概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-章節(jié)總結(jié)-華南理工大學(xué)(1)

1、WORD格式PAGE30 / NUMPAGES30概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)系陶志穗講課內(nèi)容與時(shí)間安排 ：內(nèi)容課時(shí)安排序言、預(yù)備知識(shí)1隨機(jī)事件與根本空間1隨機(jī)事件的概率統(tǒng)計(jì)，古典，4幾何，公理2條件概率、乘法定理全概率公式、 Bayes 公式4事件的獨(dú)立性、重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)2一維隨機(jī)變量4二維隨機(jī)變量4隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布2數(shù)學(xué)期望2方差、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)2車比雪夫不等式、 中心極限定理2樣本及其分布4參數(shù)點(diǎn)估計(jì)2參數(shù)區(qū)間估計(jì)2假設(shè)檢驗(yàn)4數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2復(fù)習(xí)2機(jī)動(dòng)2合計(jì)： 32 學(xué)時(shí)作業(yè)要求：每周交作業(yè)，獨(dú)立完成?？荚囈螅航y(tǒng)考WORD格式1WORD格式序一、概率論研究的對(duì)象是什么？二類現(xiàn)象一定大氣壓下

2、，水加溫到1000C： 沸騰實(shí)彈射擊，打一發(fā)子彈：可能中或不中二類現(xiàn)象必然現(xiàn)象：一定條件下，結(jié)果是肯定的隨機(jī)現(xiàn)象：一定條件下，結(jié)果不肯定概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)。二、 隨機(jī)現(xiàn)象有規(guī)律性嗎？有。例如：兩人打槍。1 發(fā)兩種可能100 發(fā)甲：中、不中因?yàn)槭苡?xùn)中 97乙：中、不中中 35這種規(guī)律性稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性：在大量試驗(yàn)中才顯示出來，不是個(gè)別次數(shù)顯示的特性。例：從嬰兒出生的調(diào)查來看，男、女嬰孩的可能性各占一半。對(duì)某個(gè)對(duì)象不出現(xiàn)這一規(guī)律性規(guī)律性表達(dá)在結(jié)果發(fā)生可能性的差異上。三、規(guī)律性如何指導(dǎo)實(shí)踐根據(jù)實(shí)際判斷原理WORD格式2WORD格式1發(fā)生可能性小，結(jié)果少；發(fā)生可能性大，結(jié)果多在統(tǒng)計(jì)學(xué)中

3、，以“小概率事件判斷原理來進(jìn)展假設(shè)檢驗(yàn)，例如：廠方聲稱，產(chǎn)品的廢品率為5%隨機(jī)檢查，“5 個(gè)產(chǎn)品有 2 個(gè)次品這時(shí)，應(yīng)當(dāng)拒絕“廢品率為5%。為什么？因?yàn)椤?5 個(gè)產(chǎn)品有 2 個(gè)次品是小概率事件一般小于0.05用概率的方法可計(jì)算，C50 p0 q5C51 p1 q4C52 p2 q3C53 p3q2C54 p4q1C55 p50.77370.20360.0210.0011001在一次試驗(yàn)中不可能發(fā)生，現(xiàn)在居然發(fā)生了，應(yīng)疑心原假設(shè)。2可能性小的事屢次重復(fù)也必然發(fā)生把“南粵風(fēng)采 36 選 7的一次選號(hào)看作一次試驗(yàn)，“中獎(jiǎng)是小概率事件，但屢次重復(fù)試驗(yàn)， “中獎(jiǎng)就有可能發(fā)生，事實(shí)上總有人中獎(jiǎng)。股市中的新

