條件選擇型數(shù)列問題-2021高考數(shù)學(xué)沖刺(含詳細(xì)解析)

1、專題十四：條件選擇型數(shù)列問題（解析版）1已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）請(qǐng)從下面的三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知條件，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 注：如果采用多種條件組合作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.（2）在（1）的條件下，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）；（2）.【詳解】解：（1）選擇條件，對(duì)應(yīng)的基本量如下：由，即由，即由，即解得，所以.（2）.因?yàn)椋詳?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列， 所以.2給定三個(gè)條件：，成等比數(shù)列，從上述三個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答.問題：設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，_.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，

2、按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】條件選擇見解析；（1）；（2）證明見解析.【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為.選條件：，成等比數(shù)列，解得，故數(shù)列的通項(xiàng).選條件：，解得，故數(shù)列的通項(xiàng).選條件：，解得，故數(shù)列的通項(xiàng).（2），.3，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，若問題中的k存在，求k的值；若k不存在，說明理由.問題：等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，若_，是否存在，使得且？注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】答案見解析【詳解】解：若存在，使得且，則，.設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為.若選擇條件：由，得，解得.所以.令，得，所以當(dāng)時(shí)，滿足，所以k=5滿足題意.若選擇條件：由，得，解得.所以.由

3、，得.所以當(dāng)時(shí)，滿足，.所以k=5滿足題意.若選擇條件：由，得，解得.所以.易知恒成立，所以不存在滿足條件的.4條件：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之和為，且條件：對(duì)，有（為常數(shù)），并且成等差數(shù)列在以上兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中，并作答在數(shù)列中，_（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求的值注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分【答案】（1）條件性選擇見解析，；（2）【詳解】選條件，由得 當(dāng)時(shí)， 又 數(shù)列的通項(xiàng)公式為 選條件，（1）知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列， 且由已知可得：即: 解得（舍去） （2） （或）5從下列選項(xiàng)中，選擇其中一個(gè)作為條件進(jìn)行解答：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和；已知數(shù)列是等比數(shù)列，；

4、已知數(shù)列中，且對(duì)任意的正整數(shù)m，n都有（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知，求數(shù)列的前2021項(xiàng)的和【答案】（1）條件選擇見解析；（2）.【詳解】（1）若選，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，顯然當(dāng)時(shí)，也適合，所以.若選，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以有，解得?若選，令，是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，因此；（2）由題意知，.6從，為等差數(shù)列且，這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)條件補(bǔ)充到問題中，并完成解答.問題：已知數(shù)列，滿足，且_.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若表示數(shù)列在區(qū)間內(nèi)的項(xiàng)數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.【答案】條件選擇見解析；（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）選擇，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)也成立，故，所以，所以數(shù)列是

5、以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.若選擇，設(shè)數(shù)列公差為，由題意 得得，所以，所以.所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.（2）若選擇條件，則，所以對(duì)應(yīng)的區(qū)間為，則；對(duì)應(yīng)的區(qū)間為，則；對(duì)應(yīng)的區(qū)間為，則；對(duì)應(yīng)的區(qū)間為，則；所以.若選擇條件，則，所以對(duì)應(yīng)的區(qū)間為，則；對(duì)應(yīng)的區(qū)間為，則；對(duì)應(yīng)的區(qū)間為，則；對(duì)應(yīng)的區(qū)間為，則；所以.7在，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答問題：已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，_，若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分【答案】答案見解析.【詳解】解：（1）選擇，設(shè)公差為由，得，所以，解得，所以，又因?yàn)椋?，所以?shù)列是以4為首項(xiàng)，

6、4為公比的等比數(shù)列，所以（2）選擇，設(shè)公差為因?yàn)椋钥傻糜忠驗(yàn)?，所以，所以，所以又因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以16為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以（3）選擇，設(shè)公差為因?yàn)?，可得，即，所以，又因?yàn)椋运杂忠驗(yàn)椋裕?在，中任選兩個(gè)，補(bǔ)充在橫線上，并回答下面問題已知公差不為0的等差數(shù)列，且 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】條件性選擇見解析，（1）；（2）.【詳解】（1）選因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，所以，解得，所以.選因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，所以，解得，所以.選因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，所以，解得，所以.（2）由（1）知9在數(shù)列中，,.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）在下列兩個(gè)問題中任選一個(gè)作

7、答，如果兩個(gè)都作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）選，證明見解析；選，【詳解】（1）因?yàn)?，且，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則，所以.（2）選因?yàn)?，且，所以，因此，?選因?yàn)?，所以，則，則，故.10已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）請(qǐng)從，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）數(shù)列為等差數(shù)列，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析；（2）答案見解析【詳解】（1）證明：方案一：選條件當(dāng)時(shí)， ，解得，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減，可得，即，數(shù)列是以9為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，方案二：選條件當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公

8、比的等比數(shù)列.（2）解：由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，方案一：選條件由（1），可得，則，兩式相減，可得，；方案二：選條件由（1），可得，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.11在，是公差為1的等差數(shù)列，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中并作答.問題：在公差不為0的等差數(shù)列中，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，_.設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使成立的最小正整數(shù)的值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】答案見解析【詳解】選擇條件：因?yàn)?，所以，上面兩式相減得，所以（）.在中，令，得，所以，從而，所以.選擇條件：因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，于是.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，所以.選擇條件：因?yàn)?，所以，整理?

9、因?yàn)?，所以，從而?shù)列的通項(xiàng)公式為.因?yàn)?，所以，解得，所以使成立的最小正整?shù)的值為412在，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的橫線上，并解答相應(yīng)問題：已知數(shù)列滿足，且（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列（2）若_，是否存在等比數(shù)列的前項(xiàng)和為？若存在，求的通項(xiàng)公式；若不存在，說明理由注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分【答案】（1）證明見解析；（2）答案不唯一，具體見解析【詳解】解:（1）證明：由，得，因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是以3為公比的等比數(shù)列（2）選擇條件：由（1）可知所以，得，所以，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，顯然，不是等比數(shù)列，故不存在符合條件的數(shù)列選擇條件：由（1）可知，所以解得，所以若數(shù)

10、列的前項(xiàng)和為，則，顯然，不是等比數(shù)列，故不存在符合條件的數(shù)列選擇條件：由（1）可知，由解得，所以若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)時(shí)，而也符合上式，所以是等比數(shù)列，13在，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中并解答.已知數(shù)列為正項(xiàng)遞增等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，為等差數(shù)列，且，_，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】【詳解】設(shè)公比為，公差為，則：，若選，若選，若選，所以，解得或（舍），所以，.14在，成等比數(shù)列，這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充到下面問題中，并解答本題問題：已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，且滿足_（1）求；（2）若，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和注：如果選擇多種情況分別解答，按第一種解答計(jì)分【答案】選擇見解析；（1）；（2）【詳解】解：（1）選擇條件由，得，即，由，成等比數(shù)列，得，即，即，解得，因此選擇條件由，得，即；由，得，即；解得，因此選擇條件由，成等比數(shù)列，得，即，由，得，即，解得，因此（2）由，可得，當(dāng)時(shí)，即，則，當(dāng)時(shí)，符合，所以當(dāng)時(shí)，則，因此31在；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并作答.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且滿