《解題達人》（2022）高三二輪小題專練——數列新定義A

1、試卷第 =page 3 3頁，共 =sectionpages 3 3頁試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁解題達人（2022）高三二輪小題專練數列新定義A一、單選題1南宋楊輝在他年所著的詳解九章算術一書中記錄了一種三角形數表，稱之為“開方作法本源”圖，即現在著名的“楊輝三角”，如圖是一種變異的楊輝三角，它是將數列各項按照上小下大，左小右大的原則寫成的，其中是集合且中所有的數從小到大排列的數列，、下列結論錯誤的是（ ）A第四行的數是、BCD2已知數列的前項和為，且，若，則稱項為“和諧項，則數列的所有“和諧項”的平方和為（ ）ABCD3若在數列an中，對任意正整數

2、n，都有 (p為常數)，則稱數列an為“等方和數列”，稱p為“公方和”，若數列an為“等方和數列”，其前n項和為Sn，且“公方和”為1，首項a11，則S2 014的最大值與最小值之和為A2 014B1 007C1D24如果一個數列由有限個連續(xù)的正整數按從小到大的順序組成（數列的項數大于2），且所有項數之和為，那么稱該數列為“型標準數列”，例如，數列為“型標準數列”，則“型標準數列”的個數為（ ）ABCD5若數列中不超過的項數恰為，則稱數列是數列的生成數列，稱相應的函數是數列生成的控制函數.已知，且，數列的前項和，若，則的值為（ ）A9B11C12D146已知數列的前n項和為，且，若，則稱項為“

3、和諧項”，則數列的所有“和諧項”的平方和為（ ）ABCD7已知數列滿足(為常數)，則稱為等比差數列，叫做公比差，若是以為公比差的等比差數列，其中，則（ ）ABCD8設正整數，其中，記，則以下命題正確的個數是（ ）；.A4B3C2D19已知數列具有性質P：對任意，與兩數中至少有一個是該數列中的一項，現給出以下四個命題：數列0，1，3具有性質P；數列0，2，4，6具有性質P；若數列A具有性質P，則；若數列具有性質P，則其中真命題有A4個B3個C2個D1個10對于數列，若存在常數M，使得對任意正整數n，與中至少有一個不小于M，則記作，那么下列命題正確的是（ ）A若，則數列各項均不小于MB若，則C若，

4、則D，則11記不超過x的最大整數為，如，.已知數列的通項公式，則使的正整數n的最大值為（ ）A5B6C15D1612若一個數列的第m項等于這個數列的前m項的乘積，則稱該數列為“m積列”.若各項均為正數的等比數列an是一個“2022積數列”，且a11，則當其前n項的乘積取最大值時，n的最大值為（ ）A1009B1010C1011D2020第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明二、填空題13定義為數列的均值,已知數列的均值,記數列的前項和是,若對于任意的正整數恒成立,則實數k的取值范圍是_14數列滿足：對任意的且，總存在，使得，則稱數列是“美好數列”現有以下四個數列：；其中是“美好數列”

5、的是_（把序號填寫在橫線上）15一個有限數列、的部分和定義為，其中，稱為該有限數列的“凱森和”已知一個有項的數列、的“凱森和”為，則有項的數列、的“凱森和”為_16記表示數列的前項的積，如，若數列滿足，則_答案第 = page 12 12頁，共 = sectionpages 12 12頁答案第 = page 1 1頁，共 = sectionpages 2 2頁參考答案：1C【解析】【分析】根據規(guī)律可知第行從左至右第個數對應且第行共有個數；根據第四行對應的項可依次求得第四行的數，知A正確；由對應，代入可知B正確；由對應，代入可知C錯誤；由對應，代入可知D正確.【詳解】利用表示每一項，可知第一行對

6、應；第二行從左至右對應，；第三行從左至右對應，依次類推，可知第行從左至右第個數對應且第行共有個數；對于A，第四行從左至右對應，即第四行的數為，A正確；對于B，對應第行從左至右第個數，即對應，B正確；對于C，對應第行從左至右第個數，即對應，C錯誤；對于D，對應第行從左至右第個數，即對應，D正確.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是能夠根據數字排列的規(guī)律總結得到第行從左至右第個數對應，通過確定每個選項中的項對應的位置可求得結果.2D【解析】【分析】根據，得到，兩式相減得到，從而得到數列的通項公式，根據“和諧項的定義可得，再利用等比數列的前項和可得答案.【詳解】，-得，即，故，所以數列的所有

7、“和諧項”的平方和為.故選：D.3D【解析】【詳解】由題意可知，首項a11，a20，a31，a40，a51，從第2項起，數列的奇數項為1或1，偶數項為0，S2 014的最大值為1 007，最小值為1 005，S2 014的最大值與最小值之和為2.本題選擇D選項.4B【解析】【分析】利用等差數列的前項和公式得出這個有限連續(xù)正整數數列的首項與項數的關系，然后分析其所有取值可能性.【詳解】設這連續(xù)的正整數有個，第一個數為，則由題意得：，整理得，因為，且與一奇一偶，所以與的可能值為與，與與，與共三組，所以“型標準數列”有組.故選：B.【點睛】本題考查數列新定義問題，考查等差數列的前項和公式及應用，難度

