橢圓大題題型歸納例題+練習(xí)

1、 PAGE10 / NUMPAGES10 橢圓大題題型解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的解題步驟是：（1）直線的斜率不存在，直線的斜率存，（2）聯(lián)立直線和曲線的方程組；（3）討論類一元二次方程（4）一元二次方程的判別式（5）韋達(dá)定理，同類坐標(biāo)變換（6）同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換（7）x,y，k(斜率)的取值X圍（8）目標(biāo)：弦長(zhǎng)，中點(diǎn)，垂直，角度，向量，面積，X圍等等運(yùn)用的知識(shí)：1、中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，其中是點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)。2、弦長(zhǎng)公式：若點(diǎn)在直線上，則，這是同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一，或者。3、兩條直線垂直：則兩條直線垂直，則直線所在的向量4、韋達(dá)定理：若一元二次方程有兩個(gè)不同的根，則。常見的一些題

2、型：題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題型二：弦的垂直平分線問題弦的垂直平分線問題和對(duì)稱問題是一種解題思維，首先弄清楚哪個(gè)是弦，哪個(gè)是對(duì)稱軸，用到的知識(shí)是：垂直（兩直線的斜率之積為-1）和平分（中點(diǎn)坐標(biāo)公式）。例題1、過點(diǎn)T(-1,0)作直線與曲線N ：交于A、B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)E(,0)，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說明理由。例題2、已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（）求過點(diǎn)O、F，并且與相切的圓的方程；（）設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值X圍。練習(xí)1：已知橢圓過點(diǎn)，且離心率。 （

3、）求橢圓方程； （）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段的垂直平分線過定點(diǎn)，求的取值X圍。練習(xí)2、設(shè)、分別是橢圓的左右焦點(diǎn)是否存在過點(diǎn)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得？若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由題型三：動(dòng)弦過定點(diǎn)的問題例題3、已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0)。（= 1 * ROMANI）求橢圓的方程；（= 2 * ROMANII）若直線與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn)，試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。例題4、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓

4、C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3；最小值為1；（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)。求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。練習(xí)：直線和拋物線相交于A、B，以AB為直徑的圓過拋物線的頂點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)。題型四：過已知曲線上定點(diǎn)的弦的問題若直線過的定點(diǎn)在已知曲線上，則過定點(diǎn)的直線的方程和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程（或類一元二次方程），考察判斷式后，韋達(dá)定理結(jié)合定點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求出另一端點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而解決問題。例題6、已知點(diǎn)A、B、C是橢圓E：上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，直線BC過橢圓的中心O，

5、且，如圖。(= 1 * ROMANI)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及橢圓E的方程；(= 2 * ROMANII)若橢圓E上存在兩點(diǎn)P、Q，使得直線PC與直線QC關(guān)于直線對(duì)稱，求直線PQ的斜率。練習(xí)：已知，橢圓C以過點(diǎn)A（1，），兩個(gè)焦點(diǎn)為（1，0）（1，0）。求橢圓C的方程；E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。題型五：共線向量問題解析幾何中的向量共線，就是將向量問題轉(zhuǎn)化為同類坐標(biāo)的比例問題，再通過未達(dá)定理同類坐標(biāo)變換，將問題解決。例題7、設(shè)過點(diǎn)D(0,3)的直線交曲線M：于P、Q兩點(diǎn)，且,某數(shù)的取值X圍。例題8：已知橢圓C的中心在原點(diǎn)

6、，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若，求的值練習(xí)：設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，A是橢圓C上的一點(diǎn)，且，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過Q的直線l交x軸于點(diǎn)，較y軸于點(diǎn)M，若，求直線l的方程題型六：面積問題例題9、已知橢圓C：（ab0）的離心率為短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為。（）求橢圓C的方程；（）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值。練習(xí)、如圖，直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，記的面積為。（）求在，的條件下，的最大值；（）當(dāng)時(shí)，求直線AB的方程。練習(xí)1、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為4。()求橢圓的方程；()直線過點(diǎn)P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AOB面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程。練習(xí)2、已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為，為其焦點(diǎn)，一直線過點(diǎn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，且的最大面積為，求橢圓的方程。題型七：弦或弦長(zhǎng)為定值問題例題10 設(shè)橢圓E: （a,b0）過M（2，