大學(xué)物理：第5章 氣體動(dòng)理論

1、第5章 氣體動(dòng)理論 氣壓高度計(jì)的原理是使用真空膜盒或其他諸如半導(dǎo)體氣壓感應(yīng)器等來感應(yīng)氣壓的變化從而測定高度的變化。一般來說，高度越高，氣壓越低.通過標(biāo)定后，氣壓高度計(jì)可以較為精確地測定相對高度.本章內(nèi)容5.1 統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的基本概念5.2 系統(tǒng)的狀態(tài)及其描述5.3 理想氣體的壓強(qiáng)和溫度5.4 能量按自由度分配的統(tǒng)計(jì)規(guī)律5.5 氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律5.6 分子數(shù)按能量分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律5.7 氣體分子平均碰撞頻率及平均自由程5.1 統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的基本概念主要內(nèi)容：1. 統(tǒng)計(jì)規(guī)律2. 概率3. 統(tǒng)計(jì)平均值5.1.1 統(tǒng)計(jì)規(guī)律統(tǒng)計(jì)規(guī)律: 大量偶然事件整體所表現(xiàn)出的規(guī)律.加爾頓板實(shí)驗(yàn)5.1.2 概率第

2、i個(gè)事件發(fā)生的總次數(shù)與全部事件發(fā)生的總次數(shù)的比值稱為第i個(gè)事件發(fā)生的概率，即漲落現(xiàn)象是統(tǒng)計(jì)規(guī)律的基本特征之一定義：單個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)服從力學(xué)規(guī)律，大量小球按槽的分布服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律. 漲落：多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果與多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均值都有一定的偏差，這種偏差就是單個(gè)的偶然事件相對統(tǒng)計(jì)規(guī)律的漲落.概率分布滿足歸一化條件：5.1.3 統(tǒng)計(jì)平均值 x 的算術(shù)平均值為統(tǒng)計(jì)平均值：算術(shù)平均值的極限.隨機(jī)變量：某一物理量M在一定條件下的可能取值M1 、M2、M3 ， ，稱為隨機(jī)變量.若隨機(jī)變量Mi出現(xiàn)的概率為Pi，則其統(tǒng)計(jì)平均值為 主要內(nèi)容：1. 熱力學(xué)系統(tǒng)2. 平衡態(tài)4. 理想氣體狀態(tài)方程5. 實(shí)際氣體狀態(tài)

3、方程3. 狀態(tài)參量5.2 系統(tǒng)的狀態(tài)及其描述5.2.1 熱力學(xué)系統(tǒng)系統(tǒng)：平衡態(tài)：沒有外界影響的情況下，系統(tǒng)中各部分的宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間發(fā)生變化的狀態(tài).孤立系統(tǒng)：封閉系統(tǒng)：開放系統(tǒng)：5.2.2 平衡態(tài)熱力學(xué)的研究對象稱為熱力學(xué)系統(tǒng)，簡稱系統(tǒng). 與外界沒有任何相互作用的系統(tǒng).有能量交換，無物質(zhì)交換.既有能量交換，又有物質(zhì)交換.5.2.3 狀態(tài)參量系統(tǒng)的狀態(tài)參量：描述系統(tǒng)宏觀性質(zhì)的物理量.氣體系統(tǒng)的狀態(tài)參量：（p、V、T）描述氣體內(nèi)部或與外界相互作用的力學(xué)狀態(tài)參量.體積(V )：壓強(qiáng)( p )：溫度( T )：確定氣體空間范圍的幾何狀態(tài)參量.是熱學(xué)狀態(tài)參量.273.16K0.0132.02F-273.

4、15-459.67F0K(熱力學(xué)溫標(biāo)、攝氏溫度和華氏溫標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系) 熱力學(xué)第零定律分別與第三個(gè)系統(tǒng)處于熱平衡的兩個(gè)系統(tǒng)，它們彼此也必定處于熱平衡. 熱平衡的互通性 設(shè)A系統(tǒng)和B系統(tǒng)、B系統(tǒng)和C系統(tǒng)分別熱平衡，則A系統(tǒng)和C系統(tǒng)一定熱平衡。處于熱平衡的兩個(gè)系統(tǒng)，它們的溫度必定相等。ABCABCAB5.2.4 理想氣體的狀態(tài)方程狀態(tài)方程：在平衡態(tài)，系統(tǒng)的狀態(tài)參量 p、V、T 之間的函數(shù)關(guān)系.氣體的狀態(tài)參量只有兩個(gè)是獨(dú)立的，即 f（p, V, T）0在平衡態(tài)下理想氣體的狀態(tài)方程為p1(p1,V1,T1)OV2(p2,V2,T2)p -V 圖中的每一點(diǎn)表示一個(gè)平衡態(tài). n: 氣體分子數(shù)密度k: 波耳茲