4、股認(rèn)購，買一手的中簽率很低，但屢次重復(fù)，一定會(huì)中簽。例如， 2006 年 9 月 22 日“XX宏寶發(fā)行 A 股 4,000 萬股，申購情況統(tǒng)計(jì)如下：有效申購股數(shù)為 17,302,89.1萬股，起始配號(hào) 00000001，截止配號(hào) 34605782。中簽率為 0.23%是小小概率事件，超額認(rèn)購倍數(shù)為 433 倍。1甲、乙兩位棋手棋藝相當(dāng)。他們?cè)谝豁?xiàng)獎(jiǎng)金為1000 元的比賽相遇。比賽為五局三勝制。已經(jīng)進(jìn)展了三局的比賽，結(jié)果為甲二勝一負(fù)。現(xiàn)因故要停頓比賽，問應(yīng)該如何分配這1000 元比賽獎(jiǎng)金才算公平？WORD格式3WORD格式獎(jiǎng)金分配方法：平均分，對(duì)甲欠公平按一定的比例分配，甲拿大頭，乙拿小頭甲拿

5、 2/3，乙拿 1/3，合理嗎？2 在第 43 屆世界乒乓球錦標(biāo)賽中， 由于決策正確，中國隊(duì)?wèi)?zhàn)勝瑞典隊(duì) 3：2，奪回了闊別六年之久的斯韋思林杯。當(dāng)時(shí)瑞典隊(duì)上場隊(duì)員只有瓦爾德內(nèi)爾佩爾松2021奧運(yùn)會(huì)仍出場 5 屆，與王皓半決賽卡爾松卡爾松怕削球手，于是中國隊(duì)排出了如下陣容：王濤馬文革丁松馬文革王濤瑞典隊(duì)有兩種選擇：或以卡爾松打第三單打去碰削球手丁松或以佩爾森打第三單打，以便卡爾松避開丁松即有兩種出隊(duì)的方法第一種瑞典瓦佩卡瓦佩中國王馬丁馬王瑞典獲勝的概率0.550.450.40. 550.45第二種瑞典瓦卡佩瓦卡中國王馬丁馬王瑞典獲勝的概率0.550.40.50. 550.4WORD格式4WORD

6、格式請(qǐng)計(jì)算中國隊(duì)勝的概率。(2004 年 8 月奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，老瓦仍然出場，5 屆奧運(yùn)元老，2021年奧運(yùn)佩爾森出場，也是5 屆奧運(yùn)元老四、工具數(shù)學(xué)是用定量方法研究問題的。如何描述、表現(xiàn)、模擬隨機(jī)現(xiàn)象及規(guī)律性？隨機(jī)的數(shù)學(xué)模型如何建立？自然涉及符號(hào)、工具預(yù)備知識(shí)：排列與組合集合論微積分例：以下式子的臺(tái)勞展開式ex11xWORD格式5WORD格式第 1 章隨機(jī)事件與概率1.1 隨機(jī)試驗(yàn)我們說過，隨機(jī)現(xiàn)象有規(guī)律性，這種規(guī)律性稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律，是隨機(jī)現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律，這種規(guī)律一般可在一樣條件下，通過大量重復(fù)試驗(yàn)而獲得。這種試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)試驗(yàn)的 特征：. 試驗(yàn)可在一樣條件下重復(fù)進(jìn)展. 每次試驗(yàn)的結(jié)果

7、可能不止一個(gè). 試驗(yàn)前不能預(yù)言哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)，但試驗(yàn)的一切可能結(jié)果是的例1 擲一枚硬幣，觀察其出現(xiàn)正面還是反面。所有可能發(fā)生的結(jié)果：正反2 擲三枚硬幣，觀察其出現(xiàn)的面。所有可能發(fā)生的結(jié)果：正，正，正 正，正，反 正，反，正 正，反，反 反，正，正 反，反，正 反，正，反 反，反，反 例 3一個(gè)有兩個(gè)小孩 的家庭，所有可能的結(jié)果是 boy, boyboy, girl ,girl , boy ,girl, girl WORD格式6WORD格式1.2 隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事情，稱為這試驗(yàn)的隨機(jī)事件。如上面例 1 中， A= 出現(xiàn)正面 為一隨機(jī)事件例 2 中，B= 恰出現(xiàn)兩個(gè)

