差為值為值為相互獨立，且都服從均相互獨立，且都服從均設(shè)兩個隨機(jī)變量設(shè)兩個隨機(jī)變量YXYX 210,為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布即也服從正態(tài)分布，且服從正態(tài)，因此、因用公式本題求解：令) 1 , 0(. 1, 0)()()(),(,22NZ

23、DYDXDZEYEXEZZYXZEZEZDZDYXZ), 0(,2,2221)(,)()(220222 tzdzdtztdzzedzezZEdzzzZEzz令令偶偶得偶：偶偶得偶： 第十二講：正態(tài)分布大數(shù)定律與中心極限定理第十二講：正態(tài)分布大數(shù)定律與中心極限定理 0202222)(2dtedzzeZEtz 222)1(22 101)()()(),(1, 02222 ZEDZZEZEZEDZEZ即：即：求求由已知由已知 21)()()()(2222 ZEZEZDYXDEXEXDX由方差的均值公式：由方差的均值公式：第十二講：正態(tài)分布大數(shù)定律與中心極限定理第十二講：正態(tài)分布大數(shù)定律與中心極限定理值

24、。；算后仍正態(tài)，方差均獨立正態(tài)量，線性運算值不相關(guān)，等效獨立；二維密度值，邊緣意義；標(biāo)準(zhǔn)積分時，關(guān)注偶奇；均分，標(biāo)準(zhǔn)求正態(tài)如下：將正態(tài)分布的特點總結(jié)rP 27四、切比雪夫定理四、切比雪夫定理 1.1.背景：背景：若已知一個隨機(jī)變量分布的均值與方差，那么隨若已知一個隨機(jī)變量分布的均值與方差，那么隨機(jī)變量值的是以什么形式集中在均值附近？例如某年級機(jī)變量值的是以什么形式集中在均值附近？例如某年級10001000名名學(xué)生線性代數(shù)課程成績的均值為學(xué)生線性代數(shù)課程成績的均值為8585分，我們關(guān)心的是，有多少分，我們關(guān)心的是，有多少學(xué)生的成績集中在均值附近？學(xué)生的成績集中在均值附近？2.2.切比雪夫定理（不

25、等式）：切比雪夫定理（不等式）：。即：即：內(nèi)的概率不小于內(nèi)的概率不小于（取值在取值在則對于任一則對于任一設(shè)設(shè)22211)(.11), 0,)(,)(kkxPkkkxkXDXE 0 dxxfxxExD)()()()(222 證證：為為密密度度函函數(shù)數(shù)，且且非非負(fù)負(fù)。其其中中)(xf第十二講：正態(tài)分布與大數(shù)定律第十二講：正態(tài)分布與大數(shù)定律28 非非負(fù)負(fù)且且由由于于域域分分成成三三部部分分證證：將將積積分分按按照照積積分分區(qū)區(qū) kkkkkkdxxfxdxxfxdxxfxdxxfxdxxfxx)()()()()()()()()()()(,2222222222222)(,)(, kxkxkxkxkx 得出：得出：同理，第二個積分也可同理，第二個積分也可所以所以對第一個積分，由于對第一個