高三理科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案：三角函數(shù)總復(fù)習(xí)教學(xué)案

1、高三理科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案：三角函數(shù)總復(fù)習(xí)教學(xué)案【】歡送來到查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)高三數(shù)學(xué)教案欄目，教案邏輯思路明晰，符合認(rèn)識(shí)規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)習(xí)慣和才能。因此小編在此為您編輯了此文：高三理科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案：三角函數(shù)總復(fù)習(xí)教學(xué)案希望能為您的提供到幫助。本文題目：高三理科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案：三角函數(shù)總復(fù)習(xí)教學(xué)案高考導(dǎo)航考試要求 重難點(diǎn)擊 命題展望1.理解任意角的概念和弧度制的概念，能進(jìn)展弧度與角度的互化.2.理解任意角三角函數(shù)正弦、余弦、正切的定義.3.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出 ，的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，能畫出y=sin x， y=cos x ， y=tan x的圖象，理解三角函數(shù)的周期性.4.理解正

2、弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0,2上的性質(zhì)如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點(diǎn)等，理解正切函數(shù)在- , 上的單調(diào)性.5.理解同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式：sin2x+cos2x=1 ， =tan x.6.理解函數(shù)y=Asinx+的物理意義，能畫出函數(shù)y=Asinx+的圖象，理解參數(shù)A，對(duì)函數(shù)圖象變化的影響.7.會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題，體會(huì)三角函數(shù)是描繪周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.8.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它們的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)，能運(yùn)用上述公式進(jìn)展簡(jiǎn)單的恒等變換包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公

3、式，但不要求記憶.9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題，可以運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題. 本章重點(diǎn)：1.角的推廣，三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式的運(yùn)用;2.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，y=Asinx+0的性質(zhì)、圖象及變換;3.用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題;4.以和、差、倍角公式為根據(jù)，進(jìn)步推理、運(yùn)算才能;5.正、余弦定理及應(yīng)用.本章難點(diǎn)：1.任意角的三角函數(shù)的幾何表示，圖象變換與函數(shù)解析式變換的內(nèi)在聯(lián)絡(luò);2.靈敏運(yùn)用三角公式化簡(jiǎn)、求值、證明; 3.三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，最值的求法;4.探究?jī)山遣畹挠嘞夜?5.把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三

4、角函數(shù)問題. 三角函數(shù)是根本初等函數(shù)，是描繪周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型.三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)是高考數(shù)學(xué)必考的根底知識(shí)之一.在高考中主要考察對(duì)三角函數(shù)概念的理解;運(yùn)用函數(shù)公式進(jìn)展恒等變形、化簡(jiǎn)、求值、證明三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及圖象變換、作圖、識(shí)圖等.解三角形的問題往往與其他知識(shí)如立體幾何、解析幾何、向量等相聯(lián)絡(luò)，考察考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，表達(dá)以才能立意的高考命題原那么.知識(shí)網(wǎng)絡(luò)5.1 任意角的三角函數(shù)的概念典例精析題型一 象限角與終邊一樣的角【例1】假設(shè)是第二象限角，試分別確定2、 的終邊所在的象限.【解析】因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以k 360+90因?yàn)?k 360+18022k 360+360k

5、Z，故2是第三或第四象限角，或角的終邊在y軸的負(fù)半軸上.因?yàn)閗 180+452當(dāng)k=2nnZ時(shí)，n 360+452當(dāng)k=2n+1nZ時(shí)，n 360+2252所以2是第一或第三象限角 .【點(diǎn)撥】角所在象限，應(yīng)純熟地確定2所在象限.假如用1、2、3、4分別表示第一、二、三、四象限角，那么12、22、32、42分布如圖，即第一象限角的半角是第一或第三 象限角其余略，熟記右圖，解有關(guān)問題就方便多了.【變式訓(xùn)練1】假設(shè)角2的終邊在x軸上方，那么角是A.第一象限角 B.第一或第二象限角C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角【解析】由題意2k22k，kZ，得k當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，是第三象限角.當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，是

6、第一象限角.應(yīng)選C.題型二 弧長(zhǎng)公式，面積公式的應(yīng)用【例2】一扇形的中心角是，所在圓的半徑是R.1假設(shè)=60，R=10 cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積;2假設(shè)扇形的周長(zhǎng)是一定值CC0，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形的面積有最大值?并求出這個(gè)最大值.【解析】1設(shè)弧長(zhǎng)為l，弓形面積為S弓，因?yàn)?603，R=10 cm，所以l=103 cm，S弓=S扇-S=1210103-12102sin 60=503-32 cm2.2因?yàn)镃=2R+l=2R+R，所以R=C2+，S扇=12R2=12C2+2=C22 2+4+4=C22 1+4+4C216，當(dāng)且僅當(dāng)=4時(shí)，即=2=-2舍去時(shí)，扇形的面積有最大值為C

