2013華約數(shù)學(xué)模擬卷2詳解

1、2013 五校聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬二(詳解）一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 3 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.選擇題簡(jiǎn)版：15 BBDAC 610 DABCD6xy(1 3x 2 y)111、設(shè) x 0(, ), y (0, ) ，則代數(shù)式的最大值為.(3x 2 y)(1 3x)(1 2 y)32112B. 1861636A.C.D.【】B】不等式11注意到原題中反復(fù)出現(xiàn)3x 、 2 y ，以及定義域范圍為 x 0(, ), y (0, ) ，32很自然的想到換元來(lái)化簡(jiǎn)原式.【詳解】a ：3x ， b 2 y ， c 1 3x 2 y ，么顯a b c 1然，有所：

2、求代令那數(shù)式abcabc轉(zhuǎn)化為：=(1 c)(1 a)(1 b)(a b)(b c)(a c)而 a、b、c 均為正數(shù)，故由均值不等式有a b 2 ab ， a c 2ac ， b c 2 bcabc= 1 ，故 2 ab 2 ac 2 bc8a 到 b當(dāng) 1 ，x 1且即僅 ， y 1等號(hào)取當(dāng)，故B選264 0sinn2、正整數(shù) n 使方程組： 有解，那么符合條件的sin x1 2 sin x2 n sin xn 100正整數(shù) n 的最小值為.A.16【B.20C.48D.50】B】組合數(shù)學(xué)【詳解】一方面，如果 n1.21當(dāng) n 為非 1 的奇數(shù)時(shí)， n 1為大于 2 的偶數(shù)，故 a 1na

3、n1n由于 a 30 1，所以 n 為偶數(shù)，于是 a 11 1， 所以是奇數(shù)，2nn19：192于是依次 1， n 2 是奇數(shù)；a 19 ,1n 1是偶數(shù)； a8n2 4n 11121142a 11 ,1n 6 是偶數(shù)； a 3 1 ， n 6 是奇數(shù)；n2 1n6 884884a 8 1 ， n 14 是偶數(shù)； a 5 1 ， n 14 是偶數(shù)；n6 1n14 16383168n 14n 46a 5 1 2 1 ， 3 ,12是奇數(shù)； a是偶數(shù)； n14 32n14 133323232a 3 1 1 1 ， n 46 是奇數(shù)； a 2 1 ， n 110 是偶數(shù)；n46 64n46 1 64

4、226464 2 1 1 a1 ，所以 n =238 ，故本題選 Aan1101285、對(duì)于自然數(shù) n，將其各位數(shù)字之和記為 p(n) ，例如 p(1912) 1 9 1 2 13 ，那么p(1) p(2) p(2012) .A.28071B.28074C.28077D.28079【】C】雜題【詳解】把 1 到 2012 之間的所有自然看做四位數(shù)（如果 n 不足四位，使之補(bǔ)足 4 位，例如 12 看做 0012，這樣操做不會(huì)影響 p(n) 的值）面添上 0，注意到，1 在千位、百位、十位、個(gè)位上出現(xiàn)的次數(shù)依次為103 ， 2 102（0100,1100），2 102 3 （3 為 2010,2

5、012，2013 十位上的 1）， 2 102 2因此 1 出現(xiàn)的總次數(shù)為103 + 2 102 +2 102 3 + 2 102 2 =1605，類似的 2 在千位，百位，十位，個(gè)位上出現(xiàn)的次數(shù)依次為：13 、 2 102 ， 2 102 ，2 102 2 ，因此 2 出現(xiàn)的總次數(shù)為 615，類似的，可以求出i ，（ i 3,4,9 ）出現(xiàn)的總次數(shù)均為2 102 3 1 601，故 p(1) p(2) p(2012) 1605 1故本題選 C.+601 （3+4+.+9)=280772x y 20036、若正整數(shù) a, b, c 滿足 a b c ，使得關(guān)于 x, y 的方程組 y 恰好x

6、a x b x c僅有一解，則 c 的最小值為A.667【B.668C.1001D.1002】D】絕對(duì)值函數(shù)【詳解】由于一個(gè) y 與 x 是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以已知條件相當(dāng)于，方程：2x x a x b x c =2003 僅有一解.記 f (x) = 2x x a x b x c ，顯然 f (x) 是續(xù)函數(shù)，且當(dāng) x 時(shí)， f (x) ，x 時(shí)， f (x) x a b c .若存在 R ，使得 f ( ) 0，那么 c b 至少是b2 1的 1 倍，所以c b2 b 1，則c2 1 (b2 b 1)2 1 a2 1b2 1，與已知的等式，故舍去（6 分）（2） c b 是b2 1的倍數(shù)，同理有 c b2 b 1 c2 1 (b2 b 1)2 1由（1）的因式分解得：= (b2 1)(b 1)2 1（6 分） a2 1(b2 1) (c2 1) (b2 1)(b2 2b 2) ，b2 1 a2 1 (b 1)2 1 a b 1 a b 1（8 分）從而 a, b 不同奇偶，從而 a2 1和b2 1 不同奇偶，而 a2 1和b2 1都是質(zhì)