數(shù)字信號(hào)處理（DSP）離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析

1、第二章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析2.2 序列的傅立葉變換2.1 引言一、定義信號(hào)和系統(tǒng)的分析方法：時(shí)域分析方法和頻率分析方法時(shí)間域變換域連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)t x(t)微分方程傅里葉變換X(j)拉氏變換X(s)離散信號(hào)與系統(tǒng)n x(n)差分方程序列傅里葉變換X(ej)離散傅里葉變換X(k)Z變換X(z)Fourier TransformFT存在的條件：序列x(n)滿足絕對(duì)可和求FT的反變換：而序列傅里葉變換對(duì)正變換反變換例:試求矩形序列的傅里葉變換解：設(shè)N=4， 幅度與相位隨變化曲線如下圖R4(n)的幅度與相位曲線 二、序列傅立葉變換的性質(zhì)：1. FT的周期性 因此序列的傅里葉變換是頻率的周期函

2、數(shù)，周期是2。M為整數(shù)由于FT的周期性，一般只分析-+或02之間的FT2. 線性 那么 設(shè) 3. 時(shí)移與頻移證：設(shè)X(e j)=FTx(n)， 那么共軛反對(duì)稱序列：假設(shè)：xo(n) = xor(n) + jxoi(n)那么：-xo*(-n) = -xor(-n) + jxoi(-n)有：xor(n) = -xor(-n) xoi(n) = xoi(-n)實(shí)部為奇函數(shù)虛部為偶函數(shù)4、序列傅立葉變換的對(duì)稱性(1) 共軛對(duì)稱序列與共軛反對(duì)稱序列共軛對(duì)稱序列：假設(shè)：xe(n) = xer(n) + jxei(n)那么：xe*(-n) = xer(-n) - jxei(-n)有：xer(n) = xer

3、(-n) xei(n) = -xei(-n)實(shí)部為偶函數(shù)虛部為奇函數(shù)(2) 用共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列表示一般序列任一序列總可用共軛對(duì)稱序列與共軛反對(duì)稱序列之和表示。x(n) = xe(n) + xo(n)x*(-n) = xe*(-n) + xo*(-n)xe(n) = x(n) + x*(-n)xo(n) = x(n) - x*(-n)= xe(n) - xo(n)(3) 對(duì)于頻域函數(shù)X(ej)，也有類似的結(jié)論：X(ej) = Xe(ej) + Xo(ej)Xe(ej) = Xe*(e-j) Xo(ej) = -Xo*(e-j) 共軛對(duì)稱局部共軛反對(duì)稱局部Xe(ej) = X(ej)

4、+ X*(e-j) Xo(ej) = X(ej) - X*(e-j) (4) FT的對(duì)稱性質(zhì)：a) 將序列x(n)分成實(shí)部xr(n)與虛部xi(n) 即：x(n)=xr(n)+jxi(n)FTxr(n)Xe(ej)FTjxi(n)Xo(ej)則將上式進(jìn)行FT， 得到 X(e j)=Xe(e j)+Xo(e j) 證明式：b) 將序列分成共軛對(duì)稱局部xe(n)和共軛反對(duì)稱局部xo(n)， 即 x(n)=xe(n)+xo(n)將上式進(jìn)行FT， 得到 X(e j)=XR(e j)+jXI(e j) 序列的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量的FT分別等于序列傅立葉變換的實(shí)部和虛部。FTxe(n)ReX(ej

5、)FTxo(n)jImX(ej)則證明式 ：C)實(shí)因果序列h(n)的對(duì)稱性 因?yàn)閔(n)是實(shí)序列，其FT只有共軛對(duì)稱局部He(ej),共軛反對(duì)稱局部為零。 HR(ej)=HR(e-j)HI(ej)=-HI(e-j)因此實(shí)序列的FT的實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù) 即:H(ej)=He(ej)=H*(e-j) h(n)=he(n)+ho(n) 即:實(shí)因果序列完全可以僅由其偶序列恢復(fù)he(n)=1/2h(n)+h(-n)ho(n)=1/2h(n)-h(-n)即:ho(n)缺少n=0時(shí)h(n)的信息,因此由ho(n)恢復(fù)h(n)時(shí),要補(bǔ)充h(0)(n)的信息ho(n)=1/2h(n)-h(-n)0 5.

