大學物理： 量子物理第二章薛定諤方程

1、PAGE 薛定諤方程德布洛意關(guān)于物質(zhì)波的概念傳到蘇黎世后，薛定諤作了一個關(guān)于物質(zhì)波的報告，報告后， 德拜(P.Debye)評論說：有了波， 就應有一個波動方程。幾個月后，薛定諤果然提出了一個波方程，這就是后來在量子力學中著名的薛定諤方程。薛定諤方程是量子力學的動力學方程，象牛頓方程一樣，不能從更基本的方程推導出來；它是否正確，只能由實驗檢驗。1 薛定諤方程的建立(一種方法)一.薛定諤方程1.一維薛定諤方程 一維自由運動粒子 無勢場，不受力，動量不變。 一維自由運動粒子的波函數(shù)(前已講) (x, t) = 0 e-i(2/h) (Et px) x= ( )Pih2 x2P 2h2= -( ) 由

2、此有 P22mE = t= ih ( ) (x, t)h22m-( ) (x, t)x2 2再利用 可得此即 一維自由運動粒子(無勢場)的薛定諤方程 推廣到若粒子在勢場U(x, t) 中運動P22mE = +U(x, t) 由 有 t= ih ( ) h22m-( ) 2x2+ U(x, t) 一維薛定諤方程式中 = (x, t)是粒子在勢場U= U(x, t) P22mE = +U(x, t) 中運動的波函數(shù)和經(jīng)典關(guān)系 相比較,只要把 tE ih( ) xP -ih( ) 再作用到波函數(shù) (x, t) 上，即可得到 上述方程。 2.三維薛定諤方程式由一維方程推廣可得三維薛定諤方程式= ih

3、( ) (r, t ) h2 t2m-+ U(r, t) (r, t)2 拉普拉斯算符2x22y22 +2z2 (三維薛定諤方程式在球坐標下的形式請見 教材p159) 當 U(r, t) = 0時，方程的解， 即三維自由運動粒子的波函數(shù)(r, t) =0 e(-i / h) (E t p r )波函數(shù)的疊加原理 薛定諤方程是 的線性微分方程；若1、2是方程的解， 則 c11 + c22也是方程的解。 (c1 、c2是常數(shù))E.Schrodinger & P.A.M.Dirac 榮獲 1933年Nobel Prize (for the discovery of new productive fo

4、rms of atomic theory)薛定諤(1887-1961)奧地利人創(chuàng)立量子力學二.定態(tài)薛定諤方程1.一維定態(tài)薛定諤方程若粒子在恒定勢場 U = U (x) 中運動 (含常數(shù)勢場U = U0 ) 薛定諤方程式可用分離變量法求解。(1)分離變量把波函數(shù)寫為 (x,t) = (x)T(t) 代入一維薛定諤方程 t= ih ( ) h22m-( ) 2x2+ U(x) ihdT(t)d t= ET(t) (1)則分為兩個方程h22m-+ U(x) (x) = E (x) (2) d2dx2 E在這里是分離常數(shù)，與x、t無關(guān) (1)式的解 T(t) = ce-(i/h)Et 由量綱分析可知，

5、E具有能量的量綱。(2)一維定態(tài)薛定諤方程h22m-d2dx2= E (x) +U(x) (x) 式(2)即 一維定態(tài)薛定諤方程 定態(tài)波函數(shù) = (x) 它所描寫的粒子的狀態(tài)稱作定態(tài)，是能 量取確定值的狀態(tài)。概率密度 (x,t) *(x,t) (x) *(x) 定態(tài)下的概率密度和時間無關(guān) 2.三維定態(tài)薛定諤方程 U= U(r) 或 U(x,y,z)同樣可得 三維定態(tài)薛定諤方程= E(r) h22m-+ U(r) (r)2三.波函數(shù)的物理條件 用來描寫實物粒子的波函數(shù)應滿足下列 物理條件1.標準條件： (x)必須 單值、有限、連續(xù)因為，粒子的概率在任何地方只能有一個值； 不可能無限大； 不可能在

6、某處發(fā)生突變。 2.歸一化條件 粒子在空間各點的概率總和應為l全空間 (r, t) *(r, t) d = 1 定態(tài)下 全空間 (r ) *(r ) d = 1 一維定態(tài)- (x) *(x) dx = 1 *在量子力學中用 薛定諤方程式 加上 波函數(shù)的物理條件求解微觀粒子在一定的勢場中的運動問 題(求波函數(shù)，狀態(tài)能量，概率密度 等)例27.1(P159)一質(zhì)量為m的粒子在自由空間繞一定點做圓周運動，圓半徑為r。求粒子的波函數(shù)并確定其可能的能量和角動量。解：定態(tài)波函數(shù)只是方位角的函數(shù)，設(shè) 薛定諤方程 利用有限、連續(xù)、單值、歸一得出 定態(tài)波函數(shù) 粒子波函數(shù)(含t 波函數(shù)) 式中ml = 1，2，能

