111角的概念的推廣任意角、終邊相同的角、象限角

1、1.1.1角的概念的推廣任意角、終邊相同的角、象限角教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能認(rèn)識(shí)角擴(kuò)充的必要性，了解任意角的概念，與過(guò)去學(xué)習(xí)過(guò)的一些容易混淆的概念相區(qū)分；能用集合和數(shù)學(xué)符號(hào)表示終邊相同的角，體會(huì)終邊相同角的周期性；能用集合和數(shù)學(xué)符號(hào)表示象限角；能用集合和數(shù)學(xué)符號(hào)表示終邊滿足一定條件的角.過(guò)程與方法通過(guò)角的概念的擴(kuò)充，讓學(xué)生體會(huì)動(dòng)態(tài)與靜態(tài)數(shù)學(xué)觀的差異，進(jìn)一步理解旋轉(zhuǎn)變換的作用；通過(guò)角合成的算法，終邊相同角的表示方法及其推廣讓學(xué)生體會(huì)在數(shù)學(xué)學(xué)科中，將概念的形式化、數(shù)量化的過(guò)程與方法，借此進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想、方法，這是本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容；情感、態(tài)度和價(jià)值觀通過(guò)掌握角合成的算法，終邊相同角的表示方法及其

2、推廣的過(guò)程與方法，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的抽象化、形式化等學(xué)科特點(diǎn).知識(shí)的重點(diǎn)形成任意角（正角、負(fù)角、零角）、終邊相同的角、象限角的概念，掌握終邊相同的角的表示方法和判定方法知識(shí)的難點(diǎn)終邊相同的角的概念、其符號(hào)表示、集合表示教學(xué)方法 本節(jié)教學(xué)方法采用教師引導(dǎo)下的討論法，通過(guò)多媒體課件在教師的帶領(lǐng)下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)就概念、就方法的不足之處，進(jìn)而探索新的方法，形成新的概念，突出數(shù)形結(jié)合思想與方法在概念形成與形式化、數(shù)量化過(guò)程中的作用，是一節(jié)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯性、思想性比較強(qiáng)的課.教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖情境引入復(fù)習(xí)靜態(tài)數(shù)學(xué)觀下，按圖形組合方式定義角.復(fù)習(xí)動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀指導(dǎo)下，按“圖形（旋轉(zhuǎn)）變換”的方式定

3、義角.提問(wèn)角是數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的基本圖形之一，按圖形組合的方式來(lái)看，角是由哪些基本的圖形組成的呢？解答有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角.提問(wèn)不加任何描述條件，兩條共端點(diǎn)的射線組成幾個(gè)角？這兩個(gè)角之間有什么關(guān)系？它們的取值范圍是多少？解答兩個(gè)，和為360，0360（大于等于0且小于360）.提問(wèn)在圖上我們?nèi)绾螀^(qū)分這兩個(gè)角？解答標(biāo)示、添加描述條件等提示演示為了解決上述問(wèn)題，我們看另一種定義方式.即，一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一位置所形成的圖形叫做角.提問(wèn)兩種定義方式有什么異同之處？解答角組合式旋轉(zhuǎn)式邊兩條射線一條射線，另一邊是其經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換的結(jié)果頂點(diǎn)公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)中心個(gè)數(shù)兩個(gè)？范圍036

4、0？思考在旋轉(zhuǎn)式定義方式下，我們會(huì)產(chǎn)生這樣的質(zhì)疑：一次旋轉(zhuǎn)而得的角有幾個(gè)？?jī)蓷l射線一次組合產(chǎn)生的兩個(gè)角，如何用旋轉(zhuǎn)的方式表示？當(dāng)旋轉(zhuǎn)超過(guò)一周時(shí)，如何描述旋轉(zhuǎn)量？發(fā)現(xiàn)靜態(tài)數(shù)學(xué)觀下，按“圖形組合”的方式定義角的概念有很大的局限性.比較兩種角的定義，發(fā)現(xiàn)差異，為角的概念的推廣做準(zhǔn)備概念形成任意角的概念按照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角叫做正角；按照順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角叫做負(fù)角；當(dāng)射線沒(méi)有旋轉(zhuǎn)時(shí)，叫做零角.在畫(huà)圖時(shí)，常用帶箭頭的弧來(lái)表示旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的絕對(duì)量.旋轉(zhuǎn)生成的角，又常叫做轉(zhuǎn)角.任意角的圖示方法如圖(課本圖11)，射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置所成的角，記作AOB，其中OA叫做AOB的始邊，OB