6、 時(shí)域卷積定理令k=n-m 求系統(tǒng)的輸出信號(hào)，可以在時(shí)域用卷積公式計(jì)算，也可以在頻域求出輸出的FT，再作逆FT求出輸出信號(hào)。 證明:若 則6. 頻域卷積定理若則證明: 7. 帕斯維爾(Parseval)定理*帕思瓦定理是說(shuō)明了時(shí)域的能量等于頻域中的能量。序列傅里葉變換的性質(zhì) 三、序列傅里葉變換與模擬信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系 =T 0 m1 -2s -s 0 s 2s1/T -2 0 21/Tw2.3 序列的Z變換只有當(dāng)上式收斂時(shí)， z變換才有意義。收斂的充要條件：對(duì)任何x(n)，X(z)都絕對(duì)可和。一、定義 Z變換是離散系統(tǒng)與信號(hào)分析的重要工具，其地位猶如拉普拉斯變換在連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)中的地位。

7、 使上式成立的Z變量取值的范圍稱為收斂域。一般收斂域用環(huán)狀域表示：即常用的Z變換是一個(gè)有理函數(shù)在極點(diǎn)處Z變換不存在，因此收斂域中沒(méi)有極點(diǎn)，收斂域總是用極點(diǎn)限定其邊界FT和ZT之間的關(guān)系： 條件:收斂域包含單位圓。二、序列特性對(duì)收斂域的影響例: 求單位階躍序列 u(n) 的z變換，并確定其收斂域。解：收斂域:注: X(z)存在極點(diǎn)z=1,即單位圓上的z變換不存在,不能用求FT1、有限長(zhǎng)序列 只要級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)有界，級(jí)數(shù)就收斂，即要求：由于x(n) 有界，故要求：收斂域?yàn)橛邢轟平面2、右邊序列 第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列，故收斂域?yàn)?0|z| 第二項(xiàng)為負(fù)冪級(jí)數(shù),由阿貝爾定理可知收斂域?yàn)镽x-|z| 收斂域?yàn)?/p>

8、:Rx-|z|因果序列是重要的右邊序列，它是當(dāng)n0時(shí)x(n)=0的序列。故收斂域?yàn)椋篟x-|z|+結(jié)論: 如果一個(gè)序列ROC中包含了+,那么該序列一定為因果序列3、左邊序列 第二項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列，收斂域?yàn)?|z|+ 第一項(xiàng)為正冪級(jí)數(shù)，由阿貝爾定理,收斂域?yàn)?0|z|Rx+ 收斂域?yàn)椋?0|z|Rx+假設(shè)n2 0，收斂域?yàn)椋?0|z|Rx+4、雙邊序列 這類序列是指當(dāng)n為任意值時(shí)，x(n)均有值的序列。 第一項(xiàng)為左邊序列(n20)，其收斂域?yàn)椋?|z|Rx+ 第二項(xiàng)為因果序列，其收斂域?yàn)?Rx-|z|+ 只有當(dāng)Rx-Rx+ 時(shí),才存在公共的環(huán)狀收斂域：例：z變換及收斂域的求法 (1) 序列 x(n

9、)=(n) 的z變換及收斂域。X(z)為常數(shù)1，說(shuō)明收斂域是整個(gè)z的閉平面：|z|0，僅當(dāng)n=0時(shí)，(n)=1而此時(shí)：z-n=z0=1(2) 序列 x(n)=anu(n) 的z變換及收斂域。當(dāng)|az-1|a|時(shí)，(az-1) = 0，此時(shí)X(z)為：說(shuō)明： 序列 x(n)=anu(n) 是一個(gè)右邊序列，而且是因果序列， 它的收斂域應(yīng)該是 |z|Rx- 的形式，從此題的結(jié)果中也 得到了驗(yàn)證：|z|a|。 我們?cè)賮?lái)分析X(z)： 可以從X(z)的解析式中看出，z=a處為極點(diǎn)。由于在收斂域內(nèi)一定沒(méi)有極點(diǎn)，所以對(duì)于一般的右邊序列而言，其z變換的收斂域一定在模最大的有限極點(diǎn)所在的圓之外(假設(shè)為因果序列，

10、收斂域還包括點(diǎn))。RX-=|a|=maxX(z)的極點(diǎn)的模即(3) 序列 x(n)=-bnu(-n-1) 的z變換及收斂域。當(dāng)|b-1z|1，即：|z|b|時(shí)，(b-1z) = 0，此時(shí)X(z)為：說(shuō)明： 序列 x(n)=-bnu(-n-1) 是一個(gè)左邊序列，它的收斂 域的形式 |z|a|z|b|(4) 序列 的z變換及收斂域。上式成立的條件是：|a|z|c|abcRezjImz左邊序列：|z|a|abcRezjImz雙邊序列：|b|z|c|abcRezjImz雙邊序列：|a|z|b|三、Z逆變換序列的Z變換及其收斂域， 求序列稱為Z逆變換。C是X(z)收斂域中一條逆時(shí)針的封閉曲線.z變換公式

