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1、. .PAGE14 / NUMPAGES14第1節(jié) 解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)一.解析函數(shù)的奇點(diǎn)1.概念(1)為是奇點(diǎn)在 不解析,但在 的任何一個(gè) 鄰域總有 的解析點(diǎn)。(2) 為 的孤立奇點(diǎn) 在 的某個(gè)去心鄰域 解析,且為的奇點(diǎn)。如 都以 為孤立奇點(diǎn)。(3)為的多值性奇點(diǎn)即支點(diǎn),在的某個(gè)去心鄰域 是多值的。2.關(guān)系二.解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)1.若為的孤立奇點(diǎn),則在點(diǎn)的某去心鄰域可以展開成Laurent展式 。2.孤立奇點(diǎn)的三種類型定義 設(shè) 為 的孤立奇點(diǎn),則(1)為可去奇點(diǎn)在的主要部分為0(即Laurent展 式不含負(fù)冪項(xiàng));(2)為 的 級(jí)極點(diǎn)的主要部分為有限項(xiàng);(3)為的本性奇點(diǎn)在的主要部分有無限多
2、項(xiàng)。三.可去奇點(diǎn)的特征(判定)定理5.3 若 為 的孤立奇點(diǎn),則以下條件等價(jià):(1) 在點(diǎn) 的主要部分為0;(2)(3) 在點(diǎn) 的某去心鄰域有界。證 “”由于 且在解析,從而連續(xù),故 。 “”由于 ,故 取 , 則 , 即得。“”設(shè) , 考慮 在 的主要部分則對(duì) 成立,故當(dāng) 時(shí), 即得。例1 證明 為 的可去奇點(diǎn)。證 由于 為 的孤立奇點(diǎn), 在 的主要部分為0,故 為其可去奇點(diǎn)。證二 由于 故 為 的可去奇點(diǎn)。四. 級(jí)極點(diǎn)的特征1.定理5.4 若以為孤立奇點(diǎn),則下列三個(gè)條件是等價(jià)的:(1) 在點(diǎn) 的主要部分為; (2) 在點(diǎn) 的某去心鄰域能表示成 ,其中在點(diǎn)的鄰域解析且 ;(3) 以 為 級(jí)零
3、點(diǎn)(可去奇點(diǎn)要當(dāng)作解析點(diǎn)看,只要令 。證 “” 在點(diǎn) 的某去心鄰域、有其中在的鄰域上解析,且 “”在 的某去心鄰域 中, ,其中在解析 且,故在點(diǎn)連續(xù),從而存在中 的某一個(gè)鄰域 ,其上 ,從而 在 上解析, 故 由可去奇點(diǎn)的特 征知,為的可去奇點(diǎn),令, 則以 為 級(jí)零點(diǎn)。 “”若以為級(jí)零,則在的某個(gè)鄰 域,其中在 上解析,且,于是存在的某個(gè)鄰域,其 上,于是在上解析,故有Taylor 展式: 故2.定理5.5 的孤立奇點(diǎn) 為極點(diǎn) 證 根據(jù)定理5.4,以為極點(diǎn)以 零點(diǎn)。例2 求 的奇點(diǎn),并確定其類型。解 的奇點(diǎn)為,由于 以為一級(jí)零點(diǎn),以 為二級(jí)零點(diǎn),故以為 一級(jí)極點(diǎn),以 為二級(jí)極點(diǎn)。例3 求的全