7、量量子化 角動量量子化 2 一維無限深方勢阱中的粒子 求解定態(tài)薛定諤方程：給定勢函數(shù)U(x)，求解能量和波函數(shù) (結(jié)構(gòu)問題)；給定勢函數(shù)U(x)和入射能量E(總能量)，求解粒子的波函數(shù) (散射問題)。 一.一維無限深方勢阱中的粒子a金屬U(x)U=U0U=U0EU=0 x極限U=0EUUU(x)x0a 一維無限深方勢阱 模型：金屬內(nèi)部自由電子運動，很難逸出金屬表面。不考慮點陣離子的電場時，可認為是無限深方勢阱。U(x)x0a1.勢函數(shù) U(x) = 0 (0 x a) (x 0, x a) 粒子可在區(qū)范圍內(nèi) 自由運動，但不能到 達區(qū)和區(qū)。 2.定態(tài)薛定諤方程h22m-( )(x) = E (x

8、)d2dx2阱內(nèi) k2 =2mEh2令+k2 (x) = 0d2 (x)dx2 則阱內(nèi)方程 3.分區(qū)求通解阱外： 1(x) = 0 ；3(x) = 0 阱內(nèi)： 2(x) = Asin(kx +) A、：待定常數(shù)。4.由波函數(shù)物理條件定具體解單值條件已滿足 有限條件已滿足由連續(xù)條件： 2(0) =1(0) = 0 Asin =02(a) =3(a) = 0 Asinka+ =0 有 = 0 ka = n ， n =1,2,3,于是 2(x) = Asin(n/a)x 由歸一條件： 得 定態(tài)波函數(shù) n =1,2,3,能級： 由 得 n =1,2,3,能量只能取特定的分立數(shù)值(能量本征值)能量量子化

9、 最低能量(零點能) 思考：用不確定關(guān)系說明最低能量為什么 不為零？全部波函數(shù)(含t)波函數(shù)的空間部分稱作能量本征函數(shù)(energy eigenfunction)全部波函數(shù)n(x, t) 稱作能量本征波函數(shù)，它所描寫的 粒子的狀態(tài)稱作粒子的能量本征態(tài) (energy eigenstate) 注意：物理條件的重要性。動量 粒子在阱中的動量：粒子的德布洛意波長： (量子化)無限深方勢阱中粒子的每一個能量本征態(tài)對應德布洛意一個特定波長的駐波。5.概率密度 n(x) = |n (x)|2 xa0E、n(x)、|n(x)|2n = 2n = 1n = 3|n|2Enn很大量子 經(jīng)典 量子理論：概率密度呈

10、周期性分布；經(jīng)典粒子：概率密度在阱內(nèi)各處相等(粒子在阱內(nèi)自由運動)3 勢壘穿透(barrier penetration)一.一維勢壘粒子從x = - 處以確定能量E入射；給定勢函數(shù)U(x)；解定態(tài)薛定諤方程，求粒子的波函數(shù)和概率分布。兩塊金屬或半導體接觸處勢能隆起，形xoEU = 0U= U0U (x)I區(qū)II區(qū) 成勢壘。1.勢函數(shù) U(x) = 0 ， (x 0) 入射能量 E U02.定態(tài)薛定諤方程h2+ 1(x) =0, (x0)令+k21(x) = 0, (x 0)d22(x)dx22mh22m(E - U0) = - 2 , ( 0)令 - 22(x) = 0, (x0)d22(x)

11、dx2有 3.通解 1(x) = Aeikx + Be-ikx 2(x) = Ce-x + Dex4.物理條件有限：當x 時，2(x) 應有限， 得 D = 0，于是 1(x) = Aeikx + Be-ikx (波動型解) 入射波 反射波 2(x) = Ce-x (指數(shù)型解)oxE (x)U = 0U= U0U(x)I區(qū)II區(qū)其他常數(shù)均可定出5.概率密度( x 0區(qū)) |2(x)|2 e-2x|2(x)|2 = e-22m(U0 -E)/ h2 x 可見x 0區(qū)(E U0)粒子出現(xiàn)概率 0 (和經(jīng)典不同)U0、x 概率 電子逸出金屬表面的模型 量子：電子透入勢壘，在金屬表面形成一 層電子氣。

12、 經(jīng)典：電子不能進入E(總能量) 0區(qū)域， E 0區(qū)域，概率密度： |2(x)|2 = C 2e-2x當x = 1/2 時，概率密度降為1/e2h2x =1=22m(U0 E )位置不確定度： h=2m(U0 E )p 2x 動量不確定度： =2 (U0 E )/mp m = = 粒子進入的速度粒子進入的時間不確定度t =h4(U0 E )x 粒子能量的不確定度h2 (U0 E )E 2t 粒子的總能量為 E +E 粒子動能的不確定度 Ek = ( E +E ) U0 U0 E 粒子動能的不確定度大于其名義上的負動能的值。負動能被不確定關(guān)系“掩蓋”了， 它是一種觀察不到的“虛” 動能。 二.隧