11、： 1、圍線積分法 假設(shè) zk 是 X(z) zn-1 的單極點(diǎn)，那么有： z反變換常用的三種方法：圍線積分法、局部分式法、長(zhǎng)除法根據(jù)留數(shù)定理，x(n)等于圍線C內(nèi)全部極點(diǎn)留數(shù)之和，即 條件為： X(z) zn-1 的分母多項(xiàng)式z的階次比分子多項(xiàng)式的階次高二階或二階以上。 假設(shè) zk 是 X(z) zn-1 的多重極點(diǎn)(N階)，那么有： 如果圍線C內(nèi)有多階極點(diǎn),而C外沒(méi)有多階極點(diǎn),可以根據(jù)留數(shù)輔助定理改求C外極點(diǎn)留數(shù)之和.例:已知，求z反變換。解:1）當(dāng)n-1時(shí), 不會(huì)構(gòu)成極點(diǎn)，所以這時(shí)C內(nèi)只有一個(gè)一階極點(diǎn),因此2當(dāng)n-2時(shí)，X(z)zn-1中的zn+1構(gòu)成n+1階極點(diǎn)。因此C內(nèi)有極點(diǎn)：z=1

12、/4(一階), z=0為(n+1)階極點(diǎn)；而在C外僅有 z=4(一階)這個(gè)極點(diǎn):例：求z的反變換，設(shè)：解： 當(dāng) n1 時(shí)，圍線內(nèi)有一個(gè)極點(diǎn)：z=1/2 當(dāng) n=0 時(shí)，圍線內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn)：z=0和z=1/2 當(dāng) n23、冪級(jí)數(shù)展開法(長(zhǎng)除法)1方法：實(shí)際上就是求系數(shù)x(n)，所以作除法展成以上形式。2注意：應(yīng)依據(jù)收斂域來(lái)決定x(n)。 如：當(dāng)X(z)的收斂域?yàn)閨z|Rx-時(shí)，x(n)為因果序列，故 X(z)應(yīng)向z的負(fù)冪級(jí)數(shù)方向展開,即X(z)按z降冪排列； 當(dāng)X(z)的收斂域?yàn)閨z|3，所以x(n)為因果序列，X(z)應(yīng)按z的降冪排列。z2-6z+93z3z-13z-18+27z-118-27z

13、-1+18z-218-108z-1+162z-281z-1-162z-2+81z-381z-1-486z-2+729z-3+得：X(z)=3z-1+18z-2+81z-3+ =3z-1+232z-2+333z-3+ x(n)=n3nu(n-1)比較： 首先，圍線積分法、局部分式法和長(zhǎng)除法均可以用來(lái)計(jì)算z的反變換。圍線積分法雖然概念清晰，但計(jì)算復(fù)雜，所以并不常用；相比之下，局部分式法計(jì)算起來(lái)就容易許多，但前提是X(z)是一個(gè)較容易被因式分解的有理分式；長(zhǎng)除法大多用在工程實(shí)踐中，當(dāng)X(z)很難被因式分解，且工程不要求反變換的結(jié)果很精確或能用解析式表示時(shí)，通常選擇長(zhǎng)除法。例 試用長(zhǎng)除法求 的z反變換

14、解:收斂域?yàn)榄h(huán)狀，極點(diǎn)z=1/4對(duì)應(yīng)因果序列，極點(diǎn)z=4對(duì)應(yīng) 左邊序列(雙邊序列)*雙邊序列可分解為因果序列和左邊序列。*應(yīng)先展成局部分式再做除法。 4-Z) 4Z+Z + Z + Z + Z +241311645164.16 Z16 Z - 4 Z 24 Z 4 Z - Z Z Z - Z Z Z - Z Z 2233314141444411655116. Z- ) Z141+ Z + Z + Z 14-1116-2164-3.Z- 141414- Z116-1 Z116-1 Z116-1- Z164-2 Z164-2 Z164-2- Z1256-3 Z1256-3.四、 Z變換的根本性質(zhì)和

