舊版課程相關(guān)供參考微積分iii課件

1、第五講微分學(xué)在最優(yōu)化方面的應(yīng)用課后作業(yè)：閱讀：第三章第五節(jié) 3.5:pp. 154-164第三章第六節(jié) 3.6:pp. 164-180作業(yè): 第三章 習(xí)題 5:p. 164: 1 (2); 3; 4.第三章 習(xí)題 6:pp. 180-181: 1; 3; 4; 5; 7; 9.3-4-3 空間曲線的交面式：一條空間曲線 L ，可以看作通過它的兩個(gè)曲面 S 與 S 的交線，12若設(shè) S 的方程為 F (x, y, z) 0 ， S 的方程為G(x, y, z) 0 ，12F (x, y, z) 0則 L 的方程是如果在曲線 L 上的點(diǎn) M 0 (x0 , y0 , z0)G(x, y, z) 0

2、nF (M 0 ),nG (M 0 ) 不共線，則向量處兩個(gè)法線向量v nF (M 0 ) nG (M 0 )是L 在點(diǎn) M 0 (x0 , y0 , z0) 處的一個(gè)切向量.x2 y2 z2 6 0例4 求曲線z x2 y2 0在點(diǎn) M 0 (1,1,2) 處的切線方程.解 取 F (x, y, z) x2 y2 z2 6 ，G(x, y, z) z x2 y2 ， 2 M( ,)2 nG (M ) 4 ,)1則,nF,2,()2(00所以曲線在 M 0 (1,1, 2)處的切向量為v gradF (M ) gradG(M ) (10,10,0)00 x 1 10t y 1 10t .于是所

3、求的切線方程為z 208，31第三章多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用3-4-4 綜合例題例5 設(shè)函數(shù) f (x, y) 在點(diǎn)(0, 0) 處的偏導(dǎo)數(shù) f x(0, 0) 3 ， f y(0, 0) 1 ，則下列命題成立的是（）(A) df (0, 0) 3dx dy ；cos f (0,0)(B)若l 3cos sin ；, 則sin lz f (x, y)在點(diǎn)(0, 0) 處的切向量為i 3k ；(C)曲線y 0(D)極限 limf (x, y) 必存在.( x, y )(0,0)z 解： 線f (x, y)是 zOx平面上的一條曲線 z f (x,0) ,該曲線在 y 0 x 0, z 0 處的斜率等

4、于 f x(0, 0) 3 ,所以在點(diǎn) (0, 0) 處的切向量為i 3k .答：C例6 設(shè)函數(shù) f (x, y) 有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn) M (1,2) 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)分f (1,2) 1 , f (1,2) 1.則f (x, y) 在點(diǎn) M (1,2) 增加最快的方xy向是()C. i jD. i jA. iB. j答：D例7 設(shè) f (x, y) 在點(diǎn) M (x0 , y0 ) 可微， v i j , u i 2 j 。如果f (x , y )f (x , y ) 2, 1，求 f (x, y) 在點(diǎn) M (x , y ) 的微分。000000uvf解：v f1 f 1 2 2 f v0(

5、 x0 , y0 )( x0 , y0 )( x0 , y0 )( x0 , y0 )xy2 f f 2 2( x0 , y0 )( x0 , y0 )xy08，32fu f 1 f25 f u 0 1( x0 , y0 )( x0 , y0 )x( x0 , y0 )y( x0 , y0 )5 f 2 f5x( x0 , y0 )y( x0 , y0 )f聯(lián)立得到：xf5 45 2 22 ， x( x0 , y0 )( x0 , y0 ) fdx fdy ( 5 4 2)dx ( 5 2 2)dydf( x0 , y0 )( x0 , y0 )( x0 , y0 )xy例8 通過曲面 S :

6、 ex y z x y z 3 上點(diǎn)(1, 0, 1) 的切平面（）（ A ）通過 y 軸；（ C ）垂直于 y 軸；（ B ）平行于 y 軸；（ D ） A ， B ， C 都不對.解: 令 F (x, y, z) e xyz x y z 3 .則 S 在其上任一點(diǎn) M 的法向量為F F F ( x , y , z ) MnF.M于是 S 在點(diǎn) M (1, 0, 1) 的法向量為( yzexyz 1, xzexyz 1, xyexyz 1) (1,0,1) .(1,0,1)因此, 切平面的方程為(x 1) (z 1) 0 . S 在(1, 0, 1) 的法向量垂直于 y軸,從而切平面平行于