7、216.【點(diǎn)撥】用弧長(zhǎng)公式l= | R與扇形面積公式S=12lR=12R2|時(shí)，的單位必須是弧度.【變式訓(xùn)練2】一扇形的面積為定值S，當(dāng)圓心角為多少弧度時(shí)，該扇形的周長(zhǎng)C有最小值?并求出最小值.【解析】因?yàn)镾=12Rl，所以Rl=2S，所以周長(zhǎng)C=l+2R22Rl=24S=4S，當(dāng)且僅當(dāng)l=2R時(shí)，C=4S，所以當(dāng)=lR=2時(shí)，周長(zhǎng)C有最小值4S.題型三 三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)線的應(yīng)用【例3】1角的終邊與函數(shù)y=2x的圖象重合，求sin 2求滿足sin x32的角x的集合.【解析】1由 交點(diǎn)為-55，-255或55，255 ，所以sin =255.2找終邊：在y軸正半軸上找出點(diǎn)0，32，過該

8、點(diǎn)作平行于x軸的平行線與單位圓分別交于P1、P2兩點(diǎn)，連接OP1、OP2，那么為角x的終邊，并寫出對(duì)應(yīng)的角.畫區(qū)域：畫出角x的終邊所在位置的陰影部分.寫集合：所求角x的集合是x|2k32k3，kZ.【點(diǎn)撥】三角函數(shù)是用角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)來定義的，因此，用定義求值，轉(zhuǎn)化為求交點(diǎn)的問題.利用三角函數(shù)線證某些不等式或解某些三角不等式更簡(jiǎn)潔、直觀.【變式訓(xùn)練3】函數(shù)y=lg sin x+cos x-12的定義域?yàn)?【解析】所以函數(shù)的定義域?yàn)閤|2k總結(jié)進(jìn)步1.確定一個(gè)角的象限位置，不僅要看角的三角函數(shù)值的符號(hào)，還要考慮它的函數(shù)值的大小.2.在同一個(gè)式子中所采用的量角制度必須相一致，防止出現(xiàn)諸如

9、k3603的錯(cuò)誤書寫.3.三角函數(shù)線具有較好的幾何直觀性，是研究和理解三角函數(shù)的一把鑰匙.5.2 同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式典例精析題型一 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)問題【點(diǎn)撥】運(yùn)用誘導(dǎo)公式的關(guān)鍵是符號(hào)，前提是將視為銳角后，再判斷所求角的象限.【變式訓(xùn)練1】fx=1-x，4，那么fsin 2+f-sin 2=.【解析】fsin 2+f-sin 2=1-sin 2+1+sin 2=sin -cos 2+sin +cos 2=|sin -cos |+|sin +cos |.因?yàn)?，所以sin -cos 0，sin +cos 0.所以|sin -cos |+|sin +cos |=sin -cos -sin

10、 -cos =-2cos .題型二 三角函數(shù)式的求值問題【例2】向量a=sin ，cos -2sin ，b=1,2.1假設(shè)ab，求tan 的值;2假設(shè)|a|=|b|，0，求 的值.【解析】1因?yàn)閍b，所以2sin =cos -2sin ，于是4sin =cos ，故tan =14.2由|a|=|b|知，sin2+cos -2sin 2=5，所以1-2sin 2+4sin2=5.從而-2sin 2+21-cos 2=4，即sin 2+cos 2=-1，于是sin24=-22.又由0知，244，所以24=54或24=74.因此2或=34.【變式訓(xùn)練2】tan =12，那么2sin cos +cos

11、2等于A.45 B.85 C.65 D.2【解析】原式=2sin cos +cos2sin2+cos2=2tan +11+tan2=85.應(yīng)選B.題型三 三角函數(shù)式的簡(jiǎn)單應(yīng)用問題【例3】-21sin x-cos x的值;2sin32-x+cos32+x的值.【解析】1由得2sin xcos x=-2425，且sin x0所以sin x-cos x=-sin x-cos x2=-1-2sin xcos x=-1+2425=-75.2sin32-x+cos32+x=cos3x-sin3x=cos x-sin xcos2x+cos xsin x+sin2x=751-1225=91125.【點(diǎn)撥】求形

