選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識點與經(jīng)典例題

1、PAGE2 / NUMPAGES34坐標(biāo)系與參數(shù)方程*選考內(nèi)容坐標(biāo)系與參數(shù)方程高考考試大綱要求：1坐標(biāo)系：理解坐標(biāo)系的作用.了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點的位置的區(qū)別，能進行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形（如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓）的方程.通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解用方程表示平面圖形時選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義.2參數(shù)方程：了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程.第一講一、平面直角坐標(biāo)系伸縮變換：設(shè)點

2、P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換xx,(0),:的作用yy,(0).下，點P(x,y)對應(yīng)到點P(x,y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換。-1-方法1：求伸縮變換后的圖形。由伸縮變換公式解出x、y,代入已知曲線方程就可求得伸縮變換后的曲線方程。例:：在一個平面直角坐標(biāo)系中,求下列方程所對應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換后的圖形。方法2：待定系數(shù)法求伸縮變換。求伸縮變換時，先設(shè)出變換，再代入原方程或變換后的方程，求出其中系數(shù)即可。例：在同一平面直角坐標(biāo)系中,求下列圖形變換的伸縮變換:-2-二、極坐標(biāo)1.極坐標(biāo)系的概念：在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox

3、叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系。2.點M的極坐標(biāo)：設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的xOM叫做點M的極角，記為。有序數(shù)對(,)叫做點M的極坐標(biāo)，記為M(,).極坐標(biāo)(,)與(,2k)(kZ)表示同一個點。極點O的坐標(biāo)為(0,)(R).3.若0,則0,規(guī)定點(,)與點(,)關(guān)于極點對稱，即(,)與(,)表示同一點。如果規(guī)定0,02，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(biāo)(,)表示；同時，極坐標(biāo)(,)表示的點也是唯一確定的。4.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化

4、：22x2y,xcos,ysin,tanyx(x0)如圖所示，把直角坐標(biāo)系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，且長度單位相同，設(shè)任意一點M的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)分別為(x，y)，(，)(1)極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)(2)直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)222xy，ytanx（x0）.-3-方法3：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化例：（1）點M2，23的極坐標(biāo)是（2）點M22,的直角坐標(biāo)是3練：-4-三、簡單曲線的極坐標(biāo)方程1.圓的極坐標(biāo)方程：(1)特殊情形如下表：圓心位置極坐標(biāo)方程圖形r圓心在極點(0，0)(02)2rcos_圓心在點(r，0)(2)2圓心在點(r，2)2rsin_(0)2rcos_圓心在點(r，)3(2)23圓

5、心在點(r，2)2rsin_(0)(2)一般情形：設(shè)圓心C(0，0)，半徑為r，M(，)為圓上任意一點，則|CM|r，COM|0|，根據(jù)余弦定理可得圓C的極坐標(biāo)方程為220cos(0)20r20即r22202cos(00)2.直線的極坐標(biāo)方程：(1)特殊情形如下表：-5-直線位置極坐標(biāo)方程圖形(1)(R)或(R)過極點，傾斜角為(2)(0)和(0)cos_a過點(a，0)，且與極軸垂直22過點a，2，且與極sin_a(0)軸平行sin()asin過點(a，0)傾斜角為(0)(2)一般情形，設(shè)直線l過點P(0，0)，傾斜角為，M(，)為直線l上的動點，則在OPM中利用正弦定理可得直線l的極坐標(biāo)方

6、程為sin()0sin(0)方法4：直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化-6-方法5：極坐標(biāo)系下的運算方法6：曲線極坐標(biāo)方程的求法四、柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡介（了解）1、柱坐標(biāo)系(1)定義：一般地，如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)P是空間任意一點，它在Oxy平面上的射影為Q，用(，)(0，02)表示點Q在平面Oxy上的極坐標(biāo)，這時點P的位置可用有序數(shù)組（，z）(zR)表示這樣，我們建立了空間的點與有序數(shù)組(，z)之間的一種對應(yīng)關(guān)系把建立上述對應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做柱坐標(biāo)系，有序數(shù)組(，z)叫做點P的柱坐標(biāo)，記作P(，z)，其中0，02，zR-7-xcos(2)空間點P的直角坐標(biāo)(x，y，z)與柱坐標(biāo)(，

7、z)之間的變換公式為ysinzz2、球坐標(biāo)系(1)定義：一般地，如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)P是空間任意一點，連接OP，記|OP|r，OP與Oz軸正向所夾的角為，設(shè)P在Oxy平面上的射影為Q，Ox軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到OQ時所轉(zhuǎn)過的最小正角為，這樣點P的位置就可以用有序數(shù)組(r，)表示，這樣，空間的點與有序數(shù)組(r，)之間建立了一種對應(yīng)關(guān)系把建立上述對應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做球坐標(biāo)系(或空間極坐標(biāo)系)，有序數(shù)組(r，)，叫做點P的球坐標(biāo)，記作P(r，)，其中r0，0，0b0)的參數(shù)方程是abxacosybsin(是參數(shù))，規(guī)定參數(shù)的取值X圍是0，2)(2)中心在原點，焦點在y軸上的橢圓22yx2