7、y 軸.但是由于原點(diǎn)不在切平面,故切平面不含 y 軸.是 Bx2 y2 z21上求一點(diǎn)，使橢球面在此點(diǎn)的法線與三個(gè)坐例 9 在橢球面a2a2c2標(biāo)軸的正向成等角。解：橢球面在此點(diǎn)的法線矢量為(1,1,1) ，設(shè)該點(diǎn)為(x0 , y0 , z0 ) ，則2x0 2 y01 2z01( k ,) nF, 2， 1,)( x ,z , y )abc220 0 01(a 2 , b 2 , c 2 ) .該點(diǎn)坐標(biāo)為a 2 b 2 c 208，333x 2 2 y 2 2z 1 0,在點(diǎn) y 2 z 2 4 y 2z 2 01,1,2處的切線方程。例 10 求曲線2x解：令 F (x, y, z) 3x

8、 2 2 y 2 2z 1，G(x, y, z) x 2 y 2 z 2 4 y 2z 2 在點(diǎn)1,1,2處的切向量為nFnG (4, 16,20) ，切線方程為(1,1,2)(x 1) 4( y 1) 5(z 2) 0 ，即 x 4 y 5z 13 0例 11 求過直線 L : 3x 2 y z 5 且與曲面2x 2 2 y 2 2z 5 相切的平x y z 08面的方程.解：過直線L 平面 可表示為 3x 2 y z 5 (x y z) 0 ，設(shè)曲面為 G, 則相切處n (3 , 2, 1) k nG k (4x, 4 y, 2) 3, x 3 / 2,y 1/ 4, z 15 / 8or

9、 7, x 5 / 6, y 5 /12, z 5 / 24解得因此切平面方程為 6(x 3 / 2) ( y 1/ 4) 2(z 15 / 8) 0 ,或 10(x 5 / 6) 5( y 5 /12) 6(z 5 / 24) 0 x a y b) 0 上任意一點(diǎn)處的切平面例 12 已知 f 可微，證明曲面 S : f (,z c z c通過一定點(diǎn)，并求此點(diǎn)位置。證明 1：fza xb y f f .12(z c)2(z c) 2則曲面在 P0 (x0 , y0 , z0 ) 處的切平面是：x xy yf (P )00f (P )10z c20z c00a x0b y0 f 2(P0 )(z

10、(z z) 0.f (P )100(z c) 2c)20008，34可以得到：f (P )(z c)(x x ) f (P )(z c)( y y ) 10002000f (P )(a x )(z z ) f (P )(b y )(z z ) 0.10002000當(dāng) x a, z c, y b 時(shí)上式恒等于零。于是知道曲面 S 上任意一點(diǎn)處切平面通過定點(diǎn)(a, c, b) 。x a y b) 0證明 2： S : f (,z c z c z c dy ( y b)dz 0 d z c212z c f dz 0.x ay bdxdy f f f 2 1 z c2 z c1 (z c)22(z c

11、)f1(P0 ) ( x xf2(P0 ) ( y y( x a) f (P )( y b) f (P ) ) (z z ) 0.0100200z c0z c0(z c)2(z c)20000 x a y bx ay b) 0 ，令u , v 證明 3：對 S : f (,z c z cz cz c: x a y b z c ， 直線L滿足 f (u, v) 0uv ux avy b1z c 直線Luv :在曲面 S 上,uv1x a y a 其方向?yàn)?ui v j k i j k 。z cz c直線Luv 又在曲面 S 在 P0 點(diǎn)的切平面上：在 P0 點(diǎn) S 的法線向量為： ( x0 a)

12、 f1(P0 )( y0 b) f2(P0 ) f1(P0 ) f2(P0 ) np 0j z c iz c k(z c)2(z c)20000f1(P0 )f2(P0 ) ( x0 a) f1(P0 )( y0 b) f2(P0 ) np c u 0v 0z c(z c)2(z c)2z0000 nP 直線L 又在曲面 S 在 P 點(diǎn)的切平面上.uv 00 x ay bz c可見，這是以a, b, c 為頂點(diǎn)，以為直線以 f (u, v) 0 為準(zhǔn)線的錐面.08，3Luv :母線,uv153-5 多元函數(shù)的無條件極值3-5-1 引言：多元函數(shù)極值問題的提法與普遍性最優(yōu)化問題的普遍性：的名言：