4、部有限奇點(diǎn)。并確定其類型。解 的全部有限奇點(diǎn)為,由于 為 的聚點(diǎn),故 為 的非孤立奇點(diǎn)。 現(xiàn)考慮 為 的幾級(jí)零點(diǎn)。故為的一級(jí)零點(diǎn),從而為的一級(jí)極點(diǎn)。五.本性奇點(diǎn)的特征1.特征定理5.6 的孤立奇點(diǎn)為本性奇點(diǎn), 即 不存在。證 由于 的孤立奇點(diǎn)為可去奇點(diǎn)為 為極點(diǎn) ,即得。例4 以為本性奇點(diǎn)。(取不同的點(diǎn)列,使極限趨于不 一樣的值。)2.性質(zhì)定理5.7 若為的孤立奇點(diǎn),且在的充分小的去心鄰域 不為0,則也為的本性奇點(diǎn)。證 令則由為的孤立奇點(diǎn),且在的充分小的 可去鄰域 知 為 的孤立奇點(diǎn)。 若為的可去奇點(diǎn),則;若 則此時(shí)為的極點(diǎn),與已知矛盾;若,則,此時(shí)為的可去奇點(diǎn),也與已知矛盾。 若為的極點(diǎn),則
5、,從而 , 即 為 的可去奇點(diǎn),與已知矛盾。 綜合知,只能是的本性奇點(diǎn)。例 為的本性奇點(diǎn),因?yàn)椴淮嬖凇?.解析函數(shù)在本性奇點(diǎn)鄰域的特征1.定理5.8(Weierstrass)為的本性奇點(diǎn)對(duì)于任何常數(shù) ,有限或無限,都有一收斂于 的點(diǎn)列 使 證 “” 當(dāng)時(shí),由于為的本性奇點(diǎn),故一定不 是的可去奇點(diǎn),由定理5.3,在的任何一 個(gè)去心鄰域無界,對(duì)任意的 都存在 則 當(dāng)時(shí),若在的任意小去心鄰域都有某一點(diǎn) 使,則結(jié)論已得。若的充分小去心鄰域 ,令則 在解析。由于為的本性奇點(diǎn),也為 的本性奇點(diǎn),由定理5.7,為的本性 奇點(diǎn),類似于中的證明由不是的可去奇點(diǎn) 知,存在點(diǎn)列 從而 “”根據(jù)已知條件得 不存在,由
6、定理5.6即得。第2節(jié) 解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)一.概念1.定義 設(shè)函數(shù) 在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的(去心)鄰域 解析,則稱為的一個(gè)孤立奇點(diǎn),若是的奇點(diǎn) 的聚點(diǎn),則稱 為 的非孤立奇點(diǎn)。2.設(shè)為孤立奇點(diǎn),令,則在平面上的原點(diǎn)的去心鄰域解析,即 為 的孤立奇點(diǎn)。3.設(shè)為的孤立奇點(diǎn), 在 的去心鄰域有則,稱為 在 的Laurent展式,并稱為在的主要部分,為在的正則部分。4.定義 若 為 的可去奇點(diǎn)(解析點(diǎn))、級(jí)極點(diǎn)或本性奇 點(diǎn),則相應(yīng)地稱為的可去奇點(diǎn)(解析點(diǎn))、級(jí)極點(diǎn) 或本性奇點(diǎn)。二.孤立奇點(diǎn)類型的判定1.定理 的孤立奇點(diǎn)為可去奇點(diǎn)充要條件以下條件之一: (1) 在 的主要部分為0; (2) (3) 在的某去
7、心領(lǐng)域有界。2.定理 的孤立奇點(diǎn)為級(jí)極點(diǎn)的充要條件是以下條件之一: (1) 在 的主要部分為 (2) 在的某去心鄰域能表成 ,其中在的鄰域 解析,且 ; (3) 以為 級(jí)零點(diǎn)(只要令 )。定理 的孤立奇點(diǎn) 為極點(diǎn)3.定理 的孤立奇點(diǎn)為本性奇點(diǎn)的充要條件是以下條件之一成立: (1) 在的主要部分有無窮多項(xiàng); (2) 不存在。三.例子1.指出 的奇點(diǎn)與類型。解 的奇點(diǎn)為 ,由于,故 為可去奇點(diǎn)。 令 ,則 , , 故為 的一級(jí)零點(diǎn),從而為 的一級(jí)極點(diǎn)。又 當(dāng)時(shí),故 為 的非孤立奇點(diǎn)。2.把在的去心鄰域展成Laurent級(jí)數(shù)。分析 若考慮,在可以展開,但利用 公式,展開整理時(shí),比較麻煩。解附 若要求
