2021-2022學(xué)年浙江省杭州市西湖區(qū)杭州學(xué)軍高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知是圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為1的圓上的任意一點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)到交圓于點(diǎn)，則的最大值為（ ）A3B2CD2函數(shù)的圖象大致是( )ABCD3是虛數(shù)單位，則（ ）A1B2CD4已知

2、函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）ABCD5函數(shù)在的圖象大致為（ ）ABCD6執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值是（ ）A8B32C64D1287已知在中，角的對邊分別為，若函數(shù)存在極值，則角的取值范圍是（ ）ABCD8已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）ABCD9設(shè)，則，則（ ）ABCD10已知中內(nèi)角所對應(yīng)的邊依次為，若，則的面積為（ ）ABCD11已知集合，則（）ABCD12已知數(shù)列滿足，則（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知，滿足約束條件則的最大值為_.14函數(shù)的最小正周期是_，單調(diào)遞增區(qū)間是_.15在中，內(nèi)角的對邊長分別為，已知，且，則_16設(shè)

3、，若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn)，斜率為的直線經(jīng)過點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，請說明理由.18（12分）在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達(dá)對祖國的熱愛之情，在數(shù)學(xué)中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲

4、線，其極坐標(biāo)方程為（），M為該曲線上的任意一點(diǎn).（1）當(dāng)時，求M點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）將射線OM繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點(diǎn)N，求的最大值.19（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，直線與拋物線交于另一點(diǎn).（1）設(shè)直線，的斜率分別為，求證：常數(shù)；（2）設(shè)的內(nèi)切圓圓心為的半徑為，試用表示點(diǎn)的橫坐標(biāo)；當(dāng)?shù)膬?nèi)切圓的面積為時，求直線的方程.20（12分）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn).（1）當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4時，求直線的斜率；（2）已知點(diǎn)，直線過點(diǎn)，記直線的斜率分別為，當(dāng)取最大值時，求直線的方程.21（12分）設(shè)不等式的解集為M，.（1）證明：；（2）比較與的大小，并說明理由.22

5、（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.()求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；()已知直線與曲線交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，求.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為，由三角函數(shù)的定義得，利用輔助角公式計算即可.【詳解】設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為，由已知，所以，當(dāng)時，取得等號.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的最值問題，涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識，是一道容易題.2B【解析】根據(jù)函數(shù)

6、表達(dá)式,把分母設(shè)為新函數(shù),首先計算函數(shù)定義域,然后求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性,對應(yīng)函數(shù)圖像得到答案.【詳解】設(shè)，則的定義域為.，當(dāng)，單增，當(dāng)，單減，則.則在上單增，上單減，.選B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的判斷,用到了換元的思想,簡化了運(yùn)算,同學(xué)們還可以用特殊值法等方法進(jìn)行判斷.3C【解析】由復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則求出，再由模長公式，即可求解.【詳解】由.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法和模，屬于基礎(chǔ)題.4C【解析】對函數(shù)求導(dǎo)，對a分類討論，分別求得函數(shù)的單調(diào)性及極值，結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行判斷求解.【詳解】 ，.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，不合題意.當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，也不合題意.當(dāng)時，

7、則時，在上單調(diào)遞減，時，在上單調(diào)遞增，又，所以在上有兩個零點(diǎn)，只需即可，解得.綜上，的取值范圍是.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)的問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題，屬于中檔題5B【解析】先考慮奇偶性，再考慮特殊值，用排除法即可得到正確答案.【詳解】是奇函數(shù)，排除C，D；，排除A.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的判斷，屬于?？碱}.6C【解析】根據(jù)給定的程序框圖，逐次計算，結(jié)合判斷條件，即可求解.【詳解】由題意，執(zhí)行上述程序框圖，可得第1次循環(huán)，滿足判斷條件，；第2次循環(huán)，滿足判斷條件，；第3次循環(huán)，滿足判斷條件，；第4次循環(huán)，滿足判斷條件，；不滿足判斷條件，輸出.故選：C.

8、【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出，其中解答中認(rèn)真審題，逐次計算，結(jié)合判斷條件求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7C【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，由有不等的兩實(shí)根，即可得不等關(guān)系，然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論【詳解】，.若存在極值，則，又.又故選：C【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，考查余弦定理掌握極值存在的條件是解題關(guān)鍵8D【解析】與中間值1比較，可用換底公式化為同底數(shù)對數(shù)，再比較大小【詳解】，又，即，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查冪和對數(shù)的大小比較，解題時能化為同底的化為同底數(shù)冪比較，或化為同底數(shù)對數(shù)比較，若是不同類型的數(shù)，可借助中間值如0，1等比較9A【解析

9、】根據(jù)換底公式可得，再化簡，比較的大小，即得答案.【詳解】，.，顯然.,即，即.綜上，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查換底公式和對數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題.10A【解析】由余弦定理可得，結(jié)合可得a，b，再利用面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理，得，由，解得，所以，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道容易題.11A【解析】根據(jù)對數(shù)性質(zhì)可知，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.【詳解】，集合，由交集運(yùn)算可得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查由對數(shù)的性質(zhì)比較大小，集合交集的簡單運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.12C【解析】利用的前項和求出數(shù)列的通項公式，可計算出，然后利用裂項法可求出的值.