8、正面為一隨機(jī)事件必然事件在一定條件下必定出現(xiàn)的事情稱為必然事件必然事件不可能事件在一定條件下，必定不出現(xiàn)的事情稱為不可能事件。樣本空間 根本空間隨機(jī)試驗(yàn)所有可能發(fā)生的試驗(yàn)結(jié)果組成的集合如在上述例 2 中， 8 個(gè)可能結(jié)果的全體是根本空間根本領(lǐng)件 根本空間中，單個(gè)元素組成的事件為根本領(lǐng)件如例 2 中，有 8 個(gè)根本領(lǐng)件要注意下面三點(diǎn) ：弄清楚 每個(gè)根本領(lǐng)件是什么？根本空間是由多少個(gè)根本領(lǐng)件組成 ?2.隨機(jī)事件由根本領(lǐng)件組成3.在一定條件下和一定X圍中，不可能再分解的事件稱為根本領(lǐng)件。例 2 中， B= 恰出現(xiàn)兩個(gè)正面是一隨機(jī)事件由根本領(lǐng)件 正，反，正 反，正，正 正，正，反 組成例3任拋一個(gè)骰子

9、，觀察在上一面的點(diǎn)數(shù)。這是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，條件定，結(jié)果不定WORD格式7WORD格式W i表示 i 點(diǎn)在上，可能的結(jié)果有 W i，i=1,2,3,4,5,6觀察雙數(shù)點(diǎn)在上面A 雙觀察單數(shù)點(diǎn)在上面A 單考察“ 8點(diǎn)在上面：不可能出現(xiàn)，因?yàn)闆]有“8根本領(lǐng)件： W i，i=1,2,3,4,5,6WORD格式AA雙單W2，W4，W 6，：W1，W 3，W 5，WORD格式問題：兩個(gè)小孩 的家庭，有多少個(gè)根本領(lǐng)件？P17， 131.3 事件的關(guān)系和運(yùn)算用集合論隨機(jī)試驗(yàn) E，可能結(jié)果中的根本結(jié)果的全體所成集合為 U，稱為根本空間樣本空間，復(fù)合結(jié)果隨機(jī)事件看作根本空間的子集。事件 A 發(fā)生了，表示A 所包含的

10、根本領(lǐng)件至少發(fā)生其一A 雙發(fā)生了，意味著 A2，A4，A 6之一發(fā)生A B表示 A 或 B 至少發(fā)生其一； A 發(fā)生或 B 發(fā)生A 雙A2A4A 6A B表示 A 和 B 同時(shí)發(fā)生A B=表示 A 與 B 不能同時(shí)發(fā)生A B 事件 A 發(fā)生，B不發(fā)生 A 與A稱為對(duì)立事件，互為對(duì)立的WORD格式8WORD格式例 用集合的式子描述隨機(jī)事件的運(yùn)算(1)A 發(fā)生，那么 B 發(fā)生AB(2)A,B,C 至少發(fā)生其一ABC(3)A,B,C 不能同時(shí)發(fā)生例 1-3在射擊比賽中，一選手連續(xù)向目標(biāo)射擊3 次，假設(shè)令A(yù)i =第 i 次 命中目標(biāo) i=1,2,3試用 Ai 表示1B=3 次射擊都命中目標(biāo) 2C=3

11、次射擊至少有 2 次命中目標(biāo) 3D= 至少有 1 次命中目標(biāo) 4E= 至少有 1 次未命中目標(biāo) 5F= 恰有 1 次命中目標(biāo) 14 頻率與概率概率的統(tǒng)計(jì)定義WORD格式r假設(shè)事件 A 在 n 次試驗(yàn)中出現(xiàn)了r 次，那么稱n概率，記作 fn(A).為事件 A 在 n 次試驗(yàn)中出現(xiàn)的WORD格式統(tǒng)計(jì)概率的性質(zhì)性質(zhì) 1 對(duì)于任一事件A，有0P( A)1性質(zhì) 2 必然事件的概率 P()1；不可能事件的概率 P()0 .性質(zhì) 3 如果兩個(gè)事件A與B互斥，那么有P(AB)P(A)P(B)WORD格式9WORD格式1.5 古典概型1古典概型的特征：有限性，等可能性222古典概型定義3典型例子取球問題，格子問