5、曼常量設(shè)系統(tǒng)的總分子數(shù)為N，摩爾分子數(shù)為NA，每個(gè)分子的質(zhì)量為ms，則氣體的總質(zhì)量和摩爾質(zhì)量可表示為代入理想氣體狀態(tài)方程式 可得 理想氣體狀態(tài)方程的另一種表述則狀態(tài)方程可以寫為：令 5.2.5 實(shí)際氣體的狀態(tài)方程理想氣體適用范圍：溫度不太低、壓強(qiáng)不太大.范德瓦爾斯方程：實(shí)際氣體CO2的等溫線 范德瓦耳斯等溫線 式中a,b是與氣體有關(guān)的范德瓦爾斯修正量，由實(shí)驗(yàn)確定.48.131.12113p/105Pa液液汽共存氣ACB73.246.52.17 10-3比容v/(m3/kg)汽pOV4813CBAAB5.3 理想氣體的壓強(qiáng)和溫度主要內(nèi)容：1. 理想氣體的微觀模型2. 氣體溫度的微觀解釋3. 氣體

6、分子的方均根速率5.3.1 理想氣體的微觀模型1. 分子力學(xué)性質(zhì)假設(shè) 建立理想氣體微觀模型的基本思路是：系統(tǒng)由大量分子組成，單個(gè)分子的運(yùn)動(dòng)遵從經(jīng)典力學(xué)規(guī)律，大量分子的集體運(yùn)動(dòng)遵從統(tǒng)計(jì)規(guī)律. 分子大小忽略，看為質(zhì)點(diǎn).分子與分子，分子與器壁間的作用力只考慮碰撞時(shí)刻的 彈性作用力.碰撞是完全彈性的.2. 分子集體的平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)假設(shè) 分子在空間各處出現(xiàn)的概率相等. 分子速度的空間方向概率相等.即：xdSvivixdtvidt3. 壓強(qiáng)公式推導(dǎo):對任意形狀容器，計(jì)算氣體分子施于器壁的宏觀壓強(qiáng).首先，考慮單個(gè)分子在一次碰撞中對面積元dS的作用. 第二步，計(jì)算dt時(shí)間內(nèi)速度為 的分子施于器壁的沖量.第三步，所

7、有速度求和，得到各種速度的分子在dt內(nèi)對器壁面積元dS的總沖量.( vix0 )第四步，氣體對器壁的宏觀壓強(qiáng)在數(shù)值上應(yīng)等于大量氣體分子單位時(shí)間內(nèi)施于器壁單位面積上的平均沖量即所以而氣體的壓強(qiáng)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，只有對大量的分子才有意義. 討論其中(分子平均平動(dòng)動(dòng)能)5.3.2 溫度的微觀解釋5.3.3 氣體分子的方均根速率 (2) 溫度是大量分子熱運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)，是統(tǒng)計(jì)平均值，對單個(gè)分子來說溫度沒有意義.(1) 溫度是描述物體內(nèi)部分子熱運(yùn)動(dòng)劇烈程度的物理量. 討論求在多高溫度下，理想氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能等于1 eV？例電子伏特是近代物理中常用的一種能量單位，用eV表示.(是一個(gè)電子在電場中通過電

8、勢差為1V 的區(qū)間時(shí)，電場力做功而獲得的能量)。 1eV1.60218921019J解由此可知，1 eV的能量相當(dāng)于7730K時(shí)的分子平均平動(dòng)動(dòng)能. 在氣體動(dòng)理論中通常用因子kT表示熱運(yùn)動(dòng)的能量例如室溫290K時(shí)我們可根據(jù)這個(gè)數(shù)據(jù)估算是否屬于熱運(yùn)動(dòng)能量范圍.設(shè)氣體的溫度為T 時(shí)，其分子的平均平動(dòng)動(dòng)能等于1 eV.例試求氫分子的方均根速率等于離開地球表面的逃逸速率時(shí)的溫度. 分子的方均根速率 ，當(dāng)氫分子的方均根速率等于離開地球表面的逃逸速率 時(shí)，解由可解出 5.4 能量按自由度分配的統(tǒng)計(jì)規(guī)律主要內(nèi)容：3. 理想氣體的內(nèi)能1. 分子的自由度2. 能量按自由度均分定理5.4.1 分子的自由度自由度數(shù)