5、叫做AOB的終邊.以O(shè)B為始邊，OA為終邊的角記作BOA. 顯然，當(dāng)我們用旋轉(zhuǎn)的方式定義角時(shí)，原有的角的范圍必須被擴(kuò)充.任意角的概念我們用旋轉(zhuǎn)變換的觀點(diǎn)來(lái)擴(kuò)充角的概念，即解決旋轉(zhuǎn)變換的三個(gè)要素（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量）對(duì)角的概念有什么影響？旋轉(zhuǎn)方向：旋轉(zhuǎn)變換的方向分為逆時(shí)針和順時(shí)針兩種，這是一對(duì)意義相反的量，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，我們可以把一對(duì)意義相反的量用正負(fù)數(shù)來(lái)表示，那么質(zhì)疑一中提到的問(wèn)題就可以解決了；旋轉(zhuǎn)量：當(dāng)旋轉(zhuǎn)超過(guò)一周時(shí)，旋轉(zhuǎn)量即超過(guò)360，角度的絕對(duì)值可大于360.這樣質(zhì)疑二中的問(wèn)題就可以解決了；旋轉(zhuǎn)中心：作為角的頂點(diǎn).板書(shū)畫(huà)圖按照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角叫做正角；按照順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而

6、成的角叫做負(fù)角；當(dāng)射線沒(méi)有旋轉(zhuǎn)時(shí)，叫做零角.在畫(huà)圖時(shí)，常用帶箭頭的弧來(lái)表示旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的絕對(duì)量.旋轉(zhuǎn)生成的角，又常叫做轉(zhuǎn)角.如圖(課本圖11)，射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置所成的角，記作AOB，其中OA叫做AOB的始邊，OB叫做AOB的終邊.以O(shè)B為始邊，OA為終邊的角記作BOA.例：AOB120，BOA120.以旋轉(zhuǎn)變換的要素為線索，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)式定義是如何擴(kuò)充角的概念的應(yīng)用舉例例題如圖（課本圖12），射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的絕對(duì)量超過(guò)了周角，按照?qǐng)D中箭頭所指的方向和弧線表示的周數(shù)，可以表示角的度數(shù).練習(xí)讀角練習(xí)教師講解，學(xué)生練習(xí)在實(shí)踐中鞏固所學(xué)概念概念應(yīng)用角的合成與運(yùn)算問(wèn)題各角和的

7、旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和.角的合成與運(yùn)算例題課本P4小結(jié)各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和.根據(jù)已有的定義，我們可以發(fā)現(xiàn)：如果把度數(shù)相同的角看成是一個(gè)角，那么角和實(shí)數(shù)之間可以形成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.于是，角的合成可以用實(shí)數(shù)運(yùn)算來(lái)表示.練習(xí)課本P7.練習(xí)A.5題課本P6練習(xí)A.2題（3）讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用概念形成如果當(dāng)角與角的始邊重合時(shí)，它們的終邊也重合，那么我們稱角與角是終邊相同的角.一般地，如果是終邊相同的角，那么我們記，當(dāng)k0時(shí)，兩個(gè)角相同.終邊相同的角的集合形式：設(shè)表示任意角，所有與終邊相同的角，包括本身構(gòu)成一個(gè)集合，這個(gè)集合可記為如果我們固定角的始邊，因其終邊可以任意旋轉(zhuǎn)，故而可以

8、構(gòu)成任意度數(shù)的角，而通過(guò)觀察我們可以發(fā)現(xiàn)，這些角中有很多角的邊是重合的.因此我們定義：終邊相同的角定義如果當(dāng)角與角的始邊重合時(shí)，它們的終邊也重合，那么我們稱角與角是終邊相同的角.表示方法思考終邊相同的角度數(shù)相等么？反之，度數(shù)相等的角終邊相同么？解答終邊相同的角度數(shù)不一定相等；而度數(shù)相等的角終邊一定相同？思考終邊相同的兩個(gè)角的度數(shù)有什么關(guān)系？解答終邊相同的兩個(gè)角的位置關(guān)系是兩邊重合，數(shù)量關(guān)系是差是360的整數(shù)倍.思考設(shè)是終邊相同的兩個(gè)角，如何用符號(hào)語(yǔ)言表示其數(shù)量關(guān)系？解答，通過(guò)變形可以得到小結(jié)一般地，如果是終邊相同的角，那么我們記，當(dāng)k0時(shí)，兩個(gè)角相同.說(shuō)明我們來(lái)總結(jié)一下，如何把終邊相同的角的圖

