05四邊形加深4教師菱形初二自招進(jìn)度二

1、第五講四邊形加深（4）正方形【例題1】如圖，正方形是由k 個(gè)相同的矩形組成，上下各有2 個(gè)水平放置的矩形，中間豎放若干個(gè)矩形，則k ；解：設(shè)矩形的寬為 x ，長(zhǎng)為 y ，由正方形邊長(zhǎng)相等得2y 2x y y 2x ，中間只能豎放兩個(gè)， k 8 ?！纠}2】如圖，在正方形 ABCD 的 BC 延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) E ，使CE AC ， AE 與CD 交于點(diǎn).，則AFC ；ADF解：易求CAE E 22.5 AFC BCD E 112.5 。BCE【例題3】已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為12 ，點(diǎn) P 在 BC 邊上， BP 5 ， EF AP 垂足為Q ，與AB, CD 分別交于 E, F ，則 E

2、F ；解：過(guò)點(diǎn) E 作 EH CD 于 H ，易證 EFH APB EF AP 13?！纠}4】如圖，邊長(zhǎng)為 m 的正方形 ABCD ，以 BC 為邊向內(nèi)作等邊BEC ， BD 為對(duì)角線，則；ADSBEDE解：作 EH CD 于 H ，EH 1 CE 1 m S 1 CD EH 1 m2DCE22243 1 m2 3 m2 S 1 m2 S S S SBCBCDBEDBCEDCEBCD4241 / 5【例題5】將邊長(zhǎng)為1 的正方形 ABCD 繞 A 點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30 至正方形 AB C D ，則旋轉(zhuǎn)前后正方形部分的面積是；解：設(shè) B C 與CD 相交于點(diǎn) E ，易證 Rt AB E Rt

3、 ADE ， AB 1 B E 3 S336 B AE DAE 30AB E3 S重 2S。3AB E【例題6】如圖，有一塊面積為1的正方形 ABCD ， M 、N 分別為 AD 、BC 邊上的中點(diǎn)，將C 點(diǎn)折至 MN 上，落在 P 點(diǎn)位置，折痕為 BQ ，連結(jié) PQ ，則 MP ， PQ ；解：連結(jié) PC ，易證 為等邊三角形，MAD PN 3 ， MP 1 233Q3 ，又CBQ PBQ 30 ， PQ CQ 2BCN二、思維拓展：【例題7】已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為1，M , N 分別為 AB, AD 邊上的點(diǎn)。若CMN 為正三角形，則邊長(zhǎng)為解：易證 CDM CBM ，設(shè) BM DN

4、 x ， AM AN 1 x ，2 1 x,CM ，6 2 。 MN CN 12 1 x 解得 x 2 3 又0 x 1 x 2 3 ，邊長(zhǎng)為【例題8】在正方形 ABCD 的對(duì)角線 BD 上截取 BE BC ，連結(jié)CE ，P 為CE 上一點(diǎn)，PQ BC于Q ， PR BE 于 R ，若 AC 6 ，則 PQ PR ；解：設(shè) AC 與 BD 點(diǎn)O ，連結(jié) BP ， 1 BC PQ 1 BE PR 1 BE CO ，由222 BE BC PQ PR CO 3 。2 / 5P【例題9】已知正方形 ABCD 中，點(diǎn) M , N 分別在 BC,CD 上，且MCN 的周長(zhǎng)等于正方形 ABCD周長(zhǎng)的一半，則

5、MAN ；解：由已知C CN CM MN CD CB CN DN CM BM ，CMN MN DN BM ，延長(zhǎng)CB 到G ， BG DN ，連結(jié) AG ，則 MG MN ，先證 ABG ADN BAG DANNAG 90 ，再證 AMG AMN ， MAN MAG 45【例題10】 已知 P 是正方形 ABCD 內(nèi)一點(diǎn)，PA 1，PB 2 ，.，則APB 的度數(shù)為，正方形 ABCD 的面積為；解：（1）將 ABP 繞點(diǎn) B 旋轉(zhuǎn)到 CBQ ，連結(jié) PQ ，則CQ AP 1, BQ BP 2, PQ 2 2 ，又 PC 3， PQ2 CQ2 PC2 ， PQC 90 ， BQC 135 ， A

6、PB 135222（2）作 AH BP 于點(diǎn) H ，則 AH PH ， BH 2 2，22 1 AB2 AH 2 BH 2 2 5 2 2 ，22正方形 ABCD 的面積為5 2 2 ?！纠}11】 如圖， M 是邊長(zhǎng)為1的正方形 ABCD 內(nèi)一點(diǎn)，若 MA2 MB2 1 ，CMD 90 ，則2ADMCD 的度數(shù)為；解：由 MA2 MC2 MD2 MB2 MD2 MC2 MA2 MB2 1 ，2BC31又 MD2 MC2 1，所以 MD ， MC ，所以MCD 60 。223 / 5M三、難題：【例題12】 已知：如圖，以正方形 ABCD 的對(duì)角線為邊作菱形 AEFC ， B 在 FE 的延長(zhǎng)

7、線上求證： AE 、 AF 把BAC 三等分；解：連結(jié) BD 交 AC 于點(diǎn) D ，作 EH AC 于 H ，易證 BO AC AE ，F(xiàn)CD1122E EH 1 AE CAE 30 ，2易求CAF EAF BAE 15 ， AE, AF 把BAC 三等分。AB【例題13】 在正方形 ABCD 的邊 AD 的延長(zhǎng)線上取點(diǎn) E, F ，使 DE AD,DF，連 BF 分別BD交CD,CE 于 H ,G ，求證： GDH 為等腰三角形。證：易求DFB DBF CBG 22.5 ， DE BC 且 DE BC ，四邊形 BDEC 為平行四邊形， BD CE ， CBG BGC 22.5 ， CBG

8、CGB ， CB CG ， CB CD ， C又易求DCG 45 ， CDG CGD 67.5 ， DGH 45 ， DHG 67.5 ， DGH 45 ， DHG 67.5 ， CDG DHG ， GD GH ， GDH 為等腰三角形。，四、自招專訓(xùn)：【例題14】 邊長(zhǎng)為1 的正方形 ABCD ，點(diǎn) E 、 F 各在邊 AB 與 AD 上，且 AE AF ，求四邊形CDFE 的最大面積。解：令 AE AF x ，作 EG DC ，則 S 1 EG GC 1 x ，EGC2212 x ，SDFEG24 / 5 1 1 x x2 ，當(dāng) x 1 時(shí)，有最大值 5 。所以 S228備用：1、如圖，E

9、 、F 、G 、H 分別是正方形 ABCD 各邊的中點(diǎn)，要使中間陰影部分小正方形的面積為5 ，則大正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)該是；解：設(shè)CH 與 BG 點(diǎn) P ，設(shè) BF CF CG a ，HADEG11則 BG 5a ，由 SBG CP BC CG ，BCG22BCF CP 2 5 a BP 4a2 4 a25 45 a ，2B552 SBCP由題意， 2a2 4 4 a2 5 a2 25 a 5 ，542邊長(zhǎng)為2a 5 。2、已知如圖，以ABC 的兩邊 AC, BA 分別向外作正方形 ACGH, BAFE ， AD 是 BC 邊上的高，其1F反向延長(zhǎng)線交 HF 于 K 點(diǎn)，求證： AK BC ；2證：過(guò)點(diǎn) F 作 FQ AH 交 AK 延長(zhǎng)線于Q ，連結(jié)QH ，KEHAG FQ AH ， AFQ FAH 180 ，BCD BAF 90