111角的概念的推廣任意角、終邊相同的角、象限角

1、1.1.1角的概念的推廣任意角、終邊相同的角、象限角教學目標知識與技能認識角擴充的必要性，了解任意角的概念，與過去學習過的一些容易混淆的概念相區(qū)分；能用集合和數(shù)學符號表示終邊相同的角，體會終邊相同角的周期性；能用集合和數(shù)學符號表示象限角；能用集合和數(shù)學符號表示終邊滿足一定條件的角.過程與方法通過角的概念的擴充，讓學生體會動態(tài)與靜態(tài)數(shù)學觀的差異，進一步理解旋轉(zhuǎn)變換的作用；通過角合成的算法，終邊相同角的表示方法及其推廣讓學生體會在數(shù)學學科中，將概念的形式化、數(shù)量化的過程與方法，借此進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想、方法，這是本節(jié)課的重點內(nèi)容；情感、態(tài)度和價值觀通過掌握角合成的算法，終邊相同角的表示方法及其

2、推廣的過程與方法，讓學生體會數(shù)學的抽象化、形式化等學科特點.知識的重點形成任意角（正角、負角、零角）、終邊相同的角、象限角的概念，掌握終邊相同的角的表示方法和判定方法知識的難點終邊相同的角的概念、其符號表示、集合表示教學方法 本節(jié)教學方法采用教師引導下的討論法，通過多媒體課件在教師的帶領(lǐng)下，學生發(fā)現(xiàn)就概念、就方法的不足之處，進而探索新的方法，形成新的概念，突出數(shù)形結(jié)合思想與方法在概念形成與形式化、數(shù)量化過程中的作用，是一節(jié)體現(xiàn)數(shù)學的邏輯性、思想性比較強的課.教學過程環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖情境引入復習靜態(tài)數(shù)學觀下，按圖形組合方式定義角.復習動態(tài)的數(shù)學觀指導下，按“圖形（旋轉(zhuǎn)）變換”的方式定

3、義角.提問角是數(shù)學中最常見的基本圖形之一，按圖形組合的方式來看，角是由哪些基本的圖形組成的呢？解答有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角.提問不加任何描述條件，兩條共端點的射線組成幾個角？這兩個角之間有什么關(guān)系？它們的取值范圍是多少？解答兩個，和為360，0360（大于等于0且小于360）.提問在圖上我們?nèi)绾螀^(qū)分這兩個角？解答標示、添加描述條件等提示演示為了解決上述問題，我們看另一種定義方式.即，一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一位置所形成的圖形叫做角.提問兩種定義方式有什么異同之處？解答角組合式旋轉(zhuǎn)式邊兩條射線一條射線，另一邊是其經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換的結(jié)果頂點公共端點旋轉(zhuǎn)中心個數(shù)兩個？范圍036

4、0？思考在旋轉(zhuǎn)式定義方式下，我們會產(chǎn)生這樣的質(zhì)疑：一次旋轉(zhuǎn)而得的角有幾個？兩條射線一次組合產(chǎn)生的兩個角，如何用旋轉(zhuǎn)的方式表示？當旋轉(zhuǎn)超過一周時，如何描述旋轉(zhuǎn)量？發(fā)現(xiàn)靜態(tài)數(shù)學觀下，按“圖形組合”的方式定義角的概念有很大的局限性.比較兩種角的定義，發(fā)現(xiàn)差異，為角的概念的推廣做準備概念形成任意角的概念按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫做正角；按照順時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫做負角；當射線沒有旋轉(zhuǎn)時，叫做零角.在畫圖時，常用帶箭頭的弧來表示旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的絕對量.旋轉(zhuǎn)生成的角，又常叫做轉(zhuǎn)角.任意角的圖示方法如圖(課本圖11)，射線OA繞端點O旋轉(zhuǎn)到OB的位置所成的角，記作AOB，其中OA叫做AOB的始邊，OB

5、叫做AOB的終邊.以O(shè)B為始邊，OA為終邊的角記作BOA. 顯然，當我們用旋轉(zhuǎn)的方式定義角時，原有的角的范圍必須被擴充.任意角的概念我們用旋轉(zhuǎn)變換的觀點來擴充角的概念，即解決旋轉(zhuǎn)變換的三個要素（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量）對角的概念有什么影響？旋轉(zhuǎn)方向：旋轉(zhuǎn)變換的方向分為逆時針和順時針兩種，這是一對意義相反的量，根據(jù)以往的經(jīng)驗，我們可以把一對意義相反的量用正負數(shù)來表示，那么質(zhì)疑一中提到的問題就可以解決了；旋轉(zhuǎn)量：當旋轉(zhuǎn)超過一周時，旋轉(zhuǎn)量即超過360，角度的絕對值可大于360.這樣質(zhì)疑二中的問題就可以解決了；旋轉(zhuǎn)中心：作為角的頂點.板書畫圖按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫做正角；按照順時針方向旋轉(zhuǎn)而

6、成的角叫做負角；當射線沒有旋轉(zhuǎn)時，叫做零角.在畫圖時，常用帶箭頭的弧來表示旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的絕對量.旋轉(zhuǎn)生成的角，又常叫做轉(zhuǎn)角.如圖(課本圖11)，射線OA繞端點O旋轉(zhuǎn)到OB的位置所成的角，記作AOB，其中OA叫做AOB的始邊，OB叫做AOB的終邊.以O(shè)B為始邊，OA為終邊的角記作BOA.例：AOB120，BOA120.以旋轉(zhuǎn)變換的要素為線索，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)式定義是如何擴充角的概念的應(yīng)用舉例例題如圖（課本圖12），射線OA繞端點O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的絕對量超過了周角，按照圖中箭頭所指的方向和弧線表示的周數(shù)，可以表示角的度數(shù).練習讀角練習教師講解，學生練習在實踐中鞏固所學概念概念應(yīng)用角的合成與運算問題各角和的