12、如sin xcos x的值，一般先平方后利用根本關(guān)系式，再求sin xcos x取值符號(hào).【變式訓(xùn)練3】化簡(jiǎn)1-cos4-sin41-cos6-sin6.【解析】原式=1-cos2+sin22-2sin2cos21-cos2+sin2cos4+sin4-sin2cos2=2sin2cos21-cos2+sin22-3sin2cos2=23.總結(jié)進(jìn)步1.對(duì)于同角三角函數(shù)根本關(guān)系式中同角的含義，只要是同一個(gè)角，那么根本關(guān)系式就成立，如：sin2-2+cos2-2=1是恒成立的.2.誘導(dǎo)公式的重要作用在于：它提醒了終邊在不同象限且具有一定對(duì)稱關(guān)系的角的三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)，從而可化負(fù)為正，化復(fù)雜為簡(jiǎn)

13、單.5.3 兩角和與差、二倍角的三角函數(shù)典例精析題型一 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)【例1】化簡(jiǎn) 0.【解析】因?yàn)?，所以022，所以原式= =-cos .【點(diǎn)撥】先從角度統(tǒng)一入手，將化成2，然后再觀察構(gòu)造特征，如此題中sin22-cos22=-cos .【變式訓(xùn)練1】化簡(jiǎn)2cos4x-2cos2x+122tan4-xsin24+x.【解析】原式=122cos2x-122tan4-xcos24-x=cos22x4cos4-xsin4-x=cos22x2sin2-2x=12cos 2x.題型二 三角函數(shù)式的求值【例2】sin x2-2cos x2=0.1求tan x的值;2求cos 2x2cos4+xsin

14、 x的值.【解析】1由sin x2-2cos x2=0tan x2=2，所以tan x= =221-22=-43.2原式=cos2x-sin2x222cos x-22sin xsin x=cos x-sin xcos x+sin xcos x-sin xsin x=cos x+sin xsin x=1tan x+1=-34+1=14.【變式訓(xùn)練2】2cos 5-sin 25sin 65= .【解析】原式=2cos30-25-sin 25cos 25=3cos 25cos 25=3.題型三 三角函數(shù)值求解【例3】tan-=12，tan =-17，且，0，求2-的值.【解析】因?yàn)閠an 2-=2t

15、an-1-tan2-=43，所以tan2-=tan2-+=tan2-+tan 1-tan 2-tan =1，又tan =tan-+=tan-+tan 1-tan-tan =13，因?yàn)?，所以04，又，所以-2-0，所以2-=-34.【點(diǎn)撥】由三角函數(shù)值求角時(shí)，要注意角度范圍，有時(shí)要根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)和大小將角的范圍適當(dāng)縮小.【變式訓(xùn)練3】假設(shè)與是兩銳角，且sin+=2sin ，那么與的大小關(guān)系是A.= B.C. D.以上都有可能【解析】方法一：因?yàn)?sin =sin+1，所以sin 12，又是銳角，所以30.又當(dāng)=30，=60時(shí)符合題意，應(yīng)選B.方法二：因?yàn)?sin =sin+=sin co

16、s +cos sin所以sin又因?yàn)?、是銳角，所以，應(yīng)選B.總結(jié)進(jìn)步1.兩角和與差的三角函數(shù)公式以及倍角公式等是三角函數(shù)恒等變形的主要工具.1它可以解答三類基此題型：求值題，化簡(jiǎn)題，證明題;2對(duì)公式會(huì)正用、逆用、變形使用3掌握角的演變規(guī)律，如2=+-等.2.通過運(yùn)用公式，實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)式中角的形式、升冪、降冪、和與差、函數(shù)名稱的轉(zhuǎn)化，以到達(dá)求解的目的，在運(yùn)用公式時(shí)，注意公式成立的條件.5.4 三角恒等變換典例精析題型一 三角函數(shù)的求值【例1】04，04，3sin =sin2+，4tan 2=1-tan22，求+的值.【解析】由4tan 2=1-tan22，得tan = =12.由3sin =sin

17、2+得3sin+-=sin+，所以3sin+cos -3cos+sin =sin+cos +cos+sin ，即2sin+cos =4cos+sin ，所以tan+=2 tan =1.又因?yàn)椤?，4，所以+4.【點(diǎn)撥】三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值的主要過程是三角變換，要擅長(zhǎng)抓住條件與目的之間的構(gòu)造聯(lián)絡(luò)，找到解題的打破口與方向.【變式訓(xùn)練1】假如tan+=35，tan4=14，那么tan4等于A.1318 B.1322 C.723 D.318【解析】因?yàn)?=+-4，所以tan4=tan+-4=tan+-tan41+tan+tan4=723.應(yīng)選C.題型二 等式的證明【例2】求證：sin sin =si

