空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系研究

1、空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系研究主要內(nèi)容空間中直線與直線之間的位置關(guān)系空間中直線與平面之間的位置關(guān)系2.1.1 平面平 面構(gòu)成圖形的基本元素ABCDABCD點、線、面點無大小線無粗細(xì)面無厚薄點直線平面可無限延伸的平面是可無限延展的平面的表示平面的畫法 一般來說，常用正方形或長方形表示平面，如圖一, 在畫立體圖時，為了增強(qiáng)立體感， 常常把平面畫成平行四邊形，如圖二是按照斜二測畫法得到的平面的水平直觀圖.圖一圖二平面的符號表示1. 希臘字母： 平面， 平面，平面2. 一個或幾個拉丁字母： 平面M， 平面AC， 平面ABCD等ABCD平面的表示平面的表示兩個相交平面的畫法和表示平面和平面相交于一

2、條直線a被遮住的部分畫虛線aa平面平面=直線a平面的表示直線和平面都可以看成點的集合“點P在直線l上”,“點A在平面內(nèi)” 用集合符號表示 點與直線、點與平面、直線與平面的關(guān)系“點P在直線l 外”,“點A在平面外”直線 l 在平面內(nèi)，或者說平面經(jīng)過直線 l直線 l 在平面外.平面的基本性質(zhì)AB 公理1 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi).思考1：如何讓一條直線在一個平面內(nèi)？作用：為判斷直線與平面的位置關(guān)系提供依據(jù)集合符號表示平面經(jīng)過這條直線平面的基本性質(zhì) 公理2 過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面. 思考2：經(jīng)過兩點可以確定一條直線，那么經(jīng)過幾個點可以確定一個平面呢？

3、作用：判斷幾個點共面或直線在同一個平面內(nèi)集合符號表示ABC“不共線的三點確定一個平面” 已知A、B、C三點不共線，則存在惟一平面，使得A、B、C平面的基本性質(zhì) 思考3：如果兩個平面有一個公共點，那么還會有其它公共點嗎？如果有這些公共點有什么特征？ 公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線. P 作用：判斷兩個平面位置關(guān)系的基本依據(jù)例題 例1 如圖，用符號表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系.A B a l (1)a b P l (2)解：1） A，B，=l，a=A，a=B2) a,b,=l,al=P, bl=P, ab=P 例2：已知直線a，和點P，

4、Pa，求證經(jīng)過點P和直線a有且只有一個平面.Pa探究問題根據(jù)公理1探究直線與平面的各種位置關(guān)系.根據(jù)公理2探究兩條相交直線或平行直線確定一個平面的合理性.根據(jù)公理3探究平面與平面的各種位置關(guān)系.小結(jié) 1.平面的表示：概念、圖形、符號等 2.平面的基本性質(zhì) 公理1 公理2 公理3 3.判斷共面的方法兩條直線的位置關(guān)系思考1：同一平面內(nèi)兩條直線有幾種位置關(guān)系？空間中的兩條直線呢？C 1）教室內(nèi)日光燈管所在直線與黑板左右兩側(cè)所在直線的位置關(guān)系如何？2）天安門廣場上，旗桿所在直線與長安街所在直線的位置關(guān)系如何？兩條直線的位置關(guān)系 如圖, 長方體ABCD-ABCD中，線段AB所在直線分別與線段CD所在直

5、線，線段BC所在直線，線段CD所在直線的位置關(guān)系如何?CBCADBAD觀察兩條直線的位置關(guān)系 定義 不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.baab異面直線的圖示兩條直線的位置關(guān)系A(chǔ). 空間中既不平行又不相交的兩條直線；B. 平面內(nèi)的一條直線和這平面外的一條直線；C. 分別在不同平面內(nèi)的兩條直線；D. 不在同一個平面內(nèi)的兩條直線；E. 不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線. 關(guān)于異面直線的定義，你認(rèn)為下列哪個說法最合適？問題兩條直線的位置關(guān)系空間中的直線與直線之間有三種位置關(guān)系：相交直線:平行直線:共面直線異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點 同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點； 同一平面內(nèi)，

6、沒有公共點； 如圖是一個正方體的表面展開圖,如果將它還原為正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有多少對?探究FAHGEDCBCDBAEFGH直線EF 和直線HG直線AB 和直線CD直線AB 和直線HG答：3對平行直線 如圖, 在長方體ABCDABCD中, BBAA，DDAA，那么BB與DD平行嗎 ?CBCADBAD觀察答：平行平行直線 公理4 平行于同一直線的兩條直線互相平行.空間中的平行線具有傳遞性如果a/b，b/c，那么a/cAFEDCBABCDEF三條平行線共面三條平行線不共面平行直線 已知三條直線兩兩平行，任取兩條直線能確定一個平面，問這三條直線能確定幾個平