12、題, 隨機(jī)取數(shù)抽球問題袋中有 a 個(gè)白球， b 個(gè)黑球，從中依次任取一個(gè)球，且每次取出的球不再放回去，求第 m 次取出的球是白球的概率。 組合方法、排列方法Let A=a white ball is drawn in m-th timesPermutation用全排列的方法，球有區(qū)別:All ball is different and all balls are placed in the line.n= A a+b =(a+b)！r=aA a+b-1=a (a+b1)！ra(a b-1)(a b- 2) 32 1aP(A)= n(a b)( a b-1)( a b-2)3 2 1a bPer

13、mutation用有限排列的方法，球有區(qū)別:All ball is different, and m balls are drawn,n= A a+b,m =(a+b)(a+b1)(a+b2),(a+bm+1)r=aA a+b-1, m-1 =a(a+b1)(a+b11) ,(a+b1(m1)+1)ra(ab-1)( a b- 2)(ab 1-(m1)1)aP(A)= n(ab)(a b-1)( ab- 2)(a bm1)a bWORD格式10WORD格式a+b, aCombination用組合的方法，球沒有區(qū)別:The ball is no different except the colo

14、r,and all balls are placed in the line.Decide the white balls position確定白球的位置n = C= 1C a+b-1,a-1P(A)=r1 Ca b 1, a 1anCa b, aa bconclusionWORD格式Probability is unrelated to m.所求概率與次序m 無關(guān)此例用于生活之中就是抽簽問題：一個(gè)班亞運(yùn)會(huì)開幕式入場券，那么每人取到票的概率為330人，用抽簽的方法分配三X，與各人抽簽的次序無關(guān)。WORD格式堂上練習(xí)： P18 7作業(yè) P18:習(xí)題 1：3, 4, 7，8WORD格式11WORD

15、格式續(xù)第 1 章隨機(jī)事件與概率 第 2 周1.5 古典概型典型例子格子問題n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)在 N 個(gè)格子中的分布問題。設(shè)有n 個(gè)不同的質(zhì)點(diǎn)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都以概率1落入 N 個(gè) Nn格子的每一個(gè)之中，求以下事件的概率N指定 n 個(gè)格子中各有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。任意 n 個(gè)格子中各有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。C：指定的一個(gè)格子中恰有m (n)個(gè)質(zhì)點(diǎn)。根本領(lǐng)件總數(shù)N n(每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都有 N 種不同的分布法， n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)共有Nn種排法 )WORD格式所包含的根本領(lǐng)件數(shù)：所包含的根本領(lǐng)件數(shù)：所包含的根本領(lǐng)件數(shù)：n!CNn n!CnmN1 n mWORD格式n 個(gè)人看作質(zhì)點(diǎn)，一年的365 天看作格子，上面的問題看作生日問題.參加某次舞會(huì)的n

16、個(gè)人當(dāng)中沒有兩個(gè)人生日一樣的概率是多少？隨機(jī)取數(shù)問題從 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 共十個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，設(shè)每個(gè)數(shù)字都以1的概率被取中，取后復(fù)原。先后取出七個(gè)數(shù)字，試求以下各事件Ai 的10概率。WORD格式12WORD格式A1: 七個(gè)數(shù)字完全不同；10 710987654A2 ：不含 10 和 1；A3 ：10 恰好出現(xiàn)兩次；A4 ：至少出現(xiàn)兩次10；配對(duì)問題A hat-check, 100men, 100 hats mix up completely .The girl back these 100 hats to the men completely at random.W

17、hat is the probability that at least one of these men gets his own hat back? 至少有一人取回自己帽子的概率？Solution:1.2.3.WORD格式13WORD格式16 幾何模型約會(huì)問題 ，投針問題約會(huì)問題Example 2.3.7. Two personAandB, will arrived at the gate of a certain parktomorrow independently and they will arrived there equally likely at any time betwee