13、道效應(tunneling effect)Eox (x)U = 0U= U0U (x)aU = 0 (勢壘穿透)透射系數(shù)T：粒子穿透勢壘的概率。 (粒子可到達x a的區(qū)域)h-2a2m(U0 -E)T exp( ) 經(jīng)典量子隧道效應比喻： UU(x)xo (x)核內(nèi)勢壘及粒子的隧道效應例放射性核的 粒子釋放其它例：黑洞黑洞邊界是物質(zhì)(包括光)只能進不能出的“單向壁”；對黑洞內(nèi)的物質(zhì)來說，“單向壁”就是一 個絕高的勢壘；黑洞內(nèi)的物質(zhì)可通過隧道效應逸出 黑洞蒸發(fā) 熱核反應熱核反應是兩個帶正電的核(如2H和3H) 聚合時產(chǎn)生的。兩核間的庫侖斥力作用相當于一高勢壘；2H和3H通過隧道效應聚合到一起：核

14、能越大，勢壘厚度越小，聚合的概率越 大(這是熱核反應需108K的高溫的原因)掃描隧道顯微鏡(Scanning Tunneling Microscope)1986年榮獲諾貝爾獎的掃描隧穿顯微鏡 利用了隧道效應。ABdEU0U0U0電子云重疊ABU隧道電流id探針樣品用隧道效應觀察樣品表面的微結(jié)構(gòu)圖象處理系統(tǒng)掃描探針樣品表面電子云隧道電流I與樣品和針尖間的距離d關(guān) 系敏感： I U exp-A()1/2d 其中： d 樣品和針尖間的距離 U加在樣品和針尖間的微小電壓 A常數(shù) 平均勢壘高度隧道電流是電子波函數(shù)重疊程度的量度， 通過它可“直接看到”樣品表面結(jié)構(gòu)。STM (中國科學院化學研究所研制的CS

15、TM-9000型掃描隧道顯微鏡) 硅表面77重構(gòu)圖象用STM得到的神經(jīng)細胞象用AFM得到的癌細胞的表面圖象三.原子搬遷圖片:量子圍欄： 1993年5月IBM的科學家M.Crommie 等在液氮溫度用電子束將單層的Fe原子 蒸發(fā)到Cu(111)表面，然后用STM針尖 將48個鐵原子排成圓圈， 鐵原子間距：9.5 圓圈平均半徑：71.3 圓圈由分立的鐵原子組成而不連續(xù)，卻能 圍住圈內(nèi)處于銅表面的電子，故稱作量子 圍欄(quantum corral)。根據(jù)鐵原子對表面電子的強散射作用， M.Crommie等最初設(shè)想可以用Fe原子做 成對表面電子的量子化“禁錮”結(jié)構(gòu)，象 圍牲口一樣將電子圍起來。他們的

16、量子圍欄確實起到了這樣的作用。 Fe原子并非密集排列，但卻同一個連續(xù) 圍欄差不多，很少有電子能透過圍欄“逃” 出去。圍欄內(nèi)的電子波如傳播到圍欄處，就會因 Fe原子的強烈散射而被擋回去，從而在 欄內(nèi)形成同心圓狀的駐波，導致圍欄內(nèi)同 心圓狀的局域態(tài)密度起伏。圖中的波紋就 是電子駐波，是世界上首次觀察到的電子 駐波的直觀圖形。MIT的Kastner認為這一成就表明：“你 能做任何人過去作夢也想不到的事情”。由于這一貢獻，賓尼格、羅赫爾和魯斯卡三人分享了 1986年度的諾貝爾物理獎。前兩人是掃描隧道顯微鏡的直接發(fā)明者，第三人是 1932年電子顯微鏡的發(fā)明者，這里是為了追朔他的功勞。附：分子搬遷1991

17、年2月IBM 的“原子書法”小 組又創(chuàng)造出“分子 繪畫”藝術(shù)“CO 小人”。圖中每個白團是 單個CO分子豎立在鉑片表面上的圖象，上端為氧原子，CO分子的間距：0.5 nm； “分子人”身高：5 nm，堪稱為世界上 最小的“小人圖”。操作方法：把STM針尖移到吸附于鉑表 面的CO分子的頂端，釋放一股細小電 流 ，削弱CO分子和鉑表面的結(jié)合力， 變成CO分子和針尖的結(jié)合。這樣CO分 子就會隨針尖移動到新的位置，并粘附到 鉑表面上。多次移動后形成一個可愛的“大腦袋的小人”。移動分子實驗的成功，表明人們朝著用單 一原子和小分子構(gòu)成新分子的目標又前進了一步，其內(nèi)在意義目前尚無法估量。其他還有銻分子，有機分子、水分子搬遷 等。 3 諧振子諧振子模型是一維振動的簡化模型，固體中原子的振動即可用此模型來討論。一.勢函數(shù)U =12m2xkx2 =12