以“反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)”為例

1、以“反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)為例,談初中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)研究數(shù)學(xué)概念是進(jìn)展數(shù)學(xué)推理、判斷的根據(jù),是建立數(shù)學(xué)定理、法那么、公式的根底,也是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點(diǎn)。因此,數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根底,數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要的組織部分。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,數(shù)學(xué)概念的建立是很重要的,這個(gè)恰恰又是一個(gè)教學(xué)的難點(diǎn),因?yàn)橹袑W(xué)生的抽象思維才能還較弱。筆者通過十多年的教學(xué)探究與理論,獲得了一些數(shù)學(xué)概念課教學(xué)的心得與感悟,下面以“反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)一課的教學(xué)設(shè)計(jì)為例,談?wù)勛约涸谶@方面的一些設(shè)計(jì)與考慮。一、“反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)的教學(xué)設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)引入:問:反比例函數(shù)的解析式和定義域?師:這節(jié)課,我們研究在直

2、角坐標(biāo)平面中反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)。出示課題:18.3.2反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)(1)(一)三個(gè)操作,確定觀察實(shí)例(2)描點(diǎn)(3)連線師:按照自變量從小到大,即按點(diǎn)從左到右,用光滑的曲線連接,并向兩方伸展。所畫圖像向兩方延伸,會不會與坐標(biāo)軸相交?小結(jié):根據(jù)解析式,假設(shè)x所取值的絕對值越來越大,那么y的對應(yīng)值的絕對值越來越小;而x所取值的絕對值越來越小(不為零),那么y的對應(yīng)值的絕對值越來越大。由此可知,圖像向右或向左延伸,與x軸越來越靠近;圖像向上或向下延伸,與y軸越來越靠近,但都不會與坐標(biāo)軸相交。操作2(師生同步畫圖)類比操作1,畫反比例函數(shù)的圖像。(2)描點(diǎn)(3)連線師:對學(xué)生畫圖中出現(xiàn)的

3、問題進(jìn)展投影講評,引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)畫反比例函數(shù)圖像應(yīng)注意的事項(xiàng)。3.操作3(學(xué)生獨(dú)立畫圖)畫反比例函數(shù)和的圖像。(教師示范自變量x的取值、描點(diǎn))(二)三次類比,分析本質(zhì)屬性師:我們前面研究正比例函數(shù)是通過圖像得到性質(zhì),這里我們同樣通過函數(shù)圖像來歸納反比例函數(shù)的性質(zhì)。問:正比例函數(shù)的圖像是什么?那么反比例函數(shù)的圖像是什么?(投影表格)完成正反比例函數(shù)圖像部分的填寫1.類比考慮問:正比例函數(shù)有哪些性質(zhì)?師:觀察、比較上面四個(gè)函數(shù)的圖像,類比正比例函數(shù)性質(zhì)的研究,請各小組從“圖像的位置分布、函數(shù)的增減性幾個(gè)方面討論反比例函數(shù)有哪些性質(zhì)。討論參考問題:(1)函數(shù)的圖像分別位于哪幾個(gè)象限內(nèi)?(2)隨著圖像上

4、的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x逐漸增大,縱坐標(biāo)y是怎樣變化的?(3)圖像的每支都向兩方無限延伸,它們可能與x軸、y軸相交嗎?為什么?2.類比歸納反比例函數(shù)(k是常數(shù),k)的性質(zhì):(邊歸納邊完成表格)分組討論,修正性質(zhì)師:以函數(shù)為例,假設(shè)在第一象限的分支上取兩點(diǎn),如a(1,6),b(3,2),可知自變量x的值逐漸增大,y的值隨著逐漸減小;假設(shè)在第三象限的分支上取兩點(diǎn),如(-1,-6),d(-3,-2),可知自變量x的值逐漸增大,y的值隨著逐漸減校但假設(shè),分別在第一、三象限各取一點(diǎn),如a(1,6),d(-3,-2),是否符合這一增減性規(guī)律?生:應(yīng)該加上“在每個(gè)象限內(nèi)或“在對于每個(gè)分支而言或“當(dāng)x0或x0時(shí),等等。