15、定理1、線性假設(shè)：Zx(n)=X(z) Rx-|z|Rx+ Zy(n)=Y(z) Ry-|z|Ry+那么：Zax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z) R-|z|12、序列移位假設(shè)：Zx(n)=X(z) Rx-|z|Rx+那么：Zx(n-m)= z-mX(z) R-|z|1，而 u(n)-u(n-3)的收斂域?yàn)閨z|0，很明顯，收斂域擴(kuò)大了。 這是因?yàn)閡(n)和u(n-3)是單邊序列，而u(n)-u(n-3) 是有限長(zhǎng)序列。3、乘以指數(shù)序列：(z域尺度變換)4、序列乘以n：(z域求導(dǎo)數(shù))對(duì)兩邊求導(dǎo)數(shù)：(z-n)= -nz-n-1= -z-1nz-n引申：5、復(fù)序列取共軛：設(shè)一個(gè)復(fù)序列的共軛

16、序列為：x*(n)6、翻轉(zhuǎn)序列：7、初值定理：對(duì)因果序列x(n)，有：證：因果序列x(n)的性質(zhì)為：當(dāng)n0時(shí)，x(n)=0，所以有：8、終值定理： 設(shè)x(n)為因果序列，且X(z)的極點(diǎn)處在單位圓內(nèi)(除可以有一個(gè)一階極點(diǎn)在z=1上)，那么：證：對(duì)因果序列 x(n)=0, n0, 故有9、有限項(xiàng)累加特性： 設(shè)x(n)為因果序列，即：當(dāng)n1，這樣允許對(duì)上述等式的兩端取z1的極限10、序列的卷積和： 設(shè)y(n)為x(n)與h(n)的卷積和： 假設(shè)有： 那么：說(shuō)明： Y(z)的收斂域理論上是X(z)和H(z)的重疊局部，但假設(shè)在收斂域邊界上一個(gè)z變換的零點(diǎn)與另一個(gè)z變換的極點(diǎn)抵消的話，那么收斂域可能會(huì)

17、擴(kuò)大。證明：Z變換的移位特性例：設(shè)x(n)=anu(n)，h(n)=bnu(n)-abn-1u(n-1)，求：x(n)*h(n)解： 我們發(fā)現(xiàn)，在|z|=|a|處，X(z)的極點(diǎn)與H(z)的零點(diǎn)抵消，假設(shè)|b|a|收斂域擴(kuò)大。11、序列相乘：(z域復(fù)卷積定理) 假設(shè)： 且： 那么： 其中，c是v平面上，X(z/v)與H(v)的公共收斂域內(nèi)繞原點(diǎn)的一條逆時(shí)針的單封閉圍線，滿足：例解：五、利用Z變換解差分方程1零狀態(tài)響應(yīng) 在系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，即y(n)=0(n0)時(shí)，對(duì)上式兩邊取雙邊Z變換,可得于是-零狀態(tài)響應(yīng) 當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)不為零時(shí)，除了考慮零狀態(tài)響應(yīng)外還必須考慮零輸入響應(yīng)。這時(shí)差分方程的Z變

18、換解法需使用單邊Z變換。2初始狀態(tài)不為零 那么單邊Z變換的移位特性:-序列移位后的單邊Z變換設(shè)令k=n-m由此得到 *右邊的第一項(xiàng)只與輸入有關(guān),與初始狀態(tài)無(wú)關(guān),即零狀態(tài)響應(yīng)*第二項(xiàng)只與初始狀態(tài)有關(guān)，與輸入無(wú)關(guān),稱為零輸入響應(yīng)。 兩邊進(jìn)行單邊Z變換解：對(duì)差分方程兩邊作單邊Z變換，得 例 已知系統(tǒng)的輸入輸出滿足以下差分方程，求輸入信號(hào) x(n)=u(n)時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)。y(-1)=1 初始條件 y(-1)=1第一項(xiàng)為零狀態(tài)響應(yīng)，第二項(xiàng)為零輸入響應(yīng)。 2.4 利用Z變換分析系統(tǒng)的頻域特性一、傳輸函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)一般稱H(e j)為系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，它表征系統(tǒng)的頻率特性. 稱H(z)為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它表征

19、系統(tǒng)的復(fù)頻域特性.如果H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1,那么：(n)h(n)零狀態(tài)FTH(e j)H(z)ZT二、用系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性因果系統(tǒng): n0時(shí)，h(n)=0，那么H(z)的收斂域一定包含點(diǎn)，穩(wěn)定系統(tǒng):我們來(lái)分析H(z)的收斂域滿足什么條件時(shí)，LSI系統(tǒng)穩(wěn)定。H(z)收斂的條件是： 可以看出，假設(shè)H(z)的收斂域包括|z|=1，那么系統(tǒng)穩(wěn)定。結(jié)論：一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域一定包含 和單位圓,即： r|z| 其中，0r1 或者說(shuō)：H(z)的全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。RezjImz1rH(z)的極點(diǎn)為z=a，z=a-1(1)收斂域a-1|z|(2)收