13、“存在的必然是合理的, 而合理的必將是存在的?！边@句話前半句包含著一個(gè)靜態(tài)的最優(yōu)問題； 而后半句則包含著一個(gè)動(dòng)態(tài)的最優(yōu)問題. 因?yàn)椤昂侠怼?，就某種意義下的“最優(yōu)”。最優(yōu)化問題的提法在“某種條件”下的“某量最優(yōu)” 某量: 目標(biāo)函數(shù) f : D Rn R ,條件:約束條件: x DMin f x 問題:s. t.x 問題舉例例 1 今有 m 個(gè)點(diǎn) Pi ai , bi , ci , i 1, m , 求一點(diǎn) Px, y, z ，到各點(diǎn)距離平方之和最小。i y y z z 222iimMin fi1例 2 今有一空間曲面 F x, y, z 0 及一點(diǎn) P0 x0 , y0 , z0 ，在此曲面上找

14、一點(diǎn) Px, y, z 到 P0 點(diǎn)距離最小。Min f2 y y 2 z z2000s.t.F x, y, z 0 x, y, z 0F及一點(diǎn) P x , y , z ，在此曲線上例 3 今有一空間曲線Gx, y, z 00000找一點(diǎn) Px, y, z 到 P0 點(diǎn)距離最小。Min f2 y y 2 z z2000s.t.F x, y, z 0,Gx, y, z 008，36Min f x 0s. t.Gx一般非線性規(guī)劃：x DMin CT xs. t.A x b ,線性規(guī)劃：x 0其中, 變量是 x Rn , 而 A Rmn 和b Rm 是給定的矩陣與向量另外有變分問題；最優(yōu)控制問題。此

15、時(shí)目標(biāo)函數(shù)的自變量不是在Rn 中, 而是在函數(shù)空間中。例如，求兩點(diǎn)問最速下降曲線：設(shè)曲線為 y yx , 它使得1 yx2B dlbMin dx2g yxvAas. t.ya y , yb y123-5-2 多元函數(shù)的無條件極值(一) 極值的必要條件極值與極值點(diǎn): 設(shè)函數(shù) f : D Rn R , 若存在點(diǎn) x0 D 某個(gè)鄰域 , x U 都有 f (x) f (x 0 )U則稱 f (x0 ) 是 f (x) 的一個(gè)極小值 (minimum)，并稱x0 為 f 的一個(gè)極小值點(diǎn).類似地可定義:若 x U 都有 f (x) f (x 0 )則稱 f (x0 ) 是um)，并稱f (x) 的一個(gè)極

16、大值 (x0 為 f (x) 的一個(gè)極大值點(diǎn).極限的必要條件定理（極值點(diǎn)的必要條件）設(shè)函數(shù) f : D Rn R 在點(diǎn) x D 達(dá)0fix0 0, i 1, n到極值，若 f 在該點(diǎn)可微，則有,f x0 f x0 T gradf (x 0 ) 0 .或者x1xnf (x) 在點(diǎn) x0 D 達(dá)到極小值證明一：08，37U x0 D , x0 , f (x) f (x 0 ) x U f x 00 , f x0 i 1, n , xxi eiif x0 0 , i 1, n .xi證明二：f (x) 在點(diǎn) x0 D 達(dá)到極小值U x0 D , x0 , f (x) x Uf (x 0 ) f x0

17、 f xf x0 grad f x0Tx o 0 f x tgrad0f x0 l ot 0 ,T f x0 t l00其中， l0 是任意的 t向量,gradf x0 l o 1 gradf x0 l 0 ,T T lim00t 0 R , grad f x0 l0 grad f x0 0 .nl0證明三：f (x) 在點(diǎn) x0 D 達(dá)到極小值U x0 D , x0 , f (x) x Uf (x 0 ) 0 f x0f xf x0f x0 f x lt 對任何l0 對任何l0 f 00向量, lim 0 , ltt 0 向量 grad f x0 l0 0 ,T grad f x0l0 gr