9、：確定一個(gè)分子的空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目.剛性分子：分子內(nèi)原子之間的距離保持不變的分子.分子種類平動(dòng)自由度 t轉(zhuǎn)動(dòng)自由度 r總自由度 itr單原子分子303剛性雙原子分子325剛性三原子以上分子3365.4.2 能量按自由度均分定理每個(gè)平動(dòng)自由度的平均平動(dòng)動(dòng)能為由于沿x,y,z三個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的概率均等，有在溫度為T 的平衡態(tài)下，物質(zhì)(氣體、液體和固體)分子的每一個(gè)自由度都具有相同的平均動(dòng)能，其值為這一結(jié)論稱為能量按自由度均分定理.一個(gè)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為單原子分子、剛性雙原子分子、剛性多原子分子的平均總動(dòng)能分別為 .能量按自由度均分定理是大量分子無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)的能量所遵從的統(tǒng)計(jì)規(guī)律. 分子的平

10、均總動(dòng)能與自由度數(shù)有關(guān). (2)(3) (1) 說明氣體的內(nèi)能：包括氣體中所有分子的熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能、分子內(nèi)原子間振動(dòng)勢能、分子間相互作用勢能的總和. 5.4.3 理想氣體的內(nèi)能理想氣體的內(nèi)能：氣體內(nèi)所有分子的動(dòng)能和分子內(nèi)原子間振動(dòng)勢能的總和. 1mol理想氣體的內(nèi)能為 質(zhì)量為m、摩爾質(zhì)量為Mmol的理想氣體的內(nèi)能為對于一定質(zhì)量m的某種理想氣體, 內(nèi)能與溫度成正比且僅是溫度的單值函數(shù).(1) (2) (3) 說明理想氣體的內(nèi)能與氣體分子的自由度數(shù)有關(guān),與氣體的摩爾數(shù)有關(guān).氣體的溫度發(fā)生變化T 時(shí)，氣體的內(nèi)能的改變量為內(nèi)能變化與過程無關(guān)，內(nèi)能是氣體宏觀狀態(tài)的單值函數(shù)，簡稱為態(tài)函數(shù).求0時(shí)，2mol的H

11、2和He理想氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能，平均總動(dòng)能和氣體的內(nèi)能各是多少?例解理想氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能僅與溫度有關(guān)，因而H2和He的平均平動(dòng)動(dòng)能為氦氣為單原子分子，i =3，故氦分子的平均總動(dòng)能為氦氣的內(nèi)能為氫氣分子為雙原子分子，i =5，氫氣分子的平均總動(dòng)能為因此氫氣的內(nèi)能為質(zhì)量為0.1kg，溫度為27的氮?dú)?，裝在容積為0.01m3的容器中，容器以v =100ms-1速率作勻速直線運(yùn)動(dòng)，若容器突然停下來，定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為分子熱運(yùn)動(dòng)的內(nèi)能.例平衡后氮?dú)獾臏囟群蛪簭?qiáng)各增加多少？求當(dāng)容器突然停下來，定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為分子熱運(yùn)動(dòng)的內(nèi)能，使氣體的溫度升高，如果容器體積不變，氣體的壓強(qiáng)將會(huì)增大.解

12、常溫下，氮?dú)饪梢暈閯傂噪p原子分子，則質(zhì)量m的氮?dú)獾膬?nèi)能為當(dāng)溫度改變T 時(shí)，內(nèi)能的增量為當(dāng)系統(tǒng)定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為分子熱運(yùn)動(dòng)的內(nèi)能時(shí)，有則系統(tǒng)溫度的變化為容器停止后氣體體積不變，由狀態(tài)方程 可得到氮?dú)鈮簭?qiáng)的變化思考題: 容器作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí),氣體的內(nèi)能改變嗎(為什么?)5.5 氣體分子數(shù)按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律主要內(nèi)容：4. 麥克斯韋速率分布的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證3. 與分子速率有關(guān)的物理量的統(tǒng)計(jì)平均值1. 速率分布函數(shù)2. 麥克斯韋速率分布律5.5.1 速率分布函數(shù) 定義:速率在v附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比稱為速率分布函數(shù), 用f (v)表示.dN/N表示單個(gè)分子速率取值在vvdv區(qū)間內(nèi)