7、面？AFEDCBABCDEF三條平行線共面三條平行線不共面問題平行直線 例2 如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點. 求證：四邊形EFGH是平行四邊形.FGDAEBCH所以 ，且同理 ，且因為 ，且所以 四邊形EFGH 是平行四邊形證明：連接BD，因為 EH是 的中位線， 在上例中，如果再加上條件AC=BD，那么四邊形EFGH 是什么圖形？探究答：四邊形EFGH是菱形FGDAEBCH等角定理 在平面上，我們?nèi)菀鬃C明“如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行， 那么這兩個角相等或互補”空間中，結(jié)論是否仍然成立？思考1 如圖,四棱柱ABCD-ABCD的底面是

8、平行四邊形，ADC與ADC, ADC與BAD的兩邊分別對應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何 ?思考2:BADCABDCBADCABDCADC=ADCADC+BAD=1800 如圖，在空間中AB/ AB，AC/ AC，你能證明BAC與BAC 相等嗎？ 思考3BCABCAEEDD等角定理 定理 空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補. 等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行且方向相同，那么這兩個角相等.異面直線所成的角ab思考 在同一平面內(nèi)兩條相交直線形成四個角，常取較小的一組角來度量這兩條直線的位置關(guān)系，這個角叫做兩條直線的夾角.在空間中怎樣度量兩條異面直線的位置關(guān)系呢？a

9、b平面內(nèi)兩條相交直線空間中兩條異面直線O異面直線所成的角 已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O作直線 ，把 與 所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角O異面直線所成的角 我們規(guī)定兩條平行直線的夾角為0，那么兩條異面直線所成的角的取值范圍是什么？ 如果兩條異面直線所成角為900，那么這兩條直線垂直.探究記直線a垂直于b為：ab異面直線所成的角探究 （1）在長方體 中，有沒有兩條棱所在的直線是相互垂直的異面直線？ （2）如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么，另一條直線是否也與這條直線垂直？（3）垂直于同一條直線的兩條直線是否平行？如：等垂直不一定，如上圖的立方體中直線AB與B

10、C相交，異面直線所成的角 例3 已知正方體 （1）哪些棱所在直線與直線 是異面直線？（2）直線 和 的夾角是多少？（3）哪些棱所在的直線與直線 垂直？解:（1）由異面直線的定義可知，棱 所在的直線分別與直線 是異面直線（3）直線分別與直線 垂直 （2）由 可知，為異面直線 與 的夾角， ，所以 與 的夾角為 在如圖所示的長方體中，AB= ，且AA1=1，求直線BA1和CD所成角的度數(shù).30O練習(xí)1 如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是棱AD，BC上的點,且 ，已知AB=CD=3， , 求異面直線AB和CD所成的角.AFEDCB練習(xí)2 n直線相交最多有幾個交點？練習(xí)3本節(jié)小結(jié)（1）空間直線的三

11、種位置關(guān)系（2）平行線的傳遞性（3）等角定理（4）異面直線所成的角基本知識基本方法 把空間中問題通過平移轉(zhuǎn)化為平面問題.空間中直線與平面之間的位置關(guān)系主要內(nèi)容 直線與平面的位置關(guān)系 直線在平面內(nèi) 直線與平面相交 直線與平面平行直線與平面思考？ 1）一支鉛筆所在的直線與一個作業(yè)本所在的平面，可能有幾種關(guān)系？ 2）如圖，線段AB所在直線與長方體ABCD-ABCD的六個面所在平面有幾種位置關(guān)系？CBCADBAD直線與平面直線和平面的位置關(guān)系有且只有三種(1)直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個公共點a記為：a直線與平面(2)直線與平面相交有且只有一個公共點a記為：a=AA直線與平面（3）直線與平面平行沒有公共點a

12、記為：a/直線與平面直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外記為：aaa/aa=AA或直線與平面 例1. 下列命題中正確的個數(shù)是 ( )1）若直線 l 上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則 l/2) 若直線 l 與平面平行，則 l 與平面內(nèi)的任意一條直線都平行3）如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行4）若直線 l與平面平行，則 l與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點.(A） 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3B主要內(nèi)容 直線與平面的位置關(guān)系 直線在平面內(nèi) 直線與平面相交 直線與平面平行作業(yè)P49 練習(xí)P51-53 習(xí)題組 4(4)(5) B 2，3 平面與平面之間的位置關(guān)系平面與平面之間的位置關(guān)系思考 （1）拿出兩本書，看作兩個平面，上下、左右移動和翻轉(zhuǎn)，它們之間的位置關(guān)系有幾種？ （2）如圖，圍成長方體ABCD-ABCD的六個面，兩兩之間的位置關(guān)系有幾種？CBCADBAD兩個平面的位置關(guān)系兩個平面的位置關(guān)系有且只有兩種 兩個平面平行沒有公共點 兩個平面相交有一條公共直線分類的依據(jù)是什么？ 公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線. 兩個平面平行或相