8、在 展開,則 3.指出的奇點(diǎn)與類型。 解 為 的二級(jí)極點(diǎn)。對(duì)于 , 由于 ,且 ,故以 為三級(jí)極點(diǎn)。 的奇點(diǎn)為 與 故 為 的可去奇點(diǎn)。 又 不存在(理由與 不存在的理由相 同),故 為 的本性奇點(diǎn)。4.問在的去心鄰域能否展成Laurent級(jí)數(shù)?解 奇點(diǎn)為, 。由于為的聚點(diǎn),故的的去心鄰域不能展成Laurent級(jí)數(shù)。5.設(shè)在 解析,且不恒為零,若有一列異于但卻以為聚點(diǎn)的零點(diǎn),試證 必為 的本性奇點(diǎn)。證 由于在解析,故 為的孤立奇點(diǎn)。若 為的可去奇點(diǎn),令,則在 解析。又由已知 必為 的非孤立零點(diǎn),根據(jù)解析函 數(shù)零點(diǎn)的孤立性, 在 必恒為零,矛盾。 若為的極點(diǎn),則 ,從而 , ,故在 不可能有零點(diǎn)
9、,與已知 為 的某一列零點(diǎn)的聚點(diǎn) 矛盾。 綜上所述,必為的本性奇數(shù)。第2節(jié) 殘 數(shù)在解析,圍線含在的某個(gè)鄰域并包圍為的孤立奇點(diǎn),圍線含在的某去心鄰域并包圍 ,則未必為0,如 一.概念1.定義 設(shè)以為孤立奇點(diǎn),即 在 的某去心鄰域 解析,則稱積分 為在點(diǎn)的殘數(shù)(residuce), 記為;設(shè)為的一個(gè)孤立奇點(diǎn),即在 的去心鄰域 解析,則稱 為 在 的殘數(shù),記為, 這里 是指順時(shí)針方向。2.設(shè)在的Laurent展式為且這一展式在上一致收斂,根據(jù)逐項(xiàng)積分以與重要例子,有 ,故,即為在處的Laurent展式中這一項(xiàng)的系數(shù),與半徑無關(guān);設(shè) 在 的Laurent展式為且這一展式在 上一致收斂,根據(jù)逐項(xiàng)積分以
10、與重要例子,有 ,故 即為在處的Laurent展式中這一項(xiàng)的系數(shù)的相反數(shù),與半徑 無關(guān)。二.結(jié)論1.Cauchy殘數(shù)定理定理6.1 在圍線或復(fù)圍線所圍區(qū)域,除外解 析,在閉域上除外連續(xù), 則 。證 取,作以為心,為半徑的圓 ,使 ,且 ,在 上,由復(fù) 圍線Cauchy積分定理有, 其中 。2.殘數(shù)和定理定理6.6 若 在擴(kuò)充復(fù)平面上只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn),記為 ,則 在各點(diǎn)的殘數(shù)總和為零, 即 。證 以原點(diǎn)為心作圓周,使 都含于 的部,則由 Cauchy殘數(shù)定理, , 于是 , 從而 , 即得 。三.殘數(shù)的求法1.當(dāng) 為可去奇點(diǎn)時(shí),。2.當(dāng)為本性奇點(diǎn)或的奇點(diǎn)類型不明朗時(shí),用定義中介紹的一般方法,即