5、3.類比小結(jié)對照表格,談?wù)務(wù)幢壤瘮?shù)圖像和性質(zhì)的異同點(diǎn)。(三)三層練習(xí),進(jìn)展穩(wěn)固運(yùn)用(1)比例系數(shù)k分別是多少?(2)圖像分別在哪些象限?(3)圖像在每個(gè)象限內(nèi),y的值隨x的值的變化而怎樣變化?課堂小結(jié)談?wù)勀銓W(xué)習(xí)的收獲和體會(學(xué)生沒有提到的部分,教師通過引導(dǎo)直接講解,幫助學(xué)生進(jìn)展小結(jié))師:同學(xué)們答復(fù)的很好,這節(jié)課我們不僅學(xué)習(xí)了畫反比例函數(shù)的圖像,還研究了它的性質(zhì),更重要的是我們感受了學(xué)習(xí)知識的方法。上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的概念,這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了如何畫反比例函數(shù)的圖像,歸納得出了反比例函數(shù)的性質(zhì),下節(jié)課我們將運(yùn)用這些性質(zhì)來解決一些問題。二、對數(shù)學(xué)概念課教學(xué)設(shè)計(jì)的幾點(diǎn)考慮“反比例函數(shù)圖像和性

6、質(zhì)的內(nèi)容教學(xué),學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)的解析式、圖像和性質(zhì),反比例函數(shù)的解析式。本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)有兩個(gè):一是會用描點(diǎn)法畫反比例函數(shù)的圖像;二是結(jié)合圖像分析歸納反比例函數(shù)的根本性質(zhì),并掌握這些性質(zhì)。反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)較正比例函數(shù)而言,較難操作畫圖,比較抽象,不易理解。這堂課力求在學(xué)生已有知識構(gòu)造的根底上,讓學(xué)生在動手操作、性質(zhì)比較、自主探究的過程中不斷地發(fā)現(xiàn)新知識,從而促進(jìn)學(xué)生對有關(guān)反比例函數(shù)圖像和性質(zhì)的知識構(gòu)建。(一)注重兩種數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)形式的有機(jī)結(jié)合數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)主要有兩種形式:一是數(shù)學(xué)概念形成,二是數(shù)學(xué)概念同化。數(shù)學(xué)概念形成需要的是對物體或事件的直接經(jīng)歷,從這些物體或事件中抽象出

7、它們的共同屬性。而在數(shù)學(xué)概念同化的過程中,重點(diǎn)在于學(xué)生把新知識與頭腦中已有的有關(guān)知識聯(lián)絡(luò)起來。但兩者不是互相排斥的,在數(shù)學(xué)教學(xué)中可以把這兩種數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)形式有機(jī)的結(jié)合起來,常常能收到較好的效果。本例中設(shè)計(jì)了三個(gè)操作、三次類比、三層練習(xí),讓學(xué)生經(jīng)歷了“觀察操作實(shí)例分析本質(zhì)屬性修正本質(zhì)屬性練習(xí)簡單運(yùn)用等幾個(gè)階段,這里運(yùn)用的是數(shù)學(xué)概念形成的學(xué)習(xí)形式。本例從詳細(xì)的操作實(shí)例出發(fā),對反比例函數(shù)從k0和k0的兩種情況分類研究操作畫圖,歸納得出了反比例函數(shù)圖像性質(zhì)的“本質(zhì)屬性,再通過詳細(xì)實(shí)例函數(shù)在第一象限的分支上的兩點(diǎn)a(1,6),b(3,2)和第三象限的分支上的兩點(diǎn)(-1,-6),d(-3,-2),對性質(zhì)進(jìn)

8、展檢驗(yàn)與修正,最終概括得到反比例函數(shù)的性質(zhì)。然而,在分析本質(zhì)屬性中,本課將正反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)展三次類比,運(yùn)用了數(shù)學(xué)概念同化的學(xué)習(xí)形式。使新概念與原有認(rèn)知構(gòu)造中有關(guān)觀念建立聯(lián)絡(luò),把新概念納入到相應(yīng)的概念體系中,同化新概念。通過數(shù)學(xué)概念形成和數(shù)學(xué)概念同化兩種學(xué)習(xí)形式的結(jié)合運(yùn)用,學(xué)生對“反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)既有感性認(rèn)識又有理性認(rèn)識,從詳細(xì)到抽象,符合人的認(rèn)識規(guī)律,進(jìn)步了教學(xué)效率,使學(xué)生可以在較短的時(shí)間內(nèi)正確理解數(shù)學(xué)概念所反映的事物的本質(zhì)屬性。(二)注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的浸透對數(shù)學(xué)而言,知識的發(fā)生過程,實(shí)際上也就是思想方法的發(fā)生過程。因此,概念的形成過程、結(jié)論的推導(dǎo)過程、方法的考慮過程、問題的發(fā)