20、斂域0|z|a(3)收斂域a|z|a-1例 :已知 分析其因果性和穩(wěn)定性.解:非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)因果系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)非因果穩(wěn)定系統(tǒng)三、系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)與頻率響應(yīng) 主要討論：利用H(z)在平面上的零、極點(diǎn)的分布，通過(guò)幾何 的方法直接地求出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ej)。：其中，A為增益(比例常數(shù))，cr為零點(diǎn)，dr為極點(diǎn)。假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，那么H(ej)一定存在，令 z=ej令：N=M，有：即使NM，對(duì)H(ej)而言，幅度不受影響，相位增加(N-M)。我們令：其中，B為單位圓ej上的點(diǎn)。假設(shè)用極坐標(biāo)表示：得到：有：當(dāng)頻率從02時(shí)，B點(diǎn)沿單位圓ej逆時(shí)針轉(zhuǎn)一周。討論： 通過(guò)零、極點(diǎn)分布，來(lái)分析系統(tǒng)頻率響應(yīng)H(

21、ej)的特性。即分析從02變化時(shí)，何時(shí)H(ej)的幅值大，何時(shí)又小。這只是一個(gè)粗略的、定性的分析。 當(dāng)B點(diǎn)轉(zhuǎn)到極點(diǎn)附近時(shí)，幅度可能出現(xiàn)峰值。 極點(diǎn)越靠近單位圓，幅值越大。 假設(shè)極點(diǎn)出現(xiàn)在單位圓ej上，那么H(ej)幅值為，系統(tǒng)不穩(wěn)定 當(dāng)B點(diǎn)轉(zhuǎn)到零點(diǎn)附近時(shí)，幅度可能出現(xiàn)谷值。 零點(diǎn)越靠近單位圓，幅值越小。 假設(shè)零點(diǎn)出現(xiàn)在單位圓ej上，那么H(ej)幅值為0。結(jié)論：極點(diǎn)位置主要影響頻響的峰值位置及鋒利程度；零點(diǎn)位置主要影響頻響的谷點(diǎn)位置及形狀。例：H(z)=z-1，分析其頻率響應(yīng)H(ej)的特性。|H(ej)|()說(shuō)明：當(dāng)從02變化時(shí)，極點(diǎn)矢量的 長(zhǎng)度始終為1，|H(ej)|=1從系統(tǒng)函數(shù)H(z)

22、= z-1來(lái)看，該系 統(tǒng)只有一個(gè)在原點(diǎn)的極點(diǎn)|z|=0。處在原點(diǎn)處的極點(diǎn)和零點(diǎn)，由于其矢量長(zhǎng)度均為1，所以 原點(diǎn)處的零、極點(diǎn)不影響幅頻響應(yīng)|H(ej)|。例：設(shè)一階系統(tǒng)的差分方程為：y(n)=by(n-1)+x(n)。試分析其 幅頻特性(其中，0b1)。解：先求系統(tǒng)函數(shù)H(z)，對(duì)差分方程兩邊作z變換，得：從H(z)看出，系統(tǒng)有一個(gè)極點(diǎn)z=b，一個(gè)零點(diǎn)z=0。當(dāng)單位圓上的點(diǎn)B由=0到=2旋轉(zhuǎn)時(shí)，有： 在=0時(shí)，極點(diǎn)矢量最短(分母最小)，形成波峰。 在=時(shí)，極點(diǎn)矢量最長(zhǎng)(分母最大)，形成波谷。 由于零點(diǎn)在原點(diǎn)處，所以不影響幅頻響應(yīng)。RezjImzb0102|H(ej)|例：H(z)=1-z-N，試定性畫出系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)。提示：在用幾何法分析前，總是先將H(z)的零、極點(diǎn)畫出 H(z)的極點(diǎn)為z=0(N階)，因?yàn)閦=0，所以不影響|H(ej)|。 H(z)的零點(diǎn)也有N個(gè)：上式說(shuō)明這N個(gè)零點(diǎn)等間隔地分布在單位圓上，設(shè)N=8，有以下圖：RezjImz01|H(ej)|20說(shuō)明： 由于極點(diǎn)在z=0處，不影響幅頻特性，故只需考慮零點(diǎn)即可。 每遇到一個(gè)零點(diǎn)，|H(ej)|幅度降為0，在兩個(gè)零