9、形變換特性轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系形式的.從角的旋轉(zhuǎn)式定義看，終邊相同角的本質(zhì)特征是：每旋轉(zhuǎn)360的整數(shù)倍后兩角重合.旋轉(zhuǎn)初值整數(shù)k形式化旋轉(zhuǎn)次數(shù)強(qiáng)調(diào)建立坐標(biāo)系的方法360單位旋轉(zhuǎn)量終邊相同的角的集合設(shè)表示任意角，所有與終邊相同的角，包括本身構(gòu)成一個(gè)集合，這個(gè)集合可記為.集合中的每一個(gè)元素都與的終邊相同，當(dāng)k0時(shí)，對(duì)應(yīng)元素為.定義終邊相同的角引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)終邊相同的角的表示方法借助終邊相同的角的表示方法，研究旋轉(zhuǎn)變換的數(shù)量表示形式，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想與方法應(yīng)用舉例1寫(xiě)出與下列各角終邊相同的角的集合S，并在0360內(nèi)找出與它們終邊相同的角.（1）150（2）650（3）950152課本P6.例4教師講解，學(xué)

10、生練習(xí)在實(shí)踐中鞏固所學(xué)概念概念推廣從終邊相同的角的符號(hào)表示方法推出符號(hào)表示終邊滿足一定條件的角的方法例如，表示角每次旋轉(zhuǎn)180，角與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.表示角每次旋轉(zhuǎn)90，角與角的終邊關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱.角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱等.四符號(hào)表示終邊滿足一定條件的角例題已知，角45，角的終邊與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，寫(xiě)出角的集合S.解答思考比較與角終邊相同的角的集合，你能發(fā)現(xiàn)什么？討論小結(jié)在中，表示旋轉(zhuǎn)初值，整數(shù)k表示旋轉(zhuǎn)次數(shù)，360表示單位旋轉(zhuǎn)量.改變這些常數(shù)，表示不同的旋轉(zhuǎn)過(guò)程.例如，表示角每次旋轉(zhuǎn)180，角與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.思考類似地請(qǐng)你自己做一些探究.結(jié)論表示角每次旋轉(zhuǎn)90，角與角的終邊

11、關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱.角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱等.終邊相同的角的表示方法的推廣，即旋轉(zhuǎn)變換的數(shù)量表示形式、數(shù)形結(jié)合的思想與方法的練習(xí)，這是本節(jié)的提升點(diǎn)重點(diǎn)在于讓學(xué)生建立起圖形變換可以通過(guò)數(shù)量關(guān)系式加以描述的觀念，并掌握具體方法用探究所得的思想和方法解決新問(wèn)題應(yīng)用舉例例題課本P5.例3；練習(xí)寫(xiě)出終邊在y軸上的角的集合；（課本P7.練習(xí)B.1）寫(xiě)出終邊在一、三象限角平分線上的角的集合.（課本P7.練習(xí)B.2）課本P7.練習(xí)B.3教師講解，學(xué)生練習(xí)在實(shí)踐中鞏固所學(xué)概念概念推廣平面內(nèi)任意一個(gè)角都可以通過(guò)移動(dòng)，使角的頂點(diǎn)和平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，角的始邊和x軸的正半軸重合，這時(shí)，角的終邊在第幾象限，就把這個(gè)角叫做第幾象限的角.五象限角的概念今后我們通常在平面直角坐標(biāo)系中討論角.定義平面內(nèi)任意一個(gè)角都可以通過(guò)移動(dòng)，使角的頂點(diǎn)和平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，角的始邊和x軸的正半軸重合，這時(shí)，角的終邊在第幾象限，就把這個(gè)角叫做第幾象限的角.將任意角等概念與坐標(biāo)系相結(jié)合，為三角函數(shù)做準(zhǔn)備應(yīng)用舉例例題課本P7.練習(xí)A.4課本P7.練習(xí)B.4如果用數(shù)軸上的點(diǎn)表示角度，象限角所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如何分布？新學(xué)案P1.例題2教師講解，學(xué)生練習(xí)第3題，