第十一章角平分線的性質(zhì)

1、第十一章 角平分線的性質(zhì)一 學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 了解角是軸對稱圖形和角平分線的定義，會(huì)用尺規(guī)作一個(gè)角的平分線；2. 掌握角平分線的性質(zhì)和判定；3. 綜合應(yīng)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決相關(guān)問題。二 重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)和判定。難點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用。三 考點(diǎn)分析對角平分線的定義及角平分線的作法進(jìn)行單獨(dú)命題在中考中是比較少見的，但這兩個(gè)知識點(diǎn)屬于基礎(chǔ)知識，出題者往往將其與線段的垂直平分線、等腰三角形、四邊形等知識綜合在一起進(jìn)行命題，題型多為作圖題，屬中檔難度題。角平分線的性質(zhì)是本章的重要內(nèi)容，它是除了用三角形全等證明線段相等之外的又一個(gè)證明線段相等的重要方法。中考命題中，多將角平

2、分線的作法及性質(zhì)與其他知識點(diǎn)結(jié)合在一起進(jìn)行考查，題型多為選擇、填空、作圖題，分值在36分。這就要求學(xué)生必須熟練掌握用尺規(guī)作圖法作角平分線的要領(lǐng)，并會(huì)應(yīng)用角平分線的定義、性質(zhì)解決相關(guān)問題。四 課時(shí)安排安排一小時(shí)五 教學(xué)方法探究歸納法，實(shí)踐法六 教學(xué)過程1.知識梳理1） 角平分線的定義2）角平分線的尺規(guī)作法3） 角平分線的性質(zhì)4）角平分線的判定2.新授知識點(diǎn)一 作角平分線例1：如圖，已知點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過作直線，使于。思路分析：由于AB是直線，要求作，實(shí)際上就是要作平角的平分線。根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖法就可以作出直線CM。解答過程：作法：1、以C為圓心，適當(dāng)?shù)拈L為半徑畫弧，與CA、CB分別交于點(diǎn)D

3、、E；2、分別以D、E為圓心，大于的長為半徑畫弧，使兩弧交于點(diǎn)M；3、作直線CM。所以，直線CM即為所求。解題后的思考：此題要求“大于的長為半徑”的理由是：半徑如果小于，則兩弧無法相交；而半徑如果等于，則兩弧交點(diǎn)位于C點(diǎn)處，無法作出直線CM。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不光要知道怎么做題，還要知道為什么要這樣做。小結(jié)：本題屬于作圖題。在解決作圖題時(shí)要求做到規(guī)范地使用尺規(guī)，規(guī)范地使用作圖語言，規(guī)范地按照步驟作出圖形，并且作圖的痕跡要保留，不能擦掉。知識點(diǎn)二 角平分線的性質(zhì)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。角平分線性質(zhì)的符號語言：在的平分線上于，于例2：如圖，是的角平分線，垂足分別是。連接，交于點(diǎn)。說出與之間

4、有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論。思路分析：兩條線段之間的關(guān)系有長度和位置兩種關(guān)系，因此我們可以從這兩方面去猜測判斷。角是以其平分線為對稱軸的軸對稱圖形，此題可以利用這一點(diǎn)進(jìn)行判斷。解答過程：，且證明：平分，垂足分別是在和中（HL）在DGE和DGF中（SAS），且。解題后的思考：通過此題我們知道，證明兩條線段相等，除了利用全等三角形的性質(zhì)外，還可以利用角平分線的性質(zhì)。這樣我們又多了一種證明線段相等的辦法。在利用角平分線的性質(zhì)時(shí)，“角平分線”和“兩個(gè)垂直”這兩個(gè)條件缺一不可。例3：如圖，是的外角的平分線上一點(diǎn)，于，于，且交的延長線于。求證：。思路分析：由已知條件，可以利用角平分線的性質(zhì)得到DEDF。而要

5、證明CECF，只要證明以它們?yōu)檫叺膬蓚€(gè)三角形全等即可。將兩者結(jié)合起來分析就不難找到思路。解答過程：CD是的平分線，于，于，在和中（HL）解題后的思考：利用角平分線的性質(zhì)可以證明線段相等，而線段相等可能又是證明其他結(jié)論所需要的條件。小結(jié)：運(yùn)用角平分線的性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意以下三個(gè)問題：（1）這里的距離指的是點(diǎn)到角的兩邊的垂線段的長；（2）該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，不需要再用全等三角形的性質(zhì)；（3）使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線、有兩個(gè)垂直。知識點(diǎn)三 角平分線的判定到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。角平分線判定的符號語言：于，于且在的平分線上（或?qū)懗墒堑钠椒志€）例4：如圖，于，于

