北京交通大學(xué)通信原理探討

1、通原研討組員 ： 肖逸然 15231081 龐凱怡 15292012 劉源 1529203323組題目要求可以認(rèn)為重復(fù)碼和偶校驗(yàn)碼是線性分組碼，也是循環(huán)碼，請(qǐng)說明原因；并分別列出(4, 1)重復(fù)碼和(4, 3)偶校驗(yàn)碼的生成矩陣(系統(tǒng)碼形式)和生成多項(xiàng)式。 證明重復(fù)碼和偶校驗(yàn)碼是線性分組碼01PART 1通原研討PART 1通原研討【線性分組碼】1：一個(gè)長(zhǎng)度為n，包含 個(gè)碼字的分組碼，若這個(gè) 碼字構(gòu)成GF（2）上所有的n維向量空間V的一個(gè)k維子空間，則稱這個(gè)分組碼為線性分組碼。2：在線性碼中信息位和監(jiān)督位是由一些線性代數(shù)方程聯(lián)系著的，或者說線性碼是按照一組線性方程構(gòu)成的。3：分組碼可以寫成(n

2、, k)形式，碼字一共n比特，消息序列分組為k 比特，每組增加校驗(yàn)（監(jiān)督）位r = n-k 比特。PART 1通原研討【重復(fù)碼（n,1）】1 證明重復(fù)碼是分組碼：因?yàn)橹貜?fù)碼n個(gè)碼元中，只有最高位為信息位，所以可以寫為（n，1）碼的形式，即分組碼。2 證明重復(fù)碼是線性碼： 假設(shè)重復(fù)碼一共有n位，最高位是信息位，則它的線性方程可以寫為：滿足線性分組碼定義，題目得證。PART 1通原研討【偶校驗(yàn)碼（n，n-1）】1 證明偶校驗(yàn)碼是分組碼，因?yàn)榕夹ｒ?yàn)碼的n個(gè)碼元中，只有最低位為監(jiān)督位，所以偶校驗(yàn)碼可以寫為（n,n-1）的形式，即為分組碼。2 證明偶校驗(yàn)碼是線性碼：偶校驗(yàn)碼含1位校驗(yàn)位a0，與信息位an

3、-1至a1構(gòu)成一個(gè)代數(shù)式： 滿足線性分組碼的定義，題目得證。PART 1通原研討【線性分組碼的性質(zhì)】1 封閉性：任意兩個(gè)碼字之和仍為一個(gè)碼字 對(duì)于重復(fù)碼來說可能的取值為（1,1,1,1.1）或（0,0,0,0.0），顯然任兩個(gè)碼字之和仍為一個(gè)碼字 對(duì)于偶校驗(yàn)碼來說，一個(gè)（4,3）碼的所有可能碼為做加法檢驗(yàn)可以知道滿足封閉性2 許用碼字集合中必包含全零碼。 可以從重復(fù)碼和（4,3）偶校驗(yàn)碼中看出上面的性質(zhì)?！纠浚?，1）重復(fù)碼（2，1）重復(fù)碼可以檢出一個(gè)錯(cuò)誤，但錯(cuò)誤不能糾正。 8【重復(fù)碼的糾檢錯(cuò)能力】PART 1通原研討（3，1）重復(fù)碼 （3，1）重復(fù)碼可以檢出最多不超過兩個(gè)錯(cuò)誤，能糾正一個(gè)錯(cuò)

4、誤，但不能檢出3個(gè)錯(cuò)誤。 9PART 1通原研討10【偶碼的糾檢錯(cuò)能力】PART 1通原研討偶校驗(yàn)碼只能發(fā)現(xiàn)單個(gè)或奇數(shù)個(gè)錯(cuò)誤，而不能檢測(cè)出偶數(shù)個(gè)錯(cuò)誤，也不能檢驗(yàn)突發(fā)錯(cuò)誤，因此它的檢測(cè)水平不高。奇偶校驗(yàn)碼水平奇偶校驗(yàn)碼水平垂直奇偶校驗(yàn)碼檢錯(cuò)能力增強(qiáng)證明重復(fù)碼和偶校驗(yàn)碼是循環(huán)碼02PART 2通原研討PART 2通原研討【循環(huán)碼】如果其任何一個(gè)碼字循環(huán)移位(左移或右移)后仍然是一個(gè)碼字，稱一個(gè)(n,k)線性分組碼是循環(huán)碼。PART 2通原研討【重復(fù)碼（n,1）】因?yàn)橹貜?fù)碼的內(nèi)容為（1,1,1,1.1）或（0,0,0,0.0），無論向左循環(huán)還是向右循環(huán)都滿足條件，所以重復(fù)碼是循環(huán)碼?！九夹ｒ?yàn)碼（n,