18、ad f x0 0 ,nl0R ,可微函數(shù)只能在駐點(diǎn)取得極值. 但是駐點(diǎn)并非極值的充分條件,例如, 二元函數(shù) f (x, y) x 2 y 2 ,原點(diǎn)(0,0) 是它的一個(gè)駐點(diǎn),但是該函數(shù)在原點(diǎn)不取極值,這是因?yàn)?在 x 軸上原點(diǎn)以外的部分 x 2 y 2 0 , y 軸上原點(diǎn)以外的部分 x 2 y 2 0 .08，38另外,如果是不可微的函數(shù), 取得極值的點(diǎn)也可能不是駐點(diǎn).例如,原點(diǎn)(0,0) 是二元函數(shù) z x 2 y 2 的極小值點(diǎn),然而這個(gè)函數(shù)在原點(diǎn)不存在偏導(dǎo)數(shù),從而不可微.這是由不可微函數(shù)的優(yōu)化理論。(二) 極值的充分條件定理（極值點(diǎn)的充分條件）設(shè) f : Rn R 在 P R 點(diǎn)某

19、鄰域U Pn00內(nèi)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且 P0 是駐點(diǎn)，即 gradf (M 0) 0 ，則(1) H f (P0 ) 正定時(shí)， P0 是 f (x) 的極小值點(diǎn)；08，390.60.40.40.20.20-0.40-0.2-0.200.2-0.4.10.5f (x, y) x2 y20-0.5-1-1-0.500.51(2) H f (P0 ) 負(fù)定時(shí)， P0 是 f (x) 的極大值點(diǎn)；(3) H f (P0 ) 不定時(shí)， P0 不是 f (x) 的極值點(diǎn).其中， H f (P0 ) 為 f (x) 在 P0 處的矩陣.證明: 為簡便起見,只對于二元函數(shù)的情形給出證明.當(dāng)n 2 時(shí),函數(shù) f

20、(x, y) 在 P(x, y) 處的矩陣是 2 f P 2 f P x 2xy(P) H 2 f P 2 f P fxyy 2 2 f (P ) 2 f (P ) 2 f (P )今記: A 0 , B 0 , C 0 , P (x , y )x 2xyy 2000f M f (x, y) 在 P 處的 2 階 Taylor 公式為0M U P0 ,0 f M f M f M = 1002y0 2 f P 2 f P 12 x x 0y y 0 0= 2 f P y y f P20 xyy 2在某鄰域U P0 內(nèi)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)f矩陣 H f (P) 在某鄰域V P0 U P0 內(nèi)的正負(fù)定性質(zhì)

21、與 Hf (P0 ) 一致。因此f M 0 f M f M 0 的符號與二次型 A B x x 0 ABx 121= yx xy yy xB C y yC 002B 0 = Ax2 2Bx y Cy2 的符號相同。因此有：121. 若 A 0, AC B 2 0 ,二次函數(shù) ( Hessian矩陣 H (x , y )f00正定). 在點(diǎn) M (x0 , y0) 的某個(gè)鄰域中,恒有 f (x, y) f (x 0 , y0 ) 00.08，310因此 f (x, y) 在點(diǎn) M (x0 , y0) 取得極小值.02. 若 A 0, AC B 2 0 ,( Hessian矩陣 H (x , y

22、)f00負(fù)定). f (x, y) 在點(diǎn) M (x0 , y0) 取得極大值.03. 若 AC B 2 0 ,二次函數(shù)可正可負(fù) (即Hessian矩陣 H (x , y )f00不定),因此 f (x, y) f (x0 , y0) 的符號也是不定的,于是 f (x, y) 在點(diǎn)M (x0 , y0) 既不取極小值,也不取極大值.0當(dāng) AC B2 0時(shí),僅僅根據(jù) f (x, y) 在點(diǎn) M (x, y ) 的二階導(dǎo)數(shù)4.000不足以判定 f (x, y) 在點(diǎn) M (x0 , y0) 是否取得極值,需要作進(jìn)一步討0論,這里從略.例4 求函數(shù) f (x, y) 2x 4 y 4 2x 2 2 y

23、 2 的所有局部極值.解 求偏導(dǎo)數(shù)得 x, f 4y3 4 y ，y 0 x ( 2x 2 1) 0 解方程fy y ( y 1) 02 4 y 3 4 y 0 得到 9 個(gè)駐點(diǎn)：08，31130202101020-10-112 -2(x1 , y1) (0,0),(x2 , y2) (0,1),(x3 , y3) (0,1),(x4 , y4) ( 1 ,0),(x5 , y5) ( 1 ,1),(x6 , y6) ( 1 ,1),22212121(x , y ) (x , y ) (x , y ) (,1), 0),1),7788992y f 24x 2 40Hessen 矩陣 H x,