18、n2+sin -2co s+.【證明】證法一：右邊=sin +-2cos+sin sin =sin+cos -cos+sin sin=sin +-sin =sin sin =左邊.證法二：sin2+sin -sin sin =sin2+-sin sin =2cos+sin sin =2cos+，所以sin2+sin -2cos+=sin sin .【點(diǎn)撥】證法一將2+寫成+，使右端的角形式上一致，易于共同運(yùn)算;證法二把握構(gòu)造特征，用變更問題法證明，簡(jiǎn)捷而新穎.【變式訓(xùn)練2】5sin =3sin-2，求證：tan-+4tan =0.【證明】因?yàn)?sin =3sin-2，所以5sin-+=3sin

19、-，所以5sin-cos +5cos-sin =3sin-cos -3cos-sin ，所以2sin-cos +8cos-sin =0.即tan-+4tan =0.題型三 三角恒等變換的應(yīng)用【例3】ABC是非直角三角形.1求證：tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C;2假設(shè)AB且tan A=-2tan B，求證：tan C=sin 2B3-cos 2B;3在2的條件下，求tan C的最大值.【解析】1因?yàn)镃=-A+B，所以tan C=-tanA+B=-tan A+tan B1-tan Atan B，所以tan C-tan Atan Btan C=-tan A-tan

20、 B，即tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.2由1知tan C=-tan A+tan B1-tan Atan B=tan B1+2tan2B=sin Bcos Bcos2B+2sin2B=sin 2B22-1+cos 2B2=sin 2B3-cos 2B.3由2知tan C=tan B1+2tan2B=12tan B+1tan B122=24，當(dāng)且僅當(dāng)2tan B=1tan B，即tan B=22時(shí)，等號(hào)成立.所以tan C的最大值為24.【點(diǎn)撥】純熟掌握三角變換公式并靈敏地運(yùn)用來解決與三角形有關(guān)的問題，要有較明確的目的意識(shí).【變式訓(xùn)練3】在ABC中，tan B

21、+tan C+3tan Btan C=3，3tan A+3tan B+1=tan Atan B，試判斷ABC的形狀.【解析】由得tan B+tan C=31-tan Btan C，3tan A+tan B=-1-tan Atan B，即tan B+tan C1-tan Btan C=3，tan A+tan B1-tan Atan B=-33.所以tanB+C=3，tanA+B=-33.因?yàn)?又A+B+C=，故A=23，B=C=6.所以ABC是頂角為23的等腰三角形.總結(jié)進(jìn)步三角恒等式的證明，一般考慮三個(gè)統(tǒng)一：統(tǒng)一角度，即化為同一個(gè)角的三角函數(shù);統(tǒng)一名稱，即化為同一種三角函數(shù);統(tǒng)一構(gòu)造形式.5.

22、5 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)典例精析題型一 三角函數(shù)的周期性與奇偶性【例1】函數(shù)fx=2sin x4cos x4+3cos x2.1求函數(shù)fx的最小正周期;2令gx=fx+3，判斷gx的奇偶性.【解析】1fx=2sin x4cos x4+3cos x2=sin x2+3cos x2=2sinx2+3，所以fx的最小正周期T=2.2gx=fx+3=2sin12x+3=2sinx2+2=2cos x2.所以gx為偶函數(shù).【點(diǎn)撥】解決三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)問題，常常要化簡(jiǎn)三角函數(shù).【變式訓(xùn)練1】函數(shù)y=sin2x+sin xcos x的最小正周期T等于A.2 C.3【解析】y=1-cos 2x2+12sin

23、 2x=2222sin 2x-22cos 2x+12=22sin2x-4+12，所以T=2.應(yīng)選B.題型二 求函數(shù)的值域【例2】求以下函數(shù)的值域：1fx=sin 2xsin x1-cos x;2fx=2cos3+x+2cos x.【解析】1fx=2sin xcos xsin x1-cos x=2cos x1-cos2x1-cos x=2cos2x+2cos x=2cos x+122-12，當(dāng)cos x=1時(shí)，fxmax=4，但cos x1，所以fx4，當(dāng)cos x=-12時(shí)，fxmin=-12，所以函數(shù)的值域?yàn)?12，4.2fx=2cos 3cos x-sin 3sin x+2cos x=3c