13、的概率；f(v)表示單個(gè)分子速率取值在速率v附近單位速率間隔內(nèi)的概率.設(shè)一定量的氣體(總分子數(shù)為N)在給定的溫度下處于平衡態(tài),把速率分成許多相等的區(qū)間，若速率分布在某一速率區(qū)間vvdv內(nèi)的分子數(shù)為dN，則dN/N表示分布在這一速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.5.5.2 麥克斯韋速率分布律1. 麥克斯韋速率分布函數(shù)1859年麥克斯韋從理論上導(dǎo)出平衡狀態(tài)下氣體分子速率分布函數(shù)(1)該函數(shù)給出的是一種統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果.某一時(shí)刻某個(gè)分子的速率有大有小，是偶然的.但對大量分子的總體而言，在平衡態(tài)下，分子速率遵從麥克斯韋速率分布律. (2) f (v)的物理意義是：速率v 附近單位速率區(qū)間分子數(shù)占總分子

14、數(shù)的百分比，且滿足歸一化條件.(4)分布函數(shù)僅適用由大量分子構(gòu)成并處于平衡狀態(tài)的理想氣體系統(tǒng).(3)分布函數(shù)與物質(zhì)的種類分子質(zhì)量、溫度有關(guān). 說明2. 麥克斯韋速率分布曲線速率分布曲線下的總面積(速率分布函數(shù)的歸一化條件)在v1v2區(qū)間的曲線下面積曲線下的窄條面積元函數(shù)曲線形象地反映了平衡態(tài)下理想氣體分子按速率的分布情況.(1)當(dāng)v0 和v時(shí)， f(v)0 速率很大和很小的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率都很小，具有中等速率的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率卻很大. 3. 麥克斯韋速率分布曲線的特征(2)分布函數(shù)存在一個(gè)極大值，與極大值對應(yīng)的速率稱為最概然速率. 由求極值的條件 可求得 (最概然速率)(3)曲線直

15、觀地反映出溫度和分子質(zhì)量對速率分布的影響.f (v)vOT2(T1T2m2)vf (v)o溫度降低時(shí), vp減小，曲線變得較為凸起;分子質(zhì)量減小時(shí), vp增大，曲線變得較為平坦.5.5.3 與分子速率有關(guān)的物理量的統(tǒng)計(jì)平均值1. 最概然速率2.平均速率與分子速率 v 有關(guān)的任意力學(xué)量 g(v) 的統(tǒng)計(jì)平均值例如：3.方均根速率在相同條件(T、m 或Mmol相同)下: 2004006008001 0001 200 v(m/s)f(v)(10-3s/m)vvp2.01.00.00(1)由 確定常數(shù)C.(2)求粒子的平均速率和方均根速率.求解(1)由f(v)與v 的函數(shù)曲線可知 由速率分布函數(shù)f(v

16、)的歸一化條件可確定常數(shù)C?？蓪懗桑核杂腥舸罅苛Ｗ拥乃俾史植记€如圖所示（當(dāng) 時(shí)，粒子數(shù)為零）例f(v)vv00C平均速率為方均根速率為 (2)例在溫度為300K時(shí)，空氣中速率在 (1)vp附近；(2)10vp附近，速率區(qū)間v1m/s 內(nèi)的分子數(shù)占分子總數(shù)的比率是多少？麥克斯韋速率分布為解式中vp 為最概然速率 當(dāng)T=300K時(shí)，空氣分子的最概然速率為(1)在v= vp附近，v1m/s內(nèi)單位速率區(qū)間的分子數(shù)占分子總數(shù)的比率為(2)在v= 10vp 附近， v1m/s 的速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占分子總數(shù)的比率為105mol空氣中的總分子數(shù) N=6.021023105 ，在vp附近，v = 1 m/

