2.4.1函數(shù)的單調(diào)性

1、yyyy年M月d日星期（1）增函數(shù)和減函數(shù). 如果對于屬于定義域 I 內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值 x1，x2 ， 當(dāng) x1 f (x2)，那么就說 f (x) 在這個區(qū)間上是減函數(shù). 定義：設(shè)函數(shù) f (x) 的定義域為 I : 如果對于屬于定義域 I 內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值 x1，x2 ， 當(dāng) x1 x2 時， 都有 f (x1) f (x2) ，那么就說 f (x) 在這個區(qū)間上是增函數(shù)；復(fù) 習(xí) 回 顧2.4.1函數(shù)的單調(diào)性 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論：用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x).令f(x)0解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.令f(x)0解不

2、等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間.解：y=(ax2+bx+c)=2ax+b, 令2ax+b0，解得x y=ax2+bx+c(a0)的單調(diào)增區(qū)間是( ，+)令2ax+b0，解得x2.討論二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的單調(diào)區(qū)間.例 2 確定函數(shù) f (x) = 2x 3 6x 2 + 7 在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù) . y = 2x3 - 6x2 + 7函數(shù)圖象如圖.解：f(x)=(2x3-6x2+7)=6x2-12x令6x2-12x0，解得x2或x0當(dāng)x(-，0)時，f(x)0， f(x)是增函數(shù).當(dāng)x(2，+)時，f(x)0， f(x)是增函數(shù).令6x2-12x0，解得0

3、x2.當(dāng)x(0，2)時，f(x)0， f(x)是減函數(shù). 解：y=(ax2+bx+c)=2ax+b, 令2ax+b0，解得x y=ax2+bx+c(a0)的單調(diào)增區(qū)間是( ，+)令2ax+b0，解得x2.討論二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的單調(diào)區(qū)間.1確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 (1)y=x39x2+24x (2)y=xx3 練 習(xí)（1）y=x39x2+24x的單調(diào)增區(qū)間是(4，+)和(-，2)， 單調(diào)減區(qū)間是(2，4) （2）單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間. 定義：如果函數(shù) y = f (x) 在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù) y = f (x) 在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間，叫做

4、y = f (x) 的單調(diào)區(qū)間.2.4.1函數(shù)的單調(diào)性 （3）導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 函數(shù) y = f (x) 在點 x0 處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線 y = f (x) 在點 P( x0， f (x0) ) 處的切線的斜率 . 曲線 y = f (x) 在點 P( x0， f (x0) ) 處的切線的方程為 也就是說，曲線 y = f (x) 在點 P( x0， f (x0) ) 處的切線的斜率是 2.4.1函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性： 1. 問題的引入： 我們知道，如果函數(shù) f (x) 在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說 f (x) 在這一區(qū)間具有單調(diào)性.那么怎樣判斷函數(shù)的單調(diào)性呢？ 如果用定

5、義判斷函數(shù)的單調(diào)性. 在假設(shè) x1 x2 的前提下，比較 f (x1)與 f (x2) 的大小，在函數(shù) y = f (x)比較復(fù)雜的情況下，比較 f (x1)與 f (x2) 的大小并不很容易. 下面我們利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性. 新 課 教 學(xué)2. 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性： 以函數(shù) y = f (x) = x2 - 4x + 3 為例 . 因為曲線 y = f (x) 的切線的斜率就是函數(shù) y = f (x) 的導(dǎo)數(shù) . 由函數(shù)的圖象可以看出，在區(qū)間 ( 2，+ ) 內(nèi)，切線的斜率為正，即 f (x) 為增函數(shù)； 在區(qū)間 ( - ，2 ) 內(nèi)，切線的斜率為負(fù)，即 f (x) 為減函數(shù).

6、y = x2-4x+3 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論：用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x).令f(x)0解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.令f(x)0解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間.例 1 確定函數(shù) f (x) = x 2 2x + 4 在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù) . y = x2 2x + 4函數(shù)圖象如圖.解：f(x)=(x2-2x+4)=2x-2.令2x-20，解得x1.當(dāng)x(1，+)時，f(x)0， f(x)是增函數(shù).令2x-20，解得x1.當(dāng)x(-，1)時，f(x)0， f(x)是減函數(shù). 例 題 解 析例 2 確定函數(shù) f (x) = 2x 3

7、6x 2 + 7 在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù) . y = 2x3 - 6x2 + 7函數(shù)圖象如圖.解：f(x)=(2x3-6x2+7)=6x2-12x令6x2-12x0，解得x2或x0當(dāng)x(-，0)時，f(x)0， f(x)是增函數(shù).當(dāng)x(2，+)時，f(x)0， f(x)是增函數(shù).令6x2-12x0，解得0 x2.當(dāng)x(0，2)時，f(x)0， f(x)是減函數(shù). 例3、求函數(shù)y=x2(1x)3的單調(diào)區(qū)間.解：y=x2(1-x)3=2x(1-x)3+x23(1-x)2(-1) =x(1-x)22(1-x)-3x=x(1-x)2(2-5x) 令x(1x)2(25x)0，解得0 x

8、 y=x2(1x)3的單調(diào)增區(qū)間是(0， )令x(1x)2(25x)0，解得x0或x且x1.（ x=1為拐點，)y=x2(1x)3的單調(diào)減區(qū)間是(-，0)，( ，+)注意:區(qū)間內(nèi)個別點導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.1確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 (1)y=x39x2+24x (2)y=xx3 練 習(xí)（1）y=x39x2+24x的單調(diào)增區(qū)間是(4，+)和(-，2)， 單調(diào)減區(qū)間是(2，4) （2）y=xx3的單調(diào)增區(qū)間是(- ， ) 單調(diào)減區(qū)間是(-，- )和( ，+)解：y=(ax2+bx+c)=2ax+b, 令2ax+b0，解得x y=ax2+bx+c(a0)的單調(diào)增區(qū)間是( ，+)令2ax+b0，解得x2.討論二次函數(shù)y=ax2+bx+c