北京交通大學通信原理探討

1、通原研討組員 ： 肖逸然 15231081 龐凱怡 15292012 劉源 1529203323組題目要求可以認為重復碼和偶校驗碼是線性分組碼，也是循環(huán)碼，請說明原因；并分別列出(4, 1)重復碼和(4, 3)偶校驗碼的生成矩陣(系統(tǒng)碼形式)和生成多項式。 證明重復碼和偶校驗碼是線性分組碼01PART 1通原研討PART 1通原研討【線性分組碼】1：一個長度為n，包含 個碼字的分組碼，若這個 碼字構成GF（2）上所有的n維向量空間V的一個k維子空間，則稱這個分組碼為線性分組碼。2：在線性碼中信息位和監(jiān)督位是由一些線性代數(shù)方程聯(lián)系著的，或者說線性碼是按照一組線性方程構成的。3：分組碼可以寫成(n

2、, k)形式，碼字一共n比特，消息序列分組為k 比特，每組增加校驗（監(jiān)督）位r = n-k 比特。PART 1通原研討【重復碼（n,1）】1 證明重復碼是分組碼：因為重復碼n個碼元中，只有最高位為信息位，所以可以寫為（n，1）碼的形式，即分組碼。2 證明重復碼是線性碼： 假設重復碼一共有n位，最高位是信息位，則它的線性方程可以寫為：滿足線性分組碼定義，題目得證。PART 1通原研討【偶校驗碼（n，n-1）】1 證明偶校驗碼是分組碼，因為偶校驗碼的n個碼元中，只有最低位為監(jiān)督位，所以偶校驗碼可以寫為（n,n-1）的形式，即為分組碼。2 證明偶校驗碼是線性碼：偶校驗碼含1位校驗位a0，與信息位an

3、-1至a1構成一個代數(shù)式： 滿足線性分組碼的定義，題目得證。PART 1通原研討【線性分組碼的性質(zhì)】1 封閉性：任意兩個碼字之和仍為一個碼字 對于重復碼來說可能的取值為（1,1,1,1.1）或（0,0,0,0.0），顯然任兩個碼字之和仍為一個碼字 對于偶校驗碼來說，一個（4,3）碼的所有可能碼為做加法檢驗可以知道滿足封閉性2 許用碼字集合中必包含全零碼。 可以從重復碼和（4,3）偶校驗碼中看出上面的性質(zhì)?！纠浚?，1）重復碼（2，1）重復碼可以檢出一個錯誤，但錯誤不能糾正。 8【重復碼的糾檢錯能力】PART 1通原研討（3，1）重復碼 （3，1）重復碼可以檢出最多不超過兩個錯誤，能糾正一個錯

4、誤，但不能檢出3個錯誤。 9PART 1通原研討10【偶碼的糾檢錯能力】PART 1通原研討偶校驗碼只能發(fā)現(xiàn)單個或奇數(shù)個錯誤，而不能檢測出偶數(shù)個錯誤，也不能檢驗突發(fā)錯誤，因此它的檢測水平不高。奇偶校驗碼水平奇偶校驗碼水平垂直奇偶校驗碼檢錯能力增強證明重復碼和偶校驗碼是循環(huán)碼02PART 2通原研討PART 2通原研討【循環(huán)碼】如果其任何一個碼字循環(huán)移位(左移或右移)后仍然是一個碼字，稱一個(n,k)線性分組碼是循環(huán)碼。PART 2通原研討【重復碼（n,1）】因為重復碼的內(nèi)容為（1,1,1,1.1）或（0,0,0,0.0），無論向左循環(huán)還是向右循環(huán)都滿足條件，所以重復碼是循環(huán)碼?！九夹ｒ灤a（n,