6、，和交于點(diǎn)。求證：平分。思路分析：要證平分，已知條件中已經(jīng)有兩個(gè)垂直，即已經(jīng)有點(diǎn)到角的兩邊的距離了，只要證明這兩個(gè)距離相等即可。而要證明兩條線段相等，可利用全等三角形的性質(zhì)來證明。解答過程：于，于在和中（AAS）又于，于平分。解題后的思考：判定角的平分線時(shí)若題目中只給出一個(gè)條件或，那么得出平分這一結(jié)論是錯(cuò)誤的。例5：如圖，是上兩點(diǎn)，是上兩點(diǎn)，且，試問點(diǎn)是否在的平分線上？思路分析：一方面，要判斷點(diǎn)是否在的平分線上，只要判斷點(diǎn)P到角的兩邊距離是否相等即可；另一方面，由已知條件中三角形面積和底邊相等可以推導(dǎo)出高相等。這樣已知和結(jié)論就聯(lián)系起來了。解答過程：證明：過點(diǎn)P作于D，于E，而又又于D，于E在的

7、平分線上。解題后的思考：利用面積證明相關(guān)結(jié)論是一種常見方法。面積法有著其他方法所不具有的優(yōu)勢，比如它不要求考慮線段的位置關(guān)系。小結(jié)：角平分線的判定與角平分線的性質(zhì)是互逆的。判定角的平分線要滿足兩個(gè)條件：“垂直”和“相等”。若已知“垂直”則設(shè)法證明“相等”，若已知“相等”則設(shè)法證明“垂直”。知識點(diǎn)四 角平分線的綜合應(yīng)用例6：如圖，在中，平分，于，在上，。求證：。思路分析：由已知條件很容易得到DCDE；要證明CFEB，只要證明其所在三角形全等即可，再由此去找全等條件。解答過程：平分，在與中（HL）。解題后的思考：掌握角平分線的性質(zhì)和判定固然重要，但學(xué)會(huì)分析題目所給條件更是解決問題的關(guān)鍵。例7：如圖

8、，已知在中，。求證：平分。思路分析：有兩種方法證明平分：一是直接利用定義證明；二是利用角平分線的判定，證明點(diǎn)D到角的兩邊距離相等。仔細(xì)觀察，前者需要證明三角形全等，但此題使用全等條件中的“邊邊角”，無法證明兩個(gè)三角形全等。后者通過作垂線構(gòu)造出三角形，其條件足以證明兩個(gè)三角形全等。解答過程：過點(diǎn)D作于E，于F故， 在與中（AAS）又于E，于F平分。解題后的思考：當(dāng)題目中有角平分線這一條件時(shí)，解題時(shí)常過角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線；當(dāng)有垂線這一條件時(shí)，常作輔助線得到角的平分線。小結(jié)：用角平分線證明線段相等或角相等時(shí)，常常與證明三角形全等配合使用，證明時(shí)要先觀察需證明的線段或角（或通過等量代換得到

9、的線段或角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中。提分技巧本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了角平分線的性質(zhì)和判定，它們都可以通過三角形全等得出證明；這樣，我們又得到了證明線段相等或角相等的一種方法。在解題中若能用它們直接得出線段或角相等時(shí)，就不需要再通過證明三角形全等來間接證明，這樣可以減少這一條件麻煩。在利用角平分線的性質(zhì)時(shí)，可由“角平分線”和“距離”這兩個(gè)條件得出線段相等，這兩個(gè)條件缺一不可；同理，在利用角平分線的判定這一條件時(shí)，可由“距離”和“線段相等”這兩個(gè)條件得出角平分線，這兩個(gè)條件也是缺一不可的。3鞏固練習(xí)練習(xí)1，2，3.4.作業(yè)七 板書設(shè)計(jì)知識點(diǎn)清單標(biāo)題所學(xué)知識點(diǎn)對應(yīng)的習(xí)題八 教學(xué)反思（答題時(shí)間：45分

10、鐘）一、選擇題：1. 到三角形三條邊的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的（ ）A. 三條中線的交點(diǎn)B. 三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C. 三條高的交點(diǎn)D. 三條角平分線的交點(diǎn)2. 在中，平分，交于點(diǎn)，若，且，則點(diǎn)到的距離為（ ）A. 18B. 16C. 14D. 123. 如圖，直線表示三條互相交叉的公路，現(xiàn)要修建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離都相等，則可供選擇的地址有（ ）A. 一處B. 兩處C. 三處D. 四處4. 如圖，在中，是的平分線，交于，若，則的面積是（ ）A. nB. C. D. 5. 如圖，中，點(diǎn)為的三條角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)分別是垂足，且，則點(diǎn)到三邊的距離分別等于（ ）A. 2、2、2B. 3、3、3C. 4、4、4D. 2、3、5二、填空題：6. 如圖，已知分別是，的平分線，垂足分別為，則與有怎樣的數(shù)量關(guān)系_。7. 已知中，平分，點(diǎn)到的距離等于5.6，則的長為_。8. 如圖，BD是的平分線，于E，于F，則DE的長是_。三、解答題：9. 如