新高一2022年暑假講義第15講 基本不等式的應(yīng)用1（解析版）

1、第15講：基本不等式的應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握對應(yīng)的基本不等式求解最值2掌握公式，湊項，湊系數(shù)，分離，常數(shù)代換，換元，平方等方法求解最值【基礎(chǔ)知識】基本不等式：基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方【考點剖析】考點一：公式直接應(yīng)用例1已知，則的值可能為（ ）A0B1C2D3B【詳解】，即

2、，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，所以的取值范圍為，故選：B變式訓(xùn)練1：已知，且，則的最大值為（ ）ABCDA【詳解】由基本不等式知；（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），的最大值為.故選：A.變式訓(xùn)練2：已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（ ）A有最大值1B有最小值1C有最大值4D有最小值4A【詳解】解：函數(shù)的圖象經(jīng)過點，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選：變式訓(xùn)練3：已知，且，則的最小值為（ ）ABCDB【詳解】因為，且，所以，所以，所以，即當(dāng)且僅當(dāng)即，時等號成立，故的最小值考點二：湊項例2已知，則的最大值為？1；【詳解】因為，所以，則.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號.故的最大值為1.變式訓(xùn)練1：若，則的最小值是_.【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)

3、且僅當(dāng)即時，取等號成立.故的最小值為，故變式訓(xùn)練2：設(shè)，求的最小值；5；【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為5；變式訓(xùn)練3：求函數(shù)的最小值.學(xué)生小明的解答過程如下：使用基本不等式得到，由基本不等式的取等條件有，解得，從而得到，所以函數(shù)的最小值為2.分析小明的過程是否正確，如果不正確請寫出正確的解答過程.錯誤，過程見解析最小值是2【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號才能成立，故值1取不到由勾形函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)在上是增函數(shù)，因此在上是增函數(shù)，時， 所求最小值是2考點三：湊系數(shù)例3設(shè)，則函數(shù)的最大值為（ ）A2BCDD【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即函數(shù)的最大值為.故選：D變式

4、訓(xùn)練1：已知，則的最大值為（ ）ABCDD【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，整理得，即.所以的最大值為.故選：D.變式訓(xùn)練2：設(shè)，則的最大值為（ ）ABCDC【詳解】解：因為0 x，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最大值為，故選：C變式訓(xùn)練3：若，則的最大值為（ ）AB1C2D4B【詳解】因為，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，則的最大值為1.故選：B.考點四：分離例4求的最小值_.9【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立.故9.變式訓(xùn)練1：函數(shù)（）的最小值為（ ）ABCDB【詳解】解：因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以函數(shù)（）的最小值為，故選：B變式訓(xùn)練2：已知，

5、則的最大值是（ ）ABC2D7A【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以 的最大值為故選：A變式訓(xùn)練3：求下列函數(shù)的最小值（1）；（2）；（3）.（1）3；（2）；（3）10.【詳解】（1）（當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時取“=”）即的最小值為3；（2）令，則在是單增，當(dāng)t=2時，y取最小值；即y的最小值為（3）令，則可化為：當(dāng)且僅當(dāng)t=3時取“=”即y的最小值為10考點五：常數(shù)代換（1代換）例5已知，且，則的最小值為（ ）A5B6C7D8D【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，故選：D.變式訓(xùn)練1：若，則的最小值為（ ）ABC5D4B【詳解】解：，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）故選：B變式訓(xùn)練2：已知，則

6、的最小值為（ ）A9B5CDC【詳解】，所以.變式訓(xùn)練3：已知正數(shù)滿足，則的最小值等于（ ）A4BC8D9D【詳解】因為，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等式成立，故選：D考點六：消元例6若實數(shù)滿足，則的最小值為_【詳解】實數(shù)滿足，解得.則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立變式訓(xùn)練1：已知實數(shù)，且，則的最大值為（ ）ABCDB【詳解】由得：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以的最大值為故選：B變式訓(xùn)練2：已知，且，則（ ）A有最大值1，有最小值2B有最大值1，有最小值1C有最大值1，無最小值D無最大值，無最小值C【詳解】由可得，即，即解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取得.由得即故令由雙勾函數(shù)單調(diào)性可知在上為增函數(shù)，故