24、os x-3sin x=23cosx+6，所以函數(shù)的值域?yàn)?23，23.【點(diǎn)撥】求函數(shù)的值域是一個(gè)難點(diǎn)，分析函數(shù)式的特點(diǎn)，詳細(xì)問題詳細(xì)分析，是打破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練2】求y=sin x+cos x+sin xcos x的值域.【解析】令t=sin x+cos x，那么有t2=1+2sin xcos x，即sin xcos x=t2-12.所以y=ft=t+t2-12=12t+12-1.又t=sin x+cos x=2sinx+4，所以-22.故y=ft=12t+12-1-22，從而f-1f2，即-12+12.所以函數(shù)的值域?yàn)?1，2+12.題型三 三角函數(shù)的單調(diào) 性【例3】函數(shù)fx=s

25、inx+0，|的部分圖象如下圖.1求，2設(shè)gx=fxfx-4，求函數(shù)gx的單調(diào)遞增區(qū)間.【解析】1由圖可知，T=44=，=2T=2.又由f2=1知，sin=1，又f0=-1，所以sin =-1.因?yàn)閨，所以2.2fx=sin2x-2=-cos 2x.所以gx=-cos 2x-cos2x-2=cos 2xsin 2x=12sin 4x.所以當(dāng)2k22k2，即k8k8kZ時(shí)gx單調(diào)遞增.故函數(shù)gx的單調(diào)增區(qū)間為k8，k8kZ.【點(diǎn)撥】觀察圖象，獲得T的值，然后再確定的值，表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想與方法.【變式訓(xùn)練3】使函數(shù)y=sin6-2xx0，為增函數(shù)的區(qū)間是A.0，3 B.12，712C.3，56

26、 D.5【解析】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減的原那么斷定，選C.總結(jié)進(jìn)步1.求三角函數(shù)的定義域和值域應(yīng)注意利用三角函數(shù)圖象.2.三角函數(shù)的最值都是在給定區(qū)間上得到的，因此特別要注意題設(shè)中所給的區(qū)間.3.求三角函數(shù)的最小正周期時(shí)，要盡可能地化為三角函數(shù)的一般形式，要注意絕對(duì)值、定義域?qū)χ芷诘挠绊?4.判斷三角函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先斷定函數(shù)定義域的對(duì)稱性.5.6 函數(shù)y=Asinx+ 的圖象和性質(zhì)典例精析題型一 五點(diǎn)法作函數(shù)圖象【例1】設(shè)函數(shù)fx=sin x+3cos x0的周期為.1求它的振幅、初相;2用五點(diǎn)法作出它在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的圖象;3說明函數(shù)fx的圖象可由y=sin x的圖象經(jīng)過怎樣

27、的變換得到.【解析】1fx=sin x+3cos x=212sin x+32cos x=2sinx+3，又因?yàn)門=，所以2=，即=2，所以fx=2sin2x+3，所以函數(shù)fx=sin x+3cos x0的振幅為2，初相為3.2列出下表，并描點(diǎn)畫出圖象如下圖.3把y=sin x圖象上的所有點(diǎn)向左平移3個(gè)單位，得到y(tǒng)=sinx+3的圖象，再把y=sinx+3的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=sin2x+3的圖象，然后把y=sin2x+3的圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍橫坐標(biāo)不變，即可得到y(tǒng)=2sin2x+3的圖象.【點(diǎn)撥】用五點(diǎn)法作圖，先將原函數(shù)化為y=Asinx

28、+0，0形式，再令x+=0，32，2求出相應(yīng)的x值及相應(yīng)的y值，就可以得到函數(shù)圖象上一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)點(diǎn)，用平滑的曲線連接五個(gè)點(diǎn)，再向兩端延伸即可得到函數(shù)在整個(gè)定義域上的圖象.【變式訓(xùn)練1】函數(shù)的圖象如下圖，那么A.k=12，=12，6B.k=12，=12，3C.k=12，=2，6D.k=-2，=12，3【解析】此題的函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，其中一個(gè)是一次函數(shù)，其圖象是一條直線，由圖象可判斷該直線的斜率k=12.另一個(gè)函數(shù)是三角函數(shù)，三角函數(shù)解析式中的參數(shù)由三角函數(shù)的周期決定，由圖象可知函數(shù)的周期為T=483=4，故=12.將點(diǎn)53，0代入解析式y(tǒng)=2sin12x+，得123+，kZ，所以-56，k

29、Z.結(jié)合各選項(xiàng)可知，選項(xiàng)A正確.題型二 三角函數(shù)的單調(diào)性與值域【例2】函數(shù)fx=sin2x+3sin xsinx+2+2cos2x，xR0在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6.1求的值;2假設(shè)將函數(shù)fx的圖象向右平移6個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=gx的圖象，求函數(shù)gx的最大值及單調(diào)遞減區(qū)間.【解析】1fx=32sin 2x+12cos 2x+32=sin2x+6+32.令2x+2，將x=6代入可得=1.2由1得fx=sin2x+6+32，經(jīng)過題設(shè)的變化得到函數(shù)gx=sin12x-6+32，當(dāng)x=4k，kZ時(shí)，函數(shù)gx獲得最大值52.令2k26+