24、y .12x 2 4ff0 x yy y(1) 正定條件： A 24x 2 4 0 , AC B 2 166x 2 13x 2 1 0 ;(2) 負(fù)定條件：A 24x 2 4 0 , AC B 2 166x 2 13x 2 1 0在上述每個(gè)點(diǎn)計(jì)算 A, B, C 得到下表：(0, 1)4 8032(1/ 2, 0)84 032(xi , yi )Ai BiCi(0, 0)44 016(0,1)4 8032(1/ 2, 0)84 032(1/ 2,1)88064AC B2i ii2, 1)88064(1/(1/ 2, 1) 88064(xi , yi )Ai Bi Ci(1/2,1)88064A

25、C B2i ii由極值的充分條件可知，函數(shù) f 在(x5 , y5 ), (x6 , y6 ), (y 8 , x8 ), (y 9 , x9 )取局部極小值，其它點(diǎn)均為鞍點(diǎn)（非極值點(diǎn)）.例 5（最小二乘法）設(shè)變量y與x 之間的關(guān)系是y ax b，其中a,b是常數(shù).現(xiàn)在通過實(shí)驗(yàn)測得了 y與x 的一組數(shù)據(jù):( x1 , y1),( x2 , y2 ),., ( xn , yn ) ，問如何由這一組數(shù)據(jù)得到最佳的待定常數(shù)a,b.解: 所謂最佳，是指測量值與精確值之間的誤差平方和達(dá)到最小，即nMin f (a, b) ( y (ax b) )2 .令使a,b的函數(shù)iii108，312 f a, bn

26、i 2( y ax b)x 0iiai1f a, ban 2( yi axi b) 0i12 nnn xia xi b xi yi i1 i1i1nn ix a nb yi i1i1nn當(dāng) n()2 0 時(shí)，由此解出 xi xi2i 1i 1nnnnnnnn xi yi ( xi)( yi)(yi)i yi)a i 1i 1i 1 ,b i 1i 1i 1i 1nnnnn( xi xi2)2 xi xi2)2ni 1i 1i 1i 1ax1 b y1 x11 y1 a b 1 ax b y x y n nnn1 y1 1 a x1xn 1 b 111 x1 y n n nnnx 2i a x

27、yi xii i1i1 i1 . b nn ixnyi i1 i1一般情況：設(shè)變量 y與x 之間的關(guān)系是maj j1xn ) a ( x) ，yj Tx),m ( x)是己知的m 維向量函數(shù),其中,T 是己知的n 維向量 .ik )x, k y今通過實(shí)驗(yàn)測得 與 x 之間的k 組數(shù)據(jù): ( x1, m1 ),.,y( k ,，ya a1am T試從這k 組數(shù)據(jù),來確定最佳的待定常向數(shù):.08，313k 2解 1: 優(yōu)化方法 M in f a a ( x ) yiiaRmi1 f a, b ka( xi ) yi h ( xi ) 0,i1h 1, 2, m .ahk h ( xi ) ( xi

28、 ) a yi h ( xi ),i1h 1, 2, m .x1 ) y1 1記: , Y) y xkm k k1mkk k則有 ( x ) ( x ) a y ( x ), h 1, 2, mhiii hii1i1 T a Y .T這里mk mm x1 ) ,T 2x )mk ( x ) ( x ) m1mk ( x )1( x1 )1ky 12 ( xk ) 2 ( x1 ) . TYy k ( x ) ( x ) m1mk T 1TT a TY a Y .mk mm 解 2: 代數(shù)方法m ajxn ) a ( x) ,由函數(shù) yjj1 a ( x j ) y j , j 1, 2, k

29、(k m)得超定方程08，314a ax )m m xk ) y k a m 即 Ta Y a YTmk mm a Y 1TT這種求待定參數(shù) a,b 的方法就稱為最小二乘法.超定方程 Y 的最小二乘解的幾何解釋:a(1) 若 a Y 有解說明,性空間 L 中,即 Y L向量Y 在由矩陣 的列向量所的線(2) 若 a Y 無解,則說明, 向量Y 不在由矩陣 的列向量所成的線性空間 L 中, 即Y L .這時(shí)求向量Y性空間 L 上的投影向量. 為此，設(shè)線性空間 L 的垂直空間 L y R y 0 , 則有 L L ,kTRk因此Y Rk ,Y Y Y , Y L,Y ,aLLLLY L , TY