18、n 9 A.M., to 10 A.M., Each person will stay there 10 minutes and then leave the park. Find the probability that they will meet at the gate of the park.Solution. LettA,tBbe the time A, B arriving the gate, resp., then our samplespace is a squareS( tA , tB ) |9t A , tB10t B1099t A10Fig 2.3.1A sample s

19、pace contained in2 .WORD格式14WORD格式LetMbe the event that A and B will meet at the gate, thenMwill beoccur if and only if| tAtB |1 , i.e.(Fig 2.3.1)6M( t A , tB ) | 9tA ,t B10,| tAtB |16WORD格式In this problem, the expression probability that the sample point“equally likely to occur means that “The is l

20、ocated in a special region M C isWORD格式proportional to the area of M.Again, since the certain event S has area 1, thus the probability of M is equal to the area of M , i.e.WORD格式P(M)12511636WORD格式Example 2.3.8Buffons needle 蒲豐投針Consider a plane, ruled with equidistant parallel lines, where the dista

21、nce between the lines isa. A needle of length l (l0。在給定 A 發(fā)生的條件下B 的條件概率，記為P(B/A), 有P( AB)P(B | A).P( A)3例兩個(gè)小孩的家庭在兩個(gè)小孩的家庭中，其中一個(gè)是男孩，求另外一個(gè)也是男孩的概率?？蓮膬蓚€(gè)角度用不同的方法求解。首先明確兩個(gè)小孩的家庭的所有可能情況是：根本空間是什么 WORD格式20WORD格式b, b ，b, g ，g, b ，g, g ，方法一，用公式，根本空間有4 個(gè)樣本點(diǎn)。 A= 其中一個(gè)是男孩 ，B= 其中另一個(gè)是男孩 ，P(B/A) 為所求。方法二，在有條件的樣本空間中考慮問題，

22、即考慮樣本空間時(shí)已經(jīng)把條件包括進(jìn)去，樣本空間有三個(gè)根本點(diǎn)。計(jì)算：在三個(gè)孩子的家庭中，其中一個(gè)是男孩，求另外兩個(gè)是女孩的概率。任意拋 2 個(gè)均勻硬幣，其中一個(gè)是正面向上，求另外一個(gè)也是正面向上的概率。4乘法公式定理 1：假設(shè)對(duì)于任意兩事件A,B, 都有 P(A)0, P(B) 0 , 那么P(AB)=P(A)P(B/A)2-2 P25設(shè)有 10 個(gè)球， 7 新 3 舊，分別放在三個(gè)盒子中， 圖 2-1現(xiàn)從中任取一球，問此球是新球的概率。定理 1 推廣， n 個(gè)事件的情形。2.3 事件的獨(dú)立性WORD格式21WORD格式定義 假設(shè)事件 A、B 滿足 PAB=P APB，那么稱 A、B 相互獨(dú)立，簡

23、稱獨(dú)立?！笆录?A、B、C 相互獨(dú)立是指以下式子都成立PAB= PA PBPAC= PA P CPBC=PBPCPABC=PA PBPC定理 5四對(duì)事件獨(dú)立性的證明堂上作業(yè)P31 3, 4,7, 9作業(yè) P33第 2 章 1，2，5，6， 8, 1024 二項(xiàng)概率公式第四周2.2 全概率公式、貝葉斯公式引入例例 2-5 抽簽問題6 人分 2 X球票，抽簽決定。問：第1 人抽票的概率？第2 人抽票的概率？它們相等嗎？主要分析第2 人抽票情況。全概率公式WORD格式22WORD格式證明：全概率公式解釋 :原因： Bi結(jié)果： AA 的發(fā)生與原因 Bi有關(guān)，由于 Bi導(dǎo)致 A注意條件 完備事件群2-5

24、 某工廠有四條流水線生產(chǎn)用一種產(chǎn)品，這四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的 15% ，20% ，30% ，35% 。又知這四條流水線的產(chǎn)品不及格率依此為0.05,0.04,0.03,0.02.現(xiàn)從該工廠的這一產(chǎn)品中任取一件，問取到不合格品的概率是多少？例 2-5 中，如果任取一件是不合格品， 問這不合格品來自第k 條流水線，k=1,2,3,4WORD格式23WORD格式的概率是多少？已有結(jié)果，推斷某原因引起的可能性。例 打飛機(jī)03 年某日，XX衛(wèi)視新聞，西歐某國家某地區(qū)某人舉行婚禮，朝天開槍以示慶典，恰好有一架私人飛機(jī)飛過被打中，喜事中發(fā)生了悲劇。 甲、乙、丙三人向同一敵機(jī)射擊，設(shè)擊中概率分別是0.