8、21(ab0)的參數(shù)方程是abxbcosyasin(是參數(shù))，規(guī)定參數(shù)的取值X圍是0，2)(3)中心在(h，k)的橢圓普通方程為2（xh）2a2（yk）21，則其參數(shù)方程為bxhacosykbsin(是參數(shù))2雙曲線的參數(shù)方程-10-(1)中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線22xy221的參數(shù)方程是abxasecybtan(為參數(shù))，規(guī)定參數(shù)的取值X圍為0，2)且32，2(2)中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線2y2a2x21的參數(shù)方程是bxbtanyasec(為參數(shù))3拋物線的參數(shù)方程22px的參數(shù)方程為(1)拋物線y2x2pt(t為參數(shù))y2pt(2)參數(shù)t的幾何意義是拋物線上除頂點外的任意一

9、點與原點連線的斜率的倒數(shù)方法1：參數(shù)方程和普通方程的互化-11-五、直線的參數(shù)方程1直線的參數(shù)方程經(jīng)過點M0(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為xx0tcosyy0tsin(t為參數(shù))2直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義(1)參數(shù)t的絕對值表示參數(shù)t所對應(yīng)的點M到定點M0的距離(2)當(dāng)M0M與e(直線的單位方向向量)同向時，t取正數(shù)當(dāng)M0M與e反向時，t取負數(shù)，當(dāng)M與M0重合時，t03直線參數(shù)方程的其他形式對于同一條直線的普通方程，選取的參數(shù)不同，會得到不同的參數(shù)方程我們把過點M0(x0，y0)，傾斜角為的直線，選取參數(shù)tM0M得到的參數(shù)方程xx0tcosyy0tsin(t為參數(shù))稱為直

10、線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，此時的參數(shù)t有明確的幾何意義b一般地，過點M0(x0，y0)，斜率ka(a，b為常數(shù))的直線，參數(shù)方程為xx0atyy0bt(t為參數(shù))，稱為直線參數(shù)方程的一般形式，此時的參數(shù)t不具有標(biāo)準(zhǔn)式中參數(shù)的幾何意義方法2：求直線參數(shù)方程-12-方法3：參數(shù)方程問題的解決辦法解決參數(shù)問題的一個基本思路：將其轉(zhuǎn)化為普通方程，然后在直角坐標(biāo)系下解決問題。方法4：利用參數(shù)的幾何意義解題-13-六、漸開線與擺線（了解）1漸開線的概念及參數(shù)方程(1)漸開線的產(chǎn)生過程及定義把一條沒有彈性的細繩繞在一個圓盤上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切，逐漸展開，鉛筆畫出的曲線叫做圓的

11、漸開線，相應(yīng)的定圓叫做漸開線的基圓(2)圓的漸開線的參數(shù)方程以基圓圓心O為原點，直線OA為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系設(shè)基圓的半徑為r，繩子外xr（cossin），端M的坐標(biāo)為(x，y)，則有(是參數(shù))這就是圓的漸開線的參數(shù)方程yr（sincos）2擺線的概念及參數(shù)方程(1)擺線的產(chǎn)生過程及定義平面內(nèi)，一個動圓沿著一條定直線無滑動地滾動時圓周上一個固定點所經(jīng)過的軌跡，叫做平擺線，簡稱擺線，又叫旋輪線(2)半徑為r的圓所產(chǎn)生擺線的參數(shù)方程為xr（sin），(是參數(shù))yr（1cos）-14-練習(xí)1曲線x25ty12t(t)為參數(shù)與坐標(biāo)軸的交點是（）A21(0,)(,0)、B5211(0,)、

12、(,0)C(0,4)、(8,0)D525(0,)(8,0)、92把方程xy1化為以t參數(shù)的參數(shù)方程是（）Axtyt1212BxsintxcostxtantCDy1sinty1costy1tant3若直線的參數(shù)方程為x12ty23t(t)為參數(shù)，則直線的斜率為（）A23B23C32D324點(1,2)在圓xy18cos8sin的（）A內(nèi)部B外部C圓上D與的值有關(guān)xt1t5參數(shù)方程為(t為參數(shù))表示的曲線是（）y2A一條直線B兩條直線C一條射線D兩條射線6兩圓xy342cos2sin與xy3cos3sin的位置關(guān)系是（）A內(nèi)切B外切C相離D內(nèi)含xt7與參數(shù)方程為(t)為參數(shù)等價的普通方程為（）y2

13、1tA2y21xB42y21(01)xx4C2y21(02)xyD42y21(01,02)xxy48曲線xy5cos()5sin3的長度是（）-15-A5B10C53D1039點P(x,y)是橢圓222x3y12上的一個動點，則x2y的最大值為（）A22B23C11D2210直線1x1t23y33t2(t為參數(shù))和圓2216xy交于A,B兩點，則AB的中點坐標(biāo)為（）A(3,3)B(3,3)C(3,3)D(3,3)2x4t(t為參數(shù))上，則|PF|等于（）11若點P(3,m)在以點F為焦點的拋物線y4tA2B3C4D512直線x2ty1t()t為參數(shù)被圓22(x3)(y1)25所截得的弦長為（）A98B4014C82D9343ttxee13參數(shù)方程(t)為參數(shù)的普通方程為_tty2(ee)x22t14直線(t為參數(shù))上與點A(2,3)的距離等于2的點的坐標(biāo)是_y32t15直線xtytcossin與圓xy42cos2sin相切，則_16設(shè)ytx(t為參數(shù))，則圓2240 xyy的參數(shù)方程為_17求直線x1tl:(t為參數(shù))和直線1y53tlxy的交點P的坐標(biāo)，及點P與Q(1,5)的距2:230離18已知直線l經(jīng)過點P(1,1),傾斜角，6（1