30、32，即4k3，4kkZ為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【點(diǎn)撥】此題考察三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用、三角函數(shù)圖象性質(zhì)及變換.【變式訓(xùn)練2】假設(shè)將函數(shù)y=2sin3x+的圖象向右平移4個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于點(diǎn)3，0對(duì)稱，那么|的最小值是A.3 C.2 D.34【解析】將函數(shù)y=2sin3x+的圖象向右平移4個(gè)單位后得到y(tǒng)=2sin3x-=2sin3x-3的圖象.因?yàn)樵摵瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)3，0對(duì)稱，所以2sin33-3=2sin=0，故有=kZ，解得-4kZ.當(dāng)k=0時(shí)，|獲得最小值4，應(yīng)選A.題型三 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用【例3】函數(shù)y=fx=Asin2x+0，0,02的最大值為2，其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的間隔

31、為2，并過點(diǎn)1,2.1求2求f1+f2+f2 008.【解析】1y=Asin2x+=A2-A2cos2x+2，因?yàn)閥=fx的最大值為2，又A0，所以A2+A2=2，所以A=2，又因?yàn)槠鋱D象相鄰兩對(duì)稱軸間的間隔 為2，0，所以122=2，所以4.所以fx=22-22cos2x+2=1-cos2x+2，因?yàn)閥=fx過點(diǎn)1,2，所以cos=-1.所以=2kkZ，解得+4kZ，又因?yàn)?2，所以4.2方法一：因?yàn)?，所以y=1-cos2=1+sin 2x，所以f1+f2+f3+f4=2+1+0+1=4，又因?yàn)閥=fx的周期為4,2 008=4502.所以f1+f2+f2 008=4502=2 008.方

32、法二：因?yàn)閒x=2sin2，所以f1+f3=2sin2+2sin23=2，f2+f4=2sin2+2sin2=2，所以f1+f2+f3+f4=4，又因?yàn)閥=fx的周期為4,2 008=4502.所以f1+f2+f2 008=4502=2 008.【點(diǎn)撥】函數(shù)y=Acosx+的對(duì)稱軸由x+，可得x=k，兩相鄰對(duì)稱軸間的間隔 為周期的一半，解決該類問題可畫出相應(yīng)的三角函數(shù)的圖象，借助數(shù)形結(jié)合的思想解決.【變式訓(xùn)練3】函數(shù)fx=Acos2 x+2A0，0的最大值為6，其相鄰兩條對(duì)稱軸間的間隔 為4，那么f2+f4+f6+f20=.【解析】fx=Acos2x+2=A1+cos 2x2+2=Acos 2

33、x2+A2+2，那么由題意知A+2=6，2=8，所以A=4，8，所以fx=2cos 4x+4，所以f2=4，f4=2，f6=4，f8=6，f10=4，觀察周期性規(guī)律可知f2+f4+f20=24+2+4+6+4+2=38.總結(jié)進(jìn)步1.用五點(diǎn)法作y=Asinx+的圖象，關(guān)鍵是五個(gè)點(diǎn)的選取，一般令x+=0，32，2，即可得到作圖所需的五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)，假設(shè)要求畫出給定區(qū)間上的函數(shù)圖象時(shí)，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整x+的取值，以便列表時(shí)能使x在給定的區(qū)間內(nèi)取值.2.在圖象變換時(shí)，要注意相位變換與周期變換的先后順序改變后，圖象平移的長(zhǎng)度單位是不同的，這是因?yàn)樽儞Q總是對(duì)字母x本身而言的，無論沿x軸平移還是伸縮，變化的總

34、是x.3.在解決y=Asinx+的有關(guān)性質(zhì)時(shí)，應(yīng)將x+視為一個(gè)整體x后再與根本函數(shù)y=sin x的性質(zhì)對(duì)應(yīng)求解.5.7 正弦定理和余弦定理典例精析題型一 利用正、余弦定理解三角形【例1】在ABC中，AB=2，BC=1，cos C=34.1求sin A的值;2求 的值.【解析】1由cos C=34得sin C=74.所以sin A=BC sin CAB=1742=148.2由1知，cos A=528.所以cos B=-cosA+C=-cos Acos C+sin Asin C=-15232+7232=-24.所以 = + = +=-1+12cos B=-1-12=-32.【點(diǎn)撥】在解三角形時(shí)，要