25、4,0.5,0.7. 假設(shè)有一人擊中，那么飛機(jī)被擊落的概率是0.2, 假設(shè)有兩人擊中，那么飛機(jī)被擊落的概率是0.6；假設(shè)三人全擊中，那么飛機(jī)被擊落。試求飛機(jī)被擊落的概率。解：如果飛機(jī)被擊落，那么，是 3 人都擊中的概率是多少？已經(jīng)有結(jié)果，推斷某原因的可能貝葉斯公式2-6P18)某公司方案將一種無污染、無副作用的凈化設(shè)備投放市場。公司市場部事先估計(jì)該產(chǎn)品暢銷的概率是 0.5，一般為 0.3, 滯銷為 0.2。為測試銷路，公司決定進(jìn)展試銷，并設(shè)定了以下標(biāo)準(zhǔn)：假設(shè)產(chǎn)品暢銷，那么在試銷期內(nèi)賣出70100 臺(tái)的概率為 0.9;假設(shè)產(chǎn)品的銷路一般，那么在試銷期內(nèi)賣出700100 臺(tái)的概率為 0.6；WOR

26、D格式24WORD格式假設(shè)產(chǎn)品的銷路為滯銷，那么在試銷期內(nèi)賣出70100 臺(tái)的概率為 0.2.假設(shè)在試銷期內(nèi)實(shí)際賣出90 臺(tái)，問該產(chǎn)品的銷路如何？銷路是指：暢銷、銷路一般、滯銷。先求 P賣出 70100 臺(tái)，再計(jì)算已“賣出70100 臺(tái)的條件下，是“暢銷 、“銷路一般、“滯銷的條件概率。3例某批元件有 100 個(gè)，當(dāng)中有 4 次品，隨機(jī)抽取3 個(gè)進(jìn)展檢驗(yàn)，如果都驗(yàn)出是正品，認(rèn)為這批產(chǎn)品合格。由于檢驗(yàn)誤差，假設(shè)元件是正品，被檢出是正品的概率為 0.99,假設(shè)元件是次品，被檢出是正品的概率為0.05。求這批元件是合格的概率 (B)。A3=3 個(gè)正品 0 次品A2=2 個(gè)正 1 次品 A1=1 個(gè)正

27、 2 次品 A0=0 個(gè)正 3 次品 問：抽到“ 2 個(gè)正 1 次品的概率是多少？軟件包維護(hù)問題假設(shè)要維護(hù)一個(gè)有3 個(gè)配置選項(xiàng)的軟件包用戶中用到A 項(xiàng)的有40% ，用到B項(xiàng)的有 30% ，用到 C 項(xiàng)的有 30% 。假設(shè)用戶每個(gè)時(shí)刻只能使用一種選項(xiàng)。通過對(duì)該軟件包支持經(jīng)歷的不斷積累發(fā)現(xiàn)，A 項(xiàng)用戶出現(xiàn)問題的概率為0.5%,B 項(xiàng)用戶出現(xiàn)問題的概率是0.75%C 項(xiàng)用戶出現(xiàn)問題的概率是 0.95% ，問維護(hù)的人力應(yīng)該投向哪個(gè)選項(xiàng)？堂上練習(xí)P332-18，硬幣問題2-15， 醫(yī)檢問題WORD格式25WORD格式2.4 重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)二項(xiàng)概率公式1、n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)定義1每次試驗(yàn)條件一樣，各次試驗(yàn)中同一個(gè)事件的出現(xiàn)概率相等；2各次試驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立例 從一批產(chǎn)品中逐件抽取產(chǎn)品