30、0 , Y 就是要求的向量Ya性LLL空間 L 上的投影向量. 這樣,Y Y Y Y YaLLLL Y 0 TY aLTT aLTL1 TY a a TT YTY 在 L 上的投影向量YL 就是1Y Ta Y ,T這里 P T 1 T 叫做的投影變換, 顯然有性質(zhì)P2 T 1 T T 1 T 08，3 11TTTT T 1 T P3-6 多元函數(shù)的條件極值f x, y Max)3-6-1 問題一：.F x, y 0s.t. 解方程 F x, y 0 y yx常規(guī)做法:條件極值問題： Min z(x) f x, y xdz(x) 0 等價(jià)於(一) 求駐點(diǎn)：方程dxdf x, yx f x, y

31、f x, y yx 0 ,方程xydx f x, yf x, yF x, yx x 0求 yx x , 代入上式并整理x, yF x, yyF F x, yyxF x, y 0f x, yf x, yx x ,引入未知數(shù) : 將方程變成對稱形式：F x, yF x, yxyf x, y F x, y 0 f x, y F x, y 0 xxF x, yyxf x, y f x, y F x, y 0 0yx, yx x, y x, y Ff F 0 0倫日函數(shù) Lx, y, f x, y F x, y,Min Lx, y, ,問題變成求函數(shù)的無條件極限問題:求駐點(diǎn)；解方程；08，316Lx,

32、y, f x, y F x, y 0 xxf x, yyxF x, yyLx, y, f gradF 0grad 0F x, y 0。yLx, y, F x, y 0(二) 判斷駐點(diǎn)的極值點(diǎn)性質(zhì)：若 x0 , y0 , 0 是 Lx, y, f x, y F x, y的駐點(diǎn)，則可用0FxFy LxyH x0 , y0 , 0 來判斷點(diǎn) P0 x0 , y0 xxLxyFFy行列式Lyy x , y , 0 0 0f x, y Max)是否是問題s.t. 的極值點(diǎn):F x, y 0若 H x0 , y0 , 0 0 ,若 H x0 , y0 , 0 0 ,P0 x0 , y0 是極小值點(diǎn);P0

33、x0 , y0 是極大值點(diǎn).因?yàn)橛蠪x(x, y)Fy(x, y)021d zLxy (x, y, )FP0dx22F (x , y)F (x, y)L (x, y, )L (x, y, )y00yxyyy x0 , y0 ,0 由一元函數(shù)判斷極值點(diǎn)的充分條件即可推出。Min z x ys.t.x2 4 y2 16 0例6 解： L x, y, x y x2 4 y2 16 ，gradf gradF y 2x 0 x 8 y F x, y x 4 y 16 022 1/ 4 y , x2 4 y2 x 2 2, y 2x2 ， x2 4 y2 16 0z x y 408，31712 1,2 1

34、gradf y 2 1 , , 2 2 2 x 2 2 42 1 gradF 2 42 82 2 f x, y, zMin3-6-2 問題二：s.t.F x, y, z 0; Gx, y, z 0 .做函數(shù)： Lx, y, z, , f x, y, z F x, y, z Gx, y, z求駐點(diǎn)；解方程；Lx, y, x, , f x, y, z F x, y, z Gx, y, z 0 xxf x, y, zxF x, y, zxGx, y, zLx, y, x, , 0yyyyLx, y, x, , f x, y, z F x, y, z Gx, y, z 0zz F x, y, z 0

35、Gx, y, z 0zzLx, y, z, , Lx, y, z, , 例7 今有一空間曲面 F x, y, z 0 及一點(diǎn) P0 x0 , y0 , z0 ，在此曲面上找一點(diǎn) Px, y, z 到 P0 點(diǎn)距離最小。08，318420-2-4-4-2024Min f2 y y 2 z z2000問題：s.t.F x, y, z 0倫日函數(shù)：L x, y, z, x x0 y y20= r F x, y, z2 z z2 F x, y, z0其中， r x x y y2z z2 .2 000Lx, y, z, F x, y, z 0 x xixxrLx, y, z, x xi F x, y,

36、z 0 xxF x, y, z r求駐點(diǎn)：,Lx, y, z, x x i 0 xxr F x, y, z 0Lx, y, z, 0或者,F P 0F x, y, z 0 x, y, z 0F及一點(diǎn) P x , y, z ，在此曲線上例8 今有一空間曲線Gx, y, z 00000找一點(diǎn) Px, y, z 到 P0 點(diǎn)距離最小。Min f2 y y 2 z z2000s.t.F x, y, z 0,Gx, y, z 0倫日函數(shù)：L x, y, z, x x0 y y z z22200 F x, y, z Gx, y, z= r F x, y, z Gx, y, z其中， r x x y y2z