35、注意靈敏應(yīng)用三角函數(shù)公式及正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí).【變式訓(xùn)練1】在ABC中，a、b、c為它的三邊，且三角形的面積為a2+b2-c24，那么C= .【解析】S=a2+b2-c24=12absin C.所以sin C=a2+b2-c22ab=cos C.所以tan C=1，又0，所以4.題型二 利用正、余弦定理解三角形中的三角函數(shù)問題【例2】設(shè)ABC是銳角三角形，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)，并且sin2A=sin3+Bsin3-B+sin2B.1求角A的值;2假設(shè) =12，a=27，求b，c其中b【解析】1因?yàn)閟in2A=32cos B+12sin B32cos B-12sin

36、 B+sin2B=34cos2 B-14sin2B+sin2B=34，所以sin A=32.又A為銳角，所以A=3.2由 =12可得cbcos A=12.由 1知A=3，所以cb=24.由余弦定理知a2=c2+b2-2cbcos A，將a=27及代入得c2+b2=52.+2，得c+b2=100，所以c+b=10.因此，c，b是一元二次方程t2-10t+24=0的兩個(gè)根.又b【點(diǎn)撥】本小題考察兩角和與差的正弦公式，同角三角函數(shù)的根本關(guān)系，特殊角的三角函數(shù)值，向量的數(shù)量積，利用余弦定理解三角形等有關(guān)知識(shí)，考察綜合運(yùn)算求解才能.【變式訓(xùn)練2】在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊，且滿足2a-

37、ccos B=bcos C.1求角B的大小;2假設(shè)b=7，a+c=4，求ABC的面積.【解析】1在ABC中，由正弦定理得a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C，代入2a-ccos B=bcos C，整理得2sin Acos B=sin Bcos C+sin C cos B，即2sin Acos B=sinB+C=sin A，在ABC中，sin A0,2cos B=1，因?yàn)锽是三角形的內(nèi)角，所以B=60.2在ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B=a+c2-2ac-2ac cos B，將b=7，a+c=4代入整理，得ac=3.故SABC=12acsin B

38、=32sin 60=334.題型三 正、余弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用【例3】2019陜西如下圖，A，B是海面上位于東西方向相距53+3海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn).現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45，B點(diǎn)北偏西60的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60且與B點(diǎn)相距203海里的C點(diǎn)的救 援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，那么該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間?【解析】由題意知AB=53+3海里，DBA=90-60=30，DAB=90-45=45，所以ADB=180-45+30=105.在DAB中，由正弦定理得DBsinDAB=ABsinADB，所以DB= = =533+13+12=103海里.又DBC=DB

39、A+ABC=30+90-60=60，BC=203海里，在DBC中，由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD BC cosDBC=300+1 200-210320312=900，所以CD=30海里，那么需要的時(shí)間t=3030=1小時(shí).所以，救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí).【點(diǎn)撥】應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問題的根本步驟是：1根據(jù)題意，抽象地構(gòu)造出三角形;2確定實(shí)際問題所涉及的數(shù)據(jù)以及要求解的結(jié)論與所構(gòu)造的三角形的邊與角的對(duì)應(yīng)關(guān)系;3選用正弦定理或余弦定理或者二者相結(jié)合求解;4給出結(jié)論.【變式訓(xùn)練3】如圖，一船在海上由西向東航行，在A處測(cè)得某島M的方位角為北偏東角，前進(jìn)m km后在B處測(cè)得該島的方位角為

40、北偏東角，該島周圍n km范圍內(nèi)包括邊界有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當(dāng)與滿足條件 時(shí)，該船沒有觸礁危險(xiǎn).【解析】由題可知，在ABM中，根據(jù)正弦定理得BMsin90-=msin-，解得BM=mcos sin-，要使船 沒有觸礁危險(xiǎn)需要BMsin90=mcos cos sin-n.所以與的關(guān)系滿足mcos cos nsin-時(shí)，船沒有觸礁危險(xiǎn).總結(jié)進(jìn)步1.正弦定理、余弦定理表達(dá)了三角形中角與邊存在的一種內(nèi)在聯(lián)絡(luò)，如證明兩內(nèi)角AB與sin Asin B是一種等價(jià)關(guān)系.2.在判斷三角形的形狀時(shí)，一般將條件中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再用恒等變形如因式分解、配方求解，注意等式兩