8、一般,理解題目意思是關鍵.5B【解析】【分析】根據生成數列的定義，先求出，然后分為偶數和奇數討論即可求解.【詳解】解：由題意可知，當為偶數時，可得，則；當為奇數時，可得，則，所以，則當為偶數時，則，因為，所以無解；當為奇數時，所以，因為，所以，故選：B.6D【解析】當時，又由，兩式相減，得到，求得，得到數列的所有“和諧項”為，結合等比數列的求和公式，即可求解.【詳解】由，可得，當時，又由，兩式相減，可得，即，即，則數列從第二項起是公比為2的等比數列，即，又由，即，可得，所以“和諧項”共有項，則數列的所有“和諧項”為，可得數列的所有“和諧項”的平方和為.故選：D.【點睛】與數列的新定義有關的問題

9、的求解策略：1、通過給出一個新的數列的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯系所學的知識和方法，實心信息的遷移，達到靈活解題的目的；2、遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使得問題得以解決.7D【解析】【分析】首先判斷數列是以首項為，公差為的等差數列，然后求出，進而利用累乘法可以求出.【詳解】方法一：有題設可知：數列是以為公比差的等比差數列，則故數列是以首項為，公差為的等差數列，故故則由故將上式左右兩邊分別相乘，則(注)故故故選方法二：數列是以為

10、公比差的等比差數列，則故數列具以首項為，公差為的等差數列，故故由故則.故選:.8B【解析】【分析】利用的定義可判斷選項的正誤，利用特殊值法可判斷選項的正誤.【詳解】對于，所以，正確；對于，取，而，則，即，錯誤；對于，所以，所以，因此，正確；對于，故，正確.故選：B9B【解析】【詳解】考點：數列的應用分析：根據數列A：a1，a2，an（0a1a2an，n3）具有性質P：對任意i，j（1ijn），aj+ai與aj-ai兩數中至少有一個是該數列中的一項，逐一驗證，可知錯誤，其余都正確解：對任意i，j（1ijn），aj+ai與aj-ai兩數中至少有一個是該數列中的項，數列0，1，3中，a2+a3=1+

11、3=4和a3-a2=3-1=2都不是該數列中的數，故不正確；數列0，2，4，6，aj+ai與aj-ai（1ij3）兩數中都是該數列中的項，并且a4-a3=2是該數列中的項，故正確；若數列A具有性質P，則an+an=2an與an-an=0兩數中至少有一個是該數列中的一項，0a1a2an，n3，而2an不是該數列中的項，0是該數列中的項，a1=0；故正確；數列a1，a2，a3具有性質P，0a1a2a3a1+a3與a3-a1至少有一個是該數列中的一項，且a1=0，1若a1+a3是該數列中的一項，則a1+a3=a3，a1=0，易知a2+a3不是該數列的項a3-a2=a2，a1+a3=2a22若a3-a

12、1是該數列中的一項，則a3-a1=a1或a2或a3若a3-a1=a3同1，若a3-a1=a2，則a3=a2，與a2a3矛盾，a3-a1=a1，則a3=2a1綜上a1+a3=2a2，故選B10D【解析】通過數列為1，2，1，2，1，2，當時，判斷A；當時，判斷C；當數列為1，2，1，2，1，2，為2，1，2，1，2，時，判斷B；直接根據定義可判斷D正確.【詳解】對于A：在數列1，2，1，2，1，2中，數列各項均大于或等于不成立，故A錯誤；對于B：數列為1，2，1，2，1，2，為2，1，2，1，2，而各項均為3，則不成立，故B錯誤； 對于C：在數列1，2，1，2，1，2中，此時不正確，故C錯誤；對

13、于D：若，則中，與中至少有一個不小于，故正確，故選：D【點睛】本題主要考查數列的性質和應用，解題時要真正理解定義是解題的關鍵，屬于中檔題.方法點睛：特殊數列是常用的解題方法，尤其在命題的判斷中，常采用特殊數列做反例說明命題不正確.11C【解析】【分析】根據取整函數的定義，可求出的值，即可得到答案；【詳解】， ，當時，使的正整數n的最大值為，故選：C12C【解析】根據數列的新定義，得到，再由等比數列的性質得到，再利用求解即可.【詳解】根據題意：，所以，因為an等比數列，設公比為，則，所以，因為，所以，所以，所以前n項的乘積取最大值時n的最大值為1011.故選：C.【點睛】關鍵點睛：本題主要考查數

14、列的新定義以及等比數列的性質，數列的最值問題，解題的關鍵是根據定義和等比數列性質得出以及進行判斷.13【解析】【分析】因為,從而求出,可得數列為等差數列,記數列為,從而將對任意的恒成立化為,即可求得答案.【詳解】 , ,故,則,對也成立,則,數列為等差數列,記數列為.故對任意的恒成立,可化為:,；即,解得,故答案為:【點睛】本題考查了根據遞推公式求數列通項公式和數列的單調性,掌握判斷數列前項和最大值的方法是解題關鍵,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.14【解析】【分析】根據“美好數列”的定義逐個判斷即可.【詳解】解：令，則，所以數列是“美好數列”；令，則，所以，所以數列不是“美好數列”；令，則，所以，所以數列不是“美好數列”；令，則，所以數列是“美好數列”綜上，是“美好數列”的為故答案為：.【點睛】本題主要考查新定義題型，屬于中檔題.15【解析】【分析】先求出有項的數列、的“凱森和”，求得的值，再利用“凱森和”的定義可求得有項的數列、的“凱森和”.【詳解】由題意可得，所以，所以，數列、的“凱森和”為.故答案