5、n-1）】偶校驗(yàn)碼也是循環(huán)碼，舉一個(gè)（4,3）碼的例子，可以看到一共有4個(gè)循環(huán)圈，0000,0101, 0011，1111所有的碼都能看成是由這四個(gè)循環(huán)構(gòu)成的，無論左移右移，循環(huán)圈里1的個(gè)數(shù)不會(huì)改變，所以仍然滿足偶校驗(yàn)關(guān)系。與此類似，所有的偶校驗(yàn)碼都是循環(huán)碼。PART 2通原研討【偶校驗(yàn)碼（n,n-1）】符合循環(huán)碼的必要條件（n，k）分組碼中要有一個(gè)正確的生成多項(xiàng)式g（x）能夠生成循環(huán)碼的g（x）的條件：g（x）是xn1的因式，其最高次冪為n-k,最低項(xiàng)為1，其非0系數(shù)的個(gè)數(shù)不小于相應(yīng)（n，k）分組碼的d0值。偶校驗(yàn)碼g（x）x1d02 等于非零系數(shù)個(gè)數(shù) 滿足條件03PART 3通原研討列出(

6、4, 1)重復(fù)碼和(4, 3)偶校驗(yàn)碼的生成矩陣(系統(tǒng)碼形式)PART 3通原研討【（4,1）重復(fù)碼的生成矩陣】 根據(jù)（4,1）重復(fù)碼的線性關(guān)系式： 則H矩陣為對(duì)應(yīng)的P矩陣為PART 3通原研討則Q矩陣為 對(duì)應(yīng)的生成矩陣G為PART 3通原研討【（4,3）偶校驗(yàn)碼的生成矩陣】（4,3）偶校驗(yàn)碼的線性多項(xiàng)式為則H矩陣為則P矩陣為PART 3通原研討則Q矩陣為 對(duì)應(yīng)的生成矩陣G為 分別列出(4, 1)重復(fù)碼和(4, 3)偶校驗(yàn)碼的生成多項(xiàng)式。04PART 4通原研討PART 4通原研討【生成多項(xiàng)式】 生成多項(xiàng)式 g(x)：最大冪次 n-k = r (監(jiān)督位數(shù))。碼多項(xiàng)式 v(x) 是 g(x) 的

7、倍式。循環(huán)碼由 n及 g(x) 唯一確定，次數(shù)低于n的多項(xiàng)式若能被g(x)整除，則是一個(gè)碼多項(xiàng)式。所有這樣的多項(xiàng)式構(gòu)成 (n,k)循環(huán)碼。PART 4通原研討【前提結(jié)論】 xn+1因式分解所得的一次因式，必是(x+1)，分解所得的二次因式，必是(x2+1)或(x2+mx+1)，其中m是常數(shù)。一般說來，n是奇數(shù)時(shí)，有一個(gè)一次因式，其余是二次因式；n是偶數(shù)時(shí)，只有二次因式，沒有一次因式。PART 4通原研討【（4,1）重復(fù)碼的生成多項(xiàng)式】（4,1）重復(fù)碼的生成多項(xiàng)式PART 4通原研討【（4,3）偶校驗(yàn)碼的生成多項(xiàng)式】 確定生成多項(xiàng)式 ，因式分解 ，找到1次因式（4,3）偶校驗(yàn)碼的生成多項(xiàng)式PAR

8、T 4通原研討【對(duì)偶性】 （4,3）偶校驗(yàn)碼的校驗(yàn)位為1位，（4,1）重復(fù)碼的校驗(yàn)位為3位，他們的生成多項(xiàng)式相乘正好為 ，所以偶校驗(yàn)碼和重復(fù)碼存在對(duì)偶性。（4，1）H陣（4，1）G陣（4，3）G陣（4，3）H陣線性行變換PART 4通原研討【對(duì)循環(huán)碼加入噪聲后進(jìn)行仿真】clear;clc;close all;%清屏N=11;%信息碼的行數(shù)n=7;%碼長(zhǎng)k=4;%信息位長(zhǎng)sig=randint(N,k)%信號(hào)碼元code=encode(sig,n,k,cyclic)%循環(huán)編碼sig1=decode(code,n,k,cyclic)%循環(huán)解碼errs1=biterr(sig,sig1)%計(jì)算誤差比

9、特?cái)?shù)noise=randerr(N,n,2)%產(chǎn)生隨機(jī)噪聲r(shí)sig=double(xor(code, noise)%加噪sig2=decode(rsig,n,k,cyclic)%加噪解碼errs2=biterr(sig,sig2)%計(jì)算加噪后的誤差比特?cái)?shù)PART 4通原研討【仿真實(shí)驗(yàn)】sig = 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1sig1 = 1 1 1 10 1 0 01 1 0 00 0 0 11 0 0 11 1 1 00 1 0 10 0 0 11

10、 1 0 00 0 1 11 0 0 0errs1 =0code = 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1PART 4通原研討【仿真實(shí)驗(yàn)】sig2 = 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0errs2 =18noise = 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1rsig =