41、邊的公因式不要隨意約掉，否那么會(huì)漏解.3.用正弦定理求角的大小一定要根據(jù)題中所給的條件判斷角的范圍，以免增解或漏解.5.8 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用典例精析題型一 利用三角函數(shù)的性質(zhì)解應(yīng)用題【例1】如圖，ABCD是一塊邊長(zhǎng)為100 m的正方形地皮，其中AST是一半徑為90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一開發(fā)商想在平地上建一個(gè)矩形 停車場(chǎng)，使矩形的一個(gè)頂點(diǎn)P在 上，相鄰兩邊CQ、CR分別落在正方形的邊BC、CD上，求矩形停車場(chǎng)PQCR面積的最大值和最小值.【解析】如圖，連接AP，過P作PMAB于M.設(shè)PAM=，02，那么PM=90sin ，AM=90cos ，所以PQ=100-90cos ，PR=

42、100-90sin ，于是S四邊形PQCR=PQPR=100-90cos 100-90sin =8 100sin cos -9 000sin +cos +10 000.設(shè)t=sin +cos ，那么12，sin cos =t2-12.S四邊形PQCR=8 100t2-12-9 000t+10 000=4 050t-1092+950 12.當(dāng)t=2時(shí)，S四邊形PQCRmax=14 050-9 0002 m2;當(dāng)t=109時(shí)，S四邊形PQCRmin=950 m2.【點(diǎn)撥】同時(shí)含有sin cos ，sin cos 的函數(shù)求最值時(shí)，可設(shè)sin cos =t，把sin cos 用t表示，從而把問題轉(zhuǎn)化成

43、關(guān)于t的二次函數(shù)的最值問題.注意t的取值范圍.【變式訓(xùn)練1】假設(shè)0A.4xsin 3x B.4xC.4xsin 3x D.與x的值有關(guān)【解析】令fx=4x-sin 3x，那么fx=4-3cos 3x.因?yàn)閒x=4-3cos 3x0，所以fx為增函數(shù).又0f0=0，即得4x-sin 3x0.所以4xsin 3x.應(yīng)選A.題型二 函數(shù)y=Asinx+模型的應(yīng)用【例2】某海濱浴場(chǎng)的海浪高度y米是時(shí)間t024，單位：小時(shí)的函數(shù)，記作y=ft.下表是某日各時(shí)的浪花高度數(shù)據(jù).經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，y=ft的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Acos t+b.1根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=Acos t+b的最小正周期T、振幅A

44、及函數(shù)表達(dá)式;2根據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛好者開放. 請(qǐng)根據(jù)1的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8：00至晚上20：00之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)展運(yùn)動(dòng)?【解析】1由表中數(shù)據(jù)知，周期T=12，所以=212=6.由t=0，y=1.5，得A+b=1.5，由t=3，y=1.0，得b=1.0，所以A=0.5，b=1，所以振幅為12.所以y=12cos 6t+1.2由題知，當(dāng)y1時(shí)才可對(duì)沖浪者開放，所以12cos 1，所以cos 0，所以2k26t+2，即12k-3因?yàn)?24，故可令中k分別為0,1,2，得03或9故在規(guī)定時(shí)間上午8：00至晚上20：00之間，有6個(gè)小時(shí)時(shí)間可供沖浪者運(yùn)動(dòng)，即上午9

45、：00至下午15：00.【點(diǎn)撥】用y=Asinx+模型解實(shí)際問題，關(guān)鍵在于根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)準(zhǔn)確求出函數(shù)解析式.【變 式訓(xùn)練2】如圖，一個(gè)半徑為10 m的水輪按逆時(shí)針方向每分鐘轉(zhuǎn)4圈，記水輪上的點(diǎn)P到水面的間隔 為d mP在水面下那么d為負(fù)數(shù)，那么dm與時(shí)間ts之間滿足關(guān)系式：d=Asint+kA0，0，-2，且當(dāng)點(diǎn)P從水面上浮現(xiàn)時(shí)開場(chǎng)計(jì)算時(shí)間，有以下四個(gè)結(jié)論：A=10;=2k=5.其中正確結(jié)論的序號(hào)是 .【解析】.題型三 正、余弦定理的應(yīng)用【例3】為了測(cè)量?jī)缮巾擬、N間的間隔 ，飛機(jī)沿程度方向在A、B兩點(diǎn)進(jìn)展測(cè)量，A、B、M、N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)如下圖，飛機(jī) 能測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B之間的間隔 ，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：1指出需測(cè)量的數(shù)據(jù)用字母表示，并在圖中標(biāo)示;2用文字和公式寫出計(jì)算M、N間間隔 的步驟.【解析】1如下圖：測(cè)AB間的間隔 a;測(cè)俯角MAB=，NAB=，MBA=，NBA=.2在ABM中 ，AMB=-，由正弦定理得BM=ABsin sinAMB=asin s