11、 。如3.當(dāng) 為極點(diǎn)時(shí) 定理6.2 設(shè)為的級(jí)極點(diǎn), 其中在 處解析, 則證 設(shè) , 則 故 注 此法比較適合于級(jí)數(shù)較低的極點(diǎn)。推論6.3 設(shè) 為 的一級(jí)極點(diǎn), 則 。推論6.4 設(shè) 為 的二級(jí)極點(diǎn), 則 。定理6.5 設(shè)為的一級(jí)極點(diǎn), 在 解析, ,則 。證4.對(duì)于孤立奇點(diǎn),除了引入殘數(shù)概念時(shí)介紹的一般方法求外,還可以有如下公式 。證 作變換時(shí),積分有相應(yīng)的換元公式,若,則 ,因此當(dāng) 取負(fù)方向時(shí), 取正方向,于是 。5.當(dāng) 為 可去奇點(diǎn)時(shí), 未必是零,如 。但是若為的至少二級(jí)零點(diǎn)時(shí), 。證 設(shè)為的級(jí)零點(diǎn),則,在的 鄰域解析,且 ,例1例2 求 。解故 例3 設(shè),求 。解原式例4 求 。解 故
12、,于是 。例5 求 。解 以為一級(jí)極點(diǎn), 于是例6 求 。解 令 ,由 得 方法一 由于 , 且 ,故 為 的一級(jí)極點(diǎn), 故 。 方法二由于 的分子分母都是由冪級(jí)數(shù)定義了的解析函數(shù),且以0代入分子分母,均不為0,故的Laurent展式就是Taylor級(jí)數(shù),沒有負(fù)冪項(xiàng)(可用待定系數(shù)的方法表示出來),于是 。從而 。例7 求 。解 令,則在擴(kuò)充復(fù)平面上共有七個(gè) 奇點(diǎn),前六 個(gè)均在 的部, 故 。方法一則 ,于是 。方法二以 為一級(jí)極點(diǎn),故作業(yè)P261:1、(1)(4)2、(1)(2)3、(1)(3)第3節(jié) 用殘數(shù)計(jì)算實(shí)積分利用殘數(shù)計(jì)算實(shí)積分沒有普遍適用的方法,這里只考慮幾種特殊類型的實(shí)積分。 一.
13、型表示 的有理函數(shù),在 上連續(xù)。令,則,當(dāng)從0變到 時(shí), 沿 的正方向饒行一周,于是 例1 求。解 當(dāng) 時(shí), ; 當(dāng) 時(shí),令 , 當(dāng) 時(shí),在 , 僅 以 為一級(jí)極點(diǎn),在 上無奇點(diǎn),故由殘數(shù)定理 當(dāng)時(shí),在僅以為一級(jí)極點(diǎn),在上 無奇點(diǎn), 例2 求。解 令 ,則 ,令 , 則 又 , 若,則,故當(dāng)饒一周時(shí),饒 二周, 在 部,僅有為 一級(jí)極點(diǎn), 故 。例3 求。解 為偶函數(shù),故 , 令 ,則 在 部 僅有 為一級(jí)極點(diǎn), , 故 , 比較實(shí)部得 ,故 。二.型由于,考慮添加輔助曲線與實(shí)軸上是區(qū)間 構(gòu)成圍線 ,則 ,其中為落在部的有限個(gè)奇點(diǎn)處的殘數(shù)和,若能估計(jì)出的值,再取極限即得。1.引理6.1 設(shè)在圓弧充分大)上連續(xù),且在上一致成立(即與中的 無關(guān)),則 。證 ,由于 在 上一致成立,故 , 2.定理6.7 設(shè)為有理分式,其中 ,為互質(zhì)多項(xiàng)式,且 (1) ; (2)在實(shí)軸上 , 則 。證 由,存在,且 。 作,與線段一起構(gòu)成圍線, 取足夠大,使的部包含在上半平面的一切孤立奇 點(diǎn),由在實(shí)軸上知,在上沒有奇點(diǎn),由殘數(shù)定理 得 , 又 。 由于當(dāng)時(shí),,由引理6.1, ,于是 。例4 求 。解 ,令,則在上有四 個(gè)一級(jí)極點(diǎn) , 由于 ,故 由于在上半平面僅有兩個(gè)極點(diǎn), 三.型1.
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