37、 z2 .2 000求駐點(diǎn)：08，319Lx, y, z, , F x, y, z Gx, y, z 0 x xixxF x, y, zxGx, y, zrLx, y, z, , x x i rx x 0 xxF x, y, zxGx, y, zLx, y, z, , i 0 ,x x, y, z, xxr F x, y, z 0 Gx, y, z 0 L, Lx, y, z, , r / r grad F x, y, z gr0ad G x, y z ,F x, y, z 0G x, y, z 0或者F P 0GP 0多元函數(shù)極值綜合例題例9 今有m 個(gè)點(diǎn) Pi ai , bi , ci ,

38、距離平方之和最小。i 1, m , 求一點(diǎn) Px, y, z ，到各 點(diǎn)mx x yy z222Min f x, y, z z問題：iiii1f xmxi 0 1n xi n 1i1 xi f x, y, zmn1nn 2 y yi 0 ,i1 iiP yy.求駐點(diǎn)： yni1i1z i n 1 f x, y, zmz 2 z zi 0 ni zi1i1若改成: 今有m 個(gè)點(diǎn) Pi ai , bi , ci ,點(diǎn)距離之和最小。i 1, m , 求一點(diǎn) Px, y, z ，到 各m問題： Min f x, y, z i1xi yyi z.222xziy yz2 ,2022記 r ( x, y,

39、z) x xziiii08，3ri ( x, y, z) x xi i y yi j z zi k ,則 rix xi , riy yi , riz zi ri ri0grad r,xryzirrriiii x xi 0 f x, y, zxm 2ri1i f x, y, z y yi m 2 0 ,求駐點(diǎn)： yri1if x, y, z z zi mi1 02zrin0 ( x*, y*, z*) 0 .i1grad f (例 10 設(shè) f (x, y, z), g(x, y, z) C1 , M (x , y , z ) 是條件極值問題000max) f (x, y, z)的解,且 f (

40、x0 , y0 , z0 ) a .又設(shè)1 , 2 分別是曲面g(x, y, z) 0S1 : f (x, y, z) a, S2 : g(x, y, z) 0 在點(diǎn) M (x0 , y0 , z0 ) 的切平面,則()A. 1 與 2B. 1 與 2 重合.D. 1 , 2 既不重合也不平行.平行而不重合.C. 1 , 2 垂直.答：B例 11 設(shè)函數(shù) F ( x, y) 在 (x 0 ,y 0 ) 的某個(gè)鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),且 F(x0 ,y0 ) x F ( x0,y0) y 2F ( x0,y0) 0 ,0 0 . y y(x) 是,x2F ( x, y) 0 確定的隱函則：（）(

41、 A. ) y y( x) 在點(diǎn) x 0 取極大值. ( B. ) y y( x) 在點(diǎn) x 0 取極小值. ( C ) y y( x) 在點(diǎn) x 0 沒有極值.( D.) 不能確定 y y( x) 在點(diǎn) x 0 是否取極值.答：A例 12設(shè) f (x, y, z) 有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，在約束條件 x 2 y 2z 1008，321f下函數(shù) f (x, y, z) 條件最大極為 f (M 0 ) ，又設(shè)在點(diǎn) M 0 處 x 2 ，則曲面 f (x, y, z) f (M 0 ) 在點(diǎn) M 0 處的一個(gè)法向量為（）A. (1,2,2)B. (2,1,1)C. (2,4,4)D. (1,2,2)答：C

42、設(shè) f ( x, y) x4 y4 2 x2 2 y2 4 xy ，求 f ( x, y)的極值。例 13 f 4x 4x 4 y 03 x解： ，f 4 y 4 y 4x 03 yx1, y1 0,0,x , y 2,2 ,2 .4解得22x , y 2, 3312x2 4H ( x, y) 12 y 424H (0, 0) 444 4f ( x, y) x4 y4 2( x y)2 ,在(0, 0) 點(diǎn)不是極值點(diǎn):d 4dx42 4! 0 ,44ff,4 在 x 0 點(diǎn)為極小點(diǎn);f4 8x2, f (0, 0) 16 0fxxf ( x, x) 在 x 0 點(diǎn)為極大點(diǎn)H ( 2, 2 )