10、【詳解】.當(dāng)時，；當(dāng)時，由，可得，兩式相減，可得，故，因為也適合上式，所以.依題意，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用求，同時也考查了裂項求和法，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。131【解析】先畫出約束條件的可行域，根據(jù)平移法判斷出最優(yōu)點(diǎn)，代入目標(biāo)函數(shù)的解析式，易可得到目標(biāo)函數(shù)的最大值【詳解】解：由約束條件得如圖所示的三角形區(qū)域，由于，則，要求的最大值，則求的截距的最小值，顯然當(dāng)平行直線過點(diǎn)時，取得最大值為：.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求最值問題，我們常用幾何法求最值.14 ， 【解析】化簡函數(shù)的解析式，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可【詳解

11、】函數(shù)，最小正周期，令，可得，所以單調(diào)遞增區(qū)間是，故答案為：，【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的公式的應(yīng)用，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題154【解析】根據(jù)正弦定理與余弦定理可得：，即故答案為416【解析】先求出，從而得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù)即可得的最大值為，令，得函數(shù)取得最小值，由有實(shí)數(shù)解，進(jìn)而得實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】解：，當(dāng)時，；當(dāng)時，；函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù)所以的最大值為，令，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，又因為方程有實(shí)數(shù)解，那么，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)

12、寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）存在；實(shí)數(shù)的取值范圍是【解析】（1）根據(jù)橢圓定義計算，再根據(jù)，的關(guān)系計算即可得出橢圓方程；（2）設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立方程組，求出的范圍，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，求出的中垂線與軸的交點(diǎn)橫，得出關(guān)于的函數(shù)，利用基本不等式得出的范圍【詳解】（1）由題意可知，又，橢圓的方程為：（2）若存在點(diǎn)，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，則為線段的中垂線與軸的交點(diǎn)設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程組，消元得：，又，故由根與系數(shù)的關(guān)系可得，設(shè)的中點(diǎn)為，則，線段的中垂線方程為：，令可得，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，且的取值范圍是，【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的

13、性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力18（1）點(diǎn)M的極坐標(biāo)為或（2）【解析】（1）令，由此求得的值，進(jìn)而求得點(diǎn)的極坐標(biāo).（2）設(shè)出兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，利用勾股定理求得的表達(dá)式，利用三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)M在極坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，由，得，或，所以點(diǎn)M的極坐標(biāo)為或（2）由題意可設(shè)，.由，得，.故時，的最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查極坐標(biāo)的求法，考查極坐標(biāo)下兩點(diǎn)間距離的計算以及距離最值的求法，屬于中檔題.19（1）證明見解析；（2）；.【解析】（1）設(shè)過的直線交拋物線于，聯(lián)立，利用直線的斜率公式和韋達(dá)定理表示出，化簡即可；（2）由（

14、1）知點(diǎn)在軸上，故，設(shè)出直線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，因為內(nèi)心到三角形各邊的距離相等且均為內(nèi)切圓半徑，列出方程組求解即可.【詳解】（1）設(shè)過的直線交拋物線于，聯(lián)立方程組，得：.于是，有：，又，；（2）由（1）知點(diǎn)在軸上，故，聯(lián)立的直線方程：. ，又點(diǎn)在拋物線上，得，又，；由題得，（解法一）所以直線的方程為（解法二）設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則.設(shè)直線的斜率為，則：直線的方程為：代入直線的直線方程，可得 于是有：得，又由（1）可設(shè)內(nèi)切圓的圓心為則， 即：，解得：所以，直線的方程為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線相關(guān)的綜合問題的求解，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解與邏輯推理能力.20（1）（2）【解析】

15、（1）設(shè)，根據(jù)直線的斜率公式即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理得，結(jié)合直線的斜率公式得到，換元后討論的符號，求最值可求解.【詳解】（1）設(shè)，因為，即直線的斜率為1.（2）顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程組，可得則，令，則則當(dāng)時，；當(dāng)且僅當(dāng)，即時，解得時，取“=”號，當(dāng)時，；當(dāng)時，綜上所述，當(dāng)時，取得最大值，此時直線的方程是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的斜率公式，直線與拋物線的位置關(guān)系，換元法，均值不等式，考查了運(yùn)算能力，屬于難題.21 (1)證明見解析；(2).【解析】試題分析：(1)首先求得集合M，然后結(jié)合絕對值不等式的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論；(2)

16、利用平方做差的方法可證得|1-4ab|2|a-b|.試題解析：（）證明：記f (x) =|x-1|-|x+2|，則f(x)= ，所以解得-x，故M=(-,).所以，|a|+|b|+=.（）由（）得0a2，0b2.|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-1)(b2-1)0.所以，|1-4ab|2|a-b|.22（1）(x1)2y24,直線l的直角坐標(biāo)方程為xy20；（2）3.【解析】(1)消參得到曲線的普通方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程的互化公式求得直線的直角坐標(biāo)方程；(2)先得到直線的參數(shù)方程，將直線的參數(shù)方程代入到圓的方程，得到關(guān)于的一元