17、s 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)為 在10vp 附近， v = 1m /s 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)為 討論分子出現(xiàn)在 vp 附近的概率最大速率區(qū)間較小，可用有0 平衡狀態(tài)下的氧氣，試計(jì)算速率在300 310m/s區(qū)間內(nèi)氧分子數(shù)所占百分比.例解其中 解題思路利用麥克斯韋速率分布律處理實(shí)際問題是本章的難點(diǎn)與重點(diǎn)，正確理解和掌握速率分布函數(shù)與麥克斯韋分布律的物理意義是關(guān)鍵.例如表示平衡態(tài)下，處在速率間隔vvdv 內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率表示平衡態(tài)下，處在速率間隔vvdv 內(nèi)的分子數(shù)表示平衡態(tài)下，處在速率間隔v1v2內(nèi)的分子數(shù). 典型的問題有以下幾類：1. 根據(jù)麥克斯韋分布律求在某速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù).速率區(qū)間很小時(shí)，可用

18、2. 已知速率分布函數(shù)，求與速率有關(guān)的任意物理量的統(tǒng)計(jì)平均值5.5.4 麥克斯韋速率分布的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證 麥克斯韋速率分布律1859年由麥克斯韋應(yīng)用統(tǒng)計(jì)概念從理論上導(dǎo)出，由于技術(shù)條件的限制，直到20世紀(jì)初才獲得實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.1920年，斯特恩（Stern, O.18881969）第一次用實(shí)驗(yàn)證實(shí)了麥克斯韋速率分布的正確性. 驗(yàn)證麥克斯韋速率分布的實(shí)驗(yàn)裝置及數(shù)據(jù)5.6 分子數(shù)按能量分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律主要內(nèi)容：1. 玻耳茲曼能量分布律2. 重力場中微粒按高度的分布5.6.1 玻耳茲曼能量分布1.無外力場時(shí)分子按動(dòng)能的分布規(guī)律分子數(shù)按速率的分布代入速率分布式可得到按動(dòng)能分布的規(guī)律在動(dòng)能Ek附近單位動(dòng)能區(qū)間內(nèi)的分子

19、數(shù)占總分子數(shù)的比率.2. 有外力場時(shí)分子按能量的分布規(guī)律分子處于保守力場中時(shí)，分子能量既有動(dòng)能又有勢能 分子動(dòng)能是分子速度的函數(shù)，分子勢能一般是位置的函數(shù)，分子數(shù)按能量分布關(guān)系與速度有關(guān)，也和空間位置有關(guān).其中n0 表示Ep=0處氣體分子的數(shù)密度.（玻耳茲曼分子按能量分布定律）(2) 玻爾茲曼分布與負(fù)指數(shù)因子 成正比，按照統(tǒng)計(jì)分布，分子總是優(yōu)先占據(jù)低能量的狀態(tài)，即分子處于低能量狀態(tài)的概率大.(1) 麥克斯韋速率分布律不考慮外力場的作用，氣體分子在空間的分布是均勻的.但如果有外力場（保守力場）存在，需要考慮分子的勢能，分子在空間的分布不均勻.玻耳茲曼給出了氣體分子按能量的分布規(guī)律. 說明(3)

20、玻耳茲曼分布律是一個(gè)普遍的規(guī)律，它對任何物質(zhì)微粒(氣體、液體和固體分子等)在任何保守力場中的運(yùn)動(dòng)都成立.5.6.2 重力場中微粒按高度分布根據(jù)麥克斯韋速度分布函數(shù)的歸一化性質(zhì)則玻耳茲曼分布可以寫為：（粒子數(shù)密度按勢能的分布）分子按勢能的分布規(guī)律是玻耳茲曼分布律的另一常用形式.如果保守外力場為重力場，勢能為 Ep=mgz （z為高度），則(重力場中粒子數(shù)密度按高度的分布)將其代入理想氣體狀態(tài)方程有此式稱為等溫氣壓公式，對其取對數(shù)，可導(dǎo)出高度公式只要測出大氣壓強(qiáng)隨高度的變化，可估算出爬山和航空中上升的高度. 5.7 氣體分子平均碰撞頻率及平均自由程主要內(nèi)容：1. 氣體分子平均碰撞頻率2. 氣體分子平均自由程5.7.1 氣體分子的平均碰撞頻率 氣體分子在運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)與其它分子發(fā)生頻繁的碰撞，每碰撞一次，分子速度的大小和方向都改變，分子運(yùn)動(dòng)的軌跡是一迂回的折線. 平均碰撞頻率：一個(gè)分子在單位時(shí)間內(nèi)與其他分子碰撞的平均