43、204 ,正定,極小點(diǎn).420極小值 - 8.例 14.設(shè) z z(x, y) 由 x 2 6xy 10 y 2 2 yz z 2 18 0確定的函數(shù)，求 z z(x, y) 的極值點(diǎn)和極值.08，322210-1-2-2-1012解：2x 6 y 2 y z 2z z 0 ，xx 6x 20 y 2z 2 y z 2z z 0 .yyz 0,xx 3y 0,x 3y,令 z得 3x 10 y z 0,故 z y. 0 y將上式代入 x 2 6xy 10 y 2 2 yz z 2 18 0 ，P1 x1 , y1 , z1 9, 3, 3 ， 或 P2 x2 , y2 , z2 9, 3, 3

44、 2 zz 2 z由于 2 2 y 2() 2z 0 ，2x 2xx 2z 2 zz z 2 z6 2 x 2 y xy 2 y x 2z xy 0,zz 2 zz 2 z20 2 2 2 y 2() 2z 0 ，2yyyy 2y 2 2 z 2 z2 y 2z x 2 22x y z 2 z 3xy 2 z 2 z y z 10y 2y 2 2 zx 2 2 z 2 zy 2115A ， B 6 ， C 2，3xyP1P1P1故 AC B 2 0 ，又 A 1 01366 點(diǎn) P1 是 z z(x, y) 的極小值點(diǎn)，極小值為 z(9,3)=3. 2 zx 2 2 z 2 zy 2115A

45、， B 6， C 2 ，3xyP2P2P21360 ，又 A 1 06AC B 2 點(diǎn) P2 是 z z(x, y) 的極大值點(diǎn)，極大值為 z(9,3) 3 。08，323例 15求二元函數(shù) z f (x, y) x 2 y(4 x y) 在由直線 x y 6 、x 軸和 y 軸所圍成的閉區(qū)域 D 上的極值、最大值和最小值。 f (x, y) 2xy(4 x y) x 2 y 0 x解：駐點(diǎn)方程組： ，f (x, y) x 2 (4 x y) x 2 y 0y得 x 0 (0 y 6) 及點(diǎn)(4,0) , (2,1) 。其中點(diǎn)(4,0)及線段 x 0 在 D 的邊界上，只有點(diǎn)(2,1) 是可能

46、的極值點(diǎn)。 A (8 y 6xy 2 y 2 ) | 6(2,1)由 B (8y) |( 2,1) 4 ，C 2x 2 | 8( 2,1)知 B 2 AC 32 0 ，又 A 0 ，知點(diǎn)(2,1) 是極大值點(diǎn)， f (2,1) 4 。在邊界 x 0 (0 y 6) 和 y 0 (0 x 6) 上 f (x, y) 0 ；在邊界 x y 6 上將 y 6 x 代入 f (x, y) 中得z 2 6) ；解 z 6x 2 24x 0, 有 x 0, x 4.又 z |x4 (12x 24) |x4 24 0 ,所以點(diǎn)(4,2) 是邊界上的極小值點(diǎn)，極小值 f (4,2) 64 .綜上所述，函數(shù) f

47、 (x, y) 在 D 上的最大值為 f (2,1) 4 ，最小值為 f (4,2) 64 .例 16 在周長為2 p 的三角形中求出滿足下述要求的三角形：繞自己的一邊旋轉(zhuǎn)時(shí)所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積最大。解：設(shè)三邊分別為 x, y,2 p x y ，不妨繞邊長為 x 的邊旋轉(zhuǎn)，設(shè)該邊上的1高為 h ，則有 xh p( p x)( p y)(x y p)24 p1則V h x ( p x)( p y)(x y p) / x233由極值點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)等于 0 得(2 p 2x y)x ( p x)(x y p) 0解得 x p / 2, y 3 p / 42 p x 2 y 008，324當(dāng)x, y, z 都大于0時(shí)，求u ln x 2 ln y 3ln z 在球面例 17r2 上的最大值.并證明對任意正實(shí)數(shù)a,b, c， a b c 6下述不等式成立： ab 2c3 108。6證: 令 L(x, y, z) f (x, y, z) (x 2 y 2 x 2 6r 2 )L123y z 0 ,得 x , y , z222222由x1代入球面方程得， ，所以2r 2f ln r ln 2r 2 3ln( 3r) 6 ln r 3 ln 3 ln 2 。max2ln xyz 3 ln x ln y 3ln z2 6 ln)3 x 2 y 2 z 2 3所以 xyz 3 1