9、現(xiàn)過程、規(guī)律的被提醒過程等都是向?qū)W生浸透數(shù)學(xué)思想方法的極好時(shí)機(jī)。本例的一個(gè)重難點(diǎn)是“理解和掌握反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)。在性質(zhì)歸納中設(shè)計(jì)了“類比考慮、“類比歸納、“類比小結(jié)三個(gè)環(huán)節(jié),對正反比例函數(shù)進(jìn)展充分的類比,讓學(xué)生更好的體會利用函數(shù)圖像來研究函數(shù)性質(zhì)的研究方法,降低學(xué)習(xí)難度,對反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)的掌握會更好。另外,本課將反比例函數(shù)分成“k0和“k0兩種情況進(jìn)展研究,浸透了分類討論的數(shù)學(xué)思想。在反比例函數(shù)增減性的講解中,借助圖像和詳細(xì)的點(diǎn)和坐標(biāo),再從詳細(xì)到抽象,充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,幫助學(xué)生更好的理解性質(zhì)中的難點(diǎn)。數(shù)學(xué)的概念、性質(zhì)和定理等知識都明顯地寫在教材中,是有“形的,而根本

10、的數(shù)學(xué)思想方法卻隱含在知識的教學(xué)過程中,是無“形的,并且不成體系散見于教材各章節(jié)中。在概念課的教學(xué)過程中,我們教師應(yīng)注意把握好數(shù)學(xué)思想的浸透時(shí)機(jī),尋找適宜學(xué)生的認(rèn)知開展程度的浸透方法。(三)注重?cái)?shù)學(xué)概念的過程教學(xué)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、開展、形成和應(yīng)用的過程,是課程目的內(nèi)容,也是課程學(xué)習(xí)內(nèi)容。在數(shù)學(xué)概念課教學(xué)中,要抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性及其內(nèi)部聯(lián)絡(luò),結(jié)合學(xué)生的才能狀況及知識程度,采用多種方式,組織學(xué)生參與概念的分析、概括、形成過程,變“成果教學(xué)為“過程教學(xué)。例如在“反比例函數(shù)增減性的教學(xué)中,不是直接給出“在每一象限內(nèi)這一前提,而是先由學(xué)生類比得出“k0時(shí),y的值隨x的增大而減小;k0時(shí),y的值隨x的增

11、大而增大這一不正確的結(jié)論。再給出詳細(xì)的函數(shù)上的兩點(diǎn)a(1,6),d(-3,-2),討論是否符合這一增減性規(guī)律。最后,對得到的結(jié)論進(jìn)展修正。學(xué)生在這一討論后,提出了不同的修正方案,有“對于每一個(gè)分支而言、“對于每個(gè)象限而言、“當(dāng)x0時(shí)等。這一開放性的教學(xué)策略,為學(xué)生提供更多的時(shí)機(jī)和時(shí)間,讓學(xué)生提問和質(zhì)疑、嘗試和探究、討論和交流、歸納和總結(jié),使課堂成為學(xué)生能動地、創(chuàng)造性的生成過程,防止了把數(shù)學(xué)概念絕對化,讓學(xué)生形成“正確的答案可能不止一個(gè)的認(rèn)識。總之,數(shù)學(xué)概念的教學(xué),既是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié),又是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心,其根本任務(wù)是準(zhǔn)確地提醒概念的內(nèi)涵與外延,使學(xué)生考慮問題、推理證明有所根據(jù),可以創(chuàng)見性地解決問題。概念教學(xué)的效果如何,將直接影響學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解、掌握和應(yīng)用。因此,在概念教學(xué)中,教師要根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)對概念教學(xué)的詳細(xì)要求,創(chuàng)造性地使用教材,努力