7、旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和.角的合成與運算例題課本P4小結(jié)各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和.根據(jù)已有的定義，我們可以發(fā)現(xiàn)：如果把度數(shù)相同的角看成是一個角，那么角和實數(shù)之間可以形成一一對應(yīng)的關(guān)系.于是，角的合成可以用實數(shù)運算來表示.練習課本P7.練習A.5題課本P6練習A.2題（3）讓學生體會數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用概念形成如果當角與角的始邊重合時，它們的終邊也重合，那么我們稱角與角是終邊相同的角.一般地，如果是終邊相同的角，那么我們記，當k0時，兩個角相同.終邊相同的角的集合形式：設(shè)表示任意角，所有與終邊相同的角，包括本身構(gòu)成一個集合，這個集合可記為如果我們固定角的始邊，因其終邊可以任意旋轉(zhuǎn)，故而可以

8、構(gòu)成任意度數(shù)的角，而通過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)，這些角中有很多角的邊是重合的.因此我們定義：終邊相同的角定義如果當角與角的始邊重合時，它們的終邊也重合，那么我們稱角與角是終邊相同的角.表示方法思考終邊相同的角度數(shù)相等么？反之，度數(shù)相等的角終邊相同么？解答終邊相同的角度數(shù)不一定相等；而度數(shù)相等的角終邊一定相同？思考終邊相同的兩個角的度數(shù)有什么關(guān)系？解答終邊相同的兩個角的位置關(guān)系是兩邊重合，數(shù)量關(guān)系是差是360的整數(shù)倍.思考設(shè)是終邊相同的兩個角，如何用符號語言表示其數(shù)量關(guān)系？解答，通過變形可以得到小結(jié)一般地，如果是終邊相同的角，那么我們記，當k0時，兩個角相同.說明我們來總結(jié)一下，如何把終邊相同的角的圖

9、形變換特性轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系形式的.從角的旋轉(zhuǎn)式定義看，終邊相同角的本質(zhì)特征是：每旋轉(zhuǎn)360的整數(shù)倍后兩角重合.旋轉(zhuǎn)初值整數(shù)k形式化旋轉(zhuǎn)次數(shù)強調(diào)建立坐標系的方法360單位旋轉(zhuǎn)量終邊相同的角的集合設(shè)表示任意角，所有與終邊相同的角，包括本身構(gòu)成一個集合，這個集合可記為.集合中的每一個元素都與的終邊相同，當k0時，對應(yīng)元素為.定義終邊相同的角引導學生發(fā)現(xiàn)終邊相同的角的表示方法借助終邊相同的角的表示方法，研究旋轉(zhuǎn)變換的數(shù)量表示形式，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想與方法應(yīng)用舉例1寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并在0360內(nèi)找出與它們終邊相同的角.（1）150（2）650（3）950152課本P6.例4教師講解，學

10、生練習在實踐中鞏固所學概念概念推廣從終邊相同的角的符號表示方法推出符號表示終邊滿足一定條件的角的方法例如，表示角每次旋轉(zhuǎn)180，角與角的終邊關(guān)于原點對稱.表示角每次旋轉(zhuǎn)90，角與角的終邊關(guān)于坐標軸對稱.角與角的終邊關(guān)于x軸對稱等.四符號表示終邊滿足一定條件的角例題已知，角45，角的終邊與角的終邊關(guān)于原點對稱，寫出角的集合S.解答思考比較與角終邊相同的角的集合，你能發(fā)現(xiàn)什么？討論小結(jié)在中，表示旋轉(zhuǎn)初值，整數(shù)k表示旋轉(zhuǎn)次數(shù)，360表示單位旋轉(zhuǎn)量.改變這些常數(shù)，表示不同的旋轉(zhuǎn)過程.例如，表示角每次旋轉(zhuǎn)180，角與角的終邊關(guān)于原點對稱.思考類似地請你自己做一些探究.結(jié)論表示角每次旋轉(zhuǎn)90，角與角的終邊

11、關(guān)于坐標軸對稱.角與角的終邊關(guān)于x軸對稱等.終邊相同的角的表示方法的推廣，即旋轉(zhuǎn)變換的數(shù)量表示形式、數(shù)形結(jié)合的思想與方法的練習，這是本節(jié)的提升點重點在于讓學生建立起圖形變換可以通過數(shù)量關(guān)系式加以描述的觀念，并掌握具體方法用探究所得的思想和方法解決新問題應(yīng)用舉例例題課本P5.例3；練習寫出終邊在y軸上的角的集合；（課本P7.練習B.1）寫出終邊在一、三象限角平分線上的角的集合.（課本P7.練習B.2）課本P7.練習B.3教師講解，學生練習在實踐中鞏固所學概念概念推廣平面內(nèi)任意一個角都可以通過移動，使角的頂點和平面直角坐標系的原點重合，角的始邊和x軸的正半軸重合，這時，角的終邊在第幾象限，就把這個角叫做第幾象限的角.五象限角的概念今后我們通常在平面直角坐標系中討論角.定義平面內(nèi)任意一個角都可以通過移動，使角的頂點和平面直角坐標系的原點重合，角的始邊和x軸的正半軸重合，這時，角的終邊在第幾象限，就把這個角叫做第幾象限的角.將任意角等概念與坐標系相結(jié)合，為三角函數(shù)做準備應(yīng)用舉例例題課本P7.練習A.4課本P7.練習B.4如果用數(shù)軸上的點表示角度，象限角所對應(yīng)的點如何分布？新學案P1.例題2教師講解，學生練習第3題，