7、取不到最小值故沒有最小值故選：C變式訓(xùn)練3：已知，若，則的最大值為_【詳解】由條件可知，則，設(shè)，當(dāng)，即時，等號成立，所以的最大值是.故考點七：平方例7已知為正實數(shù)，求的最大值x，y為正實數(shù)，3x2y10，W23x2y2eq r(3x2y)10(3x2y)20，當(dāng)且僅當(dāng)3x2y,3x2y10，即xeq f(5,3)，yeq f(5,2)時，等號成立W2eq r(5)，即W的最大值為2eq r(5).變式訓(xùn)練1：若，則函數(shù)的最大值為（ ）ABCDD【詳解】，令，兩邊平方，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，因此，的最大值為，故選：D.變式訓(xùn)練2：設(shè)正數(shù)，滿足，則的最大值為（ ）ABCDD【詳解】因為

8、正數(shù)，滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最大值為，故選：D考點八：構(gòu)建目標(biāo)不等式例8已知是正數(shù)，且，則的最小值等于_a，b是正數(shù)，且(ab)(a2b)ab9，即(ab)(a2b1)9，即(2a2b)(a2b1)18，可得3a4b1(2a2b)(a2b1)2eq r(2a2ba2b1)6eq r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)2a2ba2b1，即a1，beq f(3r(2)2,2)時，等號成立，即3a4b的最小值為6eq r(2)1.變式訓(xùn)練1：已知正實數(shù)滿足，則的最小值是_【詳解】由已知得，則，因為，所以，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時，等號成立；所以的最小值是.故答案為.變式訓(xùn)練2：已知正實數(shù)滿足，

9、則的最小值為_2【詳解】正實數(shù)x，y滿足，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ实淖钚≈禐?.故2.【過關(guān)檢測】1、若實數(shù)，滿足，則的最大值是（ ）ABCDB【詳解】因為實數(shù)，滿足，為使取得最大值，必有，同號，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時，等號成立，所以，因此的最大值為.故選：B.2、已知為正實數(shù)，且，則的最大值為（ ）A1B2CDC【詳解】由題意，為正實數(shù)，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以的最大值為.故選：C3、已知，則的最大值為（ ）A1B2C4D8C【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以所以的最大值為.故選：C.4、若為正實數(shù)，則的最大值是（ ）ABCDC【詳解】，即，解得：，當(dāng)，即時等號成立，此時的最大值是.故

10、選：C5、已知，且，則（ ）ABCDC【詳解】由，且，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故選：C6、若，則的最大值為（ ）A1BCDC【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號則的最大值為故選：C7、若正實數(shù)滿足，則的最小值為（ ）A1B2C3D4A【詳解】由題意，正實數(shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即，所以，即的最小值為1.故選：A.8、已知，則的最小值是（ ）A1B4C7DC【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：C9、已知實數(shù)若，求的最大值（ ）A1BC4DB【詳解】因為，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，所以的最大值為故選：B.10、當(dāng)時，則的最大值為（ ）ABCDD【詳解】，當(dāng)，即時等號成立，

11、即最大值為，11、已知，則的最大值為（ ）ABCDC【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，整理得，即.所以的最大值為.故選：C.12、已知，則的最大值為（ ）ABCDC【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號.所以的最大值為故選：C13、若則函數(shù)的最大值為（ ）A1B2C4D5A【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故選：A14、已知，則有（ ）A最大值B最小值C最大值3D最小值3D【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即有最小值3.故選：D.15、函數(shù)的最大值為（ ）A3B2C1D-1D【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng),即等號成立.故選：D.16、若函數(shù)在處取最小值，則（ ）

12、AB2C4D6C【詳解】由題意，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以.故選：C.17、若，則有（ ）A最大值B最小值C最大值2D最小值2D【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即有最小值2.故選：D.18、已知，則的最小值是（ ）A3B4C5D6B【詳解】因為，所以,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,故選:B19、已知非負(fù)數(shù)滿足，則的最小值是（ ）A3B4C10D16B【詳解】由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，故選：B20、設(shè)為正數(shù)，且，則的最小值為（ ）ABCDA【詳解】可得，當(dāng)且僅當(dāng)時成立，故選：A21、已知正實數(shù)、滿足，則的最小值為（ ）ABCDA【詳解】設(shè)，可得，解得，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值為.故選：A.22、已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）ABCDC【詳解】解：由題意，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，故選：C.23、已知，則的最小值為（ ）ABCDB【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立