5、n-1）】偶校驗碼也是循環(huán)碼，舉一個（4,3）碼的例子，可以看到一共有4個循環(huán)圈，0000,0101, 0011，1111所有的碼都能看成是由這四個循環(huán)構成的，無論左移右移，循環(huán)圈里1的個數(shù)不會改變，所以仍然滿足偶校驗關系。與此類似，所有的偶校驗碼都是循環(huán)碼。PART 2通原研討【偶校驗碼（n,n-1）】符合循環(huán)碼的必要條件（n，k）分組碼中要有一個正確的生成多項式g（x）能夠生成循環(huán)碼的g（x）的條件：g（x）是xn1的因式，其最高次冪為n-k,最低項為1，其非0系數(shù)的個數(shù)不小于相應（n，k）分組碼的d0值。偶校驗碼g（x）x1d02 等于非零系數(shù)個數(shù) 滿足條件03PART 3通原研討列出(

6、4, 1)重復碼和(4, 3)偶校驗碼的生成矩陣(系統(tǒng)碼形式)PART 3通原研討【（4,1）重復碼的生成矩陣】 根據(jù)（4,1）重復碼的線性關系式： 則H矩陣為對應的P矩陣為PART 3通原研討則Q矩陣為 對應的生成矩陣G為PART 3通原研討【（4,3）偶校驗碼的生成矩陣】（4,3）偶校驗碼的線性多項式為則H矩陣為則P矩陣為PART 3通原研討則Q矩陣為 對應的生成矩陣G為 分別列出(4, 1)重復碼和(4, 3)偶校驗碼的生成多項式。04PART 4通原研討PART 4通原研討【生成多項式】 生成多項式 g(x)：最大冪次 n-k = r (監(jiān)督位數(shù))。碼多項式 v(x) 是 g(x) 的

7、倍式。循環(huán)碼由 n及 g(x) 唯一確定，次數(shù)低于n的多項式若能被g(x)整除，則是一個碼多項式。所有這樣的多項式構成 (n,k)循環(huán)碼。PART 4通原研討【前提結論】 xn+1因式分解所得的一次因式，必是(x+1)，分解所得的二次因式，必是(x2+1)或(x2+mx+1)，其中m是常數(shù)。一般說來，n是奇數(shù)時，有一個一次因式，其余是二次因式；n是偶數(shù)時，只有二次因式，沒有一次因式。PART 4通原研討【（4,1）重復碼的生成多項式】（4,1）重復碼的生成多項式PART 4通原研討【（4,3）偶校驗碼的生成多項式】 確定生成多項式 ，因式分解 ，找到1次因式（4,3）偶校驗碼的生成多項式PAR

8、T 4通原研討【對偶性】 （4,3）偶校驗碼的校驗位為1位，（4,1）重復碼的校驗位為3位，他們的生成多項式相乘正好為 ，所以偶校驗碼和重復碼存在對偶性。（4，1）H陣（4，1）G陣（4，3）G陣（4，3）H陣線性行變換PART 4通原研討【對循環(huán)碼加入噪聲后進行仿真】clear;clc;close all;%清屏N=11;%信息碼的行數(shù)n=7;%碼長k=4;%信息位長sig=randint(N,k)%信號碼元code=encode(sig,n,k,cyclic)%循環(huán)編碼sig1=decode(code,n,k,cyclic)%循環(huán)解碼errs1=biterr(sig,sig1)%計算誤差比

9、特數(shù)noise=randerr(N,n,2)%產(chǎn)生隨機噪聲rsig=double(xor(code, noise)%加噪sig2=decode(rsig,n,k,cyclic)%加噪解碼errs2=biterr(sig,sig2)%計算加噪后的誤差比特數(shù)PART 4通原研討【仿真實驗】sig = 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1sig1 = 1 1 1 10 1 0 01 1 0 00 0 0 11 0 0 11 1 1 00 1 0 10 0 0 11

10、 1 0 00 0 1 11 0 0 0errs1 =0code = 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1PART 4通原研討【仿真實驗】sig2 = 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0errs2 =18noise = 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1rsig =